MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fimacnv Structured version   Unicode version

Theorem fimacnv 5931
Description: The preimage of the codomain of a mapping is the mapping's domain. (Contributed by FL, 25-Jan-2007.)
Assertion
Ref Expression
fimacnv  |-  ( F : A --> B  -> 
( `' F " B )  =  A )

Proof of Theorem fimacnv
StepHypRef Expression
1 imassrn 5275 . . 3  |-  ( `' F " B ) 
C_  ran  `' F
2 dfdm4 5127 . . . 4  |-  dom  F  =  ran  `' F
3 fdm 5658 . . . . 5  |-  ( F : A --> B  ->  dom  F  =  A )
4 ssid 3470 . . . . 5  |-  A  C_  A
53, 4syl6eqss 3501 . . . 4  |-  ( F : A --> B  ->  dom  F  C_  A )
62, 5syl5eqssr 3496 . . 3  |-  ( F : A --> B  ->  ran  `' F  C_  A )
71, 6syl5ss 3462 . 2  |-  ( F : A --> B  -> 
( `' F " B )  C_  A
)
8 imassrn 5275 . . . 4  |-  ( F
" A )  C_  ran  F
9 frn 5660 . . . 4  |-  ( F : A --> B  ->  ran  F  C_  B )
108, 9syl5ss 3462 . . 3  |-  ( F : A --> B  -> 
( F " A
)  C_  B )
11 ffun 5656 . . . 4  |-  ( F : A --> B  ->  Fun  F )
124, 3syl5sseqr 3500 . . . 4  |-  ( F : A --> B  ->  A  C_  dom  F )
13 funimass3 5915 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  A  C_ 
dom  F )  -> 
( ( F " A )  C_  B  <->  A 
C_  ( `' F " B ) ) )
1411, 12, 13syl2anc 661 . . 3  |-  ( F : A --> B  -> 
( ( F " A )  C_  B  <->  A 
C_  ( `' F " B ) ) )
1510, 14mpbid 210 . 2  |-  ( F : A --> B  ->  A  C_  ( `' F " B ) )
167, 15eqssd 3468 1  |-  ( F : A --> B  -> 
( `' F " B )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1370    C_ wss 3423   `'ccnv 4934   dom cdm 4935   ran crn 4936   "cima 4938   Fun wfun 5507   -->wf 5509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pr 4626
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-nul 3733  df-if 3887  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4187  df-br 4388  df-opab 4446  df-id 4731  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-fv 5521
This theorem is referenced by:  fmpt  5960  frnsuppeq  6799  fin1a2lem7  8673  nn0suppOLD  10732  cnclima  18985  iscncl  18986  cnindis  19009  cncmp  19108  ptrescn  19325  qtopuni  19388  qtopcld  19399  qtopcmap  19405  ordthmeolem  19487  rnelfmlem  19638  mbfdm  21219  ismbf  21221  mbfimaicc  21224  ismbf2d  21232  ismbf3d  21245  mbfimaopn2  21248  i1fd  21272  plyeq0  21792  fimacnvinrn  26083  fsumcvg4  26511  zrhunitpreima  26538  imambfm  26808  dstrvprob  26985  dvtanlem  28576  dvtan  28577  fsuppeq  29585
  Copyright terms: Public domain W3C validator