MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  filunibas Structured version   Unicode version

Theorem filunibas 19429
Description: Recover the base set from a filter. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
filunibas  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  U. F  =  X )

Proof of Theorem filunibas
StepHypRef Expression
1 filsspw 19399 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  C_  ~P X )
2 sspwuni 4251 . . 3  |-  ( F 
C_  ~P X  <->  U. F  C_  X )
31, 2sylib 196 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  U. F  C_  X )
4 filtop 19403 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  F )
5 unissel 4117 . 2  |-  ( ( U. F  C_  X  /\  X  e.  F
)  ->  U. F  =  X )
63, 4, 5syl2anc 661 1  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  U. F  =  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756    C_ wss 3323   ~Pcpw 3855   U.cuni 4086   ` cfv 5413   Filcfil 19393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fv 5421  df-fbas 17789  df-fil 19394
This theorem is referenced by:  filunirn  19430  filcon  19431  uffixfr  19471  uffix2  19472  uffixsn  19473  ufildr  19479  flimtopon  19518  flimss1  19521  flffval  19537  fclsval  19556  isfcls  19557  fclstopon  19560  fclsfnflim  19575  fcfval  19581
  Copyright terms: Public domain W3C validator