MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  filunibas Structured version   Unicode version

Theorem filunibas 20117
Description: Recover the base set from a filter. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
filunibas  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  U. F  =  X )

Proof of Theorem filunibas
StepHypRef Expression
1 filsspw 20087 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  C_  ~P X )
2 sspwuni 4411 . . 3  |-  ( F 
C_  ~P X  <->  U. F  C_  X )
31, 2sylib 196 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  U. F  C_  X )
4 filtop 20091 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  F )
5 unissel 4276 . 2  |-  ( ( U. F  C_  X  /\  X  e.  F
)  ->  U. F  =  X )
63, 4, 5syl2anc 661 1  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  U. F  =  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   U.cuni 4245   ` cfv 5586   Filcfil 20081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fv 5594  df-fbas 18187  df-fil 20082
This theorem is referenced by:  filunirn  20118  filcon  20119  uffixfr  20159  uffix2  20160  uffixsn  20161  ufildr  20167  flimtopon  20206  flimss1  20209  flffval  20225  fclsval  20244  isfcls  20245  fclstopon  20248  fclsfnflim  20263  fcfval  20269
  Copyright terms: Public domain W3C validator