MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  filunibas Structured version   Unicode version

Theorem filunibas 19585
Description: Recover the base set from a filter. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
filunibas  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  U. F  =  X )

Proof of Theorem filunibas
StepHypRef Expression
1 filsspw 19555 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  C_  ~P X )
2 sspwuni 4363 . . 3  |-  ( F 
C_  ~P X  <->  U. F  C_  X )
31, 2sylib 196 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  U. F  C_  X )
4 filtop 19559 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  F )
5 unissel 4229 . 2  |-  ( ( U. F  C_  X  /\  X  e.  F
)  ->  U. F  =  X )
63, 4, 5syl2anc 661 1  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  U. F  =  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758    C_ wss 3435   ~Pcpw 3967   U.cuni 4198   ` cfv 5525   Filcfil 19549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-op 3991  df-uni 4199  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-id 4743  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fv 5533  df-fbas 17938  df-fil 19550
This theorem is referenced by:  filunirn  19586  filcon  19587  uffixfr  19627  uffix2  19628  uffixsn  19629  ufildr  19635  flimtopon  19674  flimss1  19677  flffval  19693  fclsval  19712  isfcls  19713  fclstopon  19716  fclsfnflim  19731  fcfval  19737
  Copyright terms: Public domain W3C validator