Theorem filufint 15574

Description: A filter is equal to the intersection of the ultrafilters containing it.

Hypothesis

Ref	Expression
filufint.1	|- X = U.F

Assertion

Ref	Expression
filufint	|- (F e. Fil -> |^|{f e. UFil | (X = U.f /\ F C_ f)} = F)

Distinct variable groups:   f,F   f,X

Proof of Theorem filufint

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 3492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- {(X \ x)} e. _V
2		unexg 3798	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((F e. Fil /\ {(X \ x)} e. _V) -> (F u. {(X \ x)}) e. _V)
3	1, 2	mpan2 760	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (F e. Fil -> (F u. {(X \ x)}) e. _V)
4		fsubbas 10281	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((F u. {(X \ x)}) e. _V -> (( fi ` (F u. {(X \ x)})) e. fBas <-> ((F u. {(X \ x)}) =/= (/) /\ (/) e/ ( fi ` (F u. {(X \ x)})))))
5	3, 4	syl 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- (F e. Fil -> (( fi ` (F u. {(X \ x)})) e. fBas <-> ((F u. {(X \ x)}) =/= (/) /\ (/) e/ ( fi ` (F u. {(X \ x)})))))
6	5	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . . . 12 |- ((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) -> (( fi ` (F u. {(X \ x)})) e. fBas <-> ((F u. {(X \ x)}) =/= (/) /\ (/) e/ ( fi ` (F u. {(X \ x)})))))
7		filufint.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- X = U.F
8	7	filusb 10267	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (F e. Fil -> X e. F)
9		ne0i 2881	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (X e. F -> F =/= (/))
10		ssun1 2767	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F C_ (F u. {(X \ x)})
11		ssn0 2905	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((F C_ (F u. {(X \ x)}) /\ F =/= (/)) -> (F u. {(X \ x)}) =/= (/))
12	10, 11	mpan 759	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (F =/= (/) -> (F u. {(X \ x)}) =/= (/))
13	8, 9, 12	3syl 24	. . . . . . . . . . . . 13 |- (F e. Fil -> (F u. {(X \ x)}) =/= (/))
14	13	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . . . 12 |- ((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) -> (F u. {(X \ x)}) =/= (/))
15		ineq2 2790	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (z = (X \ x) -> (y i^i z) = (y i^i (X \ x)))
16	15	neeq1d 2028	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (z = (X \ x) -> ((y i^i z) =/= (/) <-> (y i^i (X \ x)) =/= (/)))
17		elssuni 3206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (y e. F -> y C_ U.F)
18	17, 7	syl6ssr 2664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (y e. F -> y C_ X)
19		reldisj 2916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (y C_ X -> ((y i^i (X \ x)) = (/) <-> y C_ (X \ (X \ x))))
20	18, 19	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (y e. F -> ((y i^i (X \ x)) = (/) <-> y C_ (X \ (X \ x))))
21	20	3ad2ant2 898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((F e. Fil /\ y e. F /\ x C_ X) -> ((y i^i (X \ x)) = (/) <-> y C_ (X \ (X \ x))))
22		dfss4 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (x C_ X <-> (X \ (X \ x)) = x)
23	22	biimpi 168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (x C_ X -> (X \ (X \ x)) = x)
24	23	sseq2d 2645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (x C_ X -> (y C_ (X \ (X \ x)) <-> y C_ x))
25	24	3ad2ant3 899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((F e. Fil /\ y e. F /\ x C_ X) -> (y C_ (X \ (X \ x)) <-> y C_ x))
26	21, 25	bitrd 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((F e. Fil /\ y e. F /\ x C_ X) -> ((y i^i (X \ x)) = (/) <-> y C_ x))
27	7	fillsb 10270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (F e. Fil -> ((y e. F /\ x C_ X /\ y C_ x) -> x e. F))
28	27	3expd 1085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (F e. Fil -> (y e. F -> (x C_ X -> (y C_ x -> x e. F))))
29	28	3imp 1061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((F e. Fil /\ y e. F /\ x C_ X) -> (y C_ x -> x e. F))
30	26, 29	sylbid 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((F e. Fil /\ y e. F /\ x C_ X) -> ((y i^i (X \ x)) = (/) -> x e. F))
31	30	necon3bd 2039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((F e. Fil /\ y e. F /\ x C_ X) -> (-. x e. F -> (y i^i (X \ x)) =/= (/)))
32	31	3exp 1066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (F e. Fil -> (y e. F -> (x C_ X -> (-. x e. F -> (y i^i (X \ x)) =/= (/)))))
33	32	com24 41	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (F e. Fil -> (-. x e. F -> (x C_ X -> (y e. F -> (y i^i (X \ x)) =/= (/)))))
34	33	3imp1 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) /\ y e. F) -> (y i^i (X \ x)) =/= (/))
35	16, 34	syl5cbir 228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) /\ y e. F) -> (z = (X \ x) -> (y i^i z) =/= (/)))
36	35	expimpd 404	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) -> ((y e. F /\ z = (X \ x)) -> (y i^i z) =/= (/)))
37		elsni 3066	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (z e. {(X \ x)} -> z = (X \ x))
38	36, 37	sylan2i 514	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) -> ((y e. F /\ z e. {(X \ x)}) -> (y i^i z) =/= (/)))
39	38	r19.21aivv 2183	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) -> A.y e. F A.z e. {(X \ x)} (y i^i z) =/= (/))
40		filfbas 10276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (F e. Fil -> F e. fBas)
41	40	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) -> F e. fBas)
42		uniexg 3795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (F e. Fil -> U.F e. _V)
43	42, 7	syl5eqel 1975	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (F e. Fil -> X e. _V)
44		difexg 3458	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (X e. _V -> (X \ x) e. _V)
45	43, 44	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (F e. Fil -> (X \ x) e. _V)
46	45	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) -> (X \ x) e. _V)
47	23	3ad2ant2 898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((F e. Fil /\ x C_ X /\ (X \ x) = (/)) -> (X \ (X \ x)) = x)
48		difeq2 2719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((X \ x) = (/) -> (X \ (X \ x)) = (X \ (/)))
49		dif0 2943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (X \ (/)) = X
50	48, 49	syl6eq 1944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((X \ x) = (/) -> (X \ (X \ x)) = X)
51	50	3ad2ant3 899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((F e. Fil /\ x C_ X /\ (X \ x) = (/)) -> (X \ (X \ x)) = X)
52	47, 51	eqtr3d 1927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((F e. Fil /\ x C_ X /\ (X \ x) = (/)) -> x = X)
53	8	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((F e. Fil /\ x C_ X /\ (X \ x) = (/)) -> X e. F)
54	52, 53	eqeltrd 1971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((F e. Fil /\ x C_ X /\ (X \ x) = (/)) -> x e. F)
55	54	3expia 1069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((F e. Fil /\ x C_ X) -> ((X \ x) = (/) -> x e. F))
56	55	necon3bd 2039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((F e. Fil /\ x C_ X) -> (-. x e. F -> (X \ x) =/= (/)))
57	56	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (F e. Fil -> (x C_ X -> (-. x e. F -> (X \ x) =/= (/))))
58	57	com23 36	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (F e. Fil -> (-. x e. F -> (x C_ X -> (X \ x) =/= (/))))
59	58	3imp 1061	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) -> (X \ x) =/= (/))
60		oefil2 10275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((X \ x) e. _V /\ (X \ x) =/= (/)) -> {(X \ x)} e. Fil)
61	46, 59, 60	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) -> {(X \ x)} e. Fil)
62		filfbas 10276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ({(X \ x)} e. Fil -> {(X \ x)} e. fBas)
63	61, 62	syl 12	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) -> {(X \ x)} e. fBas)
64		fbunfip 10282	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((F e. fBas /\ {(X \ x)} e. fBas) -> ((/) e/ ( fi ` (F u. {(X \ x)})) <-> A.y e. F A.z e. {(X \ x)} (y i^i z) =/= (/)))
65	41, 63, 64	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) -> ((/) e/ ( fi ` (F u. {(X \ x)})) <-> A.y e. F A.z e. {(X \ x)} (y i^i z) =/= (/)))
66	39, 65	mpbird 213	. . . . . . . . . . . 12 |- ((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) -> (/) e/ ( fi ` (F u. {(X \ x)})))
67	6, 14, 66	mpbir2and 802	. . . . . . . . . . 11 |- ((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) -> ( fi ` (F u. {(X \ x)})) e. fBas)
68		fgfil 10290	. . . . . . . . . . 11 |- (( fi ` (F u. {(X \ x)})) e. fBas -> (filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) e. Fil)
69	67, 68	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- ((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) -> (filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) e. Fil)
70	7	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) -> X = U.F)
71		unisng 3194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((X \ x) e. _V -> U.{(X \ x)} = (X \ x))
72	43, 44, 71	3syl 24	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (F e. Fil -> U.{(X \ x)} = (X \ x))
73	72	eqcomd 1889	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (F e. Fil -> (X \ x) = U.{(X \ x)})
74	73	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) -> (X \ x) = U.{(X \ x)})
75	70, 74	uneq12d 2756	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) -> (X u. (X \ x)) = (U.F u. U.{(X \ x)}))
76		difss 2735	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (X \ x) C_ X
77		ssequn2 2779	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((X \ x) C_ X <-> (X u. (X \ x)) = X)
78	76, 77	mpbi 206	. . . . . . . . . . . . 13 |- (X u. (X \ x)) = X
79	75, 78	syl5eqr 1942	. . . . . . . . . . . 12 |- ((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) -> X = (U.F u. U.{(X \ x)}))
80		uniun 3196	. . . . . . . . . . . 12 |- U.(F u. {(X \ x)}) = (U.F u. U.{(X \ x)})
81	79, 80	syl6eqr 1946	. . . . . . . . . . 11 |- ((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) -> X = U.(F u. {(X \ x)}))
82		fiuni 10219	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((F u. {(X \ x)}) e. _V -> U.(F u. {(X \ x)}) = U.( fi ` (F u. {(X \ x)})))
83	3, 82	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 |- (F e. Fil -> U.(F u. {(X \ x)}) = U.( fi ` (F u. {(X \ x)})))
84	83	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . . 11 |- ((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) -> U.(F u. {(X \ x)}) = U.( fi ` (F u. {(X \ x)})))
85		eqid 1884	. . . . . . . . . . . . 13 |- U.( fi ` (F u. {(X \ x)})) = U.( fi ` (F u. {(X \ x)}))
86	85	fgbas 10286	. . . . . . . . . . . 12 |- (( fi ` (F u. {(X \ x)})) e. fBas -> U.( fi ` (F u. {(X \ x)})) = U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))))
87	67, 86	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- ((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) -> U.( fi ` (F u. {(X \ x)})) = U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))))
88	81, 84, 87	3eqtrd 1929	. . . . . . . . . 10 |- ((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) -> X = U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))))
89		simpl2 880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) /\ X = U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) /\ f e. UFil) /\ (U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) = U.f /\ (filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) C_ f)) -> X = U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))))
90		simprl 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) /\ X = U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) /\ f e. UFil) /\ (U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) = U.f /\ (filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) C_ f)) -> U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) = U.f)
91	89, 90	eqtrd 1925	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) /\ X = U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) /\ f e. UFil) /\ (U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) = U.f /\ (filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) C_ f)) -> X = U.f)
92	10	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) -> F C_ (F u. {(X \ x)}))
93		abfi2 10216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((F u. {(X \ x)}) e. _V -> (F u. {(X \ x)}) C_ ( fi ` (F u. {(X \ x)})))
94	3, 93	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (F e. Fil -> (F u. {(X \ x)}) C_ ( fi ` (F u. {(X \ x)})))
95	94	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) -> (F u. {(X \ x)}) C_ ( fi ` (F u. {(X \ x)})))
96	92, 95	sstrd 2627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) -> F C_ ( fi ` (F u. {(X \ x)})))
97		fbssfg 10285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (( fi ` (F u. {(X \ x)})) e. fBas -> ( fi ` (F u. {(X \ x)})) C_ (filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))))
98	67, 97	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) -> ( fi ` (F u. {(X \ x)})) C_ (filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))))
99	96, 98	sstrd 2627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) -> F C_ (filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))))
100	99	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) /\ X = U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) /\ f e. UFil) -> F C_ (filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))))
101	100	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) /\ X = U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) /\ f e. UFil) /\ (U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) = U.f /\ (filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) C_ f)) -> F C_ (filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))))
102		simprr 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) /\ X = U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) /\ f e. UFil) /\ (U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) = U.f /\ (filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) C_ f)) -> (filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) C_ f)
103	101, 102	sstrd 2627	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) /\ X = U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) /\ f e. UFil) /\ (U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) = U.f /\ (filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) C_ f)) -> F C_ f)
104		ufilfil 15566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (f e. UFil -> f e. Fil)
105		filesn 10268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (f e. Fil -> -. (/) e. f)
106	104, 105	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (f e. UFil -> -. (/) e. f)
107	106	3ad2ant3 899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) /\ X = U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) /\ f e. UFil) -> -. (/) e. f)
108	107	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) /\ X = U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) /\ f e. UFil) /\ (U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) = U.f /\ (filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) C_ f)) -> -. (/) e. f)
109	104	3ad2ant3 899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) /\ X = U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) /\ f e. UFil) -> f e. Fil)
110	109	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) /\ X = U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) /\ f e. UFil) /\ (U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) = U.f /\ (filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) C_ f /\ x e. f)) -> f e. Fil)
111		simpr3 884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) /\ X = U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) /\ f e. UFil) /\ (U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) = U.f /\ (filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) C_ f /\ x e. f)) -> x e. f)
112		ssun2 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- {(X \ x)} C_ (F u. {(X \ x)})
113	112	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- (F e. Fil -> {(X \ x)} C_ (F u. {(X \ x)}))
114	113, 94	sstrd 2627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (F e. Fil -> {(X \ x)} C_ ( fi ` (F u. {(X \ x)})))
115	114	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) -> {(X \ x)} C_ ( fi ` (F u. {(X \ x)})))
116	115	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) /\ X = U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) /\ f e. UFil) -> {(X \ x)} C_ ( fi ` (F u. {(X \ x)})))
117	67	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) /\ X = U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) /\ f e. UFil) -> ( fi ` (F u. {(X \ x)})) e. fBas)
118	117, 97	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) /\ X = U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) /\ f e. UFil) -> ( fi ` (F u. {(X \ x)})) C_ (filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))))
119	116, 118	sstrd 2627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) /\ X = U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) /\ f e. UFil) -> {(X \ x)} C_ (filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))))
120	119	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) /\ X = U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) /\ f e. UFil) /\ (U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) = U.f /\ (filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) C_ f /\ x e. f)) -> {(X \ x)} C_ (filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))))
121		simpr2 883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) /\ X = U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) /\ f e. UFil) /\ (U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) = U.f /\ (filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) C_ f /\ x e. f)) -> (filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) C_ f)
122	120, 121	sstrd 2627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) /\ X = U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) /\ f e. UFil) /\ (U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) = U.f /\ (filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) C_ f /\ x e. f)) -> {(X \ x)} C_ f)
123		snidg 3067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((X \ x) e. _V -> (X \ x) e. {(X \ x)})
124	43, 44, 123	3syl 24	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (F e. Fil -> (X \ x) e. {(X \ x)})
125	124	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) -> (X \ x) e. {(X \ x)})
126	125	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) /\ X = U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) /\ f e. UFil) -> (X \ x) e. {(X \ x)})
127	126	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) /\ X = U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) /\ f e. UFil) /\ (U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) = U.f /\ (filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) C_ f /\ x e. f)) -> (X \ x) e. {(X \ x)})
128	122, 127	sseldd 2620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) /\ X = U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) /\ f e. UFil) /\ (U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) = U.f /\ (filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) C_ f /\ x e. f)) -> (X \ x) e. f)
129		filint 10269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((f e. Fil /\ x e. f /\ (X \ x) e. f) -> (x i^i (X \ x)) e. f)
130	110, 111, 128, 129	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) /\ X = U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) /\ f e. UFil) /\ (U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) = U.f /\ (filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) C_ f /\ x e. f)) -> (x i^i (X \ x)) e. f)
131		difdisj 2945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (x i^i (X \ x)) = (/)
132	130, 131	syl5eqelr 1976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) /\ X = U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) /\ f e. UFil) /\ (U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) = U.f /\ (filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) C_ f /\ x e. f)) -> (/) e. f)
133	132	3exp2 1086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) /\ X = U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) /\ f e. UFil) -> (U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) = U.f -> ((filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) C_ f -> (x e. f -> (/) e. f))))
134	133	imp32 390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) /\ X = U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) /\ f e. UFil) /\ (U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) = U.f /\ (filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) C_ f)) -> (x e. f -> (/) e. f))
135	108, 134	mtod 123	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) /\ X = U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) /\ f e. UFil) /\ (U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) = U.f /\ (filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) C_ f)) -> -. x e. f)
136	91, 103, 135	jca31 311	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) /\ X = U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) /\ f e. UFil) /\ (U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) = U.f /\ (filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) C_ f)) -> ((X = U.f /\ F C_ f) /\ -. x e. f))
137	136	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) /\ X = U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) /\ f e. UFil) -> ((U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) = U.f /\ (filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) C_ f) -> ((X = U.f /\ F C_ f) /\ -. x e. f)))
138	137	3expia 1069	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) /\ X = U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)})))) -> (f e. UFil -> ((U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) = U.f /\ (filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) C_ f) -> ((X = U.f /\ F C_ f) /\ -. x e. f))))
139	138	reximdvai 2201	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) /\ X = U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)})))) -> (E.f e. UFil (U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) = U.f /\ (filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) C_ f) -> E.f e. UFil ((X = U.f /\ F C_ f) /\ -. x e. f)))
140		eqid 1884	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) = U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)})))
141	140	filssufil 15571	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) e. Fil -> E.f e. UFil (U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) = U.f /\ (filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) C_ f))
142	139, 141	syl5 20	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) /\ X = U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)})))) -> ((filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) e. Fil -> E.f e. UFil ((X = U.f /\ F C_ f) /\ -. x e. f)))
143	142	ex 402	. . . . . . . . . . . 12 |- ((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) -> (X = U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) -> ((filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) e. Fil -> E.f e. UFil ((X = U.f /\ F C_ f) /\ -. x e. f))))
144	143	com23 36	. . . . . . . . . . 11 |- ((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) -> ((filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) e. Fil -> (X = U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) -> E.f e. UFil ((X = U.f /\ F C_ f) /\ -. x e. f))))
145	144	imp3a 388	. . . . . . . . . 10 |- ((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) -> (((filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)}))) e. Fil /\ X = U.(filGen` ( fi ` (F u. {(X \ x)})))) -> E.f e. UFil ((X = U.f /\ F C_ f) /\ -. x e. f)))
146	69, 88, 145	mp2and 767	. . . . . . . . 9 |- ((F e. Fil /\ -. x e. F /\ x C_ X) -> E.f e. UFil ((X = U.f /\ F C_ f) /\ -. x e. f))
147	146	3expia 1069	. . . . . . . 8 |- ((F e. Fil /\ -. x e. F) -> (x C_ X -> E.f e. UFil ((X = U.f /\ F C_ f) /\ -. x e. f)))
148		sseq2 2639	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (X = U.f -> (x C_ X <-> x C_ U.f))
149		elssuni 3206	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x e. f -> x C_ U.f)
150	148, 149	syl5bir 227	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (X = U.f -> (x e. f -> x C_ X))
151	150	con3d 111	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (X = U.f -> (-. x C_ X -> -. x e. f))
152	151	com12 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- (-. x C_ X -> (X = U.f -> -. x e. f))
153	152	adantrd 427	. . . . . . . . . . . 12 |- (-. x C_ X -> ((X = U.f /\ F C_ f) -> -. x e. f))
154	153	ancld 322	. . . . . . . . . . 11 |- (-. x C_ X -> ((X = U.f /\ F C_ f) -> ((X = U.f /\ F C_ f) /\ -. x e. f)))
155	154	reximdv 2202	. . . . . . . . . 10 |- (-. x C_ X -> (E.f e. UFil (X = U.f /\ F C_ f) -> E.f e. UFil ((X = U.f /\ F C_ f) /\ -. x e. f)))
156	7	filssufil 15571	. . . . . . . . . 10 |- (F e. Fil -> E.f e. UFil (X = U.f /\ F C_ f))
157	155, 156	syl5com 63	. . . . . . . . 9 |- (F e. Fil -> (-. x C_ X -> E.f e. UFil ((X = U.f /\ F C_ f) /\ -. x e. f)))
158	157	adantr 425	. . . . . . . 8 |- ((F e. Fil /\ -. x e. F) -> (-. x C_ X -> E.f e. UFil ((X = U.f /\ F C_ f) /\ -. x e. f)))
159	147, 158	pm2.61d 141	. . . . . . 7 |- ((F e. Fil /\ -. x e. F) -> E.f e. UFil ((X = U.f /\ F C_ f) /\ -. x e. f))
160	159	ex 402	. . . . . 6 |- (F e. Fil -> (-. x e. F -> E.f e. UFil ((X = U.f /\ F C_ f) /\ -. x e. f)))
161		rexanali 2144	. . . . . 6 |- (E.f e. UFil ((X = U.f /\ F C_ f) /\ -. x e. f) <-> -. A.f e. UFil ((X = U.f /\ F C_ f) -> x e. f))
162	160, 161	syl6ib 229	. . . . 5 |- (F e. Fil -> (-. x e. F -> -. A.f e. UFil ((X = U.f /\ F C_ f) -> x e. f)))
163	162	con4d 91	. . . 4 |- (F e. Fil -> (A.f e. UFil ((X = U.f /\ F C_ f) -> x e. f) -> x e. F))
164		visset 2295	. . . . 5 |- x e. _V
165	164	elintrab 3228	. . . 4 |- (x e. |^|{f e. UFil | (X = U.f /\ F C_ f)} <-> A.f e. UFil ((X = U.f /\ F C_ f) -> x e. f))
166	163, 165	syl5ib 223	. . 3 |- (F e. Fil -> (x e. |^|{f e. UFil | (X = U.f /\ F C_ f)} -> x e. F))
167	166	ssrdv 2622	. 2 |- (F e. Fil -> |^|{f e. UFil | (X = U.f /\ F C_ f)} C_ F)
168		simprr 451	. . . . 5 |- ((f e. UFil /\ (X = U.f /\ F C_ f)) -> F C_ f)
169	168	a1i 8	. . . 4 |- (F e. Fil -> ((f e. UFil /\ (X = U.f /\ F C_ f)) -> F C_ f))
170	169	19.21aiv 1664	. . 3 |- (F e. Fil -> A.f((f e. UFil /\ (X = U.f /\ F C_ f)) -> F C_ f))
171		df-rab 2112	. . . . . 6 |- {f e. UFil | (X = U.f /\ F C_ f)} = {f | (f e. UFil /\ (X = U.f /\ F C_ f))}
172	171	inteqi 3218	. . . . 5 |- |^|{f e. UFil | (X = U.f /\ F C_ f)} = |^|{f | (f e. UFil /\ (X = U.f /\ F C_ f))}
173	172	sseq2i 2642	. . . 4 |- (F C_ |^|{f e. UFil | (X = U.f /\ F C_ f)} <-> F C_ |^|{f | (f e. UFil /\ (X = U.f /\ F C_ f))})
174		ssintab 3233	. . . 4 |- (F C_ |^|{f | (f e. UFil /\ (X = U.f /\ F C_ f))} <-> A.f((f e. UFil /\ (X = U.f /\ F C_ f)) -> F C_ f))
175	173, 174	bitr2i 191	. . 3 |- (A.f((f e. UFil /\ (X = U.f /\ F C_ f)) -> F C_ f) <-> F C_ |^|{f e. UFil | (X = U.f /\ F C_ f)})
176	170, 175	sylib 215	. 2 |- (F e. Fil -> F C_ |^|{f e. UFil | (X = U.f /\ F C_ f)})
177	167, 176	eqssd 2633	1 |- (F e. Fil -> |^|{f e. UFil | (X = U.f /\ F C_ f)} = F)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871   =/= wne 2017   e/ wnel 2018  A.wral 2105  E.wrex 2106  {crab 2108  _Vcvv 2292   \ cdif 2590   u. cun 2591   i^i cin 2592   C_ wss 2593  (/)c0 2875  {csn 3044  U.cuni 3177  |^|cint 3214  ` cfv 3998   fi cfi 10210  fBascfbas 10257  filGencfg 10258  Filcfil 10264  UFilcufil 15562

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-ac 5906

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-iso 4015  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-er 5318  df-en 5427  df-fin 5430  df-fi 10211  df-fbas 10259  df-fg 10260  df-fil 10265  df-ufil 15563

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