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Theorem filufint 20984
Description: A filter is equal to the intersection of the ultrafilters containing it. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Jan-2010.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
filufint  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  |^| { f  e.  ( UFil `  X
)  |  F  C_  f }  =  F
)
Distinct variable groups:    f, F    f, X

Proof of Theorem filufint
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3060 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
21elintrab 4260 . . . 4  |-  ( x  e.  |^| { f  e.  ( UFil `  X
)  |  F  C_  f }  <->  A. f  e.  (
UFil `  X )
( F  C_  f  ->  x  e.  f ) )
3 filsspw 20915 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  C_  ~P X )
433ad2ant1 1035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  ->  F  C_  ~P X )
5 difss 3572 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X 
\  x )  C_  X
6 filtop 20919 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  F )
7 difexg 4565 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( X  e.  F  ->  ( X  \  x )  e. 
_V )
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( X  \  x )  e.  _V )
983ad2ant1 1035 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  -> 
( X  \  x
)  e.  _V )
10 elpwg 3971 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X  \  x )  e.  _V  ->  (
( X  \  x
)  e.  ~P X  <->  ( X  \  x ) 
C_  X ) )
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  -> 
( ( X  \  x )  e.  ~P X 
<->  ( X  \  x
)  C_  X )
)
125, 11mpbiri 241 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  -> 
( X  \  x
)  e.  ~P X
)
1312snssd 4130 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  ->  { ( X  \  x ) }  C_  ~P X )
144, 13unssd 3622 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  -> 
( F  u.  {
( X  \  x
) } )  C_  ~P X )
15 ssun1 3609 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F  C_  ( F  u.  { ( X  \  x ) } )
16 filn0 20926 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  =/=  (/) )
17 ssn0 3779 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  C_  ( F  u.  { ( X  \  x ) } )  /\  F  =/=  (/) )  -> 
( F  u.  {
( X  \  x
) } )  =/=  (/) )
1815, 16, 17sylancr 674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( F  u.  { ( X  \  x ) } )  =/=  (/) )
19183ad2ant1 1035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  -> 
( F  u.  {
( X  \  x
) } )  =/=  (/) )
20 elsni 4005 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  { ( X 
\  x ) }  ->  z  =  ( X  \  x ) )
21 filelss 20916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  y  e.  F )  ->  y  C_  X )
22213adant3 1034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  y  e.  F  /\  x  C_  X )  ->  y  C_  X )
23 reldisj 3820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y 
C_  X  ->  (
( y  i^i  ( X  \  x ) )  =  (/)  <->  y  C_  ( X  \  ( X  \  x ) ) ) )
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  y  e.  F  /\  x  C_  X )  ->  (
( y  i^i  ( X  \  x ) )  =  (/)  <->  y  C_  ( X  \  ( X  \  x ) ) ) )
25 dfss4 3689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x 
C_  X  <->  ( X  \  ( X  \  x
) )  =  x )
2625biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x 
C_  X  ->  ( X  \  ( X  \  x ) )  =  x )
2726sseq2d 3472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x 
C_  X  ->  (
y  C_  ( X  \  ( X  \  x
) )  <->  y  C_  x ) )
28273ad2ant3 1037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  y  e.  F  /\  x  C_  X )  ->  (
y  C_  ( X  \  ( X  \  x
) )  <->  y  C_  x ) )
2924, 28bitrd 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  y  e.  F  /\  x  C_  X )  ->  (
( y  i^i  ( X  \  x ) )  =  (/)  <->  y  C_  x
) )
30 filss 20917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
y  e.  F  /\  x  C_  X  /\  y  C_  x ) )  ->  x  e.  F )
31303exp2 1235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( y  e.  F  ->  ( x 
C_  X  ->  (
y  C_  x  ->  x  e.  F ) ) ) )
32313imp 1208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  y  e.  F  /\  x  C_  X )  ->  (
y  C_  x  ->  x  e.  F ) )
3329, 32sylbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  y  e.  F  /\  x  C_  X )  ->  (
( y  i^i  ( X  \  x ) )  =  (/)  ->  x  e.  F ) )
3433necon3bd 2650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  y  e.  F  /\  x  C_  X )  ->  ( -.  x  e.  F  ->  ( y  i^i  ( X  \  x ) )  =/=  (/) ) )
35343exp 1214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( y  e.  F  ->  ( x 
C_  X  ->  ( -.  x  e.  F  ->  ( y  i^i  ( X  \  x ) )  =/=  (/) ) ) ) )
3635com24 90 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( -.  x  e.  F  ->  ( x  C_  X  ->  ( y  e.  F  -> 
( y  i^i  ( X  \  x ) )  =/=  (/) ) ) ) )
37363imp1 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  /\  y  e.  F )  ->  (
y  i^i  ( X  \  x ) )  =/=  (/) )
38 ineq2 3640 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( X  \  x )  ->  (
y  i^i  z )  =  ( y  i^i  ( X  \  x
) ) )
3938neeq1d 2695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( X  \  x )  ->  (
( y  i^i  z
)  =/=  (/)  <->  ( y  i^i  ( X  \  x
) )  =/=  (/) ) )
4037, 39syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  /\  y  e.  F )  ->  (
z  =  ( X 
\  x )  -> 
( y  i^i  z
)  =/=  (/) ) )
4140expimpd 612 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  -> 
( ( y  e.  F  /\  z  =  ( X  \  x
) )  ->  (
y  i^i  z )  =/=  (/) ) )
4220, 41sylan2i 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  -> 
( ( y  e.  F  /\  z  e. 
{ ( X  \  x ) } )  ->  ( y  i^i  z )  =/=  (/) ) )
4342ralrimivv 2820 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  ->  A. y  e.  F  A. z  e.  { ( X  \  x ) }  ( y  i^i  z )  =/=  (/) )
44 filfbas 20912 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  ( fBas `  X )
)
45443ad2ant1 1035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  ->  F  e.  ( fBas `  X ) )
465a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  -> 
( X  \  x
)  C_  X )
47263ad2ant2 1036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X  /\  ( X 
\  x )  =  (/) )  ->  ( X 
\  ( X  \  x ) )  =  x )
48 difeq2 3557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( X  \  x )  =  (/)  ->  ( X 
\  ( X  \  x ) )  =  ( X  \  (/) ) )
49 dif0 3849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( X 
\  (/) )  =  X
5048, 49syl6eq 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( X  \  x )  =  (/)  ->  ( X 
\  ( X  \  x ) )  =  X )
51503ad2ant3 1037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X  /\  ( X 
\  x )  =  (/) )  ->  ( X 
\  ( X  \  x ) )  =  X )
5247, 51eqtr3d 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X  /\  ( X 
\  x )  =  (/) )  ->  x  =  X )
5363ad2ant1 1035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X  /\  ( X 
\  x )  =  (/) )  ->  X  e.  F )
5452, 53eqeltrd 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X  /\  ( X 
\  x )  =  (/) )  ->  x  e.  F )
55543expia 1217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  (
( X  \  x
)  =  (/)  ->  x  e.  F ) )
5655necon3bd 2650 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  ( -.  x  e.  F  ->  ( X  \  x
)  =/=  (/) ) )
5756ex 440 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( x  C_  X  ->  ( -.  x  e.  F  ->  ( X  \  x )  =/=  (/) ) ) )
5857com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( -.  x  e.  F  ->  ( x  C_  X  ->  ( X  \  x )  =/=  (/) ) ) )
59583imp 1208 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  -> 
( X  \  x
)  =/=  (/) )
6063ad2ant1 1035 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  ->  X  e.  F )
61 snfbas 20930 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  \  x
)  C_  X  /\  ( X  \  x
)  =/=  (/)  /\  X  e.  F )  ->  { ( X  \  x ) }  e.  ( fBas `  X ) )
6246, 59, 60, 61syl3anc 1276 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  ->  { ( X  \  x ) }  e.  ( fBas `  X )
)
63 fbunfip 20933 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  {
( X  \  x
) }  e.  (
fBas `  X )
)  ->  ( -.  (/) 
e.  ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) )  <->  A. y  e.  F  A. z  e.  { ( X  \  x ) }  (
y  i^i  z )  =/=  (/) ) )
6445, 62, 63syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  -> 
( -.  (/)  e.  ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) )  <->  A. y  e.  F  A. z  e.  { ( X  \  x ) }  (
y  i^i  z )  =/=  (/) ) )
6543, 64mpbird 240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  ->  -.  (/)  e.  ( fi
`  ( F  u.  { ( X  \  x
) } ) ) )
66 fsubbas 20931 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  F  ->  (
( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) )  e.  (
fBas `  X )  <->  ( ( F  u.  {
( X  \  x
) } )  C_  ~P X  /\  ( F  u.  { ( X  \  x ) } )  =/=  (/)  /\  -.  (/) 
e.  ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) ) ) )
676, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x
) } ) )  e.  ( fBas `  X
)  <->  ( ( F  u.  { ( X 
\  x ) } )  C_  ~P X  /\  ( F  u.  {
( X  \  x
) } )  =/=  (/)  /\  -.  (/)  e.  ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) ) ) ) )
68673ad2ant1 1035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  -> 
( ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) )  e.  ( fBas `  X
)  <->  ( ( F  u.  { ( X 
\  x ) } )  C_  ~P X  /\  ( F  u.  {
( X  \  x
) } )  =/=  (/)  /\  -.  (/)  e.  ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) ) ) ) )
6914, 19, 65, 68mpbir3and 1197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  -> 
( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) )  e.  (
fBas `  X )
)
70 fgcl 20942 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) )  e.  (
fBas `  X )  ->  ( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { ( X  \  x
) } ) ) )  e.  ( Fil `  X ) )
7169, 70syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  -> 
( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { ( X  \  x
) } ) ) )  e.  ( Fil `  X ) )
72 filssufil 20976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) )  e.  ( Fil `  X
)  ->  E. f  e.  ( UFil `  X
) ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) ) )  C_  f )
73 snex 4655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  { ( X  \  x ) }  e.  _V
74 unexg 6619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  {
( X  \  x
) }  e.  _V )  ->  ( F  u.  { ( X  \  x
) } )  e. 
_V )
7573, 74mpan2 682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( F  u.  { ( X  \  x ) } )  e.  _V )
76 ssfii 7959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F  u.  { ( X  \  x ) } )  e.  _V  ->  ( F  u.  {
( X  \  x
) } )  C_  ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) ) )
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) 
C_  ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) )
78773ad2ant1 1035 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  -> 
( F  u.  {
( X  \  x
) } )  C_  ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) ) )
7978unssad 3623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  ->  F  C_  ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) )
80 ssfg 20936 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) )  e.  (
fBas `  X )  ->  ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) )  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) ) )
8169, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  -> 
( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) )  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) ) )
8279, 81sstrd 3454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  ->  F  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) ) ) )
8382ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  /\  f  e.  ( UFil `  X
) )  /\  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) ) 
C_  f )  ->  F  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) ) ) )
84 simpr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  /\  f  e.  ( UFil `  X
) )  /\  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) ) 
C_  f )  -> 
( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { ( X  \  x
) } ) ) )  C_  f )
8583, 84sstrd 3454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  /\  f  e.  ( UFil `  X
) )  /\  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) ) 
C_  f )  ->  F  C_  f )
86 ufilfil 20968 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  e.  ( UFil `  X
)  ->  f  e.  ( Fil `  X ) )
87 0nelfil 20913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  e.  ( Fil `  X
)  ->  -.  (/)  e.  f )
8886, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  ( UFil `  X
)  ->  -.  (/)  e.  f )
8988ad2antlr 738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  /\  f  e.  ( UFil `  X
) )  /\  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) ) 
C_  f )  ->  -.  (/)  e.  f )
90 disjdif 3851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  i^i  ( X  \  x ) )  =  (/)
9186ad2antlr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  /\  f  e.  ( UFil `  X
) )  /\  (
( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { ( X  \  x
) } ) ) )  C_  f  /\  x  e.  f )
)  ->  f  e.  ( Fil `  X ) )
92 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  /\  f  e.  ( UFil `  X
) )  /\  (
( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { ( X  \  x
) } ) ) )  C_  f  /\  x  e.  f )
)  ->  x  e.  f )
9377unssbd 3624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  { ( X  \  x ) } 
C_  ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) )
94933ad2ant1 1035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  ->  { ( X  \  x ) }  C_  ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) ) )
9594adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  /\  f  e.  ( UFil `  X
) )  ->  { ( X  \  x ) }  C_  ( fi `  ( F  u.  {
( X  \  x
) } ) ) )
9669adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  /\  f  e.  ( UFil `  X
) )  ->  ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x
) } ) )  e.  ( fBas `  X
) )
9796, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  /\  f  e.  ( UFil `  X
) )  ->  ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x
) } ) ) 
C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) ) ) )
9895, 97sstrd 3454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  /\  f  e.  ( UFil `  X
) )  ->  { ( X  \  x ) }  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) ) )
9998adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  /\  f  e.  ( UFil `  X
) )  /\  (
( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { ( X  \  x
) } ) ) )  C_  f  /\  x  e.  f )
)  ->  { ( X  \  x ) } 
C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) ) ) )
100 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  /\  f  e.  ( UFil `  X
) )  /\  (
( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { ( X  \  x
) } ) ) )  C_  f  /\  x  e.  f )
)  ->  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) )  C_  f )
10199, 100sstrd 3454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  /\  f  e.  ( UFil `  X
) )  /\  (
( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { ( X  \  x
) } ) ) )  C_  f  /\  x  e.  f )
)  ->  { ( X  \  x ) } 
C_  f )
102 snidg 4006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( X  \  x )  e.  _V  ->  ( X  \  x )  e. 
{ ( X  \  x ) } )
1038, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( X  \  x )  e.  {
( X  \  x
) } )
1041033ad2ant1 1035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  -> 
( X  \  x
)  e.  { ( X  \  x ) } )
105104ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  /\  f  e.  ( UFil `  X
) )  /\  (
( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { ( X  \  x
) } ) ) )  C_  f  /\  x  e.  f )
)  ->  ( X  \  x )  e.  {
( X  \  x
) } )
106101, 105sseldd 3445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  /\  f  e.  ( UFil `  X
) )  /\  (
( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { ( X  \  x
) } ) ) )  C_  f  /\  x  e.  f )
)  ->  ( X  \  x )  e.  f )
107 filin 20918 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f  e.  ( Fil `  X )  /\  x  e.  f  /\  ( X  \  x )  e.  f )  ->  (
x  i^i  ( X  \  x ) )  e.  f )
10891, 92, 106, 107syl3anc 1276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  /\  f  e.  ( UFil `  X
) )  /\  (
( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { ( X  \  x
) } ) ) )  C_  f  /\  x  e.  f )
)  ->  ( x  i^i  ( X  \  x
) )  e.  f )
10990, 108syl5eqelr 2545 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  /\  f  e.  ( UFil `  X
) )  /\  (
( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { ( X  \  x
) } ) ) )  C_  f  /\  x  e.  f )
)  ->  (/)  e.  f )
110109expr 624 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  /\  f  e.  ( UFil `  X
) )  /\  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) ) 
C_  f )  -> 
( x  e.  f  ->  (/)  e.  f ) )
11189, 110mtod 182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  /\  f  e.  ( UFil `  X
) )  /\  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) ) 
C_  f )  ->  -.  x  e.  f
)
11285, 111jca 539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  /\  f  e.  ( UFil `  X
) )  /\  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) ) 
C_  f )  -> 
( F  C_  f  /\  -.  x  e.  f ) )
113112exp31 613 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  -> 
( f  e.  (
UFil `  X )  ->  ( ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) ) )  C_  f  ->  ( F  C_  f  /\  -.  x  e.  f ) ) ) )
114113reximdvai 2871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  -> 
( E. f  e.  ( UFil `  X
) ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) ) )  C_  f  ->  E. f  e.  (
UFil `  X )
( F  C_  f  /\  -.  x  e.  f ) ) )
11572, 114syl5 33 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  -> 
( ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) ) )  e.  ( Fil `  X
)  ->  E. f  e.  ( UFil `  X
) ( F  C_  f  /\  -.  x  e.  f ) ) )
11671, 115mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  ->  E. f  e.  ( UFil `  X ) ( F  C_  f  /\  -.  x  e.  f
) )
1171163expia 1217 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F )  ->  ( x  C_  X  ->  E. f  e.  (
UFil `  X )
( F  C_  f  /\  -.  x  e.  f ) ) )
118 filssufil 20976 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  E. f  e.  ( UFil `  X
) F  C_  f
)
119 filelss 20916 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f  e.  ( Fil `  X )  /\  x  e.  f )  ->  x  C_  X )
120119ex 440 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( x  e.  f  ->  x  C_  X ) )
12186, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( x  e.  f  ->  x  C_  X ) )
122121con3d 140 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( -.  x  C_  X  ->  -.  x  e.  f )
)
123122impcom 436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  x  C_  X  /\  f  e.  ( UFil `  X ) )  ->  -.  x  e.  f )
124123a1d 26 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  x  C_  X  /\  f  e.  ( UFil `  X ) )  ->  ( F  C_  f  ->  -.  x  e.  f ) )
125124ancld 560 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  x  C_  X  /\  f  e.  ( UFil `  X ) )  ->  ( F  C_  f  ->  ( F  C_  f  /\  -.  x  e.  f ) ) )
126125reximdva 2874 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  C_  X  ->  ( E. f  e.  (
UFil `  X ) F  C_  f  ->  E. f  e.  ( UFil `  X
) ( F  C_  f  /\  -.  x  e.  f ) ) )
127118, 126syl5com 31 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( -.  x  C_  X  ->  E. f  e.  ( UFil `  X
) ( F  C_  f  /\  -.  x  e.  f ) ) )
128127adantr 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F )  ->  ( -.  x  C_  X  ->  E. f  e.  (
UFil `  X )
( F  C_  f  /\  -.  x  e.  f ) ) )
129117, 128pm2.61d 163 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F )  ->  E. f  e.  (
UFil `  X )
( F  C_  f  /\  -.  x  e.  f ) )
130129ex 440 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( -.  x  e.  F  ->  E. f  e.  ( UFil `  X ) ( F 
C_  f  /\  -.  x  e.  f )
) )
131 rexanali 2852 . . . . . 6  |-  ( E. f  e.  ( UFil `  X ) ( F 
C_  f  /\  -.  x  e.  f )  <->  -. 
A. f  e.  (
UFil `  X )
( F  C_  f  ->  x  e.  f ) )
132130, 131syl6ib 234 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( -.  x  e.  F  ->  -. 
A. f  e.  (
UFil `  X )
( F  C_  f  ->  x  e.  f ) ) )
133132con4d 109 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( A. f  e.  ( UFil `  X ) ( F 
C_  f  ->  x  e.  f )  ->  x  e.  F ) )
1342, 133syl5bi 225 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( x  e.  |^| { f  e.  ( UFil `  X
)  |  F  C_  f }  ->  x  e.  F ) )
135134ssrdv 3450 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  |^| { f  e.  ( UFil `  X
)  |  F  C_  f }  C_  F )
136 ssintub 4266 . . 3  |-  F  C_  |^|
{ f  e.  (
UFil `  X )  |  F  C_  f }
137136a1i 11 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  C_  |^| { f  e.  ( UFil `  X
)  |  F  C_  f } )
138135, 137eqssd 3461 1  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  |^| { f  e.  ( UFil `  X
)  |  F  C_  f }  =  F
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1455    e. wcel 1898    =/= wne 2633   A.wral 2749   E.wrex 2750   {crab 2753   _Vcvv 3057    \ cdif 3413    u. cun 3414    i^i cin 3415    C_ wss 3416   (/)c0 3743   ~Pcpw 3963   {csn 3980   |^|cint 4248   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   ficfi 7950   fBascfbas 19007   filGencfg 19008   Filcfil 20909   UFilcufil 20963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-ac2 8919
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-rpss 6598  df-om 6720  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-oadd 7212  df-er 7389  df-en 7596  df-dom 7597  df-fin 7599  df-fi 7951  df-card 8399  df-ac 8573  df-cda 8624  df-fbas 19016  df-fg 19017  df-fil 20910  df-ufil 20965
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