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Theorem filufint 19462
Description: A filter is equal to the intersection of the ultrafilters containing it. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Jan-2010.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
filufint  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  |^| { f  e.  ( UFil `  X
)  |  F  C_  f }  =  F
)
Distinct variable groups:    f, F    f, X

Proof of Theorem filufint
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2969 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
21elintrab 4133 . . . 4  |-  ( x  e.  |^| { f  e.  ( UFil `  X
)  |  F  C_  f }  <->  A. f  e.  (
UFil `  X )
( F  C_  f  ->  x  e.  f ) )
3 filsspw 19393 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  C_  ~P X )
433ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  ->  F  C_  ~P X )
5 difss 3476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X 
\  x )  C_  X
6 filtop 19397 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  F )
7 difexg 4433 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( X  e.  F  ->  ( X  \  x )  e. 
_V )
86, 7syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( X  \  x )  e.  _V )
983ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  -> 
( X  \  x
)  e.  _V )
10 elpwg 3861 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X  \  x )  e.  _V  ->  (
( X  \  x
)  e.  ~P X  <->  ( X  \  x ) 
C_  X ) )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  -> 
( ( X  \  x )  e.  ~P X 
<->  ( X  \  x
)  C_  X )
)
125, 11mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  -> 
( X  \  x
)  e.  ~P X
)
1312snssd 4011 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  ->  { ( X  \  x ) }  C_  ~P X )
144, 13unssd 3525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  -> 
( F  u.  {
( X  \  x
) } )  C_  ~P X )
15 ssun1 3512 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F  C_  ( F  u.  { ( X  \  x ) } )
16 filn0 19404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  =/=  (/) )
17 ssn0 3663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  C_  ( F  u.  { ( X  \  x ) } )  /\  F  =/=  (/) )  -> 
( F  u.  {
( X  \  x
) } )  =/=  (/) )
1815, 16, 17sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( F  u.  { ( X  \  x ) } )  =/=  (/) )
19183ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  -> 
( F  u.  {
( X  \  x
) } )  =/=  (/) )
20 elsni 3895 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  { ( X 
\  x ) }  ->  z  =  ( X  \  x ) )
21 filelss 19394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  y  e.  F )  ->  y  C_  X )
22213adant3 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  y  e.  F  /\  x  C_  X )  ->  y  C_  X )
23 reldisj 3715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y 
C_  X  ->  (
( y  i^i  ( X  \  x ) )  =  (/)  <->  y  C_  ( X  \  ( X  \  x ) ) ) )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  y  e.  F  /\  x  C_  X )  ->  (
( y  i^i  ( X  \  x ) )  =  (/)  <->  y  C_  ( X  \  ( X  \  x ) ) ) )
25 dfss4 3577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x 
C_  X  <->  ( X  \  ( X  \  x
) )  =  x )
2625biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x 
C_  X  ->  ( X  \  ( X  \  x ) )  =  x )
2726sseq2d 3377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x 
C_  X  ->  (
y  C_  ( X  \  ( X  \  x
) )  <->  y  C_  x ) )
28273ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  y  e.  F  /\  x  C_  X )  ->  (
y  C_  ( X  \  ( X  \  x
) )  <->  y  C_  x ) )
2924, 28bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  y  e.  F  /\  x  C_  X )  ->  (
( y  i^i  ( X  \  x ) )  =  (/)  <->  y  C_  x
) )
30 filss 19395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
y  e.  F  /\  x  C_  X  /\  y  C_  x ) )  ->  x  e.  F )
31303exp2 1205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( y  e.  F  ->  ( x 
C_  X  ->  (
y  C_  x  ->  x  e.  F ) ) ) )
32313imp 1181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  y  e.  F  /\  x  C_  X )  ->  (
y  C_  x  ->  x  e.  F ) )
3329, 32sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  y  e.  F  /\  x  C_  X )  ->  (
( y  i^i  ( X  \  x ) )  =  (/)  ->  x  e.  F ) )
3433necon3bd 2639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  y  e.  F  /\  x  C_  X )  ->  ( -.  x  e.  F  ->  ( y  i^i  ( X  \  x ) )  =/=  (/) ) )
35343exp 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( y  e.  F  ->  ( x 
C_  X  ->  ( -.  x  e.  F  ->  ( y  i^i  ( X  \  x ) )  =/=  (/) ) ) ) )
3635com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( -.  x  e.  F  ->  ( x  C_  X  ->  ( y  e.  F  -> 
( y  i^i  ( X  \  x ) )  =/=  (/) ) ) ) )
37363imp1 1200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  /\  y  e.  F )  ->  (
y  i^i  ( X  \  x ) )  =/=  (/) )
38 ineq2 3539 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( X  \  x )  ->  (
y  i^i  z )  =  ( y  i^i  ( X  \  x
) ) )
3938neeq1d 2615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( X  \  x )  ->  (
( y  i^i  z
)  =/=  (/)  <->  ( y  i^i  ( X  \  x
) )  =/=  (/) ) )
4037, 39syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  /\  y  e.  F )  ->  (
z  =  ( X 
\  x )  -> 
( y  i^i  z
)  =/=  (/) ) )
4140expimpd 603 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  -> 
( ( y  e.  F  /\  z  =  ( X  \  x
) )  ->  (
y  i^i  z )  =/=  (/) ) )
4220, 41sylan2i 655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  -> 
( ( y  e.  F  /\  z  e. 
{ ( X  \  x ) } )  ->  ( y  i^i  z )  =/=  (/) ) )
4342ralrimivv 2801 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  ->  A. y  e.  F  A. z  e.  { ( X  \  x ) }  ( y  i^i  z )  =/=  (/) )
44 filfbas 19390 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  ( fBas `  X )
)
45443ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  ->  F  e.  ( fBas `  X ) )
465a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  -> 
( X  \  x
)  C_  X )
47263ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X  /\  ( X 
\  x )  =  (/) )  ->  ( X 
\  ( X  \  x ) )  =  x )
48 difeq2 3461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( X  \  x )  =  (/)  ->  ( X 
\  ( X  \  x ) )  =  ( X  \  (/) ) )
49 dif0 3742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( X 
\  (/) )  =  X
5048, 49syl6eq 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( X  \  x )  =  (/)  ->  ( X 
\  ( X  \  x ) )  =  X )
51503ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X  /\  ( X 
\  x )  =  (/) )  ->  ( X 
\  ( X  \  x ) )  =  X )
5247, 51eqtr3d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X  /\  ( X 
\  x )  =  (/) )  ->  x  =  X )
5363ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X  /\  ( X 
\  x )  =  (/) )  ->  X  e.  F )
5452, 53eqeltrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X  /\  ( X 
\  x )  =  (/) )  ->  x  e.  F )
55543expia 1189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  (
( X  \  x
)  =  (/)  ->  x  e.  F ) )
5655necon3bd 2639 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  ( -.  x  e.  F  ->  ( X  \  x
)  =/=  (/) ) )
5756ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( x  C_  X  ->  ( -.  x  e.  F  ->  ( X  \  x )  =/=  (/) ) ) )
5857com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( -.  x  e.  F  ->  ( x  C_  X  ->  ( X  \  x )  =/=  (/) ) ) )
59583imp 1181 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  -> 
( X  \  x
)  =/=  (/) )
6063ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  ->  X  e.  F )
61 snfbas 19408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  \  x
)  C_  X  /\  ( X  \  x
)  =/=  (/)  /\  X  e.  F )  ->  { ( X  \  x ) }  e.  ( fBas `  X ) )
6246, 59, 60, 61syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  ->  { ( X  \  x ) }  e.  ( fBas `  X )
)
63 fbunfip 19411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  {
( X  \  x
) }  e.  (
fBas `  X )
)  ->  ( -.  (/) 
e.  ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) )  <->  A. y  e.  F  A. z  e.  { ( X  \  x ) }  (
y  i^i  z )  =/=  (/) ) )
6445, 62, 63syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  -> 
( -.  (/)  e.  ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) )  <->  A. y  e.  F  A. z  e.  { ( X  \  x ) }  (
y  i^i  z )  =/=  (/) ) )
6543, 64mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  ->  -.  (/)  e.  ( fi
`  ( F  u.  { ( X  \  x
) } ) ) )
66 fsubbas 19409 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  F  ->  (
( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) )  e.  (
fBas `  X )  <->  ( ( F  u.  {
( X  \  x
) } )  C_  ~P X  /\  ( F  u.  { ( X  \  x ) } )  =/=  (/)  /\  -.  (/) 
e.  ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) ) ) )
676, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x
) } ) )  e.  ( fBas `  X
)  <->  ( ( F  u.  { ( X 
\  x ) } )  C_  ~P X  /\  ( F  u.  {
( X  \  x
) } )  =/=  (/)  /\  -.  (/)  e.  ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) ) ) ) )
68673ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  -> 
( ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) )  e.  ( fBas `  X
)  <->  ( ( F  u.  { ( X 
\  x ) } )  C_  ~P X  /\  ( F  u.  {
( X  \  x
) } )  =/=  (/)  /\  -.  (/)  e.  ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) ) ) ) )
6914, 19, 65, 68mpbir3and 1171 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  -> 
( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) )  e.  (
fBas `  X )
)
70 fgcl 19420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) )  e.  (
fBas `  X )  ->  ( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { ( X  \  x
) } ) ) )  e.  ( Fil `  X ) )
7169, 70syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  -> 
( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { ( X  \  x
) } ) ) )  e.  ( Fil `  X ) )
72 filssufil 19454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) )  e.  ( Fil `  X
)  ->  E. f  e.  ( UFil `  X
) ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) ) )  C_  f )
73 snex 4526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  { ( X  \  x ) }  e.  _V
74 unexg 6376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  {
( X  \  x
) }  e.  _V )  ->  ( F  u.  { ( X  \  x
) } )  e. 
_V )
7573, 74mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( F  u.  { ( X  \  x ) } )  e.  _V )
76 ssfii 7661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F  u.  { ( X  \  x ) } )  e.  _V  ->  ( F  u.  {
( X  \  x
) } )  C_  ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) ) )
7775, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) 
C_  ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) )
78773ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  -> 
( F  u.  {
( X  \  x
) } )  C_  ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) ) )
7978unssad 3526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  ->  F  C_  ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) )
80 ssfg 19414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) )  e.  (
fBas `  X )  ->  ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) )  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) ) )
8169, 80syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  -> 
( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) )  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) ) )
8279, 81sstrd 3359 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  ->  F  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) ) ) )
8382ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  /\  f  e.  ( UFil `  X
) )  /\  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) ) 
C_  f )  ->  F  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) ) ) )
84 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  /\  f  e.  ( UFil `  X
) )  /\  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) ) 
C_  f )  -> 
( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { ( X  \  x
) } ) ) )  C_  f )
8583, 84sstrd 3359 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  /\  f  e.  ( UFil `  X
) )  /\  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) ) 
C_  f )  ->  F  C_  f )
86 ufilfil 19446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  e.  ( UFil `  X
)  ->  f  e.  ( Fil `  X ) )
87 0nelfil 19391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  e.  ( Fil `  X
)  ->  -.  (/)  e.  f )
8886, 87syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  ( UFil `  X
)  ->  -.  (/)  e.  f )
8988ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  /\  f  e.  ( UFil `  X
) )  /\  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) ) 
C_  f )  ->  -.  (/)  e.  f )
90 disjdif 3744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  i^i  ( X  \  x ) )  =  (/)
9186ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  /\  f  e.  ( UFil `  X
) )  /\  (
( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { ( X  \  x
) } ) ) )  C_  f  /\  x  e.  f )
)  ->  f  e.  ( Fil `  X ) )
92 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  /\  f  e.  ( UFil `  X
) )  /\  (
( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { ( X  \  x
) } ) ) )  C_  f  /\  x  e.  f )
)  ->  x  e.  f )
9377unssbd 3527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  { ( X  \  x ) } 
C_  ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) )
94933ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  ->  { ( X  \  x ) }  C_  ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) ) )
9594adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  /\  f  e.  ( UFil `  X
) )  ->  { ( X  \  x ) }  C_  ( fi `  ( F  u.  {
( X  \  x
) } ) ) )
9669adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  /\  f  e.  ( UFil `  X
) )  ->  ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x
) } ) )  e.  ( fBas `  X
) )
9796, 80syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  /\  f  e.  ( UFil `  X
) )  ->  ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x
) } ) ) 
C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) ) ) )
9895, 97sstrd 3359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  /\  f  e.  ( UFil `  X
) )  ->  { ( X  \  x ) }  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) ) )
9998adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  /\  f  e.  ( UFil `  X
) )  /\  (
( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { ( X  \  x
) } ) ) )  C_  f  /\  x  e.  f )
)  ->  { ( X  \  x ) } 
C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) ) ) )
100 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  /\  f  e.  ( UFil `  X
) )  /\  (
( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { ( X  \  x
) } ) ) )  C_  f  /\  x  e.  f )
)  ->  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) )  C_  f )
10199, 100sstrd 3359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  /\  f  e.  ( UFil `  X
) )  /\  (
( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { ( X  \  x
) } ) ) )  C_  f  /\  x  e.  f )
)  ->  { ( X  \  x ) } 
C_  f )
102 snidg 3896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( X  \  x )  e.  _V  ->  ( X  \  x )  e. 
{ ( X  \  x ) } )
1038, 102syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( X  \  x )  e.  {
( X  \  x
) } )
1041033ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  -> 
( X  \  x
)  e.  { ( X  \  x ) } )
105104ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  /\  f  e.  ( UFil `  X
) )  /\  (
( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { ( X  \  x
) } ) ) )  C_  f  /\  x  e.  f )
)  ->  ( X  \  x )  e.  {
( X  \  x
) } )
106101, 105sseldd 3350 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  /\  f  e.  ( UFil `  X
) )  /\  (
( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { ( X  \  x
) } ) ) )  C_  f  /\  x  e.  f )
)  ->  ( X  \  x )  e.  f )
107 filin 19396 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f  e.  ( Fil `  X )  /\  x  e.  f  /\  ( X  \  x )  e.  f )  ->  (
x  i^i  ( X  \  x ) )  e.  f )
10891, 92, 106, 107syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  /\  f  e.  ( UFil `  X
) )  /\  (
( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { ( X  \  x
) } ) ) )  C_  f  /\  x  e.  f )
)  ->  ( x  i^i  ( X  \  x
) )  e.  f )
10990, 108syl5eqelr 2522 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  /\  f  e.  ( UFil `  X
) )  /\  (
( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { ( X  \  x
) } ) ) )  C_  f  /\  x  e.  f )
)  ->  (/)  e.  f )
110109expr 615 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  /\  f  e.  ( UFil `  X
) )  /\  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) ) 
C_  f )  -> 
( x  e.  f  ->  (/)  e.  f ) )
11189, 110mtod 177 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  /\  f  e.  ( UFil `  X
) )  /\  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) ) 
C_  f )  ->  -.  x  e.  f
)
11285, 111jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  /\  f  e.  ( UFil `  X
) )  /\  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) ) 
C_  f )  -> 
( F  C_  f  /\  -.  x  e.  f ) )
113112exp31 604 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  -> 
( f  e.  (
UFil `  X )  ->  ( ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) ) )  C_  f  ->  ( F  C_  f  /\  -.  x  e.  f ) ) ) )
114113reximdvai 2820 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  -> 
( E. f  e.  ( UFil `  X
) ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) ) )  C_  f  ->  E. f  e.  (
UFil `  X )
( F  C_  f  /\  -.  x  e.  f ) ) )
11572, 114syl5 32 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  -> 
( ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) ) )  e.  ( Fil `  X
)  ->  E. f  e.  ( UFil `  X
) ( F  C_  f  /\  -.  x  e.  f ) ) )
11671, 115mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F  /\  x  C_  X )  ->  E. f  e.  ( UFil `  X ) ( F  C_  f  /\  -.  x  e.  f
) )
1171163expia 1189 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F )  ->  ( x  C_  X  ->  E. f  e.  (
UFil `  X )
( F  C_  f  /\  -.  x  e.  f ) ) )
118 filssufil 19454 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  E. f  e.  ( UFil `  X
) F  C_  f
)
119 filelss 19394 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f  e.  ( Fil `  X )  /\  x  e.  f )  ->  x  C_  X )
120119ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( x  e.  f  ->  x  C_  X ) )
12186, 120syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( x  e.  f  ->  x  C_  X ) )
122121con3d 133 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( -.  x  C_  X  ->  -.  x  e.  f )
)
123122impcom 430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  x  C_  X  /\  f  e.  ( UFil `  X ) )  ->  -.  x  e.  f )
124123a1d 25 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  x  C_  X  /\  f  e.  ( UFil `  X ) )  ->  ( F  C_  f  ->  -.  x  e.  f ) )
125124ancld 553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  x  C_  X  /\  f  e.  ( UFil `  X ) )  ->  ( F  C_  f  ->  ( F  C_  f  /\  -.  x  e.  f ) ) )
126125reximdva 2822 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  C_  X  ->  ( E. f  e.  (
UFil `  X ) F  C_  f  ->  E. f  e.  ( UFil `  X
) ( F  C_  f  /\  -.  x  e.  f ) ) )
127118, 126syl5com 30 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( -.  x  C_  X  ->  E. f  e.  ( UFil `  X
) ( F  C_  f  /\  -.  x  e.  f ) ) )
128127adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F )  ->  ( -.  x  C_  X  ->  E. f  e.  (
UFil `  X )
( F  C_  f  /\  -.  x  e.  f ) ) )
129117, 128pm2.61d 158 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  -.  x  e.  F )  ->  E. f  e.  (
UFil `  X )
( F  C_  f  /\  -.  x  e.  f ) )
130129ex 434 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( -.  x  e.  F  ->  E. f  e.  ( UFil `  X ) ( F 
C_  f  /\  -.  x  e.  f )
) )
131 rexanali 2755 . . . . . 6  |-  ( E. f  e.  ( UFil `  X ) ( F 
C_  f  /\  -.  x  e.  f )  <->  -. 
A. f  e.  (
UFil `  X )
( F  C_  f  ->  x  e.  f ) )
132130, 131syl6ib 226 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( -.  x  e.  F  ->  -. 
A. f  e.  (
UFil `  X )
( F  C_  f  ->  x  e.  f ) ) )
133132con4d 105 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( A. f  e.  ( UFil `  X ) ( F 
C_  f  ->  x  e.  f )  ->  x  e.  F ) )
1342, 133syl5bi 217 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( x  e.  |^| { f  e.  ( UFil `  X
)  |  F  C_  f }  ->  x  e.  F ) )
135134ssrdv 3355 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  |^| { f  e.  ( UFil `  X
)  |  F  C_  f }  C_  F )
136 ssintub 4139 . . 3  |-  F  C_  |^|
{ f  e.  (
UFil `  X )  |  F  C_  f }
137136a1i 11 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  C_  |^| { f  e.  ( UFil `  X
)  |  F  C_  f } )
138135, 137eqssd 3366 1  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  |^| { f  e.  ( UFil `  X
)  |  F  C_  f }  =  F
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2600   A.wral 2709   E.wrex 2710   {crab 2713   _Vcvv 2966    \ cdif 3318    u. cun 3319    i^i cin 3320    C_ wss 3321   (/)c0 3630   ~Pcpw 3853   {csn 3870   |^|cint 4121   ` cfv 5411  (class class class)co 6086   ficfi 7652   fBascfbas 17773   filGencfg 17774   Filcfil 19387   UFilcufil 19441
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2418  ax-rep 4396  ax-sep 4406  ax-nul 4414  ax-pow 4463  ax-pr 4524  ax-un 6367  ax-ac2 8624
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rmo 2717  df-rab 2718  df-v 2968  df-sbc 3180  df-csb 3282  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3631  df-if 3785  df-pw 3855  df-sn 3871  df-pr 3873  df-tp 3875  df-op 3877  df-uni 4085  df-int 4122  df-iun 4166  df-br 4286  df-opab 4344  df-mpt 4345  df-tr 4379  df-eprel 4624  df-id 4628  df-po 4633  df-so 4634  df-fr 4671  df-se 4672  df-we 4673  df-ord 4714  df-on 4715  df-lim 4716  df-suc 4717  df-xp 4838  df-rel 4839  df-cnv 4840  df-co 4841  df-dm 4842  df-rn 4843  df-res 4844  df-ima 4845  df-iota 5374  df-fun 5413  df-fn 5414  df-f 5415  df-f1 5416  df-fo 5417  df-f1o 5418  df-fv 5419  df-isom 5420  df-riota 6045  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-rpss 6355  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-fin 7306  df-fi 7653  df-card 8101  df-ac 8278  df-cda 8329  df-fbas 17783  df-fg 17784  df-fil 19388  df-ufil 19443
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