MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  filtop Structured version   Unicode version

Theorem filtop 19544
Description: The underlying set belongs to the filter. (Contributed by FL, 20-Jul-2007.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
filtop  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  F )

Proof of Theorem filtop
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 filfbas 19537 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  ( fBas `  X )
)
2 fbasne0 19519 . . 3  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  F  =/=  (/) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  =/=  (/) )
4 n0 3744 . . 3  |-  ( F  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  F )
5 filelss 19541 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  e.  F )  ->  x  C_  X )
6 ssid 3473 . . . . . . 7  |-  X  C_  X
7 filss 19542 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
x  e.  F  /\  X  C_  X  /\  x  C_  X ) )  ->  X  e.  F )
873exp2 1206 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( x  e.  F  ->  ( X 
C_  X  ->  (
x  C_  X  ->  X  e.  F ) ) ) )
98imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  e.  F )  ->  ( X  C_  X  ->  (
x  C_  X  ->  X  e.  F ) ) )
106, 9mpi 17 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  e.  F )  ->  (
x  C_  X  ->  X  e.  F ) )
115, 10mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  e.  F )  ->  X  e.  F )
1211ex 434 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( x  e.  F  ->  X  e.  F ) )
1312exlimdv 1691 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( E. x  x  e.  F  ->  X  e.  F ) )
144, 13syl5bi 217 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( F  =/=  (/)  ->  X  e.  F ) )
153, 14mpd 15 1  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369   E.wex 1587    e. wcel 1758    =/= wne 2644    C_ wss 3426   (/)c0 3735   ` cfv 5516   fBascfbas 17913   Filcfil 19534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-id 4734  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fv 5524  df-fbas 17923  df-fil 19535
This theorem is referenced by:  isfil2  19545  filn0  19551  infil  19552  filunibas  19570  filuni  19574  trfil1  19575  trfil2  19576  fgtr  19579  trfg  19580  isufil2  19597  filssufil  19601  ssufl  19607  ufileu  19608  filufint  19609  uffixfr  19612  cfinufil  19617  rnelfmlem  19641  rnelfm  19642  fmfnfmlem1  19643  fmfnfmlem2  19644  fmfnfmlem4  19646  fmfnfm  19647  flfval  19679  fclsfnflim  19716  flimfnfcls  19717  fcfval  19722  alexsublem  19732  metustOLD  20258  metust  20259  cmetss  20941  minveclem4a  21033  filnetlem3  28739  filnetlem4  28740
  Copyright terms: Public domain W3C validator