MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  filtop Structured version   Unicode version

Theorem filtop 20088
Description: The underlying set belongs to the filter. (Contributed by FL, 20-Jul-2007.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
filtop  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  F )

Proof of Theorem filtop
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 filfbas 20081 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  ( fBas `  X )
)
2 fbasne0 20063 . . 3  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  F  =/=  (/) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  =/=  (/) )
4 n0 3794 . . 3  |-  ( F  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  F )
5 filelss 20085 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  e.  F )  ->  x  C_  X )
6 ssid 3523 . . . . . . 7  |-  X  C_  X
7 filss 20086 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
x  e.  F  /\  X  C_  X  /\  x  C_  X ) )  ->  X  e.  F )
873exp2 1214 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( x  e.  F  ->  ( X 
C_  X  ->  (
x  C_  X  ->  X  e.  F ) ) ) )
98imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  e.  F )  ->  ( X  C_  X  ->  (
x  C_  X  ->  X  e.  F ) ) )
106, 9mpi 17 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  e.  F )  ->  (
x  C_  X  ->  X  e.  F ) )
115, 10mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  e.  F )  ->  X  e.  F )
1211ex 434 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( x  e.  F  ->  X  e.  F ) )
1312exlimdv 1700 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( E. x  x  e.  F  ->  X  e.  F ) )
144, 13syl5bi 217 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( F  =/=  (/)  ->  X  e.  F ) )
153, 14mpd 15 1  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ` cfv 5586   fBascfbas 18174   Filcfil 20078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fv 5594  df-fbas 18184  df-fil 20079
This theorem is referenced by:  isfil2  20089  filn0  20095  infil  20096  filunibas  20114  filuni  20118  trfil1  20119  trfil2  20120  fgtr  20123  trfg  20124  isufil2  20141  filssufil  20145  ssufl  20151  ufileu  20152  filufint  20153  uffixfr  20156  cfinufil  20161  rnelfmlem  20185  rnelfm  20186  fmfnfmlem1  20187  fmfnfmlem2  20188  fmfnfmlem4  20190  fmfnfm  20191  flfval  20223  fclsfnflim  20260  flimfnfcls  20261  fcfval  20266  alexsublem  20276  metustOLD  20802  metust  20803  cmetss  21485  minveclem4a  21577  filnetlem3  29799  filnetlem4  29800
  Copyright terms: Public domain W3C validator