MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  filtop Structured version   Unicode version

Theorem filtop 19387
Description: The underlying set belongs to the filter. (Contributed by FL, 20-Jul-2007.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
filtop  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  F )

Proof of Theorem filtop
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 filfbas 19380 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  ( fBas `  X )
)
2 fbasne0 19362 . . 3  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  F  =/=  (/) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  =/=  (/) )
4 n0 3643 . . 3  |-  ( F  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  F )
5 filelss 19384 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  e.  F )  ->  x  C_  X )
6 ssid 3372 . . . . . . 7  |-  X  C_  X
7 filss 19385 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
x  e.  F  /\  X  C_  X  /\  x  C_  X ) )  ->  X  e.  F )
873exp2 1200 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( x  e.  F  ->  ( X 
C_  X  ->  (
x  C_  X  ->  X  e.  F ) ) ) )
98imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  e.  F )  ->  ( X  C_  X  ->  (
x  C_  X  ->  X  e.  F ) ) )
106, 9mpi 17 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  e.  F )  ->  (
x  C_  X  ->  X  e.  F ) )
115, 10mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  e.  F )  ->  X  e.  F )
1211ex 434 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( x  e.  F  ->  X  e.  F ) )
1312exlimdv 1695 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( E. x  x  e.  F  ->  X  e.  F ) )
144, 13syl5bi 217 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( F  =/=  (/)  ->  X  e.  F ) )
153, 14mpd 15 1  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369   E.wex 1591    e. wcel 1761    =/= wne 2604    C_ wss 3325   (/)c0 3634   ` cfv 5415   fBascfbas 17763   Filcfil 19377
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fv 5423  df-fbas 17773  df-fil 19378
This theorem is referenced by:  isfil2  19388  filn0  19394  infil  19395  filunibas  19413  filuni  19417  trfil1  19418  trfil2  19419  fgtr  19422  trfg  19423  isufil2  19440  filssufil  19444  ssufl  19450  ufileu  19451  filufint  19452  uffixfr  19455  cfinufil  19460  rnelfmlem  19484  rnelfm  19485  fmfnfmlem1  19486  fmfnfmlem2  19487  fmfnfmlem4  19489  fmfnfm  19490  flfval  19522  fclsfnflim  19559  flimfnfcls  19560  fcfval  19565  alexsublem  19575  metustOLD  20101  metust  20102  cmetss  20784  minveclem4a  20876  filnetlem3  28526  filnetlem4  28527
  Copyright terms: Public domain W3C validator