MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  filtop Structured version   Unicode version

Theorem filtop 20646
Description: The underlying set belongs to the filter. (Contributed by FL, 20-Jul-2007.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
filtop  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  F )

Proof of Theorem filtop
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 filfbas 20639 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  ( fBas `  X )
)
2 fbasne0 20621 . . 3  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  F  =/=  (/) )
31, 2syl 17 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  =/=  (/) )
4 n0 3747 . . 3  |-  ( F  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  F )
5 filelss 20643 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  e.  F )  ->  x  C_  X )
6 ssid 3460 . . . . . . 7  |-  X  C_  X
7 filss 20644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
x  e.  F  /\  X  C_  X  /\  x  C_  X ) )  ->  X  e.  F )
873exp2 1215 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( x  e.  F  ->  ( X 
C_  X  ->  (
x  C_  X  ->  X  e.  F ) ) ) )
98imp 427 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  e.  F )  ->  ( X  C_  X  ->  (
x  C_  X  ->  X  e.  F ) ) )
106, 9mpi 18 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  e.  F )  ->  (
x  C_  X  ->  X  e.  F ) )
115, 10mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  e.  F )  ->  X  e.  F )
1211ex 432 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( x  e.  F  ->  X  e.  F ) )
1312exlimdv 1745 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( E. x  x  e.  F  ->  X  e.  F ) )
144, 13syl5bi 217 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( F  =/=  (/)  ->  X  e.  F ) )
153, 14mpd 15 1  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367   E.wex 1633    e. wcel 1842    =/= wne 2598    C_ wss 3413   (/)c0 3737   ` cfv 5568   fBascfbas 18724   Filcfil 20636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fv 5576  df-fbas 18734  df-fil 20637
This theorem is referenced by:  isfil2  20647  filn0  20653  infil  20654  filunibas  20672  filuni  20676  trfil1  20677  trfil2  20678  fgtr  20681  trfg  20682  isufil2  20699  filssufil  20703  ssufl  20709  ufileu  20710  filufint  20711  uffixfr  20714  cfinufil  20719  rnelfmlem  20743  rnelfm  20744  fmfnfmlem1  20745  fmfnfmlem2  20746  fmfnfmlem4  20748  fmfnfm  20749  flfval  20781  fclsfnflim  20818  flimfnfcls  20819  fcfval  20824  alexsublem  20834  metustOLD  21360  metust  21361  cmetss  22043  minveclem4a  22135  filnetlem3  30595  filnetlem4  30596
  Copyright terms: Public domain W3C validator