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Theorem filssufilg 19459
Description: A filter is contained in some ultrafilter. This version of filssufil 19460 contains the choice as a hypothesis (in the assumption that  ~P ~P X is well-orderable). (Contributed by Mario Carneiro, 24-May-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
filssufilg  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ~P ~P X  e.  dom  card )  ->  E. f  e.  ( UFil `  X
) F  C_  f
)
Distinct variable groups:    f, F    f, X

Proof of Theorem filssufilg
Dummy variables  g  h  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ~P ~P X  e.  dom  card )  ->  ~P ~P X  e.  dom  card )
2 rabss 3424 . . . . 5  |-  ( { g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g }  C_  ~P ~P X  <->  A. g  e.  ( Fil `  X ) ( F  C_  g  ->  g  e.  ~P ~P X ) )
3 filsspw 19399 . . . . . . 7  |-  ( g  e.  ( Fil `  X
)  ->  g  C_  ~P X )
4 selpw 3862 . . . . . . 7  |-  ( g  e.  ~P ~P X  <->  g 
C_  ~P X )
53, 4sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( g  e.  ( Fil `  X
)  ->  g  e.  ~P ~P X )
65a1d 25 . . . . 5  |-  ( g  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( F  C_  g  ->  g  e.  ~P ~P X ) )
72, 6mprgbir 2781 . . . 4  |-  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  C_  ~P ~P X
8 ssnum 8201 . . . 4  |-  ( ( ~P ~P X  e. 
dom  card  /\  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  C_  ~P ~P X )  ->  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  e.  dom  card )
91, 7, 8sylancl 662 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ~P ~P X  e.  dom  card )  ->  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  e.  dom  card )
10 ssid 3370 . . . . . . 7  |-  F  C_  F
1110jctr 542 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  F  C_  F
) )
12 sseq2 3373 . . . . . . 7  |-  ( g  =  F  ->  ( F  C_  g  <->  F  C_  F
) )
1312elrab 3112 . . . . . 6  |-  ( F  e.  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  <->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  F  C_  F
) )
1411, 13sylibr 212 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  { g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g } )
15 ne0i 3638 . . . . 5  |-  ( F  e.  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  ->  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  =/=  (/) )
1614, 15syl 16 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  =/=  (/) )
1716adantr 465 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ~P ~P X  e.  dom  card )  ->  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  =/=  (/) )
18 simpr1 994 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) )  ->  x  C_ 
{ g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g } )
19 ssrab 3425 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  <->  ( x  C_  ( Fil `  X )  /\  A. g  e.  x  F  C_  g
) )
2018, 19sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) )  ->  (
x  C_  ( Fil `  X )  /\  A. g  e.  x  F  C_  g ) )
2120simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) )  ->  x  C_  ( Fil `  X
) )
22 simpr2 995 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) )  ->  x  =/=  (/) )
23 simpr3 996 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) )  -> [ C.]  Or  x )
24 sorpssun 6362 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( [
C.]  Or  x  /\  ( g  e.  x  /\  h  e.  x
) )  ->  (
g  u.  h )  e.  x )
2524ralrimivva 2803 . . . . . . . . 9  |-  ( [ C.]  Or  x  ->  A. g  e.  x  A. h  e.  x  ( g  u.  h )  e.  x
)
2623, 25syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) )  ->  A. g  e.  x  A. h  e.  x  ( g  u.  h )  e.  x
)
27 filuni 19433 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  ( Fil `  X )  /\  x  =/=  (/)  /\  A. g  e.  x  A. h  e.  x  ( g  u.  h )  e.  x
)  ->  U. x  e.  ( Fil `  X
) )
2821, 22, 26, 27syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) )  ->  U. x  e.  ( Fil `  X
) )
29 n0 3641 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =/=  (/)  <->  E. h  h  e.  x )
30 ssel2 3346 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  h  e.  x )  ->  h  e.  { g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g } )
31 sseq2 3373 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  h  ->  ( F  C_  g  <->  F  C_  h
) )
3231elrab 3112 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  e.  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  <->  ( h  e.  ( Fil `  X
)  /\  F  C_  h
) )
3330, 32sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  h  e.  x )  ->  (
h  e.  ( Fil `  X )  /\  F  C_  h ) )
3433simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  h  e.  x )  ->  F  C_  h )
35 ssuni 4108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  C_  h  /\  h  e.  x )  ->  F  C_  U. x
)
3634, 35sylancom 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  h  e.  x )  ->  F  C_ 
U. x )
3736ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  ->  ( h  e.  x  ->  F  C_ 
U. x ) )
3837exlimdv 1690 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  ->  ( E. h  h  e.  x  ->  F  C_  U. x
) )
3929, 38syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( x 
C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  ->  ( x  =/=  (/)  ->  F  C_  U. x
) )
4018, 22, 39sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) )  ->  F  C_ 
U. x )
41 sseq2 3373 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  U. x  -> 
( F  C_  g  <->  F 
C_  U. x ) )
4241elrab 3112 . . . . . . 7  |-  ( U. x  e.  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  <->  ( U. x  e.  ( Fil `  X
)  /\  F  C_  U. x
) )
4328, 40, 42sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) )  ->  U. x  e.  { g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g } )
4443ex 434 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( (
x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
)  ->  U. x  e.  { g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g } ) )
4544alrimiv 1685 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  A. x
( ( x  C_  { g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g }  /\  x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
)  ->  U. x  e.  { g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g } ) )
4645adantr 465 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ~P ~P X  e.  dom  card )  ->  A. x
( ( x  C_  { g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g }  /\  x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
)  ->  U. x  e.  { g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g } ) )
47 zornn0g 8666 . . 3  |-  ( ( { g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g }  e.  dom  card  /\  {
g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g }  =/=  (/)  /\  A. x ( ( x 
C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
)  ->  U. x  e.  { g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g } ) )  ->  E. f  e.  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g } A. h  e. 
{ g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g }  -.  f  C.  h
)
489, 17, 46, 47syl3anc 1218 . 2  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ~P ~P X  e.  dom  card )  ->  E. f  e.  { g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g } A. h  e.  {
g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g }  -.  f  C.  h )
49 sseq2 3373 . . . . 5  |-  ( g  =  f  ->  ( F  C_  g  <->  F  C_  f
) )
5049elrab 3112 . . . 4  |-  ( f  e.  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  <->  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  F  C_  f
) )
5131ralrab 3116 . . . 4  |-  ( A. h  e.  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  -.  f  C.  h  <->  A. h  e.  ( Fil `  X ) ( F  C_  h  ->  -.  f  C.  h
) )
52 simpll 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( f  e.  ( Fil `  X )  /\  F  C_  f
)  /\  A. h  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  h  ->  -.  f  C.  h
) )  ->  f  e.  ( Fil `  X
) )
53 sstr2 3358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F 
C_  f  ->  (
f  C_  h  ->  F 
C_  h ) )
5453imim1d 75 . . . . . . . . . 10  |-  ( F 
C_  f  ->  (
( F  C_  h  ->  -.  f  C.  h
)  ->  ( f  C_  h  ->  -.  f  C.  h ) ) )
55 df-pss 3339 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f 
C.  h  <->  ( f  C_  h  /\  f  =/=  h ) )
5655simplbi2 625 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f 
C_  h  ->  (
f  =/=  h  -> 
f  C.  h )
)
5756necon1bd 2674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f 
C_  h  ->  ( -.  f  C.  h  -> 
f  =  h ) )
5857a2i 13 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  C_  h  ->  -.  f  C.  h )  ->  ( f  C_  h  ->  f  =  h ) )
5954, 58syl6 33 . . . . . . . . 9  |-  ( F 
C_  f  ->  (
( F  C_  h  ->  -.  f  C.  h
)  ->  ( f  C_  h  ->  f  =  h ) ) )
6059ralimdv 2790 . . . . . . . 8  |-  ( F 
C_  f  ->  ( A. h  e.  ( Fil `  X ) ( F  C_  h  ->  -.  f  C.  h )  ->  A. h  e.  ( Fil `  X ) ( f  C_  h  ->  f  =  h ) ) )
6160imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( F  C_  f  /\  A. h  e.  ( Fil `  X ) ( F 
C_  h  ->  -.  f  C.  h ) )  ->  A. h  e.  ( Fil `  X ) ( f  C_  h  ->  f  =  h ) )
6261adantll 713 . . . . . 6  |-  ( ( ( f  e.  ( Fil `  X )  /\  F  C_  f
)  /\  A. h  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  h  ->  -.  f  C.  h
) )  ->  A. h  e.  ( Fil `  X
) ( f  C_  h  ->  f  =  h ) )
63 isufil2 19456 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( UFil `  X
)  <->  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. h  e.  ( Fil `  X
) ( f  C_  h  ->  f  =  h ) ) )
6452, 62, 63sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( ( ( f  e.  ( Fil `  X )  /\  F  C_  f
)  /\  A. h  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  h  ->  -.  f  C.  h
) )  ->  f  e.  ( UFil `  X
) )
65 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( ( f  e.  ( Fil `  X )  /\  F  C_  f
)  /\  A. h  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  h  ->  -.  f  C.  h
) )  ->  F  C_  f )
6664, 65jca 532 . . . 4  |-  ( ( ( f  e.  ( Fil `  X )  /\  F  C_  f
)  /\  A. h  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  h  ->  -.  f  C.  h
) )  ->  (
f  e.  ( UFil `  X )  /\  F  C_  f ) )
6750, 51, 66syl2anb 479 . . 3  |-  ( ( f  e.  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  A. h  e.  { g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g }  -.  f  C.  h
)  ->  ( f  e.  ( UFil `  X
)  /\  F  C_  f
) )
6867reximi2 2817 . 2  |-  ( E. f  e.  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g } A. h  e. 
{ g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g }  -.  f  C.  h  ->  E. f  e.  (
UFil `  X ) F  C_  f )
6948, 68syl 16 1  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ~P ~P X  e.  dom  card )  ->  E. f  e.  ( UFil `  X
) F  C_  f
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965   A.wal 1367   E.wex 1586    e. wcel 1756    =/= wne 2601   A.wral 2710   E.wrex 2711   {crab 2714    u. cun 3321    C_ wss 3323    C. wpss 3324   (/)c0 3632   ~Pcpw 3855   U.cuni 4086    Or wor 4635   dom cdm 4835   ` cfv 5413   [ C.] crpss 6354   cardccrd 8097   Filcfil 19393   UFilcufil 19447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-rpss 6355  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-fin 7306  df-fi 7653  df-card 8101  df-cda 8329  df-fbas 17789  df-fg 17790  df-fil 19394  df-ufil 19449
This theorem is referenced by:  filssufil  19460  numufl  19463
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