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Theorem filssufilg 20857
Description: A filter is contained in some ultrafilter. This version of filssufil 20858 contains the choice as a hypothesis (in the assumption that  ~P ~P X is well-orderable). (Contributed by Mario Carneiro, 24-May-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
filssufilg  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ~P ~P X  e.  dom  card )  ->  E. f  e.  ( UFil `  X
) F  C_  f
)
Distinct variable groups:    f, F    f, X

Proof of Theorem filssufilg
Dummy variables  g  h  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 462 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ~P ~P X  e.  dom  card )  ->  ~P ~P X  e.  dom  card )
2 rabss 3544 . . . . 5  |-  ( { g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g }  C_  ~P ~P X  <->  A. g  e.  ( Fil `  X ) ( F  C_  g  ->  g  e.  ~P ~P X ) )
3 filsspw 20797 . . . . . . 7  |-  ( g  e.  ( Fil `  X
)  ->  g  C_  ~P X )
4 selpw 3992 . . . . . . 7  |-  ( g  e.  ~P ~P X  <->  g 
C_  ~P X )
53, 4sylibr 215 . . . . . 6  |-  ( g  e.  ( Fil `  X
)  ->  g  e.  ~P ~P X )
65a1d 26 . . . . 5  |-  ( g  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( F  C_  g  ->  g  e.  ~P ~P X ) )
72, 6mprgbir 2796 . . . 4  |-  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  C_  ~P ~P X
8 ssnum 8468 . . . 4  |-  ( ( ~P ~P X  e. 
dom  card  /\  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  C_  ~P ~P X )  ->  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  e.  dom  card )
91, 7, 8sylancl 666 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ~P ~P X  e.  dom  card )  ->  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  e.  dom  card )
10 ssid 3489 . . . . . . 7  |-  F  C_  F
1110jctr 544 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  F  C_  F
) )
12 sseq2 3492 . . . . . . 7  |-  ( g  =  F  ->  ( F  C_  g  <->  F  C_  F
) )
1312elrab 3235 . . . . . 6  |-  ( F  e.  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  <->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  F  C_  F
) )
1411, 13sylibr 215 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  { g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g } )
15 ne0i 3773 . . . . 5  |-  ( F  e.  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  ->  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  =/=  (/) )
1614, 15syl 17 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  =/=  (/) )
1716adantr 466 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ~P ~P X  e.  dom  card )  ->  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  =/=  (/) )
18 simpr1 1011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) )  ->  x  C_ 
{ g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g } )
19 ssrab 3545 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  <->  ( x  C_  ( Fil `  X )  /\  A. g  e.  x  F  C_  g
) )
2018, 19sylib 199 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) )  ->  (
x  C_  ( Fil `  X )  /\  A. g  e.  x  F  C_  g ) )
2120simpld 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) )  ->  x  C_  ( Fil `  X
) )
22 simpr2 1012 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) )  ->  x  =/=  (/) )
23 simpr3 1013 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) )  -> [ C.]  Or  x
)
24 sorpssun 6592 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( [ C.]  Or  x  /\  (
g  e.  x  /\  h  e.  x )
)  ->  ( g  u.  h )  e.  x
)
2524ralrimivva 2853 . . . . . . . . 9  |-  ( [ C.]  Or  x  ->  A. g  e.  x  A. h  e.  x  ( g  u.  h )  e.  x
)
2623, 25syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) )  ->  A. g  e.  x  A. h  e.  x  ( g  u.  h )  e.  x
)
27 filuni 20831 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  ( Fil `  X )  /\  x  =/=  (/)  /\  A. g  e.  x  A. h  e.  x  ( g  u.  h )  e.  x
)  ->  U. x  e.  ( Fil `  X
) )
2821, 22, 26, 27syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) )  ->  U. x  e.  ( Fil `  X
) )
29 n0 3777 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =/=  (/)  <->  E. h  h  e.  x )
30 ssel2 3465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  h  e.  x )  ->  h  e.  { g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g } )
31 sseq2 3492 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  h  ->  ( F  C_  g  <->  F  C_  h
) )
3231elrab 3235 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  e.  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  <->  ( h  e.  ( Fil `  X
)  /\  F  C_  h
) )
3330, 32sylib 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  h  e.  x )  ->  (
h  e.  ( Fil `  X )  /\  F  C_  h ) )
3433simprd 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  h  e.  x )  ->  F  C_  h )
35 ssuni 4244 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  C_  h  /\  h  e.  x )  ->  F  C_  U. x
)
3634, 35sylancom 671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  h  e.  x )  ->  F  C_ 
U. x )
3736ex 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  ->  ( h  e.  x  ->  F  C_ 
U. x ) )
3837exlimdv 1771 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  ->  ( E. h  h  e.  x  ->  F  C_  U. x
) )
3929, 38syl5bi 220 . . . . . . . 8  |-  ( x 
C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  ->  ( x  =/=  (/)  ->  F  C_  U. x
) )
4018, 22, 39sylc 62 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) )  ->  F  C_ 
U. x )
41 sseq2 3492 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  U. x  -> 
( F  C_  g  <->  F 
C_  U. x ) )
4241elrab 3235 . . . . . . 7  |-  ( U. x  e.  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  <->  ( U. x  e.  ( Fil `  X
)  /\  F  C_  U. x
) )
4328, 40, 42sylanbrc 668 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) )  ->  U. x  e.  { g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g } )
4443ex 435 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( (
x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
)  ->  U. x  e.  { g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g } ) )
4544alrimiv 1766 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  A. x
( ( x  C_  { g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g }  /\  x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
)  ->  U. x  e.  { g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g } ) )
4645adantr 466 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ~P ~P X  e.  dom  card )  ->  A. x
( ( x  C_  { g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g }  /\  x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
)  ->  U. x  e.  { g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g } ) )
47 zornn0g 8933 . . 3  |-  ( ( { g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g }  e.  dom  card  /\  {
g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g }  =/=  (/)  /\  A. x ( ( x 
C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
)  ->  U. x  e.  { g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g } ) )  ->  E. f  e.  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g } A. h  e. 
{ g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g }  -.  f  C.  h
)
489, 17, 46, 47syl3anc 1264 . 2  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ~P ~P X  e.  dom  card )  ->  E. f  e.  { g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g } A. h  e.  {
g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g }  -.  f  C.  h )
49 sseq2 3492 . . . . 5  |-  ( g  =  f  ->  ( F  C_  g  <->  F  C_  f
) )
5049elrab 3235 . . . 4  |-  ( f  e.  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  <->  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  F  C_  f
) )
5131ralrab 3239 . . . 4  |-  ( A. h  e.  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  -.  f  C.  h  <->  A. h  e.  ( Fil `  X ) ( F  C_  h  ->  -.  f  C.  h
) )
52 simpll 758 . . . . . 6  |-  ( ( ( f  e.  ( Fil `  X )  /\  F  C_  f
)  /\  A. h  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  h  ->  -.  f  C.  h
) )  ->  f  e.  ( Fil `  X
) )
53 sstr2 3477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F 
C_  f  ->  (
f  C_  h  ->  F 
C_  h ) )
5453imim1d 78 . . . . . . . . . 10  |-  ( F 
C_  f  ->  (
( F  C_  h  ->  -.  f  C.  h
)  ->  ( f  C_  h  ->  -.  f  C.  h ) ) )
55 df-pss 3458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f 
C.  h  <->  ( f  C_  h  /\  f  =/=  h ) )
5655simplbi2 629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f 
C_  h  ->  (
f  =/=  h  -> 
f  C.  h )
)
5756necon1bd 2649 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f 
C_  h  ->  ( -.  f  C.  h  -> 
f  =  h ) )
5857a2i 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  C_  h  ->  -.  f  C.  h )  ->  ( f  C_  h  ->  f  =  h ) )
5954, 58syl6 34 . . . . . . . . 9  |-  ( F 
C_  f  ->  (
( F  C_  h  ->  -.  f  C.  h
)  ->  ( f  C_  h  ->  f  =  h ) ) )
6059ralimdv 2842 . . . . . . . 8  |-  ( F 
C_  f  ->  ( A. h  e.  ( Fil `  X ) ( F  C_  h  ->  -.  f  C.  h )  ->  A. h  e.  ( Fil `  X ) ( f  C_  h  ->  f  =  h ) ) )
6160imp 430 . . . . . . 7  |-  ( ( F  C_  f  /\  A. h  e.  ( Fil `  X ) ( F 
C_  h  ->  -.  f  C.  h ) )  ->  A. h  e.  ( Fil `  X ) ( f  C_  h  ->  f  =  h ) )
6261adantll 718 . . . . . 6  |-  ( ( ( f  e.  ( Fil `  X )  /\  F  C_  f
)  /\  A. h  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  h  ->  -.  f  C.  h
) )  ->  A. h  e.  ( Fil `  X
) ( f  C_  h  ->  f  =  h ) )
63 isufil2 20854 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( UFil `  X
)  <->  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. h  e.  ( Fil `  X
) ( f  C_  h  ->  f  =  h ) ) )
6452, 62, 63sylanbrc 668 . . . . 5  |-  ( ( ( f  e.  ( Fil `  X )  /\  F  C_  f
)  /\  A. h  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  h  ->  -.  f  C.  h
) )  ->  f  e.  ( UFil `  X
) )
65 simplr 760 . . . . 5  |-  ( ( ( f  e.  ( Fil `  X )  /\  F  C_  f
)  /\  A. h  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  h  ->  -.  f  C.  h
) )  ->  F  C_  f )
6664, 65jca 534 . . . 4  |-  ( ( ( f  e.  ( Fil `  X )  /\  F  C_  f
)  /\  A. h  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  h  ->  -.  f  C.  h
) )  ->  (
f  e.  ( UFil `  X )  /\  F  C_  f ) )
6750, 51, 66syl2anb 481 . . 3  |-  ( ( f  e.  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  A. h  e.  { g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g }  -.  f  C.  h
)  ->  ( f  e.  ( UFil `  X
)  /\  F  C_  f
) )
6867reximi2 2899 . 2  |-  ( E. f  e.  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g } A. h  e. 
{ g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g }  -.  f  C.  h  ->  E. f  e.  (
UFil `  X ) F  C_  f )
6948, 68syl 17 1  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ~P ~P X  e.  dom  card )  ->  E. f  e.  ( UFil `  X
) F  C_  f
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982   A.wal 1435   E.wex 1659    e. wcel 1870    =/= wne 2625   A.wral 2782   E.wrex 2783   {crab 2786    u. cun 3440    C_ wss 3442    C. wpss 3443   (/)c0 3767   ~Pcpw 3985   U.cuni 4222    Or wor 4774   dom cdm 4854   ` cfv 5601   [ C.] crpss 6584   cardccrd 8368   Filcfil 20791   UFilcufil 20845
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-rpss 6585  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-fin 7581  df-fi 7931  df-card 8372  df-cda 8596  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-fil 20792  df-ufil 20847
This theorem is referenced by:  filssufil  20858  numufl  20861
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