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Theorem filssufilg 17896
Description: A filter is contained in some ultrafilter. This version of filssufil 17897 contains the choice as a hypothesis (in the assumption that  ~P ~P X is well-orderable). (Contributed by Mario Carneiro, 24-May-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
filssufilg  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ~P ~P X  e.  dom  card )  ->  E. f  e.  ( UFil `  X
) F  C_  f
)
Distinct variable groups:    f, F    f, X

Proof of Theorem filssufilg
Dummy variables  g  h  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ~P ~P X  e.  dom  card )  ->  ~P ~P X  e.  dom  card )
2 rabss 3380 . . . . 5  |-  ( { g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g }  C_  ~P ~P X  <->  A. g  e.  ( Fil `  X ) ( F  C_  g  ->  g  e.  ~P ~P X ) )
3 filsspw 17836 . . . . . . 7  |-  ( g  e.  ( Fil `  X
)  ->  g  C_  ~P X )
4 vex 2919 . . . . . . . 8  |-  g  e. 
_V
54elpw 3765 . . . . . . 7  |-  ( g  e.  ~P ~P X  <->  g 
C_  ~P X )
63, 5sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( g  e.  ( Fil `  X
)  ->  g  e.  ~P ~P X )
76a1d 23 . . . . 5  |-  ( g  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( F  C_  g  ->  g  e.  ~P ~P X ) )
82, 7mprgbir 2736 . . . 4  |-  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  C_  ~P ~P X
9 ssnum 7876 . . . 4  |-  ( ( ~P ~P X  e. 
dom  card  /\  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  C_  ~P ~P X )  ->  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  e.  dom  card )
101, 8, 9sylancl 644 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ~P ~P X  e.  dom  card )  ->  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  e.  dom  card )
11 ssid 3327 . . . . . . 7  |-  F  C_  F
1211jctr 527 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  F  C_  F
) )
13 sseq2 3330 . . . . . . 7  |-  ( g  =  F  ->  ( F  C_  g  <->  F  C_  F
) )
1413elrab 3052 . . . . . 6  |-  ( F  e.  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  <->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  F  C_  F
) )
1512, 14sylibr 204 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  { g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g } )
16 ne0i 3594 . . . . 5  |-  ( F  e.  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  ->  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  =/=  (/) )
1715, 16syl 16 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  =/=  (/) )
1817adantr 452 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ~P ~P X  e.  dom  card )  ->  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  =/=  (/) )
19 simpr1 963 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) )  ->  x  C_ 
{ g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g } )
20 ssrab 3381 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  <->  ( x  C_  ( Fil `  X )  /\  A. g  e.  x  F  C_  g
) )
2119, 20sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) )  ->  (
x  C_  ( Fil `  X )  /\  A. g  e.  x  F  C_  g ) )
2221simpld 446 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) )  ->  x  C_  ( Fil `  X
) )
23 simpr2 964 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) )  ->  x  =/=  (/) )
24 simpr3 965 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) )  -> [ C.]  Or  x )
25 sorpssun 6488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( [
C.]  Or  x  /\  ( g  e.  x  /\  h  e.  x
) )  ->  (
g  u.  h )  e.  x )
2625ralrimivva 2758 . . . . . . . . 9  |-  ( [ C.]  Or  x  ->  A. g  e.  x  A. h  e.  x  ( g  u.  h )  e.  x
)
2724, 26syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) )  ->  A. g  e.  x  A. h  e.  x  ( g  u.  h )  e.  x
)
28 filuni 17870 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  ( Fil `  X )  /\  x  =/=  (/)  /\  A. g  e.  x  A. h  e.  x  ( g  u.  h )  e.  x
)  ->  U. x  e.  ( Fil `  X
) )
2922, 23, 27, 28syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) )  ->  U. x  e.  ( Fil `  X
) )
30 n0 3597 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =/=  (/)  <->  E. h  h  e.  x )
31 ssel2 3303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  h  e.  x )  ->  h  e.  { g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g } )
32 sseq2 3330 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  h  ->  ( F  C_  g  <->  F  C_  h
) )
3332elrab 3052 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  e.  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  <->  ( h  e.  ( Fil `  X
)  /\  F  C_  h
) )
3431, 33sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  h  e.  x )  ->  (
h  e.  ( Fil `  X )  /\  F  C_  h ) )
3534simprd 450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  h  e.  x )  ->  F  C_  h )
36 ssuni 3997 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  C_  h  /\  h  e.  x )  ->  F  C_  U. x
)
3735, 36sylancom 649 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  h  e.  x )  ->  F  C_ 
U. x )
3837ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  ->  ( h  e.  x  ->  F  C_ 
U. x ) )
3938exlimdv 1643 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  ->  ( E. h  h  e.  x  ->  F  C_  U. x
) )
4030, 39syl5bi 209 . . . . . . . 8  |-  ( x 
C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  ->  ( x  =/=  (/)  ->  F  C_  U. x
) )
4119, 23, 40sylc 58 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) )  ->  F  C_ 
U. x )
42 sseq2 3330 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  U. x  -> 
( F  C_  g  <->  F 
C_  U. x ) )
4342elrab 3052 . . . . . . 7  |-  ( U. x  e.  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  <->  ( U. x  e.  ( Fil `  X
)  /\  F  C_  U. x
) )
4429, 41, 43sylanbrc 646 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) )  ->  U. x  e.  { g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g } )
4544ex 424 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( (
x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
)  ->  U. x  e.  { g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g } ) )
4645alrimiv 1638 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  A. x
( ( x  C_  { g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g }  /\  x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
)  ->  U. x  e.  { g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g } ) )
4746adantr 452 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ~P ~P X  e.  dom  card )  ->  A. x
( ( x  C_  { g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g }  /\  x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
)  ->  U. x  e.  { g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g } ) )
48 zornn0g 8341 . . 3  |-  ( ( { g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g }  e.  dom  card  /\  {
g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g }  =/=  (/)  /\  A. x ( ( x 
C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
)  ->  U. x  e.  { g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g } ) )  ->  E. f  e.  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g } A. h  e. 
{ g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g }  -.  f  C.  h
)
4910, 18, 47, 48syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ~P ~P X  e.  dom  card )  ->  E. f  e.  { g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g } A. h  e.  {
g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g }  -.  f  C.  h )
50 sseq2 3330 . . . . 5  |-  ( g  =  f  ->  ( F  C_  g  <->  F  C_  f
) )
5150elrab 3052 . . . 4  |-  ( f  e.  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  <->  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  F  C_  f
) )
5232ralrab 3056 . . . 4  |-  ( A. h  e.  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  -.  f  C.  h  <->  A. h  e.  ( Fil `  X ) ( F  C_  h  ->  -.  f  C.  h
) )
53 simpll 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( f  e.  ( Fil `  X )  /\  F  C_  f
)  /\  A. h  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  h  ->  -.  f  C.  h ) )  -> 
f  e.  ( Fil `  X ) )
54 sstr2 3315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F 
C_  f  ->  (
f  C_  h  ->  F 
C_  h ) )
5554imim1d 71 . . . . . . . . . 10  |-  ( F 
C_  f  ->  (
( F  C_  h  ->  -.  f  C.  h
)  ->  ( f  C_  h  ->  -.  f  C.  h ) ) )
56 df-pss 3296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f 
C.  h  <->  ( f  C_  h  /\  f  =/=  h ) )
5756simplbi2 609 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f 
C_  h  ->  (
f  =/=  h  -> 
f  C.  h )
)
5857necon1bd 2635 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f 
C_  h  ->  ( -.  f  C.  h  -> 
f  =  h ) )
5958a2i 13 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  C_  h  ->  -.  f  C.  h )  ->  ( f  C_  h  ->  f  =  h ) )
6055, 59syl6 31 . . . . . . . . 9  |-  ( F 
C_  f  ->  (
( F  C_  h  ->  -.  f  C.  h
)  ->  ( f  C_  h  ->  f  =  h ) ) )
6160ralimdv 2745 . . . . . . . 8  |-  ( F 
C_  f  ->  ( A. h  e.  ( Fil `  X ) ( F  C_  h  ->  -.  f  C.  h )  ->  A. h  e.  ( Fil `  X ) ( f  C_  h  ->  f  =  h ) ) )
6261imp 419 . . . . . . 7  |-  ( ( F  C_  f  /\  A. h  e.  ( Fil `  X ) ( F 
C_  h  ->  -.  f  C.  h ) )  ->  A. h  e.  ( Fil `  X ) ( f  C_  h  ->  f  =  h ) )
6362adantll 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( f  e.  ( Fil `  X )  /\  F  C_  f
)  /\  A. h  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  h  ->  -.  f  C.  h ) )  ->  A. h  e.  ( Fil `  X ) ( f  C_  h  ->  f  =  h ) )
64 isufil2 17893 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( UFil `  X
)  <->  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. h  e.  ( Fil `  X
) ( f  C_  h  ->  f  =  h ) ) )
6553, 63, 64sylanbrc 646 . . . . 5  |-  ( ( ( f  e.  ( Fil `  X )  /\  F  C_  f
)  /\  A. h  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  h  ->  -.  f  C.  h ) )  -> 
f  e.  ( UFil `  X ) )
66 simplr 732 . . . . 5  |-  ( ( ( f  e.  ( Fil `  X )  /\  F  C_  f
)  /\  A. h  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  h  ->  -.  f  C.  h ) )  ->  F  C_  f )
6765, 66jca 519 . . . 4  |-  ( ( ( f  e.  ( Fil `  X )  /\  F  C_  f
)  /\  A. h  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  h  ->  -.  f  C.  h ) )  -> 
( f  e.  (
UFil `  X )  /\  F  C_  f ) )
6851, 52, 67syl2anb 466 . . 3  |-  ( ( f  e.  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  A. h  e.  { g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g }  -.  f  C.  h
)  ->  ( f  e.  ( UFil `  X
)  /\  F  C_  f
) )
6968reximi2 2772 . 2  |-  ( E. f  e.  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g } A. h  e. 
{ g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g }  -.  f  C.  h  ->  E. f  e.  (
UFil `  X ) F  C_  f )
7049, 69syl 16 1  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ~P ~P X  e.  dom  card )  ->  E. f  e.  ( UFil `  X
) F  C_  f
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1546   E.wex 1547    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670    u. cun 3278    C_ wss 3280    C. wpss 3281   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   U.cuni 3975    Or wor 4462   dom cdm 4837   ` cfv 5413   [ C.] crpss 6480   cardccrd 7778   Filcfil 17830   UFilcufil 17884
This theorem is referenced by:  filssufil  17897  numufl  17900
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-rpss 6481  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-fin 7072  df-fi 7374  df-card 7782  df-cda 8004  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-fil 17831  df-ufil 17886
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