MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  filssufil Structured version   Unicode version

Theorem filssufil 20539
Description: A filter is contained in some ultrafilter. (Requires the Axiom of Choice, via numth3 8867.) (Contributed by Jeff Hankins, 2-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 29-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
filssufil  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  E. f  e.  ( UFil `  X
) F  C_  f
)
Distinct variable groups:    f, F    f, X

Proof of Theorem filssufil
StepHypRef Expression
1 filtop 20482 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  F )
2 pwexg 4640 . . 3  |-  ( X  e.  F  ->  ~P X  e.  _V )
3 pwexg 4640 . . 3  |-  ( ~P X  e.  _V  ->  ~P ~P X  e.  _V )
4 numth3 8867 . . 3  |-  ( ~P ~P X  e.  _V  ->  ~P ~P X  e. 
dom  card )
51, 2, 3, 44syl 21 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ~P ~P X  e.  dom  card )
6 filssufilg 20538 . 2  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ~P ~P X  e.  dom  card )  ->  E. f  e.  ( UFil `  X
) F  C_  f
)
75, 6mpdan 668 1  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  E. f  e.  ( UFil `  X
) F  C_  f
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1819   E.wrex 2808   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   ~Pcpw 4015   dom cdm 5008   ` cfv 5594   cardccrd 8333   Filcfil 20472   UFilcufil 20526
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-ac2 8860
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-rpss 6579  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-fin 7539  df-fi 7889  df-card 8337  df-ac 8514  df-cda 8565  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-fil 20473  df-ufil 20528
This theorem is referenced by:  ufileu  20546  filufint  20547  ufinffr  20556  ufilen  20557
  Copyright terms: Public domain W3C validator