MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  filsspw Structured version   Unicode version

Theorem filsspw 19429
Description: A filter is a subset of the power set of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
filsspw  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  C_  ~P X )

Proof of Theorem filsspw
StepHypRef Expression
1 filfbas 19426 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  ( fBas `  X )
)
2 fbsspw 19410 . 2  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  F  C_  ~P X )
31, 2syl 16 1  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  C_  ~P X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756    C_ wss 3333   ~Pcpw 3865   ` cfv 5423   fBascfbas 17809   Filcfil 19423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fv 5431  df-fbas 17819  df-fil 19424
This theorem is referenced by:  isfil2  19434  infil  19441  filunibas  19459  trfg  19469  isufil2  19486  filssufilg  19489  ssufl  19496  ufileu  19497  filufint  19498  uffixfr  19501  elflim  19549  fclsfnflim  19605  flimfnfcls  19606  metustOLD  20147  metust  20148  cfilresi  20811  cmetss  20830
  Copyright terms: Public domain W3C validator