Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  filnm Structured version   Unicode version

Theorem filnm 31198
Description: Finite left modules are Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
filnm.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
Assertion
Ref Expression
filnm  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  ->  W  e. LNoeM )

Proof of Theorem filnm
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  ->  W  e.  LMod )
2 filnm.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  W
)
3 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
42, 3lssss 17709 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( LSubSp `  W
)  ->  a  C_  B )
54adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  /\  a  e.  ( LSubSp `
 W ) )  ->  a  C_  B
)
6 selpw 4022 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ~P B  <->  a  C_  B )
75, 6sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  /\  a  e.  ( LSubSp `
 W ) )  ->  a  e.  ~P B )
8 simplr 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  /\  a  e.  ( LSubSp `
 W ) )  ->  B  e.  Fin )
9 ssfi 7759 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  a  C_  B )  -> 
a  e.  Fin )
108, 5, 9syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  /\  a  e.  ( LSubSp `
 W ) )  ->  a  e.  Fin )
117, 10elind 3684 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  /\  a  e.  ( LSubSp `
 W ) )  ->  a  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )
12 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
133, 12lspid 17754 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  e.  ( LSubSp `  W )
)  ->  ( ( LSpan `  W ) `  a )  =  a )
1413adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  /\  a  e.  ( LSubSp `
 W ) )  ->  ( ( LSpan `  W ) `  a
)  =  a )
1514eqcomd 2465 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  /\  a  e.  ( LSubSp `
 W ) )  ->  a  =  ( ( LSpan `  W ) `  a ) )
16 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( b  =  a  ->  (
( LSpan `  W ) `  b )  =  ( ( LSpan `  W ) `  a ) )
1716eqeq2d 2471 . . . . 5  |-  ( b  =  a  ->  (
a  =  ( (
LSpan `  W ) `  b )  <->  a  =  ( ( LSpan `  W
) `  a )
) )
1817rspcev 3210 . . . 4  |-  ( ( a  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  a  =  (
( LSpan `  W ) `  a ) )  ->  E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
a  =  ( (
LSpan `  W ) `  b ) )
1911, 15, 18syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  /\  a  e.  ( LSubSp `
 W ) )  ->  E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) a  =  ( ( LSpan `  W ) `  b ) )
2019ralrimiva 2871 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  ->  A. a  e.  ( LSubSp `  W ) E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
a  =  ( (
LSpan `  W ) `  b ) )
212, 3, 12islnm2 31186 . 2  |-  ( W  e. LNoeM 
<->  ( W  e.  LMod  /\ 
A. a  e.  (
LSubSp `  W ) E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
a  =  ( (
LSpan `  W ) `  b ) ) )
221, 20, 21sylanbrc 664 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  ->  W  e. LNoeM )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808    i^i cin 3470    C_ wss 3471   ~Pcpw 4015   ` cfv 5594   Fincfn 7535   Basecbs 14643   LModclmod 17638   LSubSpclss 17704   LSpanclspn 17743  LNoeMclnm 31183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-0g 14858  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-sbg 16185  df-subg 16324  df-mgp 17268  df-ur 17280  df-ring 17326  df-lmod 17640  df-lss 17705  df-lsp 17744  df-lfig 31176  df-lnm 31184
This theorem is referenced by:  pwslnmlem0  31199
  Copyright terms: Public domain W3C validator