Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  filnm Structured version   Unicode version

Theorem filnm 29440
Description: Finite left modules are Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
filnm.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
Assertion
Ref Expression
filnm  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  ->  W  e. LNoeM )

Proof of Theorem filnm
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  ->  W  e.  LMod )
2 filnm.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  W
)
3 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
42, 3lssss 17016 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( LSubSp `  W
)  ->  a  C_  B )
54adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  /\  a  e.  ( LSubSp `
 W ) )  ->  a  C_  B
)
6 selpw 3865 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ~P B  <->  a  C_  B )
75, 6sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  /\  a  e.  ( LSubSp `
 W ) )  ->  a  e.  ~P B )
8 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  /\  a  e.  ( LSubSp `
 W ) )  ->  B  e.  Fin )
9 ssfi 7531 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  a  C_  B )  -> 
a  e.  Fin )
108, 5, 9syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  /\  a  e.  ( LSubSp `
 W ) )  ->  a  e.  Fin )
117, 10elind 3538 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  /\  a  e.  ( LSubSp `
 W ) )  ->  a  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )
12 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
133, 12lspid 17061 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  e.  ( LSubSp `  W )
)  ->  ( ( LSpan `  W ) `  a )  =  a )
1413adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  /\  a  e.  ( LSubSp `
 W ) )  ->  ( ( LSpan `  W ) `  a
)  =  a )
1514eqcomd 2446 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  /\  a  e.  ( LSubSp `
 W ) )  ->  a  =  ( ( LSpan `  W ) `  a ) )
16 fveq2 5689 . . . . . 6  |-  ( b  =  a  ->  (
( LSpan `  W ) `  b )  =  ( ( LSpan `  W ) `  a ) )
1716eqeq2d 2452 . . . . 5  |-  ( b  =  a  ->  (
a  =  ( (
LSpan `  W ) `  b )  <->  a  =  ( ( LSpan `  W
) `  a )
) )
1817rspcev 3071 . . . 4  |-  ( ( a  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  a  =  (
( LSpan `  W ) `  a ) )  ->  E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
a  =  ( (
LSpan `  W ) `  b ) )
1911, 15, 18syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  /\  a  e.  ( LSubSp `
 W ) )  ->  E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) a  =  ( ( LSpan `  W ) `  b ) )
2019ralrimiva 2797 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  ->  A. a  e.  ( LSubSp `  W ) E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
a  =  ( (
LSpan `  W ) `  b ) )
212, 3, 12islnm2 29428 . 2  |-  ( W  e. LNoeM 
<->  ( W  e.  LMod  /\ 
A. a  e.  (
LSubSp `  W ) E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
a  =  ( (
LSpan `  W ) `  b ) ) )
221, 20, 21sylanbrc 664 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  ->  W  e. LNoeM )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2713   E.wrex 2714    i^i cin 3325    C_ wss 3326   ~Pcpw 3858   ` cfv 5416   Fincfn 7308   Basecbs 14172   LModclmod 16946   LSubSpclss 17011   LSpanclspn 17050  LNoeMclnm 29425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-er 7099  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-4 10380  df-5 10381  df-6 10382  df-ndx 14175  df-slot 14176  df-base 14177  df-sets 14178  df-ress 14179  df-plusg 14249  df-sca 14252  df-vsca 14253  df-0g 14378  df-mnd 15413  df-grp 15543  df-minusg 15544  df-sbg 15545  df-subg 15676  df-mgp 16590  df-ur 16602  df-rng 16645  df-lmod 16948  df-lss 17012  df-lsp 17051  df-lfig 29418  df-lnm 29426
This theorem is referenced by:  pwslnmlem0  29441
  Copyright terms: Public domain W3C validator