Theorem filfm 15600

Description: A filter can be expressed as an image filter.

Hypothesis

Ref	Expression
filfm.1	|- X = U.F

Assertion

Ref	Expression
filfm	|- (F e. Fil -> F = ((X FilMap F)` ( _I |` X)))

Proof of Theorem filfm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fgid 10289	. . . 4 |- (F e. Fil -> (filGen` F) = F)
2	1	rexeqdv 2270	. . 3 |- (F e. Fil -> (E.s e. (filGen` F)t = (( _I |` X)"s) <-> E.s e. F t = (( _I |` X)"s)))
3		filfbas 10276	. . . 4 |- (F e. Fil -> F e. fBas)
4		f1oi 4671	. . . . . 6 |- ( _I |` X):X-1-1-onto->X
5		f1ofo 4643	. . . . . 6 |- (( _I |` X):X-1-1-onto->X -> ( _I |` X):X-onto->X)
6	4, 5	ax-mp 7	. . . . 5 |- ( _I |` X):X-onto->X
7	6	a1i 8	. . . 4 |- (F e. Fil -> ( _I |` X):X-onto->X)
8		filfm.1	. . . . 5 |- X = U.F
9		eqid 1884	. . . . 5 |- (filGen` F) = (filGen` F)
10	8, 9	elfilmap3 10314	. . . 4 |- ((F e. fBas /\ ( _I |` X):X-onto->X) -> (t e. ((X FilMap F)` ( _I |` X)) <-> E.s e. (filGen` F)t = (( _I |` X)"s)))
11	3, 7, 10	syl11anc 524	. . 3 |- (F e. Fil -> (t e. ((X FilMap F)` ( _I |` X)) <-> E.s e. (filGen` F)t = (( _I |` X)"s)))
12		simpr 350	. . . . . 6 |- ((F e. Fil /\ t e. F) -> t e. F)
13		elssuni 3206	. . . . . . . . . 10 |- (t e. F -> t C_ U.F)
14	13, 8	syl6ssr 2664	. . . . . . . . 9 |- (t e. F -> t C_ X)
15		resiima 4282	. . . . . . . . 9 |- (t C_ X -> (( _I |` X)"t) = t)
16	14, 15	syl 12	. . . . . . . 8 |- (t e. F -> (( _I |` X)"t) = t)
17	16	adantl 424	. . . . . . 7 |- ((F e. Fil /\ t e. F) -> (( _I |` X)"t) = t)
18	17	eqcomd 1889	. . . . . 6 |- ((F e. Fil /\ t e. F) -> t = (( _I |` X)"t))
19		imaeq2 4260	. . . . . . . 8 |- (s = t -> (( _I |` X)"s) = (( _I |` X)"t))
20	19	eqeq2d 1895	. . . . . . 7 |- (s = t -> (t = (( _I |` X)"s) <-> t = (( _I |` X)"t)))
21	20	rcla4ev 2381	. . . . . 6 |- ((t e. F /\ t = (( _I |` X)"t)) -> E.s e. F t = (( _I |` X)"s))
22	12, 18, 21	syl11anc 524	. . . . 5 |- ((F e. Fil /\ t e. F) -> E.s e. F t = (( _I |` X)"s))
23	22	ex 402	. . . 4 |- (F e. Fil -> (t e. F -> E.s e. F t = (( _I |` X)"s)))
24		simp3 878	. . . . . . . 8 |- ((F e. Fil /\ s e. F /\ t = (( _I |` X)"s)) -> t = (( _I |` X)"s))
25		elssuni 3206	. . . . . . . . . . 11 |- (s e. F -> s C_ U.F)
26	25, 8	syl6ssr 2664	. . . . . . . . . 10 |- (s e. F -> s C_ X)
27		resiima 4282	. . . . . . . . . 10 |- (s C_ X -> (( _I |` X)"s) = s)
28	26, 27	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (s e. F -> (( _I |` X)"s) = s)
29	28	3ad2ant2 898	. . . . . . . 8 |- ((F e. Fil /\ s e. F /\ t = (( _I |` X)"s)) -> (( _I |` X)"s) = s)
30	24, 29	eqtrd 1925	. . . . . . 7 |- ((F e. Fil /\ s e. F /\ t = (( _I |` X)"s)) -> t = s)
31		simp2 877	. . . . . . 7 |- ((F e. Fil /\ s e. F /\ t = (( _I |` X)"s)) -> s e. F)
32	30, 31	eqeltrd 1971	. . . . . 6 |- ((F e. Fil /\ s e. F /\ t = (( _I |` X)"s)) -> t e. F)
33	32	3exp 1066	. . . . 5 |- (F e. Fil -> (s e. F -> (t = (( _I |` X)"s) -> t e. F)))
34	33	r19.23adv 2215	. . . 4 |- (F e. Fil -> (E.s e. F t = (( _I |` X)"s) -> t e. F))
35	23, 34	impbid 574	. . 3 |- (F e. Fil -> (t e. F <-> E.s e. F t = (( _I |` X)"s)))
36	2, 11, 35	3bitr4rd 610	. 2 |- (F e. Fil -> (t e. F <-> t e. ((X FilMap F)` ( _I |` X))))
37	36	eqrdv 1882	1 |- (F e. Fil -> F = ((X FilMap F)` ( _I |` X)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wrex 2106   C_ wss 2593  U.cuni 3177   _I cid 3582   |` cres 3988  "cima 3989  -onto->wfo 3996  -1-1-onto->wf1o 3997  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  fBascfbas 10257  filGencfg 10258  Filcfil 10264   FilMap cfilmap 10304

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-map 5383  df-fbas 10259  df-fg 10260  df-fil 10265  df-filmap 10306

Copyright terms: Public domain