Theorem filfinnfr 15561

Description: No filter containing a finite element is free.

Assertion

Ref	Expression
filfinnfr	|- ((F e. Fil /\ S e. F /\ S e. Fin) -> |^|F =/= (/))

Proof of Theorem filfinnfr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1957	. . . . . . . . . . 11 |- (s = (/) -> (s e. F <-> (/) e. F))
2	1	notbid 673	. . . . . . . . . 10 |- (s = (/) -> (-. s e. F <-> -. (/) e. F))
3		filesn 10268	. . . . . . . . . 10 |- (F e. Fil -> -. (/) e. F)
4	2, 3	syl5cbir 228	. . . . . . . . 9 |- (F e. Fil -> (s = (/) -> -. s e. F))
5	4	necon2ad 2055	. . . . . . . 8 |- (F e. Fil -> (s e. F -> s =/= (/)))
6	5	imp 377	. . . . . . 7 |- ((F e. Fil /\ s e. F) -> s =/= (/))
7		n0 2884	. . . . . . 7 |- (s =/= (/) <-> E.x x e. s)
8	6, 7	sylib 215	. . . . . 6 |- ((F e. Fil /\ s e. F) -> E.x x e. s)
9		inss1 2812	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (s i^i y) C_ s
10	9	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((F e. Fil /\ s e. F /\ x e. s) /\ (y e. F /\ -. x e. y)) -> (s i^i y) C_ s)
11		filint 10269	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((F e. Fil /\ s e. F /\ y e. F) -> (s i^i y) e. F)
12	11	3expa 1067	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((F e. Fil /\ s e. F) /\ y e. F) -> (s i^i y) e. F)
13	12	3adantl3 1034	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((F e. Fil /\ s e. F /\ x e. s) /\ y e. F) -> (s i^i y) e. F)
14	13	adantrr 431	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((F e. Fil /\ s e. F /\ x e. s) /\ (y e. F /\ -. x e. y)) -> (s i^i y) e. F)
15		inss2 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (s i^i y) C_ y
16		sseq1 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (s = (s i^i y) -> (s C_ y <-> (s i^i y) C_ y))
17	15, 16	mpbiri 211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (s = (s i^i y) -> s C_ y)
18	17	ad2antll 443	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((F e. Fil /\ s e. F /\ x e. s) /\ (y e. F /\ s = (s i^i y))) -> s C_ y)
19		simpl3 881	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((F e. Fil /\ s e. F /\ x e. s) /\ (y e. F /\ s = (s i^i y))) -> x e. s)
20	18, 19	sseldd 2620	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((F e. Fil /\ s e. F /\ x e. s) /\ (y e. F /\ s = (s i^i y))) -> x e. y)
21	20	expr 418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((F e. Fil /\ s e. F /\ x e. s) /\ y e. F) -> (s = (s i^i y) -> x e. y))
22	21	con3d 111	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((F e. Fil /\ s e. F /\ x e. s) /\ y e. F) -> (-. x e. y -> -. s = (s i^i y)))
23	22	impr 422	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((F e. Fil /\ s e. F /\ x e. s) /\ (y e. F /\ -. x e. y)) -> -. s = (s i^i y))
24		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- s e. _V
25	24	inex1 3452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (s i^i y) e. _V
26		sseq1 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (t = (s i^i y) -> (t C_ s <-> (s i^i y) C_ s))
27		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (t = (s i^i y) -> (t e. F <-> (s i^i y) e. F))
28	26, 27	anbi12d 690	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (t = (s i^i y) -> ((t C_ s /\ t e. F) <-> ((s i^i y) C_ s /\ (s i^i y) e. F)))
29		eqeq2 1893	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (t = (s i^i y) -> (s = t <-> s = (s i^i y)))
30	29	notbid 673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (t = (s i^i y) -> (-. s = t <-> -. s = (s i^i y)))
31	28, 30	anbi12d 690	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (t = (s i^i y) -> (((t C_ s /\ t e. F) /\ -. s = t) <-> (((s i^i y) C_ s /\ (s i^i y) e. F) /\ -. s = (s i^i y))))
32	25, 31	cla4ev 2371	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((s i^i y) C_ s /\ (s i^i y) e. F) /\ -. s = (s i^i y)) -> E.t((t C_ s /\ t e. F) /\ -. s = t))
33	10, 14, 23, 32	syl21anc 1099	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((F e. Fil /\ s e. F /\ x e. s) /\ (y e. F /\ -. x e. y)) -> E.t((t C_ s /\ t e. F) /\ -. s = t))
34	33	ex 402	. . . . . . . . . . . 12 |- ((F e. Fil /\ s e. F /\ x e. s) -> ((y e. F /\ -. x e. y) -> E.t((t C_ s /\ t e. F) /\ -. s = t)))
35	34	19.23adv 1584	. . . . . . . . . . 11 |- ((F e. Fil /\ s e. F /\ x e. s) -> (E.y(y e. F /\ -. x e. y) -> E.t((t C_ s /\ t e. F) /\ -. s = t)))
36		exanali 1390	. . . . . . . . . . . 12 |- (E.y(y e. F /\ -. x e. y) <-> -. A.y(y e. F -> x e. y))
37		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . 14 |- x e. _V
38	37	elint 3220	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. |^|F <-> A.y(y e. F -> x e. y))
39	38	notbii 204	. . . . . . . . . . . 12 |- (-. x e. |^|F <-> -. A.y(y e. F -> x e. y))
40	36, 39	bitr4i 193	. . . . . . . . . . 11 |- (E.y(y e. F /\ -. x e. y) <-> -. x e. |^|F)
41		exanali 1390	. . . . . . . . . . 11 |- (E.t((t C_ s /\ t e. F) /\ -. s = t) <-> -. A.t((t C_ s /\ t e. F) -> s = t))
42	35, 40, 41	3imtr3g 611	. . . . . . . . . 10 |- ((F e. Fil /\ s e. F /\ x e. s) -> (-. x e. |^|F -> -. A.t((t C_ s /\ t e. F) -> s = t)))
43	42	con4d 91	. . . . . . . . 9 |- ((F e. Fil /\ s e. F /\ x e. s) -> (A.t((t C_ s /\ t e. F) -> s = t) -> x e. |^|F))
44		ne0i 2881	. . . . . . . . 9 |- (x e. |^|F -> |^|F =/= (/))
45	43, 44	syl6 25	. . . . . . . 8 |- ((F e. Fil /\ s e. F /\ x e. s) -> (A.t((t C_ s /\ t e. F) -> s = t) -> |^|F =/= (/)))
46	45	3expia 1069	. . . . . . 7 |- ((F e. Fil /\ s e. F) -> (x e. s -> (A.t((t C_ s /\ t e. F) -> s = t) -> |^|F =/= (/))))
47	46	19.23adv 1584	. . . . . 6 |- ((F e. Fil /\ s e. F) -> (E.x x e. s -> (A.t((t C_ s /\ t e. F) -> s = t) -> |^|F =/= (/))))
48	8, 47	mpd 29	. . . . 5 |- ((F e. Fil /\ s e. F) -> (A.t((t C_ s /\ t e. F) -> s = t) -> |^|F =/= (/)))
49	48	expimpd 404	. . . 4 |- (F e. Fil -> ((s e. F /\ A.t((t C_ s /\ t e. F) -> s = t)) -> |^|F =/= (/)))
50	49	19.23adv 1584	. . 3 |- (F e. Fil -> (E.s(s e. F /\ A.t((t C_ s /\ t e. F) -> s = t)) -> |^|F =/= (/)))
51		eleq1 1957	. . . . . 6 |- (s = S -> (s e. F <-> S e. F))
52	51	rcla4ev 2381	. . . . 5 |- ((S e. Fin /\ S e. F) -> E.s e. Fin s e. F)
53	52	ancoms 484	. . . 4 |- ((S e. F /\ S e. Fin) -> E.s e. Fin s e. F)
54		eleq1 1957	. . . . 5 |- (s = t -> (s e. F <-> t e. F))
55	54	finminlem 15367	. . . 4 |- (E.s e. Fin s e. F -> E.s(s e. F /\ A.t((t C_ s /\ t e. F) -> s = t)))
56	53, 55	syl 12	. . 3 |- ((S e. F /\ S e. Fin) -> E.s(s e. F /\ A.t((t C_ s /\ t e. F) -> s = t)))
57	50, 56	syl5 20	. 2 |- (F e. Fil -> ((S e. F /\ S e. Fin) -> |^|F =/= (/)))
58	57	3impib 1065	1 |- ((F e. Fil /\ S e. F /\ S e. Fin) -> |^|F =/= (/))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326   =/= wne 2017  E.wrex 2106   i^i cin 2592   C_ wss 2593  (/)c0 2875  |^|cint 3214  Fincfn 5426  Filcfil 10264

This theorem is referenced by:  uffinfix 15577

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-fin 5430  df-fil 10265

Copyright terms: Public domain