MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  filfinnfr Structured version   Unicode version

Theorem filfinnfr 20668
Description: No filter containing a finite element is free. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
filfinnfr  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  S  e.  F  /\  S  e. 
Fin )  ->  |^| F  =/=  (/) )

Proof of Theorem filfinnfr
StepHypRef Expression
1 filfbas 20639 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  ( fBas `  X )
)
2 fbfinnfr 20632 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  S  e.  F  /\  S  e. 
Fin )  ->  |^| F  =/=  (/) )
31, 2syl3an1 1263 1  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  S  e.  F  /\  S  e. 
Fin )  ->  |^| F  =/=  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 974    e. wcel 1842    =/= wne 2598   (/)c0 3737   |^|cint 4226   ` cfv 5568   Fincfn 7553   fBascfbas 18724   Filcfil 20636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-om 6683  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fbas 18734  df-fil 20637
This theorem is referenced by:  uffinfix  20718  cfinufil  20719
  Copyright terms: Public domain W3C validator