Theorem filfbas 20518

Description: A filter is a filter base. (Contributed by Jeff Hankins, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filfbas	|- ( F e. ( Fil ` X ) -> F e. ( fBas ` X ) )

Proof of Theorem filfbas

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfil 20517	. 2 |- ( F e. ( Fil ` X ) <-> ( F e. ( fBas ` X ) /\ A. x e. ~P X ( ( F i^i ~P x ) =/= (/) -> x e. F ) ) )
2	1	simplbi 458	1 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> F e. ( fBas ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1823   =/= wne 2649   A.wral 2804   i^i cin 3460   (/)c0 3783   ~Pcpw 3999   ` cfv 5570   fBascfbas 18604   Filcfil 20515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fv 5578  df-fil 20516

This theorem is referenced by:  0nelfil  20519  filsspw  20521  filelss  20522  filin  20524  filtop  20525  snfbas  20536  fgfil  20545  elfilss  20546  filfinnfr  20547  fgabs  20549  filcon  20553  fgtr  20560  trfg  20561  ufilb  20576  ufilmax  20577  isufil2  20578  ssufl  20588  ufileu  20589  filufint  20590  ufilen  20600  fmfg  20619  fmufil  20629  fmid  20630  fmco  20631  ufldom  20632  hausflim  20651  flimrest  20653  flimclslem  20654  flfnei  20661  isflf  20663  flfcnp  20674  fclsrest  20694  fclsfnflim  20697  flimfnfcls  20698  isfcf  20704  cnpfcfi  20710  cnpfcf  20711  cnextcn  20736  cfilufg  20965  neipcfilu  20968  cnextucn  20975  ucnextcn  20976  cfilresi  21903  cfilres  21904  cmetss  21922  relcmpcmet  21924  cfilucfil3OLD  21926  cfilucfil3  21927  minveclem4a  22014  filnetlem4  30442