Theorem filfbas 20215

Description: A filter is a filter base. (Contributed by Jeff Hankins, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filfbas	|- ( F e. ( Fil ` X ) -> F e. ( fBas ` X ) )

Proof of Theorem filfbas

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfil 20214	. 2 |- ( F e. ( Fil ` X ) <-> ( F e. ( fBas ` X ) /\ A. x e. ~P X ( ( F i^i ~P x ) =/= (/) -> x e. F ) ) )
2	1	simplbi 460	1 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> F e. ( fBas ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1802   =/= wne 2636   A.wral 2791   i^i cin 3457   (/)c0 3767   ~Pcpw 3993   ` cfv 5574   fBascfbas 18274   Filcfil 20212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-op 4017  df-uni 4231  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-id 4781  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fv 5582  df-fil 20213

This theorem is referenced by:  0nelfil  20216  filsspw  20218  filelss  20219  filin  20221  filtop  20222  snfbas  20233  fgfil  20242  elfilss  20243  filfinnfr  20244  fgabs  20246  filcon  20250  fgtr  20257  trfg  20258  ufilb  20273  ufilmax  20274  isufil2  20275  ssufl  20285  ufileu  20286  filufint  20287  ufilen  20297  fmfg  20316  fmufil  20326  fmid  20327  fmco  20328  ufldom  20329  hausflim  20348  flimrest  20350  flimclslem  20351  flfnei  20358  isflf  20360  flfcnp  20371  fclsrest  20391  fclsfnflim  20394  flimfnfcls  20395  isfcf  20401  cnpfcfi  20407  cnpfcf  20408  cnextcn  20433  cfilufg  20662  neipcfilu  20665  cnextucn  20672  ucnextcn  20673  cfilresi  21600  cfilres  21601  cmetss  21619  relcmpcmet  21621  cfilucfil3OLD  21623  cfilucfil3  21624  minveclem4a  21711  filnetlem4  30167