Theorem filfbas 19563

Description: A filter is a filter base. (Contributed by Jeff Hankins, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filfbas	|- ( F e. ( Fil ` X ) -> F e. ( fBas ` X ) )

Proof of Theorem filfbas

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfil 19562	. 2 |- ( F e. ( Fil ` X ) <-> ( F e. ( fBas ` X ) /\ A. x e. ~P X ( ( F i^i ~P x ) =/= (/) -> x e. F ) ) )
2	1	simplbi 460	1 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> F e. ( fBas ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1758   =/= wne 2648   A.wral 2799   i^i cin 3438   (/)c0 3748   ~Pcpw 3971   ` cfv 5529   fBascfbas 17939   Filcfil 19560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fv 5537  df-fil 19561

This theorem is referenced by:  0nelfil  19564  filsspw  19566  filelss  19567  filin  19569  filtop  19570  snfbas  19581  fgfil  19590  elfilss  19591  filfinnfr  19592  fgabs  19594  filcon  19598  fgtr  19605  trfg  19606  ufilb  19621  ufilmax  19622  isufil2  19623  ssufl  19633  ufileu  19634  filufint  19635  ufilen  19645  fmfg  19664  fmufil  19674  fmid  19675  fmco  19676  ufldom  19677  hausflim  19696  flimrest  19698  flimclslem  19699  flfnei  19706  isflf  19708  flfcnp  19719  fclsrest  19739  fclsfnflim  19742  flimfnfcls  19743  isfcf  19749  cnpfcfi  19755  cnpfcf  19756  cnextcn  19781  cfilufg  20010  neipcfilu  20013  cnextucn  20020  ucnextcn  20021  cfilresi  20948  cfilres  20949  cmetss  20967  relcmpcmet  20969  cfilucfil3OLD  20971  cfilucfil3  20972  minveclem4a  21059  filnetlem4  28773