Theorem filfbas 20911

Description: A filter is a filter base. (Contributed by Jeff Hankins, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filfbas	|- ( F e. ( Fil ` X ) -> F e. ( fBas ` X ) )

Proof of Theorem filfbas

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfil 20910	. 2 |- ( F e. ( Fil ` X ) <-> ( F e. ( fBas ` X ) /\ A. x e. ~P X ( ( F i^i ~P x ) =/= (/) -> x e. F ) ) )
2	1	simplbi 466	1 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> F e. ( fBas ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1897   =/= wne 2632   A.wral 2748   i^i cin 3414   (/)c0 3742   ~Pcpw 3962   ` cfv 5600   fBascfbas 19006   Filcfil 20908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-uni 4212  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-id 4767  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fv 5608  df-fil 20909

This theorem is referenced by:  0nelfil  20912  filsspw  20914  filelss  20915  filin  20917  filtop  20918  snfbas  20929  fgfil  20938  elfilss  20939  filfinnfr  20940  fgabs  20942  filcon  20946  fgtr  20953  trfg  20954  ufilb  20969  ufilmax  20970  isufil2  20971  ssufl  20981  ufileu  20982  filufint  20983  ufilen  20993  fmfg  21012  fmufil  21022  fmid  21023  fmco  21024  ufldom  21025  hausflim  21044  flimrest  21046  flimclslem  21047  flfnei  21054  isflf  21056  flfcnp  21067  fclsrest  21087  fclsfnflim  21090  flimfnfcls  21091  isfcf  21097  cnpfcfi  21103  cnpfcf  21104  cnextcn  21130  cfilufg  21356  neipcfilu  21359  cnextucn  21366  ucnextcn  21367  cfilresi  22313  cfilres  22314  cmetss  22332  relcmpcmet  22334  cfilucfil3  22336  minveclem4a  22420  minveclem4aOLD  22432  filnetlem4  31085