Theorem filfbas 10276

Description: A filter is a filter base. (Contributed by Jeff Hankins, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
filfbas	|- (F e. Fil -> F e. fBas)

Proof of Theorem filfbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1884	. . . . 5 |- U.F = U.F
2	1	filusb 10267	. . . 4 |- (F e. Fil -> U.F e. F)
3		ne0i 2881	. . . 4 |- (U.F e. F -> F =/= (/))
4	2, 3	syl 12	. . 3 |- (F e. Fil -> F =/= (/))
5		filesn 10268	. . . 4 |- (F e. Fil -> -. (/) e. F)
6		df-nel 2020	. . . 4 |- ((/) e/ F <-> -. (/) e. F)
7	5, 6	sylibr 217	. . 3 |- (F e. Fil -> (/) e/ F)
8		filint 10269	. . . . . 6 |- ((F e. Fil /\ x e. F /\ y e. F) -> (x i^i y) e. F)
9		ssid 2634	. . . . . . 7 |- (x i^i y) C_ (x i^i y)
10	9	a1i 8	. . . . . 6 |- ((F e. Fil /\ x e. F /\ y e. F) -> (x i^i y) C_ (x i^i y))
11		sseq1 2637	. . . . . . 7 |- (z = (x i^i y) -> (z C_ (x i^i y) <-> (x i^i y) C_ (x i^i y)))
12	11	rcla4ev 2381	. . . . . 6 |- (((x i^i y) e. F /\ (x i^i y) C_ (x i^i y)) -> E.z e. F z C_ (x i^i y))
13	8, 10, 12	syl11anc 524	. . . . 5 |- ((F e. Fil /\ x e. F /\ y e. F) -> E.z e. F z C_ (x i^i y))
14	13	3expib 1070	. . . 4 |- (F e. Fil -> ((x e. F /\ y e. F) -> E.z e. F z C_ (x i^i y)))
15	14	r19.21aivv 2183	. . 3 |- (F e. Fil -> A.x e. F A.y e. F E.z e. F z C_ (x i^i y))
16	4, 7, 15	3jca 1050	. 2 |- (F e. Fil -> (F =/= (/) /\ (/) e/ F /\ A.x e. F A.y e. F E.z e. F z C_ (x i^i y)))
17		isfbas2 10263	. 2 |- (F e. Fil -> (F e. fBas <-> (F =/= (/) /\ (/) e/ F /\ A.x e. F A.y e. F E.z e. F z C_ (x i^i y))))
18	16, 17	mpbird 213	1 |- (F e. Fil -> F e. fBas)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ w3a 858   e. wcel 1300   =/= wne 2017   e/ wnel 2018  A.wral 2105  E.wrex 2106   i^i cin 2592   C_ wss 2593  (/)c0 2875  U.cuni 3177  fBascfbas 10257  Filcfil 10264

This theorem is referenced by:  fgid 10289  hausfillim 10303  fbfgfmeq 10315  flimfnei 10319  isflimf 10323  holimf 10326  fbfgss2 14937  cnpfillim4 14947  isufil2 15565  ufileulem 15572  ufileu 15573  filufint 15574  uffixfr 15575  flimcls 15588  cnpfillim 15589  fmufil 15599  filfm 15600  flimfcnp 15602  fclsfnflim 15614  flimfnfcls 15615  fcluscnplem 15617  fcluscnp 15618  isfclusf 15625  flfssfcf 15629  uffcfflf 15630

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-uni 3178  df-fbas 10259  df-fil 10265

Copyright terms: Public domain