MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  filelss Structured version   Unicode version

Theorem filelss 20198
Description: An element of a filter is a subset of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
filelss  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  F )  ->  A  C_  X )

Proof of Theorem filelss
StepHypRef Expression
1 filfbas 20194 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  ( fBas `  X )
)
2 fbelss 20179 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  A  e.  F )  ->  A  C_  X )
31, 2sylan 471 1  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  F )  ->  A  C_  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767    C_ wss 3481   ` cfv 5593   fBascfbas 18253   Filcfil 20191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4251  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fv 5601  df-fbas 18263  df-fil 20192
This theorem is referenced by:  filin  20200  filtop  20201  filuni  20231  trfil2  20233  trfil3  20234  fgtr  20236  trfg  20237  ufilmax  20253  isufil2  20254  ufileu  20265  filufint  20266  cfinufil  20274  ufilen  20276  rnelfm  20299  fmfnfmlem4  20303  fmid  20306  flimclsi  20324  flimrest  20329  txflf  20352  fclsopn  20360  fclsrest  20370  flimfnfcls  20374  fclscmpi  20375  iscfil2  21550  cfil3i  21553  iscmet3lem2  21576  iscmet3  21577  cfilresi  21579  cfilres  21580  filnetlem3  30093
  Copyright terms: Public domain W3C validator