MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  filelss Structured version   Unicode version

Theorem filelss 20219
Description: An element of a filter is a subset of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
filelss  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  F )  ->  A  C_  X )

Proof of Theorem filelss
StepHypRef Expression
1 filfbas 20215 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  ( fBas `  X )
)
2 fbelss 20200 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  A  e.  F )  ->  A  C_  X )
31, 2sylan 471 1  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  F )  ->  A  C_  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1802    C_ wss 3458   ` cfv 5574   fBascfbas 18274   Filcfil 20212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-op 4017  df-uni 4231  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-id 4781  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fv 5582  df-fbas 18284  df-fil 20213
This theorem is referenced by:  filin  20221  filtop  20222  filuni  20252  trfil2  20254  trfil3  20255  fgtr  20257  trfg  20258  ufilmax  20274  isufil2  20275  ufileu  20286  filufint  20287  cfinufil  20295  ufilen  20297  rnelfm  20320  fmfnfmlem4  20324  fmid  20327  flimclsi  20345  flimrest  20350  txflf  20373  fclsopn  20381  fclsrest  20391  flimfnfcls  20395  fclscmpi  20396  iscfil2  21571  cfil3i  21574  iscmet3lem2  21597  iscmet3  21598  cfilresi  21600  cfilres  21601  filnetlem3  30166
  Copyright terms: Public domain W3C validator