MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  filelss Structured version   Unicode version

Theorem filelss 19267
Description: An element of a filter is a subset of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
filelss  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  F )  ->  A  C_  X )

Proof of Theorem filelss
StepHypRef Expression
1 filfbas 19263 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  ( fBas `  X )
)
2 fbelss 19248 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  A  e.  F )  ->  A  C_  X )
31, 2sylan 468 1  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  F )  ->  A  C_  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1755    C_ wss 3316   ` cfv 5406   fBascfbas 17648   Filcfil 19260
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fv 5414  df-fbas 17658  df-fil 19261
This theorem is referenced by:  filin  19269  filtop  19270  filuni  19300  trfil2  19302  trfil3  19303  fgtr  19305  trfg  19306  ufilmax  19322  isufil2  19323  ufileu  19334  filufint  19335  cfinufil  19343  ufilen  19345  rnelfm  19368  fmfnfmlem4  19372  fmid  19375  flimclsi  19393  flimrest  19398  txflf  19421  fclsopn  19429  fclsrest  19439  flimfnfcls  19443  fclscmpi  19444  iscfil2  20619  cfil3i  20622  iscmet3lem2  20645  iscmet3  20646  cfilresi  20648  cfilres  20649  filnetlem3  28445
  Copyright terms: Public domain W3C validator