Theorem filcon 20891

Description: A filter gives rise to a connected topology. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filcon	|- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( F u. { (/) } ) e. Con )

Proof of Theorem filcon

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> F e. ( Fil ` X ) )
2		filunibas 20889	. . . 4 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> U. F = X )
3	2	fveq2d 5867	. . 3 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( Fil ` U. F ) = ( Fil ` X ) )
4	1, 3	eleqtrrd 2531	. 2 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> F e. ( Fil ` U. F ) )
5		nss 3489	. . . . . . . 8 |- ( -. x C_ { (/) } <-> E. y ( y e. x /\ -. y e. { (/) } ) )
6		simpll 759	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) /\ ( y e. x /\ -. y e. { (/) } ) ) -> F e. ( Fil ` U. F ) )
7		ssel2 3426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x C_ ( F u. { (/) } ) /\ y e. x ) -> y e. ( F u. { (/) } ) )
8	7	adantll 719	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) /\ y e. x ) -> y e. ( F u. { (/) } ) )
9		elun 3573	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ( F u. { (/) } ) <-> ( y e. F \/ y e. { (/) } ) )
10	8, 9	sylib 200	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) /\ y e. x ) -> ( y e. F \/ y e. { (/) } ) )
11	10	orcomd 390	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) /\ y e. x ) -> ( y e. { (/) } \/ y e. F ) )
12	11	ord 379	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) /\ y e. x ) -> ( -. y e. { (/) } -> y e. F ) )
13	12	impr 624	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) /\ ( y e. x /\ -. y e. { (/) } ) ) -> y e. F )
14		uniss 4218	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x C_ ( F u. { (/) } ) -> U. x C_ U. ( F u. { (/) } ) )
15	14	ad2antlr 732	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) /\ ( y e. x /\ -. y e. { (/) } ) ) -> U. x C_ U. ( F u. { (/) } ) )
16		uniun 4216	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U. ( F u. { (/) } ) = ( U. F u. U. { (/) } )
17		0ex 4534	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (/) e. _V
18	17	unisn 4212	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U. { (/) } = (/)
19	18	uneq2i 3584	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U. F u. U. { (/) } ) = ( U. F u. (/) )
20		un0 3758	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U. F u. (/) ) = U. F
21	16, 19, 20	3eqtrri 2477	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. F = U. ( F u. { (/) } )
22	15, 21	syl6sseqr 3478	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) /\ ( y e. x /\ -. y e. { (/) } ) ) -> U. x C_ U. F )
23		elssuni 4226	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. x -> y C_ U. x )
24	23	ad2antrl 733	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) /\ ( y e. x /\ -. y e. { (/) } ) ) -> y C_ U. x )
25		filss 20861	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ ( y e. F /\ U. x C_ U. F /\ y C_ U. x ) ) -> U. x e. F )
26	6, 13, 22, 24, 25	syl13anc 1269	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) /\ ( y e. x /\ -. y e. { (/) } ) ) -> U. x e. F )
27		elun1 3600	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. x e. F -> U. x e. ( F u. { (/) } ) )
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) /\ ( y e. x /\ -. y e. { (/) } ) ) -> U. x e. ( F u. { (/) } ) )
29	28	ex 436	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) -> ( ( y e. x /\ -. y e. { (/) } ) -> U. x e. ( F u. { (/) } ) ) )
30	29	exlimdv 1778	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) -> ( E. y ( y e. x /\ -. y e. { (/) } ) -> U. x e. ( F u. { (/) } ) ) )
31	5, 30	syl5bi 221	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) -> ( -. x C_ { (/) } -> U. x e. ( F u. { (/) } ) ) )
32		uni0b 4222	. . . . . . . 8 |- ( U. x = (/) <-> x C_ { (/) } )
33		ssun2 3597	. . . . . . . . . 10 |- { (/) } C_ ( F u. { (/) } )
34	17	snid 3995	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. { (/) }
35	33, 34	sselii 3428	. . . . . . . . 9 |- (/) e. ( F u. { (/) } )
36		eleq1 2516	. . . . . . . . 9 |- ( U. x = (/) -> ( U. x e. ( F u. { (/) } ) <-> (/) e. ( F u. { (/) } ) ) )
37	35, 36	mpbiri 237	. . . . . . . 8 |- ( U. x = (/) -> U. x e. ( F u. { (/) } ) )
38	32, 37	sylbir 217	. . . . . . 7 |- ( x C_ { (/) } -> U. x e. ( F u. { (/) } ) )
39	31, 38	pm2.61d2 164	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) -> U. x e. ( F u. { (/) } ) )
40	39	ex 436	. . . . 5 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> ( x C_ ( F u. { (/) } ) -> U. x e. ( F u. { (/) } ) ) )
41	40	alrimiv 1772	. . . 4 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> A. x ( x C_ ( F u. { (/) } ) -> U. x e. ( F u. { (/) } ) ) )
42		filin 20862	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x e. F /\ y e. F ) -> ( x i^i y ) e. F )
43		elun1 3600	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x i^i y ) e. F -> ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x e. F /\ y e. F ) -> ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
45	44	3expa 1207	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x e. F ) /\ y e. F ) -> ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
46	45	ralrimiva 2801	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x e. F ) -> A. y e. F ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
47		elsni 3992	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { (/) } -> y = (/) )
48		ineq2 3627	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = (/) -> ( x i^i y ) = ( x i^i (/) ) )
49		in0 3759	. . . . . . . . . . 11 |- ( x i^i (/) ) = (/)
50	48, 49	syl6eq 2500	. . . . . . . . . 10 |- ( y = (/) -> ( x i^i y ) = (/) )
51	50, 35	syl6eqel 2536	. . . . . . . . 9 |- ( y = (/) -> ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
52	47, 51	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( y e. { (/) } -> ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
53	52	rgen 2746	. . . . . . 7 |- A. y e. { (/) } ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } )
54		ralun 3615	. . . . . . 7 |- ( ( A. y e. F ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) /\ A. y e. { (/) } ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) ) -> A. y e. ( F u. { (/) } ) ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
55	46, 53, 54	sylancl 667	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x e. F ) -> A. y e. ( F u. { (/) } ) ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
56	55	ralrimiva 2801	. . . . 5 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> A. x e. F A. y e. ( F u. { (/) } ) ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
57		elsni 3992	. . . . . . 7 |- ( x e. { (/) } -> x = (/) )
58		ineq1 3626	. . . . . . . . . 10 |- ( x = (/) -> ( x i^i y ) = ( (/) i^i y ) )
59		0ss 3762	. . . . . . . . . . 11 |- (/) C_ y
60		df-ss 3417	. . . . . . . . . . 11 |- ( (/) C_ y <-> ( (/) i^i y ) = (/) )
61	59, 60	mpbi 212	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) i^i y ) = (/)
62	58, 61	syl6eq 2500	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( x i^i y ) = (/) )
63	62, 35	syl6eqel 2536	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
64	63	ralrimivw 2802	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> A. y e. ( F u. { (/) } ) ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
65	57, 64	syl 17	. . . . . 6 |- ( x e. { (/) } -> A. y e. ( F u. { (/) } ) ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
66	65	rgen 2746	. . . . 5 |- A. x e. { (/) } A. y e. ( F u. { (/) } ) ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } )
67		ralun 3615	. . . . 5 |- ( ( A. x e. F A. y e. ( F u. { (/) } ) ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) /\ A. x e. { (/) } A. y e. ( F u. { (/) } ) ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) ) -> A. x e. ( F u. { (/) } ) A. y e. ( F u. { (/) } ) ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
68	56, 66, 67	sylancl 667	. . . 4 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> A. x e. ( F u. { (/) } ) A. y e. ( F u. { (/) } ) ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
69		p0ex 4589	. . . . . 6 |- { (/) } e. _V
70		unexg 6589	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ { (/) } e. _V ) -> ( F u. { (/) } ) e. _V )
71	69, 70	mpan2 676	. . . . 5 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> ( F u. { (/) } ) e. _V )
72		istopg 19918	. . . . 5 |- ( ( F u. { (/) } ) e. _V -> ( ( F u. { (/) } ) e. Top <-> ( A. x ( x C_ ( F u. { (/) } ) -> U. x e. ( F u. { (/) } ) ) /\ A. x e. ( F u. { (/) } ) A. y e. ( F u. { (/) } ) ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) ) ) )
73	71, 72	syl 17	. . . 4 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> ( ( F u. { (/) } ) e. Top <-> ( A. x ( x C_ ( F u. { (/) } ) -> U. x e. ( F u. { (/) } ) ) /\ A. x e. ( F u. { (/) } ) A. y e. ( F u. { (/) } ) ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) ) ) )
74	41, 68, 73	mpbir2and 932	. . 3 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> ( F u. { (/) } ) e. Top )
75	21	cldopn 20039	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( Clsd ` ( F u. { (/) } ) ) -> ( U. F \ x ) e. ( F u. { (/) } ) )
76		elun 3573	. . . . . . . 8 |- ( ( U. F \ x ) e. ( F u. { (/) } ) <-> ( ( U. F \ x ) e. F \/ ( U. F \ x ) e. { (/) } ) )
77	75, 76	sylib 200	. . . . . . 7 |- ( x e. ( Clsd ` ( F u. { (/) } ) ) -> ( ( U. F \ x ) e. F \/ ( U. F \ x ) e. { (/) } ) )
78		elun 3573	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( F u. { (/) } ) <-> ( x e. F \/ x e. { (/) } ) )
79		filfbas 20856	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> F e. ( fBas ` U. F ) )
80		fbncp 20847	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F e. ( fBas ` U. F ) /\ x e. F ) -> -. ( U. F \ x ) e. F )
81	79, 80	sylan 474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x e. F ) -> -. ( U. F \ x ) e. F )
82	81	pm2.21d 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x e. F ) -> ( ( U. F \ x ) e. F -> x = (/) ) )
83	82	ex 436	. . . . . . . . . . 11 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> ( x e. F -> ( ( U. F \ x ) e. F -> x = (/) ) ) )
84	57	a1d 26	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. { (/) } -> ( ( U. F \ x ) e. F -> x = (/) ) )
85	84	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> ( x e. { (/) } -> ( ( U. F \ x ) e. F -> x = (/) ) ) )
86	83, 85	jaod 382	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> ( ( x e. F \/ x e. { (/) } ) -> ( ( U. F \ x ) e. F -> x = (/) ) ) )
87	78, 86	syl5bi 221	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> ( x e. ( F u. { (/) } ) -> ( ( U. F \ x ) e. F -> x = (/) ) ) )
88	87	imp 431	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x e. ( F u. { (/) } ) ) -> ( ( U. F \ x ) e. F -> x = (/) ) )
89		elsni 3992	. . . . . . . . 9 |- ( ( U. F \ x ) e. { (/) } -> ( U. F \ x ) = (/) )
90		elssuni 4226	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( F u. { (/) } ) -> x C_ U. ( F u. { (/) } ) )
91	90, 21	syl6sseqr 3478	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( F u. { (/) } ) -> x C_ U. F )
92	91	adantl 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x e. ( F u. { (/) } ) ) -> x C_ U. F )
93		ssdif0 3822	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. F C_ x <-> ( U. F \ x ) = (/) )
94	93	biimpri 210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U. F \ x ) = (/) -> U. F C_ x )
95		eqss 3446	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = U. F <-> ( x C_ U. F /\ U. F C_ x ) )
96	95	simplbi2 630	. . . . . . . . . 10 |- ( x C_ U. F -> ( U. F C_ x -> x = U. F ) )
97	92, 94, 96	syl2im 39	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x e. ( F u. { (/) } ) ) -> ( ( U. F \ x ) = (/) -> x = U. F ) )
98	89, 97	syl5 33	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x e. ( F u. { (/) } ) ) -> ( ( U. F \ x ) e. { (/) } -> x = U. F ) )
99	88, 98	orim12d 848	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x e. ( F u. { (/) } ) ) -> ( ( ( U. F \ x ) e. F \/ ( U. F \ x ) e. { (/) } ) -> ( x = (/) \/ x = U. F ) ) )
100	77, 99	syl5 33	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x e. ( F u. { (/) } ) ) -> ( x e. ( Clsd ` ( F u. { (/) } ) ) -> ( x = (/) \/ x = U. F ) ) )
101	100	expimpd 607	. . . . 5 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> ( ( x e. ( F u. { (/) } ) /\ x e. ( Clsd ` ( F u. { (/) } ) ) ) -> ( x = (/) \/ x = U. F ) ) )
102		elin 3616	. . . . 5 |- ( x e. ( ( F u. { (/) } ) i^i ( Clsd ` ( F u. { (/) } ) ) ) <-> ( x e. ( F u. { (/) } ) /\ x e. ( Clsd ` ( F u. { (/) } ) ) ) )
103		vex 3047	. . . . . 6 |- x e. _V
104	103	elpr 3985	. . . . 5 |- ( x e. { (/) , U. F } <-> ( x = (/) \/ x = U. F ) )
105	101, 102, 104	3imtr4g 274	. . . 4 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> ( x e. ( ( F u. { (/) } ) i^i ( Clsd ` ( F u. { (/) } ) ) ) -> x e. { (/) , U. F } ) )
106	105	ssrdv 3437	. . 3 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> ( ( F u. { (/) } ) i^i ( Clsd ` ( F u. { (/) } ) ) ) C_ { (/) , U. F } )
107	21	iscon2 20422	. . 3 |- ( ( F u. { (/) } ) e. Con <-> ( ( F u. { (/) } ) e. Top /\ ( ( F u. { (/) } ) i^i ( Clsd ` ( F u. { (/) } ) ) ) C_ { (/) , U. F } ) )
108	74, 106, 107	sylanbrc 669	. 2 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> ( F u. { (/) } ) e. Con )
109	4, 108	syl 17	1 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( F u. { (/) } ) e. Con )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   /\ w3a 984   A.wal 1441   = wceq 1443   E.wex 1662   e. wcel 1886   A.wral 2736   _Vcvv 3044   \ cdif 3400   u. cun 3401   i^i cin 3402   C_ wss 3403   (/)c0 3730   {csn 3967   {cpr 3969   U.cuni 4197   ` cfv 5581   fBascfbas 18951   Topctop 19910   Clsdccld 20024   Conccon 20419   Filcfil 20853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-id 4748  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-fv 5589  df-fbas 18960  df-top 19914  df-cld 20027  df-con 20420  df-fil 20854

This theorem is referenced by:  ufildr  20939