Theorem filcon 19471

Description: A filter gives rise to a connected topology. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filcon	|- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( F u. { (/) } ) e. Con )

Proof of Theorem filcon

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> F e. ( Fil ` X ) )
2		filunibas 19469	. . . 4 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> U. F = X )
3	2	fveq2d 5710	. . 3 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( Fil ` U. F ) = ( Fil ` X ) )
4	1, 3	eleqtrrd 2520	. 2 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> F e. ( Fil ` U. F ) )
5		nss 3429	. . . . . . . 8 |- ( -. x C_ { (/) } <-> E. y ( y e. x /\ -. y e. { (/) } ) )
6		simpll 753	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) /\ ( y e. x /\ -. y e. { (/) } ) ) -> F e. ( Fil ` U. F ) )
7		ssel2 3366	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x C_ ( F u. { (/) } ) /\ y e. x ) -> y e. ( F u. { (/) } ) )
8	7	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) /\ y e. x ) -> y e. ( F u. { (/) } ) )
9		elun 3512	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ( F u. { (/) } ) <-> ( y e. F \/ y e. { (/) } ) )
10	8, 9	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) /\ y e. x ) -> ( y e. F \/ y e. { (/) } ) )
11	10	orcomd 388	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) /\ y e. x ) -> ( y e. { (/) } \/ y e. F ) )
12	11	ord 377	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) /\ y e. x ) -> ( -. y e. { (/) } -> y e. F ) )
13	12	impr 619	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) /\ ( y e. x /\ -. y e. { (/) } ) ) -> y e. F )
14		uniss 4127	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x C_ ( F u. { (/) } ) -> U. x C_ U. ( F u. { (/) } ) )
15	14	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) /\ ( y e. x /\ -. y e. { (/) } ) ) -> U. x C_ U. ( F u. { (/) } ) )
16		uniun 4125	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U. ( F u. { (/) } ) = ( U. F u. U. { (/) } )
17		0ex 4437	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (/) e. _V
18	17	unisn 4121	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U. { (/) } = (/)
19	18	uneq2i 3522	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U. F u. U. { (/) } ) = ( U. F u. (/) )
20		un0 3677	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U. F u. (/) ) = U. F
21	16, 19, 20	3eqtrri 2468	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. F = U. ( F u. { (/) } )
22	15, 21	syl6sseqr 3418	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) /\ ( y e. x /\ -. y e. { (/) } ) ) -> U. x C_ U. F )
23		elssuni 4136	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. x -> y C_ U. x )
24	23	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) /\ ( y e. x /\ -. y e. { (/) } ) ) -> y C_ U. x )
25		filss 19441	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ ( y e. F /\ U. x C_ U. F /\ y C_ U. x ) ) -> U. x e. F )
26	6, 13, 22, 24, 25	syl13anc 1220	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) /\ ( y e. x /\ -. y e. { (/) } ) ) -> U. x e. F )
27		elun1 3538	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. x e. F -> U. x e. ( F u. { (/) } ) )
28	26, 27	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) /\ ( y e. x /\ -. y e. { (/) } ) ) -> U. x e. ( F u. { (/) } ) )
29	28	ex 434	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) -> ( ( y e. x /\ -. y e. { (/) } ) -> U. x e. ( F u. { (/) } ) ) )
30	29	exlimdv 1690	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) -> ( E. y ( y e. x /\ -. y e. { (/) } ) -> U. x e. ( F u. { (/) } ) ) )
31	5, 30	syl5bi 217	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) -> ( -. x C_ { (/) } -> U. x e. ( F u. { (/) } ) ) )
32		uni0b 4131	. . . . . . . 8 |- ( U. x = (/) <-> x C_ { (/) } )
33		ssun2 3535	. . . . . . . . . 10 |- { (/) } C_ ( F u. { (/) } )
34	17	snid 3920	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. { (/) }
35	33, 34	sselii 3368	. . . . . . . . 9 |- (/) e. ( F u. { (/) } )
36		eleq1 2503	. . . . . . . . 9 |- ( U. x = (/) -> ( U. x e. ( F u. { (/) } ) <-> (/) e. ( F u. { (/) } ) ) )
37	35, 36	mpbiri 233	. . . . . . . 8 |- ( U. x = (/) -> U. x e. ( F u. { (/) } ) )
38	32, 37	sylbir 213	. . . . . . 7 |- ( x C_ { (/) } -> U. x e. ( F u. { (/) } ) )
39	31, 38	pm2.61d2 160	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) -> U. x e. ( F u. { (/) } ) )
40	39	ex 434	. . . . 5 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> ( x C_ ( F u. { (/) } ) -> U. x e. ( F u. { (/) } ) ) )
41	40	alrimiv 1685	. . . 4 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> A. x ( x C_ ( F u. { (/) } ) -> U. x e. ( F u. { (/) } ) ) )
42		filin 19442	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x e. F /\ y e. F ) -> ( x i^i y ) e. F )
43		elun1 3538	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x i^i y ) e. F -> ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
44	42, 43	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x e. F /\ y e. F ) -> ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
45	44	3expa 1187	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x e. F ) /\ y e. F ) -> ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
46	45	ralrimiva 2814	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x e. F ) -> A. y e. F ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
47		elsni 3917	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { (/) } -> y = (/) )
48		ineq2 3561	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = (/) -> ( x i^i y ) = ( x i^i (/) ) )
49		in0 3678	. . . . . . . . . . 11 |- ( x i^i (/) ) = (/)
50	48, 49	syl6eq 2491	. . . . . . . . . 10 |- ( y = (/) -> ( x i^i y ) = (/) )
51	50, 35	syl6eqel 2531	. . . . . . . . 9 |- ( y = (/) -> ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
52	47, 51	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( y e. { (/) } -> ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
53	52	rgen 2796	. . . . . . 7 |- A. y e. { (/) } ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } )
54		ralun 3553	. . . . . . 7 |- ( ( A. y e. F ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) /\ A. y e. { (/) } ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) ) -> A. y e. ( F u. { (/) } ) ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
55	46, 53, 54	sylancl 662	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x e. F ) -> A. y e. ( F u. { (/) } ) ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
56	55	ralrimiva 2814	. . . . 5 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> A. x e. F A. y e. ( F u. { (/) } ) ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
57		elsni 3917	. . . . . . 7 |- ( x e. { (/) } -> x = (/) )
58		ineq1 3560	. . . . . . . . . 10 |- ( x = (/) -> ( x i^i y ) = ( (/) i^i y ) )
59		0ss 3681	. . . . . . . . . . 11 |- (/) C_ y
60		df-ss 3357	. . . . . . . . . . 11 |- ( (/) C_ y <-> ( (/) i^i y ) = (/) )
61	59, 60	mpbi 208	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) i^i y ) = (/)
62	58, 61	syl6eq 2491	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( x i^i y ) = (/) )
63	62, 35	syl6eqel 2531	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
64	63	ralrimivw 2815	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> A. y e. ( F u. { (/) } ) ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
65	57, 64	syl 16	. . . . . 6 |- ( x e. { (/) } -> A. y e. ( F u. { (/) } ) ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
66	65	rgen 2796	. . . . 5 |- A. x e. { (/) } A. y e. ( F u. { (/) } ) ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } )
67		ralun 3553	. . . . 5 |- ( ( A. x e. F A. y e. ( F u. { (/) } ) ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) /\ A. x e. { (/) } A. y e. ( F u. { (/) } ) ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) ) -> A. x e. ( F u. { (/) } ) A. y e. ( F u. { (/) } ) ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
68	56, 66, 67	sylancl 662	. . . 4 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> A. x e. ( F u. { (/) } ) A. y e. ( F u. { (/) } ) ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
69		p0ex 4494	. . . . . 6 |- { (/) } e. _V
70		unexg 6396	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ { (/) } e. _V ) -> ( F u. { (/) } ) e. _V )
71	69, 70	mpan2 671	. . . . 5 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> ( F u. { (/) } ) e. _V )
72		istopg 18523	. . . . 5 |- ( ( F u. { (/) } ) e. _V -> ( ( F u. { (/) } ) e. Top <-> ( A. x ( x C_ ( F u. { (/) } ) -> U. x e. ( F u. { (/) } ) ) /\ A. x e. ( F u. { (/) } ) A. y e. ( F u. { (/) } ) ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) ) ) )
73	71, 72	syl 16	. . . 4 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> ( ( F u. { (/) } ) e. Top <-> ( A. x ( x C_ ( F u. { (/) } ) -> U. x e. ( F u. { (/) } ) ) /\ A. x e. ( F u. { (/) } ) A. y e. ( F u. { (/) } ) ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) ) ) )
74	41, 68, 73	mpbir2and 913	. . 3 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> ( F u. { (/) } ) e. Top )
75	21	cldopn 18650	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( Clsd ` ( F u. { (/) } ) ) -> ( U. F \ x ) e. ( F u. { (/) } ) )
76		elun 3512	. . . . . . . 8 |- ( ( U. F \ x ) e. ( F u. { (/) } ) <-> ( ( U. F \ x ) e. F \/ ( U. F \ x ) e. { (/) } ) )
77	75, 76	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( x e. ( Clsd ` ( F u. { (/) } ) ) -> ( ( U. F \ x ) e. F \/ ( U. F \ x ) e. { (/) } ) )
78		elun 3512	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( F u. { (/) } ) <-> ( x e. F \/ x e. { (/) } ) )
79		filfbas 19436	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> F e. ( fBas ` U. F ) )
80		fbncp 19427	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F e. ( fBas ` U. F ) /\ x e. F ) -> -. ( U. F \ x ) e. F )
81	79, 80	sylan 471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x e. F ) -> -. ( U. F \ x ) e. F )
82	81	pm2.21d 106	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x e. F ) -> ( ( U. F \ x ) e. F -> x = (/) ) )
83	82	ex 434	. . . . . . . . . . 11 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> ( x e. F -> ( ( U. F \ x ) e. F -> x = (/) ) ) )
84	57	a1d 25	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. { (/) } -> ( ( U. F \ x ) e. F -> x = (/) ) )
85	84	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> ( x e. { (/) } -> ( ( U. F \ x ) e. F -> x = (/) ) ) )
86	83, 85	jaod 380	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> ( ( x e. F \/ x e. { (/) } ) -> ( ( U. F \ x ) e. F -> x = (/) ) ) )
87	78, 86	syl5bi 217	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> ( x e. ( F u. { (/) } ) -> ( ( U. F \ x ) e. F -> x = (/) ) ) )
88	87	imp 429	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x e. ( F u. { (/) } ) ) -> ( ( U. F \ x ) e. F -> x = (/) ) )
89		elsni 3917	. . . . . . . . 9 |- ( ( U. F \ x ) e. { (/) } -> ( U. F \ x ) = (/) )
90		elssuni 4136	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( F u. { (/) } ) -> x C_ U. ( F u. { (/) } ) )
91	90, 21	syl6sseqr 3418	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( F u. { (/) } ) -> x C_ U. F )
92	91	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x e. ( F u. { (/) } ) ) -> x C_ U. F )
93		ssdif0 3752	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. F C_ x <-> ( U. F \ x ) = (/) )
94	93	biimpri 206	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U. F \ x ) = (/) -> U. F C_ x )
95		eqss 3386	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = U. F <-> ( x C_ U. F /\ U. F C_ x ) )
96	95	simplbi2 625	. . . . . . . . . 10 |- ( x C_ U. F -> ( U. F C_ x -> x = U. F ) )
97	92, 94, 96	syl2im 38	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x e. ( F u. { (/) } ) ) -> ( ( U. F \ x ) = (/) -> x = U. F ) )
98	89, 97	syl5 32	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x e. ( F u. { (/) } ) ) -> ( ( U. F \ x ) e. { (/) } -> x = U. F ) )
99	88, 98	orim12d 834	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x e. ( F u. { (/) } ) ) -> ( ( ( U. F \ x ) e. F \/ ( U. F \ x ) e. { (/) } ) -> ( x = (/) \/ x = U. F ) ) )
100	77, 99	syl5 32	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x e. ( F u. { (/) } ) ) -> ( x e. ( Clsd ` ( F u. { (/) } ) ) -> ( x = (/) \/ x = U. F ) ) )
101	100	expimpd 603	. . . . 5 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> ( ( x e. ( F u. { (/) } ) /\ x e. ( Clsd ` ( F u. { (/) } ) ) ) -> ( x = (/) \/ x = U. F ) ) )
102		elin 3554	. . . . 5 |- ( x e. ( ( F u. { (/) } ) i^i ( Clsd ` ( F u. { (/) } ) ) ) <-> ( x e. ( F u. { (/) } ) /\ x e. ( Clsd ` ( F u. { (/) } ) ) ) )
103		vex 2990	. . . . . 6 |- x e. _V
104	103	elpr 3910	. . . . 5 |- ( x e. { (/) , U. F } <-> ( x = (/) \/ x = U. F ) )
105	101, 102, 104	3imtr4g 270	. . . 4 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> ( x e. ( ( F u. { (/) } ) i^i ( Clsd ` ( F u. { (/) } ) ) ) -> x e. { (/) , U. F } ) )
106	105	ssrdv 3377	. . 3 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> ( ( F u. { (/) } ) i^i ( Clsd ` ( F u. { (/) } ) ) ) C_ { (/) , U. F } )
107	21	iscon2 19033	. . 3 |- ( ( F u. { (/) } ) e. Con <-> ( ( F u. { (/) } ) e. Top /\ ( ( F u. { (/) } ) i^i ( Clsd ` ( F u. { (/) } ) ) ) C_ { (/) , U. F } ) )
108	74, 106, 107	sylanbrc 664	. 2 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> ( F u. { (/) } ) e. Con )
109	4, 108	syl 16	1 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( F u. { (/) } ) e. Con )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 965   A.wal 1367   = wceq 1369   E.wex 1586   e. wcel 1756   A.wral 2730   _Vcvv 2987   \ cdif 3340   u. cun 3341   i^i cin 3342   C_ wss 3343   (/)c0 3652   {csn 3892   {cpr 3894   U.cuni 4106   ` cfv 5433   fBascfbas 17819   Topctop 18513   Clsdccld 18635   Conccon 19030   Filcfil 19433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-op 3899  df-uni 4107  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-id 4651  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-fv 5441  df-fbas 17829  df-top 18518  df-cld 18638  df-con 19031  df-fil 19434

This theorem is referenced by:  ufildr  19519