Theorem filcon 20119

Description: A filter gives rise to a connected topology. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filcon	|- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( F u. { (/) } ) e. Con )

Proof of Theorem filcon

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> F e. ( Fil ` X ) )
2		filunibas 20117	. . . 4 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> U. F = X )
3	2	fveq2d 5868	. . 3 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( Fil ` U. F ) = ( Fil ` X ) )
4	1, 3	eleqtrrd 2558	. 2 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> F e. ( Fil ` U. F ) )
5		nss 3562	. . . . . . . 8 |- ( -. x C_ { (/) } <-> E. y ( y e. x /\ -. y e. { (/) } ) )
6		simpll 753	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) /\ ( y e. x /\ -. y e. { (/) } ) ) -> F e. ( Fil ` U. F ) )
7		ssel2 3499	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x C_ ( F u. { (/) } ) /\ y e. x ) -> y e. ( F u. { (/) } ) )
8	7	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) /\ y e. x ) -> y e. ( F u. { (/) } ) )
9		elun 3645	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ( F u. { (/) } ) <-> ( y e. F \/ y e. { (/) } ) )
10	8, 9	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) /\ y e. x ) -> ( y e. F \/ y e. { (/) } ) )
11	10	orcomd 388	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) /\ y e. x ) -> ( y e. { (/) } \/ y e. F ) )
12	11	ord 377	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) /\ y e. x ) -> ( -. y e. { (/) } -> y e. F ) )
13	12	impr 619	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) /\ ( y e. x /\ -. y e. { (/) } ) ) -> y e. F )
14		uniss 4266	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x C_ ( F u. { (/) } ) -> U. x C_ U. ( F u. { (/) } ) )
15	14	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) /\ ( y e. x /\ -. y e. { (/) } ) ) -> U. x C_ U. ( F u. { (/) } ) )
16		uniun 4264	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U. ( F u. { (/) } ) = ( U. F u. U. { (/) } )
17		0ex 4577	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (/) e. _V
18	17	unisn 4260	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U. { (/) } = (/)
19	18	uneq2i 3655	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U. F u. U. { (/) } ) = ( U. F u. (/) )
20		un0 3810	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U. F u. (/) ) = U. F
21	16, 19, 20	3eqtrri 2501	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. F = U. ( F u. { (/) } )
22	15, 21	syl6sseqr 3551	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) /\ ( y e. x /\ -. y e. { (/) } ) ) -> U. x C_ U. F )
23		elssuni 4275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. x -> y C_ U. x )
24	23	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) /\ ( y e. x /\ -. y e. { (/) } ) ) -> y C_ U. x )
25		filss 20089	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ ( y e. F /\ U. x C_ U. F /\ y C_ U. x ) ) -> U. x e. F )
26	6, 13, 22, 24, 25	syl13anc 1230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) /\ ( y e. x /\ -. y e. { (/) } ) ) -> U. x e. F )
27		elun1 3671	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. x e. F -> U. x e. ( F u. { (/) } ) )
28	26, 27	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) /\ ( y e. x /\ -. y e. { (/) } ) ) -> U. x e. ( F u. { (/) } ) )
29	28	ex 434	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) -> ( ( y e. x /\ -. y e. { (/) } ) -> U. x e. ( F u. { (/) } ) ) )
30	29	exlimdv 1700	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) -> ( E. y ( y e. x /\ -. y e. { (/) } ) -> U. x e. ( F u. { (/) } ) ) )
31	5, 30	syl5bi 217	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) -> ( -. x C_ { (/) } -> U. x e. ( F u. { (/) } ) ) )
32		uni0b 4270	. . . . . . . 8 |- ( U. x = (/) <-> x C_ { (/) } )
33		ssun2 3668	. . . . . . . . . 10 |- { (/) } C_ ( F u. { (/) } )
34	17	snid 4055	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. { (/) }
35	33, 34	sselii 3501	. . . . . . . . 9 |- (/) e. ( F u. { (/) } )
36		eleq1 2539	. . . . . . . . 9 |- ( U. x = (/) -> ( U. x e. ( F u. { (/) } ) <-> (/) e. ( F u. { (/) } ) ) )
37	35, 36	mpbiri 233	. . . . . . . 8 |- ( U. x = (/) -> U. x e. ( F u. { (/) } ) )
38	32, 37	sylbir 213	. . . . . . 7 |- ( x C_ { (/) } -> U. x e. ( F u. { (/) } ) )
39	31, 38	pm2.61d2 160	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) -> U. x e. ( F u. { (/) } ) )
40	39	ex 434	. . . . 5 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> ( x C_ ( F u. { (/) } ) -> U. x e. ( F u. { (/) } ) ) )
41	40	alrimiv 1695	. . . 4 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> A. x ( x C_ ( F u. { (/) } ) -> U. x e. ( F u. { (/) } ) ) )
42		filin 20090	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x e. F /\ y e. F ) -> ( x i^i y ) e. F )
43		elun1 3671	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x i^i y ) e. F -> ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
44	42, 43	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x e. F /\ y e. F ) -> ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
45	44	3expa 1196	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x e. F ) /\ y e. F ) -> ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
46	45	ralrimiva 2878	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x e. F ) -> A. y e. F ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
47		elsni 4052	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { (/) } -> y = (/) )
48		ineq2 3694	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = (/) -> ( x i^i y ) = ( x i^i (/) ) )
49		in0 3811	. . . . . . . . . . 11 |- ( x i^i (/) ) = (/)
50	48, 49	syl6eq 2524	. . . . . . . . . 10 |- ( y = (/) -> ( x i^i y ) = (/) )
51	50, 35	syl6eqel 2563	. . . . . . . . 9 |- ( y = (/) -> ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
52	47, 51	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( y e. { (/) } -> ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
53	52	rgen 2824	. . . . . . 7 |- A. y e. { (/) } ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } )
54		ralun 3686	. . . . . . 7 |- ( ( A. y e. F ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) /\ A. y e. { (/) } ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) ) -> A. y e. ( F u. { (/) } ) ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
55	46, 53, 54	sylancl 662	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x e. F ) -> A. y e. ( F u. { (/) } ) ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
56	55	ralrimiva 2878	. . . . 5 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> A. x e. F A. y e. ( F u. { (/) } ) ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
57		elsni 4052	. . . . . . 7 |- ( x e. { (/) } -> x = (/) )
58		ineq1 3693	. . . . . . . . . 10 |- ( x = (/) -> ( x i^i y ) = ( (/) i^i y ) )
59		0ss 3814	. . . . . . . . . . 11 |- (/) C_ y
60		df-ss 3490	. . . . . . . . . . 11 |- ( (/) C_ y <-> ( (/) i^i y ) = (/) )
61	59, 60	mpbi 208	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) i^i y ) = (/)
62	58, 61	syl6eq 2524	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( x i^i y ) = (/) )
63	62, 35	syl6eqel 2563	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
64	63	ralrimivw 2879	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> A. y e. ( F u. { (/) } ) ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
65	57, 64	syl 16	. . . . . 6 |- ( x e. { (/) } -> A. y e. ( F u. { (/) } ) ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
66	65	rgen 2824	. . . . 5 |- A. x e. { (/) } A. y e. ( F u. { (/) } ) ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } )
67		ralun 3686	. . . . 5 |- ( ( A. x e. F A. y e. ( F u. { (/) } ) ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) /\ A. x e. { (/) } A. y e. ( F u. { (/) } ) ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) ) -> A. x e. ( F u. { (/) } ) A. y e. ( F u. { (/) } ) ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
68	56, 66, 67	sylancl 662	. . . 4 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> A. x e. ( F u. { (/) } ) A. y e. ( F u. { (/) } ) ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
69		p0ex 4634	. . . . . 6 |- { (/) } e. _V
70		unexg 6583	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ { (/) } e. _V ) -> ( F u. { (/) } ) e. _V )
71	69, 70	mpan2 671	. . . . 5 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> ( F u. { (/) } ) e. _V )
72		istopg 19171	. . . . 5 |- ( ( F u. { (/) } ) e. _V -> ( ( F u. { (/) } ) e. Top <-> ( A. x ( x C_ ( F u. { (/) } ) -> U. x e. ( F u. { (/) } ) ) /\ A. x e. ( F u. { (/) } ) A. y e. ( F u. { (/) } ) ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) ) ) )
73	71, 72	syl 16	. . . 4 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> ( ( F u. { (/) } ) e. Top <-> ( A. x ( x C_ ( F u. { (/) } ) -> U. x e. ( F u. { (/) } ) ) /\ A. x e. ( F u. { (/) } ) A. y e. ( F u. { (/) } ) ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) ) ) )
74	41, 68, 73	mpbir2and 920	. . 3 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> ( F u. { (/) } ) e. Top )
75	21	cldopn 19298	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( Clsd ` ( F u. { (/) } ) ) -> ( U. F \ x ) e. ( F u. { (/) } ) )
76		elun 3645	. . . . . . . 8 |- ( ( U. F \ x ) e. ( F u. { (/) } ) <-> ( ( U. F \ x ) e. F \/ ( U. F \ x ) e. { (/) } ) )
77	75, 76	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( x e. ( Clsd ` ( F u. { (/) } ) ) -> ( ( U. F \ x ) e. F \/ ( U. F \ x ) e. { (/) } ) )
78		elun 3645	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( F u. { (/) } ) <-> ( x e. F \/ x e. { (/) } ) )
79		filfbas 20084	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> F e. ( fBas ` U. F ) )
80		fbncp 20075	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F e. ( fBas ` U. F ) /\ x e. F ) -> -. ( U. F \ x ) e. F )
81	79, 80	sylan 471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x e. F ) -> -. ( U. F \ x ) e. F )
82	81	pm2.21d 106	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x e. F ) -> ( ( U. F \ x ) e. F -> x = (/) ) )
83	82	ex 434	. . . . . . . . . . 11 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> ( x e. F -> ( ( U. F \ x ) e. F -> x = (/) ) ) )
84	57	a1d 25	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. { (/) } -> ( ( U. F \ x ) e. F -> x = (/) ) )
85	84	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> ( x e. { (/) } -> ( ( U. F \ x ) e. F -> x = (/) ) ) )
86	83, 85	jaod 380	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> ( ( x e. F \/ x e. { (/) } ) -> ( ( U. F \ x ) e. F -> x = (/) ) ) )
87	78, 86	syl5bi 217	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> ( x e. ( F u. { (/) } ) -> ( ( U. F \ x ) e. F -> x = (/) ) ) )
88	87	imp 429	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x e. ( F u. { (/) } ) ) -> ( ( U. F \ x ) e. F -> x = (/) ) )
89		elsni 4052	. . . . . . . . 9 |- ( ( U. F \ x ) e. { (/) } -> ( U. F \ x ) = (/) )
90		elssuni 4275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( F u. { (/) } ) -> x C_ U. ( F u. { (/) } ) )
91	90, 21	syl6sseqr 3551	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( F u. { (/) } ) -> x C_ U. F )
92	91	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x e. ( F u. { (/) } ) ) -> x C_ U. F )
93		ssdif0 3885	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. F C_ x <-> ( U. F \ x ) = (/) )
94	93	biimpri 206	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U. F \ x ) = (/) -> U. F C_ x )
95		eqss 3519	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = U. F <-> ( x C_ U. F /\ U. F C_ x ) )
96	95	simplbi2 625	. . . . . . . . . 10 |- ( x C_ U. F -> ( U. F C_ x -> x = U. F ) )
97	92, 94, 96	syl2im 38	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x e. ( F u. { (/) } ) ) -> ( ( U. F \ x ) = (/) -> x = U. F ) )
98	89, 97	syl5 32	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x e. ( F u. { (/) } ) ) -> ( ( U. F \ x ) e. { (/) } -> x = U. F ) )
99	88, 98	orim12d 836	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x e. ( F u. { (/) } ) ) -> ( ( ( U. F \ x ) e. F \/ ( U. F \ x ) e. { (/) } ) -> ( x = (/) \/ x = U. F ) ) )
100	77, 99	syl5 32	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x e. ( F u. { (/) } ) ) -> ( x e. ( Clsd ` ( F u. { (/) } ) ) -> ( x = (/) \/ x = U. F ) ) )
101	100	expimpd 603	. . . . 5 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> ( ( x e. ( F u. { (/) } ) /\ x e. ( Clsd ` ( F u. { (/) } ) ) ) -> ( x = (/) \/ x = U. F ) ) )
102		elin 3687	. . . . 5 |- ( x e. ( ( F u. { (/) } ) i^i ( Clsd ` ( F u. { (/) } ) ) ) <-> ( x e. ( F u. { (/) } ) /\ x e. ( Clsd ` ( F u. { (/) } ) ) ) )
103		vex 3116	. . . . . 6 |- x e. _V
104	103	elpr 4045	. . . . 5 |- ( x e. { (/) , U. F } <-> ( x = (/) \/ x = U. F ) )
105	101, 102, 104	3imtr4g 270	. . . 4 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> ( x e. ( ( F u. { (/) } ) i^i ( Clsd ` ( F u. { (/) } ) ) ) -> x e. { (/) , U. F } ) )
106	105	ssrdv 3510	. . 3 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> ( ( F u. { (/) } ) i^i ( Clsd ` ( F u. { (/) } ) ) ) C_ { (/) , U. F } )
107	21	iscon2 19681	. . 3 |- ( ( F u. { (/) } ) e. Con <-> ( ( F u. { (/) } ) e. Top /\ ( ( F u. { (/) } ) i^i ( Clsd ` ( F u. { (/) } ) ) ) C_ { (/) , U. F } ) )
108	74, 106, 107	sylanbrc 664	. 2 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> ( F u. { (/) } ) e. Con )
109	4, 108	syl 16	1 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( F u. { (/) } ) e. Con )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 973   A.wal 1377   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113   \ cdif 3473   u. cun 3474   i^i cin 3475   C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   {cpr 4029   U.cuni 4245   ` cfv 5586   fBascfbas 18177   Topctop 19161   Clsdccld 19283   Conccon 19678   Filcfil 20081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-fv 5594  df-fbas 18187  df-top 19166  df-cld 19286  df-con 19679  df-fil 20082

This theorem is referenced by:  ufildr  20167