MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  filcon Structured version   Unicode version

Theorem filcon 20119
Description: A filter gives rise to a connected topology. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
filcon  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( F  u.  { (/) } )  e. 
Con )

Proof of Theorem filcon
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
2 filunibas 20117 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  U. F  =  X )
32fveq2d 5868 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( Fil ` 
U. F )  =  ( Fil `  X
) )
41, 3eleqtrrd 2558 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  ( Fil `  U. F
) )
5 nss 3562 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  C_  { (/) }  <->  E. y
( y  e.  x  /\  -.  y  e.  { (/)
} ) )
6 simpll 753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  U. F
)  /\  x  C_  ( F  u.  { (/) } ) )  /\  ( y  e.  x  /\  -.  y  e.  { (/) } ) )  ->  F  e.  ( Fil `  U. F
) )
7 ssel2 3499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  C_  ( F  u.  { (/) } )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  ( F  u.  { (/) } ) )
87adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  U. F
)  /\  x  C_  ( F  u.  { (/) } ) )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  ( F  u.  { (/)
} ) )
9 elun 3645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( F  u.  {
(/) } )  <->  ( y  e.  F  \/  y  e.  { (/) } ) )
108, 9sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  U. F
)  /\  x  C_  ( F  u.  { (/) } ) )  /\  y  e.  x )  ->  (
y  e.  F  \/  y  e.  { (/) } ) )
1110orcomd 388 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  U. F
)  /\  x  C_  ( F  u.  { (/) } ) )  /\  y  e.  x )  ->  (
y  e.  { (/) }  \/  y  e.  F
) )
1211ord 377 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  U. F
)  /\  x  C_  ( F  u.  { (/) } ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( -.  y  e.  { (/) }  ->  y  e.  F
) )
1312impr 619 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  U. F
)  /\  x  C_  ( F  u.  { (/) } ) )  /\  ( y  e.  x  /\  -.  y  e.  { (/) } ) )  ->  y  e.  F )
14 uniss 4266 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x 
C_  ( F  u.  {
(/) } )  ->  U. x  C_ 
U. ( F  u.  {
(/) } ) )
1514ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  U. F
)  /\  x  C_  ( F  u.  { (/) } ) )  /\  ( y  e.  x  /\  -.  y  e.  { (/) } ) )  ->  U. x  C_ 
U. ( F  u.  {
(/) } ) )
16 uniun 4264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. ( F  u.  { (/) } )  =  ( U. F  u.  U. { (/) } )
17 0ex 4577 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (/)  e.  _V
1817unisn 4260 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. { (/)
}  =  (/)
1918uneq2i 3655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U. F  u.  U. { (/) } )  =  ( U. F  u.  (/) )
20 un0 3810 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U. F  u.  (/) )  = 
U. F
2116, 19, 203eqtrri 2501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. F  =  U. ( F  u.  {
(/) } )
2215, 21syl6sseqr 3551 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  U. F
)  /\  x  C_  ( F  u.  { (/) } ) )  /\  ( y  e.  x  /\  -.  y  e.  { (/) } ) )  ->  U. x  C_ 
U. F )
23 elssuni 4275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  x  ->  y  C_ 
U. x )
2423ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  U. F
)  /\  x  C_  ( F  u.  { (/) } ) )  /\  ( y  e.  x  /\  -.  y  e.  { (/) } ) )  ->  y  C_  U. x )
25 filss 20089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  ( y  e.  F  /\  U. x  C_  U. F  /\  y  C_  U. x
) )  ->  U. x  e.  F )
266, 13, 22, 24, 25syl13anc 1230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  U. F
)  /\  x  C_  ( F  u.  { (/) } ) )  /\  ( y  e.  x  /\  -.  y  e.  { (/) } ) )  ->  U. x  e.  F )
27 elun1 3671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. x  e.  F  ->  U. x  e.  ( F  u.  { (/) } ) )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  U. F
)  /\  x  C_  ( F  u.  { (/) } ) )  /\  ( y  e.  x  /\  -.  y  e.  { (/) } ) )  ->  U. x  e.  ( F  u.  { (/)
} ) )
2928ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  x  C_  ( F  u.  {
(/) } ) )  -> 
( ( y  e.  x  /\  -.  y  e.  { (/) } )  ->  U. x  e.  ( F  u.  { (/) } ) ) )
3029exlimdv 1700 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  x  C_  ( F  u.  {
(/) } ) )  -> 
( E. y ( y  e.  x  /\  -.  y  e.  { (/) } )  ->  U. x  e.  ( F  u.  { (/)
} ) ) )
315, 30syl5bi 217 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  x  C_  ( F  u.  {
(/) } ) )  -> 
( -.  x  C_  {
(/) }  ->  U. x  e.  ( F  u.  { (/)
} ) ) )
32 uni0b 4270 . . . . . . . 8  |-  ( U. x  =  (/)  <->  x  C_  { (/) } )
33 ssun2 3668 . . . . . . . . . 10  |-  { (/) } 
C_  ( F  u.  {
(/) } )
3417snid 4055 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  { (/)
}
3533, 34sselii 3501 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  ( F  u.  { (/) } )
36 eleq1 2539 . . . . . . . . 9  |-  ( U. x  =  (/)  ->  ( U. x  e.  ( F  u.  { (/) } )  <->  (/) 
e.  ( F  u.  {
(/) } ) ) )
3735, 36mpbiri 233 . . . . . . . 8  |-  ( U. x  =  (/)  ->  U. x  e.  ( F  u.  { (/)
} ) )
3832, 37sylbir 213 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  { (/) }  ->  U. x  e.  ( F  u.  { (/) } ) )
3931, 38pm2.61d2 160 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  x  C_  ( F  u.  {
(/) } ) )  ->  U. x  e.  ( F  u.  { (/) } ) )
4039ex 434 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. F )  ->  (
x  C_  ( F  u.  { (/) } )  ->  U. x  e.  ( F  u.  { (/) } ) ) )
4140alrimiv 1695 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. F )  ->  A. x
( x  C_  ( F  u.  { (/) } )  ->  U. x  e.  ( F  u.  { (/) } ) ) )
42 filin 20090 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  x  e.  F  /\  y  e.  F )  ->  ( x  i^i  y
)  e.  F )
43 elun1 3671 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  i^i  y )  e.  F  ->  (
x  i^i  y )  e.  ( F  u.  { (/)
} ) )
4442, 43syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  x  e.  F  /\  y  e.  F )  ->  ( x  i^i  y
)  e.  ( F  u.  { (/) } ) )
45443expa 1196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  U. F
)  /\  x  e.  F )  /\  y  e.  F )  ->  (
x  i^i  y )  e.  ( F  u.  { (/)
} ) )
4645ralrimiva 2878 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  x  e.  F )  ->  A. y  e.  F  ( x  i^i  y
)  e.  ( F  u.  { (/) } ) )
47 elsni 4052 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { (/) }  ->  y  =  (/) )
48 ineq2 3694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  (/)  ->  ( x  i^i  y )  =  ( x  i^i  (/) ) )
49 in0 3811 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  i^i  (/) )  =  (/)
5048, 49syl6eq 2524 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  (/)  ->  ( x  i^i  y )  =  (/) )
5150, 35syl6eqel 2563 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  (/)  ->  ( x  i^i  y )  e.  ( F  u.  { (/)
} ) )
5247, 51syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { (/) }  ->  ( x  i^i  y )  e.  ( F  u.  {
(/) } ) )
5352rgen 2824 . . . . . . 7  |-  A. y  e.  { (/) }  ( x  i^i  y )  e.  ( F  u.  { (/)
} )
54 ralun 3686 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  F  ( x  i^i  y
)  e.  ( F  u.  { (/) } )  /\  A. y  e. 
{ (/) }  ( x  i^i  y )  e.  ( F  u.  { (/)
} ) )  ->  A. y  e.  ( F  u.  { (/) } ) ( x  i^i  y
)  e.  ( F  u.  { (/) } ) )
5546, 53, 54sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  x  e.  F )  ->  A. y  e.  ( F  u.  { (/) } ) ( x  i^i  y )  e.  ( F  u.  { (/) } ) )
5655ralrimiva 2878 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. F )  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  ( F  u.  { (/)
} ) ( x  i^i  y )  e.  ( F  u.  { (/)
} ) )
57 elsni 4052 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { (/) }  ->  x  =  (/) )
58 ineq1 3693 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  i^i  y )  =  ( (/)  i^i  y
) )
59 0ss 3814 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  C_  y
60 df-ss 3490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  C_  y  <->  ( (/)  i^i  y
)  =  (/) )
6159, 60mpbi 208 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  i^i  y )  =  (/)
6258, 61syl6eq 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  i^i  y )  =  (/) )
6362, 35syl6eqel 2563 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  i^i  y )  e.  ( F  u.  { (/)
} ) )
6463ralrimivw 2879 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  A. y  e.  ( F  u.  { (/)
} ) ( x  i^i  y )  e.  ( F  u.  { (/)
} ) )
6557, 64syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { (/) }  ->  A. y  e.  ( F  u.  { (/) } ) ( x  i^i  y
)  e.  ( F  u.  { (/) } ) )
6665rgen 2824 . . . . 5  |-  A. x  e.  { (/) } A. y  e.  ( F  u.  { (/)
} ) ( x  i^i  y )  e.  ( F  u.  { (/)
} )
67 ralun 3686 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  F  A. y  e.  ( F  u.  { (/) } ) ( x  i^i  y
)  e.  ( F  u.  { (/) } )  /\  A. x  e. 
{ (/) } A. y  e.  ( F  u.  { (/)
} ) ( x  i^i  y )  e.  ( F  u.  { (/)
} ) )  ->  A. x  e.  ( F  u.  { (/) } ) A. y  e.  ( F  u.  { (/) } ) ( x  i^i  y )  e.  ( F  u.  { (/) } ) )
6856, 66, 67sylancl 662 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. F )  ->  A. x  e.  ( F  u.  { (/)
} ) A. y  e.  ( F  u.  { (/)
} ) ( x  i^i  y )  e.  ( F  u.  { (/)
} ) )
69 p0ex 4634 . . . . . 6  |-  { (/) }  e.  _V
70 unexg 6583 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  {
(/) }  e.  _V )  ->  ( F  u.  {
(/) } )  e.  _V )
7169, 70mpan2 671 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. F )  ->  ( F  u.  { (/) } )  e.  _V )
72 istopg 19171 . . . . 5  |-  ( ( F  u.  { (/) } )  e.  _V  ->  ( ( F  u.  { (/)
} )  e.  Top  <->  ( A. x ( x  C_  ( F  u.  { (/) } )  ->  U. x  e.  ( F  u.  { (/)
} ) )  /\  A. x  e.  ( F  u.  { (/) } ) A. y  e.  ( F  u.  { (/) } ) ( x  i^i  y )  e.  ( F  u.  { (/) } ) ) ) )
7371, 72syl 16 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. F )  ->  (
( F  u.  { (/)
} )  e.  Top  <->  ( A. x ( x  C_  ( F  u.  { (/) } )  ->  U. x  e.  ( F  u.  { (/)
} ) )  /\  A. x  e.  ( F  u.  { (/) } ) A. y  e.  ( F  u.  { (/) } ) ( x  i^i  y )  e.  ( F  u.  { (/) } ) ) ) )
7441, 68, 73mpbir2and 920 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. F )  ->  ( F  u.  { (/) } )  e.  Top )
7521cldopn 19298 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( Clsd `  ( F  u.  { (/) } ) )  ->  ( U. F  \  x )  e.  ( F  u.  { (/)
} ) )
76 elun 3645 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. F  \  x
)  e.  ( F  u.  { (/) } )  <-> 
( ( U. F  \  x )  e.  F  \/  ( U. F  \  x )  e.  { (/)
} ) )
7775, 76sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( Clsd `  ( F  u.  { (/) } ) )  ->  ( ( U. F  \  x
)  e.  F  \/  ( U. F  \  x
)  e.  { (/) } ) )
78 elun 3645 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( F  u.  {
(/) } )  <->  ( x  e.  F  \/  x  e.  { (/) } ) )
79 filfbas 20084 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. F )  ->  F  e.  ( fBas `  U. F ) )
80 fbncp 20075 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  U. F )  /\  x  e.  F )  ->  -.  ( U. F  \  x )  e.  F
)
8179, 80sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  x  e.  F )  ->  -.  ( U. F  \  x )  e.  F
)
8281pm2.21d 106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  x  e.  F )  ->  ( ( U. F  \  x )  e.  F  ->  x  =  (/) ) )
8382ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. F )  ->  (
x  e.  F  -> 
( ( U. F  \  x )  e.  F  ->  x  =  (/) ) ) )
8457a1d 25 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  { (/) }  ->  ( ( U. F  \  x )  e.  F  ->  x  =  (/) ) )
8584a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. F )  ->  (
x  e.  { (/) }  ->  ( ( U. F  \  x )  e.  F  ->  x  =  (/) ) ) )
8683, 85jaod 380 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. F )  ->  (
( x  e.  F  \/  x  e.  { (/) } )  ->  ( ( U. F  \  x
)  e.  F  ->  x  =  (/) ) ) )
8778, 86syl5bi 217 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. F )  ->  (
x  e.  ( F  u.  { (/) } )  ->  ( ( U. F  \  x )  e.  F  ->  x  =  (/) ) ) )
8887imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  x  e.  ( F  u.  { (/) } ) )  ->  ( ( U. F  \  x )  e.  F  ->  x  =  (/) ) )
89 elsni 4052 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U. F  \  x
)  e.  { (/) }  ->  ( U. F  \  x )  =  (/) )
90 elssuni 4275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( F  u.  {
(/) } )  ->  x  C_ 
U. ( F  u.  {
(/) } ) )
9190, 21syl6sseqr 3551 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( F  u.  {
(/) } )  ->  x  C_ 
U. F )
9291adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  x  e.  ( F  u.  { (/) } ) )  ->  x  C_  U. F
)
93 ssdif0 3885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. F  C_  x  <->  ( U. F  \  x )  =  (/) )
9493biimpri 206 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U. F  \  x
)  =  (/)  ->  U. F  C_  x )
95 eqss 3519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  U. F  <->  ( x  C_ 
U. F  /\  U. F  C_  x ) )
9695simplbi2 625 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
C_  U. F  ->  ( U. F  C_  x  ->  x  =  U. F ) )
9792, 94, 96syl2im 38 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  x  e.  ( F  u.  { (/) } ) )  ->  ( ( U. F  \  x )  =  (/)  ->  x  =  U. F ) )
9889, 97syl5 32 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  x  e.  ( F  u.  { (/) } ) )  ->  ( ( U. F  \  x )  e. 
{ (/) }  ->  x  =  U. F ) )
9988, 98orim12d 836 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  x  e.  ( F  u.  { (/) } ) )  ->  ( ( ( U. F  \  x
)  e.  F  \/  ( U. F  \  x
)  e.  { (/) } )  ->  ( x  =  (/)  \/  x  = 
U. F ) ) )
10077, 99syl5 32 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  x  e.  ( F  u.  { (/) } ) )  ->  ( x  e.  ( Clsd `  ( F  u.  { (/) } ) )  ->  ( x  =  (/)  \/  x  = 
U. F ) ) )
101100expimpd 603 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. F )  ->  (
( x  e.  ( F  u.  { (/) } )  /\  x  e.  ( Clsd `  ( F  u.  { (/) } ) ) )  ->  (
x  =  (/)  \/  x  =  U. F ) ) )
102 elin 3687 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ( F  u.  { (/) } )  i^i  ( Clsd `  ( F  u.  { (/) } ) ) )  <->  ( x  e.  ( F  u.  { (/)
} )  /\  x  e.  ( Clsd `  ( F  u.  { (/) } ) ) ) )
103 vex 3116 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
104103elpr 4045 . . . . 5  |-  ( x  e.  { (/) ,  U. F }  <->  ( x  =  (/)  \/  x  =  U. F ) )
105101, 102, 1043imtr4g 270 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. F )  ->  (
x  e.  ( ( F  u.  { (/) } )  i^i  ( Clsd `  ( F  u.  { (/)
} ) ) )  ->  x  e.  { (/)
,  U. F } ) )
106105ssrdv 3510 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. F )  ->  (
( F  u.  { (/)
} )  i^i  ( Clsd `  ( F  u.  {
(/) } ) ) ) 
C_  { (/) ,  U. F } )
10721iscon2 19681 . . 3  |-  ( ( F  u.  { (/) } )  e.  Con  <->  ( ( F  u.  { (/) } )  e.  Top  /\  (
( F  u.  { (/)
} )  i^i  ( Clsd `  ( F  u.  {
(/) } ) ) ) 
C_  { (/) ,  U. F } ) )
10874, 106, 107sylanbrc 664 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. F )  ->  ( F  u.  { (/) } )  e.  Con )
1094, 108syl 16 1  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( F  u.  { (/) } )  e. 
Con )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973   A.wal 1377    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   {cpr 4029   U.cuni 4245   ` cfv 5586   fBascfbas 18177   Topctop 19161   Clsdccld 19283   Conccon 19678   Filcfil 20081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-fv 5594  df-fbas 18187  df-top 19166  df-cld 19286  df-con 19679  df-fil 20082
This theorem is referenced by:  ufildr  20167
  Copyright terms: Public domain W3C validator