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Theorem filcon 20822
Description: A filter gives rise to a connected topology. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
filcon  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( F  u.  { (/) } )  e. 
Con )

Proof of Theorem filcon
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 23 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
2 filunibas 20820 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  U. F  =  X )
32fveq2d 5876 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( Fil ` 
U. F )  =  ( Fil `  X
) )
41, 3eleqtrrd 2511 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  ( Fil `  U. F
) )
5 nss 3519 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  C_  { (/) }  <->  E. y
( y  e.  x  /\  -.  y  e.  { (/)
} ) )
6 simpll 758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  U. F
)  /\  x  C_  ( F  u.  { (/) } ) )  /\  ( y  e.  x  /\  -.  y  e.  { (/) } ) )  ->  F  e.  ( Fil `  U. F
) )
7 ssel2 3456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  C_  ( F  u.  { (/) } )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  ( F  u.  { (/) } ) )
87adantll 718 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  U. F
)  /\  x  C_  ( F  u.  { (/) } ) )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  ( F  u.  { (/)
} ) )
9 elun 3603 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( F  u.  {
(/) } )  <->  ( y  e.  F  \/  y  e.  { (/) } ) )
108, 9sylib 199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  U. F
)  /\  x  C_  ( F  u.  { (/) } ) )  /\  y  e.  x )  ->  (
y  e.  F  \/  y  e.  { (/) } ) )
1110orcomd 389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  U. F
)  /\  x  C_  ( F  u.  { (/) } ) )  /\  y  e.  x )  ->  (
y  e.  { (/) }  \/  y  e.  F
) )
1211ord 378 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  U. F
)  /\  x  C_  ( F  u.  { (/) } ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( -.  y  e.  { (/) }  ->  y  e.  F
) )
1312impr 623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  U. F
)  /\  x  C_  ( F  u.  { (/) } ) )  /\  ( y  e.  x  /\  -.  y  e.  { (/) } ) )  ->  y  e.  F )
14 uniss 4234 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x 
C_  ( F  u.  {
(/) } )  ->  U. x  C_ 
U. ( F  u.  {
(/) } ) )
1514ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  U. F
)  /\  x  C_  ( F  u.  { (/) } ) )  /\  ( y  e.  x  /\  -.  y  e.  { (/) } ) )  ->  U. x  C_ 
U. ( F  u.  {
(/) } ) )
16 uniun 4232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. ( F  u.  { (/) } )  =  ( U. F  u.  U. { (/) } )
17 0ex 4548 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (/)  e.  _V
1817unisn 4228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. { (/)
}  =  (/)
1918uneq2i 3614 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U. F  u.  U. { (/) } )  =  ( U. F  u.  (/) )
20 un0 3784 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U. F  u.  (/) )  = 
U. F
2116, 19, 203eqtrri 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. F  =  U. ( F  u.  {
(/) } )
2215, 21syl6sseqr 3508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  U. F
)  /\  x  C_  ( F  u.  { (/) } ) )  /\  ( y  e.  x  /\  -.  y  e.  { (/) } ) )  ->  U. x  C_ 
U. F )
23 elssuni 4242 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  x  ->  y  C_ 
U. x )
2423ad2antrl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  U. F
)  /\  x  C_  ( F  u.  { (/) } ) )  /\  ( y  e.  x  /\  -.  y  e.  { (/) } ) )  ->  y  C_  U. x )
25 filss 20792 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  ( y  e.  F  /\  U. x  C_  U. F  /\  y  C_  U. x
) )  ->  U. x  e.  F )
266, 13, 22, 24, 25syl13anc 1266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  U. F
)  /\  x  C_  ( F  u.  { (/) } ) )  /\  ( y  e.  x  /\  -.  y  e.  { (/) } ) )  ->  U. x  e.  F )
27 elun1 3630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. x  e.  F  ->  U. x  e.  ( F  u.  { (/) } ) )
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  U. F
)  /\  x  C_  ( F  u.  { (/) } ) )  /\  ( y  e.  x  /\  -.  y  e.  { (/) } ) )  ->  U. x  e.  ( F  u.  { (/)
} ) )
2928ex 435 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  x  C_  ( F  u.  {
(/) } ) )  -> 
( ( y  e.  x  /\  -.  y  e.  { (/) } )  ->  U. x  e.  ( F  u.  { (/) } ) ) )
3029exlimdv 1768 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  x  C_  ( F  u.  {
(/) } ) )  -> 
( E. y ( y  e.  x  /\  -.  y  e.  { (/) } )  ->  U. x  e.  ( F  u.  { (/)
} ) ) )
315, 30syl5bi 220 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  x  C_  ( F  u.  {
(/) } ) )  -> 
( -.  x  C_  {
(/) }  ->  U. x  e.  ( F  u.  { (/)
} ) ) )
32 uni0b 4238 . . . . . . . 8  |-  ( U. x  =  (/)  <->  x  C_  { (/) } )
33 ssun2 3627 . . . . . . . . . 10  |-  { (/) } 
C_  ( F  u.  {
(/) } )
3417snid 4021 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  { (/)
}
3533, 34sselii 3458 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  ( F  u.  { (/) } )
36 eleq1 2492 . . . . . . . . 9  |-  ( U. x  =  (/)  ->  ( U. x  e.  ( F  u.  { (/) } )  <->  (/) 
e.  ( F  u.  {
(/) } ) ) )
3735, 36mpbiri 236 . . . . . . . 8  |-  ( U. x  =  (/)  ->  U. x  e.  ( F  u.  { (/)
} ) )
3832, 37sylbir 216 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  { (/) }  ->  U. x  e.  ( F  u.  { (/) } ) )
3931, 38pm2.61d2 163 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  x  C_  ( F  u.  {
(/) } ) )  ->  U. x  e.  ( F  u.  { (/) } ) )
4039ex 435 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. F )  ->  (
x  C_  ( F  u.  { (/) } )  ->  U. x  e.  ( F  u.  { (/) } ) ) )
4140alrimiv 1763 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. F )  ->  A. x
( x  C_  ( F  u.  { (/) } )  ->  U. x  e.  ( F  u.  { (/) } ) ) )
42 filin 20793 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  x  e.  F  /\  y  e.  F )  ->  ( x  i^i  y
)  e.  F )
43 elun1 3630 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  i^i  y )  e.  F  ->  (
x  i^i  y )  e.  ( F  u.  { (/)
} ) )
4442, 43syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  x  e.  F  /\  y  e.  F )  ->  ( x  i^i  y
)  e.  ( F  u.  { (/) } ) )
45443expa 1205 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  U. F
)  /\  x  e.  F )  /\  y  e.  F )  ->  (
x  i^i  y )  e.  ( F  u.  { (/)
} ) )
4645ralrimiva 2837 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  x  e.  F )  ->  A. y  e.  F  ( x  i^i  y
)  e.  ( F  u.  { (/) } ) )
47 elsni 4018 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { (/) }  ->  y  =  (/) )
48 ineq2 3655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  (/)  ->  ( x  i^i  y )  =  ( x  i^i  (/) ) )
49 in0 3785 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  i^i  (/) )  =  (/)
5048, 49syl6eq 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  (/)  ->  ( x  i^i  y )  =  (/) )
5150, 35syl6eqel 2516 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  (/)  ->  ( x  i^i  y )  e.  ( F  u.  { (/)
} ) )
5247, 51syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { (/) }  ->  ( x  i^i  y )  e.  ( F  u.  {
(/) } ) )
5352rgen 2783 . . . . . . 7  |-  A. y  e.  { (/) }  ( x  i^i  y )  e.  ( F  u.  { (/)
} )
54 ralun 3645 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  F  ( x  i^i  y
)  e.  ( F  u.  { (/) } )  /\  A. y  e. 
{ (/) }  ( x  i^i  y )  e.  ( F  u.  { (/)
} ) )  ->  A. y  e.  ( F  u.  { (/) } ) ( x  i^i  y
)  e.  ( F  u.  { (/) } ) )
5546, 53, 54sylancl 666 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  x  e.  F )  ->  A. y  e.  ( F  u.  { (/) } ) ( x  i^i  y )  e.  ( F  u.  { (/) } ) )
5655ralrimiva 2837 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. F )  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  ( F  u.  { (/)
} ) ( x  i^i  y )  e.  ( F  u.  { (/)
} ) )
57 elsni 4018 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { (/) }  ->  x  =  (/) )
58 ineq1 3654 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  i^i  y )  =  ( (/)  i^i  y
) )
59 0ss 3788 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  C_  y
60 df-ss 3447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  C_  y  <->  ( (/)  i^i  y
)  =  (/) )
6159, 60mpbi 211 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  i^i  y )  =  (/)
6258, 61syl6eq 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  i^i  y )  =  (/) )
6362, 35syl6eqel 2516 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  i^i  y )  e.  ( F  u.  { (/)
} ) )
6463ralrimivw 2838 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  A. y  e.  ( F  u.  { (/)
} ) ( x  i^i  y )  e.  ( F  u.  { (/)
} ) )
6557, 64syl 17 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { (/) }  ->  A. y  e.  ( F  u.  { (/) } ) ( x  i^i  y
)  e.  ( F  u.  { (/) } ) )
6665rgen 2783 . . . . 5  |-  A. x  e.  { (/) } A. y  e.  ( F  u.  { (/)
} ) ( x  i^i  y )  e.  ( F  u.  { (/)
} )
67 ralun 3645 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  F  A. y  e.  ( F  u.  { (/) } ) ( x  i^i  y
)  e.  ( F  u.  { (/) } )  /\  A. x  e. 
{ (/) } A. y  e.  ( F  u.  { (/)
} ) ( x  i^i  y )  e.  ( F  u.  { (/)
} ) )  ->  A. x  e.  ( F  u.  { (/) } ) A. y  e.  ( F  u.  { (/) } ) ( x  i^i  y )  e.  ( F  u.  { (/) } ) )
6856, 66, 67sylancl 666 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. F )  ->  A. x  e.  ( F  u.  { (/)
} ) A. y  e.  ( F  u.  { (/)
} ) ( x  i^i  y )  e.  ( F  u.  { (/)
} ) )
69 p0ex 4603 . . . . . 6  |-  { (/) }  e.  _V
70 unexg 6597 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  {
(/) }  e.  _V )  ->  ( F  u.  {
(/) } )  e.  _V )
7169, 70mpan2 675 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. F )  ->  ( F  u.  { (/) } )  e.  _V )
72 istopg 19849 . . . . 5  |-  ( ( F  u.  { (/) } )  e.  _V  ->  ( ( F  u.  { (/)
} )  e.  Top  <->  ( A. x ( x  C_  ( F  u.  { (/) } )  ->  U. x  e.  ( F  u.  { (/)
} ) )  /\  A. x  e.  ( F  u.  { (/) } ) A. y  e.  ( F  u.  { (/) } ) ( x  i^i  y )  e.  ( F  u.  { (/) } ) ) ) )
7371, 72syl 17 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. F )  ->  (
( F  u.  { (/)
} )  e.  Top  <->  ( A. x ( x  C_  ( F  u.  { (/) } )  ->  U. x  e.  ( F  u.  { (/)
} ) )  /\  A. x  e.  ( F  u.  { (/) } ) A. y  e.  ( F  u.  { (/) } ) ( x  i^i  y )  e.  ( F  u.  { (/) } ) ) ) )
7441, 68, 73mpbir2and 930 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. F )  ->  ( F  u.  { (/) } )  e.  Top )
7521cldopn 19970 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( Clsd `  ( F  u.  { (/) } ) )  ->  ( U. F  \  x )  e.  ( F  u.  { (/)
} ) )
76 elun 3603 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. F  \  x
)  e.  ( F  u.  { (/) } )  <-> 
( ( U. F  \  x )  e.  F  \/  ( U. F  \  x )  e.  { (/)
} ) )
7775, 76sylib 199 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( Clsd `  ( F  u.  { (/) } ) )  ->  ( ( U. F  \  x
)  e.  F  \/  ( U. F  \  x
)  e.  { (/) } ) )
78 elun 3603 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( F  u.  {
(/) } )  <->  ( x  e.  F  \/  x  e.  { (/) } ) )
79 filfbas 20787 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. F )  ->  F  e.  ( fBas `  U. F ) )
80 fbncp 20778 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  U. F )  /\  x  e.  F )  ->  -.  ( U. F  \  x )  e.  F
)
8179, 80sylan 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  x  e.  F )  ->  -.  ( U. F  \  x )  e.  F
)
8281pm2.21d 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  x  e.  F )  ->  ( ( U. F  \  x )  e.  F  ->  x  =  (/) ) )
8382ex 435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. F )  ->  (
x  e.  F  -> 
( ( U. F  \  x )  e.  F  ->  x  =  (/) ) ) )
8457a1d 26 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  { (/) }  ->  ( ( U. F  \  x )  e.  F  ->  x  =  (/) ) )
8584a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. F )  ->  (
x  e.  { (/) }  ->  ( ( U. F  \  x )  e.  F  ->  x  =  (/) ) ) )
8683, 85jaod 381 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. F )  ->  (
( x  e.  F  \/  x  e.  { (/) } )  ->  ( ( U. F  \  x
)  e.  F  ->  x  =  (/) ) ) )
8778, 86syl5bi 220 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. F )  ->  (
x  e.  ( F  u.  { (/) } )  ->  ( ( U. F  \  x )  e.  F  ->  x  =  (/) ) ) )
8887imp 430 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  x  e.  ( F  u.  { (/) } ) )  ->  ( ( U. F  \  x )  e.  F  ->  x  =  (/) ) )
89 elsni 4018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U. F  \  x
)  e.  { (/) }  ->  ( U. F  \  x )  =  (/) )
90 elssuni 4242 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( F  u.  {
(/) } )  ->  x  C_ 
U. ( F  u.  {
(/) } ) )
9190, 21syl6sseqr 3508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( F  u.  {
(/) } )  ->  x  C_ 
U. F )
9291adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  x  e.  ( F  u.  { (/) } ) )  ->  x  C_  U. F
)
93 ssdif0 3848 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. F  C_  x  <->  ( U. F  \  x )  =  (/) )
9493biimpri 209 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U. F  \  x
)  =  (/)  ->  U. F  C_  x )
95 eqss 3476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  U. F  <->  ( x  C_ 
U. F  /\  U. F  C_  x ) )
9695simplbi2 629 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
C_  U. F  ->  ( U. F  C_  x  ->  x  =  U. F ) )
9792, 94, 96syl2im 39 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  x  e.  ( F  u.  { (/) } ) )  ->  ( ( U. F  \  x )  =  (/)  ->  x  =  U. F ) )
9889, 97syl5 33 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  x  e.  ( F  u.  { (/) } ) )  ->  ( ( U. F  \  x )  e. 
{ (/) }  ->  x  =  U. F ) )
9988, 98orim12d 846 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  x  e.  ( F  u.  { (/) } ) )  ->  ( ( ( U. F  \  x
)  e.  F  \/  ( U. F  \  x
)  e.  { (/) } )  ->  ( x  =  (/)  \/  x  = 
U. F ) ) )
10077, 99syl5 33 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  x  e.  ( F  u.  { (/) } ) )  ->  ( x  e.  ( Clsd `  ( F  u.  { (/) } ) )  ->  ( x  =  (/)  \/  x  = 
U. F ) ) )
101100expimpd 606 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. F )  ->  (
( x  e.  ( F  u.  { (/) } )  /\  x  e.  ( Clsd `  ( F  u.  { (/) } ) ) )  ->  (
x  =  (/)  \/  x  =  U. F ) ) )
102 elin 3646 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ( F  u.  { (/) } )  i^i  ( Clsd `  ( F  u.  { (/) } ) ) )  <->  ( x  e.  ( F  u.  { (/)
} )  /\  x  e.  ( Clsd `  ( F  u.  { (/) } ) ) ) )
103 vex 3081 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
104103elpr 4011 . . . . 5  |-  ( x  e.  { (/) ,  U. F }  <->  ( x  =  (/)  \/  x  =  U. F ) )
105101, 102, 1043imtr4g 273 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. F )  ->  (
x  e.  ( ( F  u.  { (/) } )  i^i  ( Clsd `  ( F  u.  { (/)
} ) ) )  ->  x  e.  { (/)
,  U. F } ) )
106105ssrdv 3467 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. F )  ->  (
( F  u.  { (/)
} )  i^i  ( Clsd `  ( F  u.  {
(/) } ) ) ) 
C_  { (/) ,  U. F } )
10721iscon2 20353 . . 3  |-  ( ( F  u.  { (/) } )  e.  Con  <->  ( ( F  u.  { (/) } )  e.  Top  /\  (
( F  u.  { (/)
} )  i^i  ( Clsd `  ( F  u.  {
(/) } ) ) ) 
C_  { (/) ,  U. F } ) )
10874, 106, 107sylanbrc 668 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. F )  ->  ( F  u.  { (/) } )  e.  Con )
1094, 108syl 17 1  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( F  u.  { (/) } )  e. 
Con )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982   A.wal 1435    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1867   A.wral 2773   _Vcvv 3078    \ cdif 3430    u. cun 3431    i^i cin 3432    C_ wss 3433   (/)c0 3758   {csn 3993   {cpr 3995   U.cuni 4213   ` cfv 5592   fBascfbas 18886   Topctop 19841   Clsdccld 19955   Conccon 20350   Filcfil 20784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-fv 5600  df-fbas 18895  df-top 19845  df-cld 19958  df-con 20351  df-fil 20785
This theorem is referenced by:  ufildr  20870
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