Theorem filcon 15580

Description: A filter gives rise to a connected topology.

Assertion

Ref	Expression
filcon	|- (F e. Fil -> (F u. {(/)}) e. Con)

Proof of Theorem filcon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		p0ex 3495	. . . . 5 |- {(/)} e. _V
2		unexg 3798	. . . . 5 |- ((F e. Fil /\ {(/)} e. _V) -> (F u. {(/)}) e. _V)
3	1, 2	mpan2 760	. . . 4 |- (F e. Fil -> (F u. {(/)}) e. _V)
4		istopg 8865	. . . 4 |- ((F u. {(/)}) e. _V -> ((F u. {(/)}) e. Top <-> (A.x(x C_ (F u. {(/)}) -> U.x e. (F u. {(/)})) /\ A.x e. (F u. {(/)})A.y e. (F u. {(/)})(x i^i y) e. (F u. {(/)}))))
5	3, 4	syl 12	. . 3 |- (F e. Fil -> ((F u. {(/)}) e. Top <-> (A.x(x C_ (F u. {(/)}) -> U.x e. (F u. {(/)})) /\ A.x e. (F u. {(/)})A.y e. (F u. {(/)})(x i^i y) e. (F u. {(/)}))))
6		disjssun 2932	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x i^i F) = (/) -> (x C_ (F u. {(/)}) <-> x C_ {(/)}))
7	6	biimpcd 172	. . . . . . . . . . . 12 |- (x C_ (F u. {(/)}) -> ((x i^i F) = (/) -> x C_ {(/)}))
8	7	necon3bd 2039	. . . . . . . . . . 11 |- (x C_ (F u. {(/)}) -> (-. x C_ {(/)} -> (x i^i F) =/= (/)))
9	8	adantl 424	. . . . . . . . . 10 |- ((F e. Fil /\ x C_ (F u. {(/)})) -> (-. x C_ {(/)} -> (x i^i F) =/= (/)))
10		simp1 876	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((F e. Fil /\ x C_ (F u. {(/)}) /\ y e. (x i^i F)) -> F e. Fil)
11		inss2 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x i^i F) C_ F
12	11	sseli 2617	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y e. (x i^i F) -> y e. F)
13	12	3ad2ant3 899	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((F e. Fil /\ x C_ (F u. {(/)}) /\ y e. (x i^i F)) -> y e. F)
14		uniss 3199	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x C_ (F u. {(/)}) -> U.x C_ U.(F u. {(/)}))
15		uniun 3196	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- U.(F u. {(/)}) = (U.F u. U.{(/)})
16		0ex 3446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (/) e. _V
17	16	unisn 3193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- U.{(/)} = (/)
18	17	uneq2i 2752	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (U.F u. U.{(/)}) = (U.F u. (/))
19		un0 2896	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (U.F u. (/)) = U.F
20	15, 18, 19	3eqtri 1912	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U.(F u. {(/)}) = U.F
21	14, 20	syl6ss 2663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x C_ (F u. {(/)}) -> U.x C_ U.F)
22	21	3ad2ant2 898	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((F e. Fil /\ x C_ (F u. {(/)}) /\ y e. (x i^i F)) -> U.x C_ U.F)
23		inss1 2812	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (x i^i F) C_ x
24	23	sseli 2617	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y e. (x i^i F) -> y e. x)
25		elssuni 3206	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y e. x -> y C_ U.x)
26	24, 25	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y e. (x i^i F) -> y C_ U.x)
27	26	3ad2ant3 899	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((F e. Fil /\ x C_ (F u. {(/)}) /\ y e. (x i^i F)) -> y C_ U.x)
28	13, 22, 27	3jca 1050	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((F e. Fil /\ x C_ (F u. {(/)}) /\ y e. (x i^i F)) -> (y e. F /\ U.x C_ U.F /\ y C_ U.x))
29		eqid 1884	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U.F = U.F
30	29	fillsb 10270	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (F e. Fil -> ((y e. F /\ U.x C_ U.F /\ y C_ U.x) -> U.x e. F))
31	10, 28, 30	sylc 83	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((F e. Fil /\ x C_ (F u. {(/)}) /\ y e. (x i^i F)) -> U.x e. F)
32	31	3expia 1069	. . . . . . . . . . . 12 |- ((F e. Fil /\ x C_ (F u. {(/)})) -> (y e. (x i^i F) -> U.x e. F))
33	32	19.23adv 1584	. . . . . . . . . . 11 |- ((F e. Fil /\ x C_ (F u. {(/)})) -> (E.y y e. (x i^i F) -> U.x e. F))
34		n0 2884	. . . . . . . . . . 11 |- ((x i^i F) =/= (/) <-> E.y y e. (x i^i F))
35	33, 34	syl5ib 223	. . . . . . . . . 10 |- ((F e. Fil /\ x C_ (F u. {(/)})) -> ((x i^i F) =/= (/) -> U.x e. F))
36	9, 35	syld 30	. . . . . . . . 9 |- ((F e. Fil /\ x C_ (F u. {(/)})) -> (-. x C_ {(/)} -> U.x e. F))
37		uni0b 3203	. . . . . . . . . 10 |- (U.x = (/) <-> x C_ {(/)})
38	37	notbii 204	. . . . . . . . 9 |- (-. U.x = (/) <-> -. x C_ {(/)})
39	36, 38	syl5ib 223	. . . . . . . 8 |- ((F e. Fil /\ x C_ (F u. {(/)})) -> (-. U.x = (/) -> U.x e. F))
40	39	orrd 250	. . . . . . 7 |- ((F e. Fil /\ x C_ (F u. {(/)})) -> (U.x = (/) \/ U.x e. F))
41		orcom 266	. . . . . . 7 |- ((U.x = (/) \/ U.x e. F) <-> (U.x e. F \/ U.x = (/)))
42	40, 41	sylib 215	. . . . . 6 |- ((F e. Fil /\ x C_ (F u. {(/)})) -> (U.x e. F \/ U.x = (/)))
43		elun 2741	. . . . . . 7 |- (U.x e. (F u. {(/)}) <-> (U.x e. F \/ U.x e. {(/)}))
44		visset 2295	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
45	44	uniex 3794	. . . . . . . . 9 |- U.x e. _V
46	45	elsnc 3065	. . . . . . . 8 |- (U.x e. {(/)} <-> U.x = (/))
47	46	orbi2i 275	. . . . . . 7 |- ((U.x e. F \/ U.x e. {(/)}) <-> (U.x e. F \/ U.x = (/)))
48	43, 47	bitr2i 191	. . . . . 6 |- ((U.x e. F \/ U.x = (/)) <-> U.x e. (F u. {(/)}))
49	42, 48	sylib 215	. . . . 5 |- ((F e. Fil /\ x C_ (F u. {(/)})) -> U.x e. (F u. {(/)}))
50	49	ex 402	. . . 4 |- (F e. Fil -> (x C_ (F u. {(/)}) -> U.x e. (F u. {(/)})))
51	50	19.21aiv 1664	. . 3 |- (F e. Fil -> A.x(x C_ (F u. {(/)}) -> U.x e. (F u. {(/)})))
52		filint 10269	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((F e. Fil /\ x e. F /\ y e. F) -> (x i^i y) e. F)
53		elun1 2771	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x i^i y) e. F -> (x i^i y) e. (F u. {(/)}))
54	52, 53	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 |- ((F e. Fil /\ x e. F /\ y e. F) -> (x i^i y) e. (F u. {(/)}))
55	54	3exp 1066	. . . . . . . . . . 11 |- (F e. Fil -> (x e. F -> (y e. F -> (x i^i y) e. (F u. {(/)}))))
56	55	com23 36	. . . . . . . . . 10 |- (F e. Fil -> (y e. F -> (x e. F -> (x i^i y) e. (F u. {(/)}))))
57		ineq2 2790	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y = (/) -> (x i^i y) = (x i^i (/)))
58		in0 2897	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x i^i (/)) = (/)
59	57, 58	syl6eq 1944	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y = (/) -> (x i^i y) = (/))
60	44	inex1 3452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x i^i y) e. _V
61	60	elsnc 3065	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x i^i y) e. {(/)} <-> (x i^i y) = (/))
62	59, 61	sylibr 217	. . . . . . . . . . . 12 |- (y = (/) -> (x i^i y) e. {(/)})
63		elun2 2772	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x i^i y) e. {(/)} -> (x i^i y) e. (F u. {(/)}))
64	62, 63	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (y = (/) -> (x i^i y) e. (F u. {(/)}))
65	64	a1i13 15326	. . . . . . . . . 10 |- (F e. Fil -> (y = (/) -> (x e. F -> (x i^i y) e. (F u. {(/)}))))
66	56, 65	jaod 469	. . . . . . . . 9 |- (F e. Fil -> ((y e. F \/ y = (/)) -> (x e. F -> (x i^i y) e. (F u. {(/)}))))
67	66	com23 36	. . . . . . . 8 |- (F e. Fil -> (x e. F -> ((y e. F \/ y = (/)) -> (x i^i y) e. (F u. {(/)}))))
68		elun 2741	. . . . . . . . 9 |- (y e. (F u. {(/)}) <-> (y e. F \/ y e. {(/)}))
69		elsn 3058	. . . . . . . . . 10 |- (y e. {(/)} <-> y = (/))
70	69	orbi2i 275	. . . . . . . . 9 |- ((y e. F \/ y e. {(/)}) <-> (y e. F \/ y = (/)))
71	68, 70	bitri 190	. . . . . . . 8 |- (y e. (F u. {(/)}) <-> (y e. F \/ y = (/)))
72	67, 71	syl7ib 233	. . . . . . 7 |- (F e. Fil -> (x e. F -> (y e. (F u. {(/)}) -> (x i^i y) e. (F u. {(/)}))))
73		ineq1 2789	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = (/) -> (x i^i y) = ((/) i^i y))
74		incom 2787	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((/) i^i y) = (y i^i (/))
75		in0 2897	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y i^i (/)) = (/)
76	74, 75	eqtri 1908	. . . . . . . . . . . 12 |- ((/) i^i y) = (/)
77	73, 76	syl6eq 1944	. . . . . . . . . . 11 |- (x = (/) -> (x i^i y) = (/))
78	77	a1i 8	. . . . . . . . . 10 |- (F e. Fil -> (x = (/) -> (x i^i y) = (/)))
79	78, 61	syl6ibr 230	. . . . . . . . 9 |- (F e. Fil -> (x = (/) -> (x i^i y) e. {(/)}))
80	79, 63	syl6 25	. . . . . . . 8 |- (F e. Fil -> (x = (/) -> (x i^i y) e. (F u. {(/)})))
81	80	a1dd 53	. . . . . . 7 |- (F e. Fil -> (x = (/) -> (y e. (F u. {(/)}) -> (x i^i y) e. (F u. {(/)}))))
82	72, 81	jaod 469	. . . . . 6 |- (F e. Fil -> ((x e. F \/ x = (/)) -> (y e. (F u. {(/)}) -> (x i^i y) e. (F u. {(/)}))))
83		elun 2741	. . . . . . 7 |- (x e. (F u. {(/)}) <-> (x e. F \/ x e. {(/)}))
84		elsn 3058	. . . . . . . 8 |- (x e. {(/)} <-> x = (/))
85	84	orbi2i 275	. . . . . . 7 |- ((x e. F \/ x e. {(/)}) <-> (x e. F \/ x = (/)))
86	83, 85	bitri 190	. . . . . 6 |- (x e. (F u. {(/)}) <-> (x e. F \/ x = (/)))
87	82, 86	syl5ib 223	. . . . 5 |- (F e. Fil -> (x e. (F u. {(/)}) -> (y e. (F u. {(/)}) -> (x i^i y) e. (F u. {(/)}))))
88	87	imp3a 388	. . . 4 |- (F e. Fil -> ((x e. (F u. {(/)}) /\ y e. (F u. {(/)})) -> (x i^i y) e. (F u. {(/)})))
89	88	r19.21aivv 2183	. . 3 |- (F e. Fil -> A.x e. (F u. {(/)})A.y e. (F u. {(/)})(x i^i y) e. (F u. {(/)}))
90	5, 51, 89	mpbir2and 802	. 2 |- (F e. Fil -> (F u. {(/)}) e. Top)
91	15, 18, 19	3eqtrri 1913	. . . . . . . . . . . . 13 |- U.F = U.(F u. {(/)})
92	91	iscld 8945	. . . . . . . . . . . 12 |- ((F u. {(/)}) e. Top -> (x e. (Clsd` (F u. {(/)})) <-> (x C_ U.F /\ (U.F \ x) e. (F u. {(/)}))))
93	92	adantl 424	. . . . . . . . . . 11 |- ((F e. Fil /\ (F u. {(/)}) e. Top) -> (x e. (Clsd` (F u. {(/)})) <-> (x C_ U.F /\ (U.F \ x) e. (F u. {(/)}))))
94		filesn 10268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (F e. Fil -> -. (/) e. F)
95		filint 10269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((F e. Fil /\ (U.F \ x) e. F /\ x e. F) -> ((U.F \ x) i^i x) e. F)
96		difdisj 2945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (x i^i (U.F \ x)) = (/)
97		incom 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (x i^i (U.F \ x)) = ((U.F \ x) i^i x)
98	96, 97	eqtr3i 1910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (/) = ((U.F \ x) i^i x)
99	95, 98	syl5eqel 1975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((F e. Fil /\ (U.F \ x) e. F /\ x e. F) -> (/) e. F)
100	99	3expib 1070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (F e. Fil -> (((U.F \ x) e. F /\ x e. F) -> (/) e. F))
101	94, 100	mtod 123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (F e. Fil -> -. ((U.F \ x) e. F /\ x e. F))
102	101	pm2.21d 94	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (F e. Fil -> (((U.F \ x) e. F /\ x e. F) -> x e. {(/), U.(F u. {(/)})}))
103	102	exp3a 405	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (F e. Fil -> ((U.F \ x) e. F -> (x e. F -> x e. {(/), U.(F u. {(/)})})))
104	103	a1dd 53	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (F e. Fil -> ((U.F \ x) e. F -> (x C_ U.F -> (x e. F -> x e. {(/), U.(F u. {(/)})}))))
105	104	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((F e. Fil /\ (F u. {(/)}) e. Top) -> ((U.F \ x) e. F -> (x C_ U.F -> (x e. F -> x e. {(/), U.(F u. {(/)})}))))
106		eqtr2 1905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((U.F \ (U.F \ x)) = U.F /\ (U.F \ (U.F \ x)) = x) -> U.F = x)
107	106	eqcomd 1889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((U.F \ (U.F \ x)) = U.F /\ (U.F \ (U.F \ x)) = x) -> x = U.F)
108		dfss4 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (x C_ U.F <-> (U.F \ (U.F \ x)) = x)
109	107, 108	sylan2b 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((U.F \ (U.F \ x)) = U.F /\ x C_ U.F) -> x = U.F)
110		difeq2 2719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((U.F \ x) = (/) -> (U.F \ (U.F \ x)) = (U.F \ (/)))
111		dif0 2943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (U.F \ (/)) = U.F
112	110, 111	syl6eq 1944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((U.F \ x) = (/) -> (U.F \ (U.F \ x)) = U.F)
113	109, 112	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((U.F \ x) = (/) /\ x C_ U.F) -> x = U.F)
114	113	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((F e. Fil /\ (F u. {(/)}) e. Top) /\ ((U.F \ x) = (/) /\ x C_ U.F)) -> x = U.F)
115	114, 91	syl6eq 1944	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((F e. Fil /\ (F u. {(/)}) e. Top) /\ ((U.F \ x) = (/) /\ x C_ U.F)) -> x = U.(F u. {(/)}))
116		uniexg 3795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((F u. {(/)}) e. _V -> U.(F u. {(/)}) e. _V)
117		prid2g 3105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (U.(F u. {(/)}) e. _V -> U.(F u. {(/)}) e. {(/), U.(F u. {(/)})})
118	3, 116, 117	3syl 24	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (F e. Fil -> U.(F u. {(/)}) e. {(/), U.(F u. {(/)})})
119	118	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((F e. Fil /\ (F u. {(/)}) e. Top) /\ ((U.F \ x) = (/) /\ x C_ U.F)) -> U.(F u. {(/)}) e. {(/), U.(F u. {(/)})})
120	115, 119	eqeltrd 1971	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((F e. Fil /\ (F u. {(/)}) e. Top) /\ ((U.F \ x) = (/) /\ x C_ U.F)) -> x e. {(/), U.(F u. {(/)})})
121	120	adantrr 431	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((F e. Fil /\ (F u. {(/)}) e. Top) /\ (((U.F \ x) = (/) /\ x C_ U.F) /\ x e. F)) -> x e. {(/), U.(F u. {(/)})})
122	121	exp44 416	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((F e. Fil /\ (F u. {(/)}) e. Top) -> ((U.F \ x) = (/) -> (x C_ U.F -> (x e. F -> x e. {(/), U.(F u. {(/)})}))))
123	105, 122	jaod 469	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((F e. Fil /\ (F u. {(/)}) e. Top) -> (((U.F \ x) e. F \/ (U.F \ x) = (/)) -> (x C_ U.F -> (x e. F -> x e. {(/), U.(F u. {(/)})}))))
124		elun 2741	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((U.F \ x) e. (F u. {(/)}) <-> ((U.F \ x) e. F \/ (U.F \ x) e. {(/)}))
125		elsni 3066	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((U.F \ x) e. {(/)} -> (U.F \ x) = (/))
126	125	orim2i 365	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((U.F \ x) e. F \/ (U.F \ x) e. {(/)}) -> ((U.F \ x) e. F \/ (U.F \ x) = (/)))
127	124, 126	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((U.F \ x) e. (F u. {(/)}) -> ((U.F \ x) e. F \/ (U.F \ x) = (/)))
128	123, 127	syl5 20	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((F e. Fil /\ (F u. {(/)}) e. Top) -> ((U.F \ x) e. (F u. {(/)}) -> (x C_ U.F -> (x e. F -> x e. {(/), U.(F u. {(/)})}))))
129	128	com23 36	. . . . . . . . . . . 12 |- ((F e. Fil /\ (F u. {(/)}) e. Top) -> (x C_ U.F -> ((U.F \ x) e. (F u. {(/)}) -> (x e. F -> x e. {(/), U.(F u. {(/)})}))))
130	129	imp3a 388	. . . . . . . . . . 11 |- ((F e. Fil /\ (F u. {(/)}) e. Top) -> ((x C_ U.F /\ (U.F \ x) e. (F u. {(/)})) -> (x e. F -> x e. {(/), U.(F u. {(/)})})))
131	93, 130	sylbid 220	. . . . . . . . . 10 |- ((F e. Fil /\ (F u. {(/)}) e. Top) -> (x e. (Clsd` (F u. {(/)})) -> (x e. F -> x e. {(/), U.(F u. {(/)})})))
132	131	com23 36	. . . . . . . . 9 |- ((F e. Fil /\ (F u. {(/)}) e. Top) -> (x e. F -> (x e. (Clsd` (F u. {(/)})) -> x e. {(/), U.(F u. {(/)})})))
133	16	prid1 3106	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. {(/), U.(F u. {(/)})}
134		eleq1 1957	. . . . . . . . . . 11 |- (x = (/) -> (x e. {(/), U.(F u. {(/)})} <-> (/) e. {(/), U.(F u. {(/)})}))
135	133, 134	mpbiri 211	. . . . . . . . . 10 |- (x = (/) -> x e. {(/), U.(F u. {(/)})})
136	135	a1i13 15326	. . . . . . . . 9 |- ((F e. Fil /\ (F u. {(/)}) e. Top) -> (x = (/) -> (x e. (Clsd` (F u. {(/)})) -> x e. {(/), U.(F u. {(/)})})))
137	132, 136	jaod 469	. . . . . . . 8 |- ((F e. Fil /\ (F u. {(/)}) e. Top) -> ((x e. F \/ x = (/)) -> (x e. (Clsd` (F u. {(/)})) -> x e. {(/), U.(F u. {(/)})})))
138	137, 86	syl5ib 223	. . . . . . 7 |- ((F e. Fil /\ (F u. {(/)}) e. Top) -> (x e. (F u. {(/)}) -> (x e. (Clsd` (F u. {(/)})) -> x e. {(/), U.(F u. {(/)})})))
139	138	imp3a 388	. . . . . 6 |- ((F e. Fil /\ (F u. {(/)}) e. Top) -> ((x e. (F u. {(/)}) /\ x e. (Clsd` (F u. {(/)}))) -> x e. {(/), U.(F u. {(/)})}))
140		elin 2786	. . . . . 6 |- (x e. ((F u. {(/)}) i^i (Clsd` (F u. {(/)}))) <-> (x e. (F u. {(/)}) /\ x e. (Clsd` (F u. {(/)}))))
141	139, 140	syl5ib 223	. . . . 5 |- ((F e. Fil /\ (F u. {(/)}) e. Top) -> (x e. ((F u. {(/)}) i^i (Clsd` (F u. {(/)}))) -> x e. {(/), U.(F u. {(/)})}))
142		eleq1 1957	. . . . . . . . . . 11 |- (x = (/) -> (x e. (F u. {(/)}) <-> (/) e. (F u. {(/)})))
143		eleq1 1957	. . . . . . . . . . 11 |- (x = (/) -> (x e. (Clsd` (F u. {(/)})) <-> (/) e. (Clsd` (F u. {(/)}))))
144	142, 143	anbi12d 690	. . . . . . . . . 10 |- (x = (/) -> ((x e. (F u. {(/)}) /\ x e. (Clsd` (F u. {(/)}))) <-> ((/) e. (F u. {(/)}) /\ (/) e. (Clsd` (F u. {(/)})))))
145		0opn 8870	. . . . . . . . . . 11 |- ((F u. {(/)}) e. Top -> (/) e. (F u. {(/)}))
146		0cld 8954	. . . . . . . . . . 11 |- ((F u. {(/)}) e. Top -> (/) e. (Clsd` (F u. {(/)})))
147	145, 146	jca 310	. . . . . . . . . 10 |- ((F u. {(/)}) e. Top -> ((/) e. (F u. {(/)}) /\ (/) e. (Clsd` (F u. {(/)}))))
148	144, 147	syl5cbir 228	. . . . . . . . 9 |- ((F u. {(/)}) e. Top -> (x = (/) -> (x e. (F u. {(/)}) /\ x e. (Clsd` (F u. {(/)})))))
149	148, 140	syl6ibr 230	. . . . . . . 8 |- ((F u. {(/)}) e. Top -> (x = (/) -> x e. ((F u. {(/)}) i^i (Clsd` (F u. {(/)})))))
150		eleq1 1957	. . . . . . . . 9 |- (x = U.(F u. {(/)}) -> (x e. ((F u. {(/)}) i^i (Clsd` (F u. {(/)}))) <-> U.(F u. {(/)}) e. ((F u. {(/)}) i^i (Clsd` (F u. {(/)})))))
151		elin 2786	. . . . . . . . . 10 |- (U.(F u. {(/)}) e. ((F u. {(/)}) i^i (Clsd` (F u. {(/)}))) <-> (U.(F u. {(/)}) e. (F u. {(/)}) /\ U.(F u. {(/)}) e. (Clsd` (F u. {(/)}))))
152		eqid 1884	. . . . . . . . . . 11 |- U.(F u. {(/)}) = U.(F u. {(/)})
153	152	topopn 8871	. . . . . . . . . 10 |- ((F u. {(/)}) e. Top -> U.(F u. {(/)}) e. (F u. {(/)}))
154	152	topcld 8951	. . . . . . . . . 10 |- ((F u. {(/)}) e. Top -> U.(F u. {(/)}) e. (Clsd` (F u. {(/)})))
155	151, 153, 154	sylanbrc 527	. . . . . . . . 9 |- ((F u. {(/)}) e. Top -> U.(F u. {(/)}) e. ((F u. {(/)}) i^i (Clsd` (F u. {(/)}))))
156	150, 155	syl5cbir 228	. . . . . . . 8 |- ((F u. {(/)}) e. Top -> (x = U.(F u. {(/)}) -> x e. ((F u. {(/)}) i^i (Clsd` (F u. {(/)})))))
157	149, 156	jaod 469	. . . . . . 7 |- ((F u. {(/)}) e. Top -> ((x = (/) \/ x = U.(F u. {(/)})) -> x e. ((F u. {(/)}) i^i (Clsd` (F u. {(/)})))))
158	44	elpr 3061	. . . . . . 7 |- (x e. {(/), U.(F u. {(/)})} <-> (x = (/) \/ x = U.(F u. {(/)})))
159	157, 158	syl5ib 223	. . . . . 6 |- ((F u. {(/)}) e. Top -> (x e. {(/), U.(F u. {(/)})} -> x e. ((F u. {(/)}) i^i (Clsd` (F u. {(/)})))))
160	159	adantl 424	. . . . 5 |- ((F e. Fil /\ (F u. {(/)}) e. Top) -> (x e. {(/), U.(F u. {(/)})} -> x e. ((F u. {(/)}) i^i (Clsd` (F u. {(/)})))))
161	141, 160	impbid 574	. . . 4 |- ((F e. Fil /\ (F u. {(/)}) e. Top) -> (x e. ((F u. {(/)}) i^i (Clsd` (F u. {(/)}))) <-> x e. {(/), U.(F u. {(/)})}))
162	161	eqrdv 1882	. . 3 |- ((F e. Fil /\ (F u. {(/)}) e. Top) -> ((F u. {(/)}) i^i (Clsd` (F u. {(/)}))) = {(/), U.(F u. {(/)})})
163		iscon 10339	. . . 4 |- ((F u. {(/)}) e. Top -> ((F u. {(/)}) e. Con <-> ((F u. {(/)}) i^i (Clsd` (F u. {(/)}))) = {(/), U.(F u. {(/)})}))
164	163	adantl 424	. . 3 |- ((F e. Fil /\ (F u. {(/)}) e. Top) -> ((F u. {(/)}) e. Con <-> ((F u. {(/)}) i^i (Clsd` (F u. {(/)}))) = {(/), U.(F u. {(/)})}))
165	162, 164	mpbird 213	. 2 |- ((F e. Fil /\ (F u. {(/)}) e. Top) -> (F u. {(/)}) e. Con)
166	90, 165	mpdan 768	1 |- (F e. Fil -> (F u. {(/)}) e. Con)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   /\ w3a 858  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326   =/= wne 2017  A.wral 2105  _Vcvv 2292   \ cdif 2590   u. cun 2591   i^i cin 2592   C_ wss 2593  (/)c0 2875  {csn 3044  {cpr 3045  U.cuni 3177  ` cfv 3998  Topctop 8857  Clsdccld 8936  Filcfil 10264  Conccon 10337

This theorem is referenced by:  ufcondr 15581

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-top 8861  df-cld 8939  df-fil 10265  df-con 10338

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