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Theorem filbcmb 28777
Description: Combine a finite set of lower bounds. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
filbcmb  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/)  /\  B  C_  RR )  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  A. x  e.  A  ph ) ) )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    x, B, y, z    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( x, z)

Proof of Theorem filbcmb
Dummy variables  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 9479 . . . . 5  |-  RR  e.  _V
21ssex 4539 . . . 4  |-  ( B 
C_  RR  ->  B  e. 
_V )
3 indexfi 7725 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  _V  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph ) )  ->  E. w  e.  Fin  ( w  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_ 
z  ->  ph )  /\  A. y  e.  w  E. x  e.  A  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph ) ) )
433expia 1190 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  _V )  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  A. z  e.  B  ( y  <_ 
z  ->  ph )  ->  E. w  e.  Fin  ( w  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph )  /\  A. y  e.  w  E. x  e.  A  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph ) ) ) )
52, 4sylan2 474 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  C_  RR )  -> 
( A. x  e.  A  E. y  e.  B  A. z  e.  B  ( y  <_ 
z  ->  ph )  ->  E. w  e.  Fin  ( w  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph )  /\  A. y  e.  w  E. x  e.  A  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph ) ) ) )
653adant2 1007 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/)  /\  B  C_  RR )  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph )  ->  E. w  e.  Fin  ( w  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_ 
z  ->  ph )  /\  A. y  e.  w  E. x  e.  A  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph ) ) ) )
7 r19.2z 3872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph ) )  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph ) )
8 rexn0 3885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. y  e.  w  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph )  ->  w  =/=  (/) )
98rexlimivw 2937 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph )  ->  w  =/=  (/) )
107, 9syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph ) )  ->  w  =/=  (/) )
1110ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph )  ->  w  =/=  (/) ) )
12113ad2ant2 1010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/)  /\  B  C_  RR )  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph )  ->  w  =/=  (/) ) )
1312ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  =/=  (/) 
/\  B  C_  RR )  /\  w  e.  Fin )  /\  w  C_  B
)  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph )  ->  w  =/=  (/) ) )
14 sstr 3467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  C_  B  /\  B  C_  RR )  ->  w  C_  RR )
1514ancoms 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B )  ->  w  C_  RR )
16 fimaxre 10383 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  C_  RR  /\  w  e.  Fin  /\  w  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  w  A. u  e.  w  u  <_  y )
17163expia 1190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  C_  RR  /\  w  e.  Fin )  ->  (
w  =/=  (/)  ->  E. y  e.  w  A. u  e.  w  u  <_  y ) )
1815, 17sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  w  e.  Fin )  ->  ( w  =/=  (/)  ->  E. y  e.  w  A. u  e.  w  u  <_  y ) )
1918anasss 647 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  C_  RR  /\  (
w  C_  B  /\  w  e.  Fin )
)  ->  ( w  =/=  (/)  ->  E. y  e.  w  A. u  e.  w  u  <_  y ) )
2019ancom2s 800 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  C_  RR  /\  (
w  e.  Fin  /\  w  C_  B ) )  ->  ( w  =/=  (/)  ->  E. y  e.  w  A. u  e.  w  u  <_  y ) )
21203ad2antl3 1152 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/)  /\  B  C_  RR )  /\  (
w  e.  Fin  /\  w  C_  B ) )  ->  ( w  =/=  (/)  ->  E. y  e.  w  A. u  e.  w  u  <_  y ) )
2221anassrs 648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  =/=  (/) 
/\  B  C_  RR )  /\  w  e.  Fin )  /\  w  C_  B
)  ->  ( w  =/=  (/)  ->  E. y  e.  w  A. u  e.  w  u  <_  y ) )
2313, 22syld 44 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  =/=  (/) 
/\  B  C_  RR )  /\  w  e.  Fin )  /\  w  C_  B
)  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph )  ->  E. y  e.  w  A. u  e.  w  u  <_  y ) )
2423a1dd 46 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  =/=  (/) 
/\  B  C_  RR )  /\  w  e.  Fin )  /\  w  C_  B
)  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph )  ->  ( A. y  e.  w  E. x  e.  A  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph )  ->  E. y  e.  w  A. u  e.  w  u  <_  y ) ) )
2524ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/)  /\  B  C_  RR )  /\  w  e.  Fin )  ->  (
w  C_  B  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph )  ->  ( A. y  e.  w  E. x  e.  A  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph )  ->  E. y  e.  w  A. u  e.  w  u  <_  y ) ) ) )
26253impd 1202 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/)  /\  B  C_  RR )  /\  w  e.  Fin )  ->  (
( w  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph )  /\  A. y  e.  w  E. x  e.  A  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph ) )  ->  E. y  e.  w  A. u  e.  w  u  <_  y ) )
27 nfv 1674 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y ( B  C_  RR  /\  w  C_  B )
28 nfcv 2614 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ y A
29 nfre1 2885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph )
3028, 29nfral 2882 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph )
3127, 30nfan 1865 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B
)  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph ) )
32 nfv 1674 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ z ( B  C_  RR  /\  w  C_  B )
33 nfcv 2614 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ z A
34 nfcv 2614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ z
w
35 nfra1 2807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ z A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph )
3634, 35nfrex 2884 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ z E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph )
3733, 36nfral 2882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ z A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph )
3832, 37nfan 1865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ z ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B
)  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph ) )
39 nfv 1674 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ z ( y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y )
4038, 39nfan 1865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ z ( ( ( B 
C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph ) )  /\  (
y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )
41 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  v  ->  (
y  <_  z  <->  v  <_  z ) )
4241imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  v  ->  (
( y  <_  z  ->  ph )  <->  ( v  <_  z  ->  ph ) ) )
4342ralbidv 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  v  ->  ( A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph )  <->  A. z  e.  B  ( v  <_  z  ->  ph ) ) )
4443cbvrexv 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. y  e.  w  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph )  <->  E. v  e.  w  A. z  e.  B  ( v  <_  z  ->  ph ) )
45 rsp 2888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. z  e.  B  (
v  <_  z  ->  ph )  ->  ( z  e.  B  ->  ( v  <_  z  ->  ph )
) )
46 ssel2 3454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( w  C_  B  /\  v  e.  w )  ->  v  e.  B )
47 ssel2 3454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( B  C_  RR  /\  v  e.  B )  ->  v  e.  RR )
4846, 47sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( B  C_  RR  /\  (
w  C_  B  /\  v  e.  w )
)  ->  v  e.  RR )
4948anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  v  e.  w
)  ->  v  e.  RR )
5049adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B
)  /\  ( y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  v  e.  w )  ->  v  e.  RR )
5150adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( B 
C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  (
y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  ( z  e.  B  /\  y  <_ 
z ) )  /\  v  e.  w )  ->  v  e.  RR )
52 ssel2 3454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( w  C_  B  /\  y  e.  w )  ->  y  e.  B )
53 ssel2 3454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( B  C_  RR  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  RR )
5452, 53sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( B  C_  RR  /\  (
w  C_  B  /\  y  e.  w )
)  ->  y  e.  RR )
5554anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  y  e.  w
)  ->  y  e.  RR )
5655adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  ( y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  ->  y  e.  RR )
5756ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( B 
C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  (
y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  ( z  e.  B  /\  y  <_ 
z ) )  /\  v  e.  w )  ->  y  e.  RR )
58 ssel2 3454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( B  C_  RR  /\  z  e.  B )  ->  z  e.  RR )
5958adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  z  e.  B
)  ->  z  e.  RR )
6059ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B
)  /\  ( y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  y  <_  z ) )  ->  z  e.  RR )
6160adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( B 
C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  (
y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  ( z  e.  B  /\  y  <_ 
z ) )  /\  v  e.  w )  ->  z  e.  RR )
62 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( u  =  v  ->  (
u  <_  y  <->  v  <_  y ) )
6362rspccva 3172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A. u  e.  w  u  <_  y  /\  v  e.  w )  ->  v  <_  y )
6463adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y )  /\  v  e.  w )  ->  v  <_  y )
6564adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B
)  /\  ( y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  v  e.  w )  ->  v  <_  y )
6665adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( B 
C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  (
y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  ( z  e.  B  /\  y  <_ 
z ) )  /\  v  e.  w )  ->  v  <_  y )
67 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( B 
C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  (
y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  ( z  e.  B  /\  y  <_ 
z ) )  /\  v  e.  w )  ->  y  <_  z )
6851, 57, 61, 66, 67letrd 9634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( B 
C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  (
y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  ( z  e.  B  /\  y  <_ 
z ) )  /\  v  e.  w )  ->  v  <_  z )
69 pm2.27 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  e.  B  ->  (
( z  e.  B  ->  ( v  <_  z  ->  ph ) )  -> 
( v  <_  z  ->  ph ) ) )
7069adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( z  e.  B  /\  y  <_  z )  -> 
( ( z  e.  B  ->  ( v  <_  z  ->  ph ) )  ->  ( v  <_ 
z  ->  ph ) ) )
7170ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( B 
C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  (
y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  ( z  e.  B  /\  y  <_ 
z ) )  /\  v  e.  w )  ->  ( ( z  e.  B  ->  ( v  <_  z  ->  ph ) )  ->  ( v  <_ 
z  ->  ph ) ) )
7268, 71mpid 41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( B 
C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  (
y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  ( z  e.  B  /\  y  <_ 
z ) )  /\  v  e.  w )  ->  ( ( z  e.  B  ->  ( v  <_  z  ->  ph ) )  ->  ph ) )
7345, 72syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( B 
C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  (
y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  ( z  e.  B  /\  y  <_ 
z ) )  /\  v  e.  w )  ->  ( A. z  e.  B  ( v  <_ 
z  ->  ph )  ->  ph ) )
7473adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  (
y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  ( z  e.  B  /\  y  <_ 
z ) )  /\  x  e.  A )  /\  v  e.  w
)  ->  ( A. z  e.  B  (
v  <_  z  ->  ph )  ->  ph ) )
7574rexlimdva 2941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( B 
C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  (
y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  ( z  e.  B  /\  y  <_ 
z ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. v  e.  w  A. z  e.  B  ( v  <_ 
z  ->  ph )  ->  ph ) )
7644, 75syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( B 
C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  (
y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  ( z  e.  B  /\  y  <_ 
z ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_ 
z  ->  ph )  ->  ph ) )
7776ralimdva 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B
)  /\  ( y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  y  <_  z ) )  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph )  ->  A. x  e.  A  ph ) )
7877imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( B 
C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  (
y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  ( z  e.  B  /\  y  <_ 
z ) )  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph ) )  ->  A. x  e.  A  ph )
7978an32s 802 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( B 
C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  (
y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_ 
z  ->  ph ) )  /\  ( z  e.  B  /\  y  <_ 
z ) )  ->  A. x  e.  A  ph )
8079exp32 605 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B
)  /\  ( y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph ) )  ->  (
z  e.  B  -> 
( y  <_  z  ->  A. x  e.  A  ph ) ) )
8180an32s 802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B
)  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph ) )  /\  ( y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  ->  (
z  e.  B  -> 
( y  <_  z  ->  A. x  e.  A  ph ) ) )
8240, 81ralrimi 2820 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B
)  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph ) )  /\  ( y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  ->  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  A. x  e.  A  ph ) )
8382exp32 605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph ) )  -> 
( y  e.  w  ->  ( A. u  e.  w  u  <_  y  ->  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  A. x  e.  A  ph ) ) ) )
8431, 83reximdai 2924 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph ) )  -> 
( E. y  e.  w  A. u  e.  w  u  <_  y  ->  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  A. x  e.  A  ph ) ) )
8584adantrr 716 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  ( A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_ 
z  ->  ph )  /\  A. y  e.  w  E. x  e.  A  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph ) ) )  -> 
( E. y  e.  w  A. u  e.  w  u  <_  y  ->  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  A. x  e.  A  ph ) ) )
86 ssrexv 3520 . . . . . . . . . 10  |-  ( w 
C_  B  ->  ( E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  A. x  e.  A  ph )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  A. x  e.  A  ph ) ) )
8786ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  ( A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_ 
z  ->  ph )  /\  A. y  e.  w  E. x  e.  A  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph ) ) )  -> 
( E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_ 
z  ->  A. x  e.  A  ph )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  A. x  e.  A  ph ) ) )
8885, 87syld 44 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  ( A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_ 
z  ->  ph )  /\  A. y  e.  w  E. x  e.  A  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph ) ) )  -> 
( E. y  e.  w  A. u  e.  w  u  <_  y  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  A. x  e.  A  ph ) ) )
8988exp43 612 . . . . . . 7  |-  ( B 
C_  RR  ->  ( w 
C_  B  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph )  ->  ( A. y  e.  w  E. x  e.  A  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph )  ->  ( E. y  e.  w  A. u  e.  w  u  <_  y  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  A. x  e.  A  ph ) ) ) ) ) )
90893impd 1202 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  RR  ->  ( ( w  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph )  /\  A. y  e.  w  E. x  e.  A  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph ) )  ->  ( E. y  e.  w  A. u  e.  w  u  <_  y  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  A. x  e.  A  ph ) ) ) )
91903ad2ant3 1011 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/)  /\  B  C_  RR )  ->  ( ( w  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph )  /\  A. y  e.  w  E. x  e.  A  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph ) )  ->  ( E. y  e.  w  A. u  e.  w  u  <_  y  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  A. x  e.  A  ph ) ) ) )
9291adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/)  /\  B  C_  RR )  /\  w  e.  Fin )  ->  (
( w  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph )  /\  A. y  e.  w  E. x  e.  A  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph ) )  ->  ( E. y  e.  w  A. u  e.  w  u  <_  y  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  A. x  e.  A  ph ) ) ) )
9326, 92mpdd 40 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/)  /\  B  C_  RR )  /\  w  e.  Fin )  ->  (
( w  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph )  /\  A. y  e.  w  E. x  e.  A  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph ) )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  A. x  e.  A  ph ) ) )
9493rexlimdva 2941 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/)  /\  B  C_  RR )  ->  ( E. w  e.  Fin  (
w  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph )  /\  A. y  e.  w  E. x  e.  A  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph ) )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  A. x  e.  A  ph ) ) )
956, 94syld 44 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/)  /\  B  C_  RR )  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  A. x  e.  A  ph ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1758    =/= wne 2645   A.wral 2796   E.wrex 2797   _Vcvv 3072    C_ wss 3431   (/)c0 3740   class class class wbr 4395   Fincfn 7415   RRcr 9387    <_ cle 9525
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-om 6582  df-1o 7025  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530
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