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Theorem filbcmb 29862
Description: Combine a finite set of lower bounds. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
filbcmb  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/)  /\  B  C_  RR )  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  A. x  e.  A  ph ) ) )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    x, B, y, z    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( x, z)

Proof of Theorem filbcmb
Dummy variables  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 9583 . . . . 5  |-  RR  e.  _V
21ssex 4591 . . . 4  |-  ( B 
C_  RR  ->  B  e. 
_V )
3 indexfi 7828 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  _V  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph ) )  ->  E. w  e.  Fin  ( w  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_ 
z  ->  ph )  /\  A. y  e.  w  E. x  e.  A  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph ) ) )
433expia 1198 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  _V )  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  A. z  e.  B  ( y  <_ 
z  ->  ph )  ->  E. w  e.  Fin  ( w  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph )  /\  A. y  e.  w  E. x  e.  A  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph ) ) ) )
52, 4sylan2 474 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  C_  RR )  -> 
( A. x  e.  A  E. y  e.  B  A. z  e.  B  ( y  <_ 
z  ->  ph )  ->  E. w  e.  Fin  ( w  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph )  /\  A. y  e.  w  E. x  e.  A  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph ) ) ) )
653adant2 1015 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/)  /\  B  C_  RR )  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph )  ->  E. w  e.  Fin  ( w  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_ 
z  ->  ph )  /\  A. y  e.  w  E. x  e.  A  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph ) ) ) )
7 r19.2z 3917 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph ) )  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph ) )
8 rexn0 3930 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. y  e.  w  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph )  ->  w  =/=  (/) )
98rexlimivw 2952 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph )  ->  w  =/=  (/) )
107, 9syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph ) )  ->  w  =/=  (/) )
1110ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph )  ->  w  =/=  (/) ) )
12113ad2ant2 1018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/)  /\  B  C_  RR )  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph )  ->  w  =/=  (/) ) )
1312ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  =/=  (/) 
/\  B  C_  RR )  /\  w  e.  Fin )  /\  w  C_  B
)  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph )  ->  w  =/=  (/) ) )
14 sstr 3512 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  C_  B  /\  B  C_  RR )  ->  w  C_  RR )
1514ancoms 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B )  ->  w  C_  RR )
16 fimaxre 10490 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  C_  RR  /\  w  e.  Fin  /\  w  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  w  A. u  e.  w  u  <_  y )
17163expia 1198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  C_  RR  /\  w  e.  Fin )  ->  (
w  =/=  (/)  ->  E. y  e.  w  A. u  e.  w  u  <_  y ) )
1815, 17sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  w  e.  Fin )  ->  ( w  =/=  (/)  ->  E. y  e.  w  A. u  e.  w  u  <_  y ) )
1918anasss 647 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  C_  RR  /\  (
w  C_  B  /\  w  e.  Fin )
)  ->  ( w  =/=  (/)  ->  E. y  e.  w  A. u  e.  w  u  <_  y ) )
2019ancom2s 800 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  C_  RR  /\  (
w  e.  Fin  /\  w  C_  B ) )  ->  ( w  =/=  (/)  ->  E. y  e.  w  A. u  e.  w  u  <_  y ) )
21203ad2antl3 1160 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/)  /\  B  C_  RR )  /\  (
w  e.  Fin  /\  w  C_  B ) )  ->  ( w  =/=  (/)  ->  E. y  e.  w  A. u  e.  w  u  <_  y ) )
2221anassrs 648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  =/=  (/) 
/\  B  C_  RR )  /\  w  e.  Fin )  /\  w  C_  B
)  ->  ( w  =/=  (/)  ->  E. y  e.  w  A. u  e.  w  u  <_  y ) )
2313, 22syld 44 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  =/=  (/) 
/\  B  C_  RR )  /\  w  e.  Fin )  /\  w  C_  B
)  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph )  ->  E. y  e.  w  A. u  e.  w  u  <_  y ) )
2423a1dd 46 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  =/=  (/) 
/\  B  C_  RR )  /\  w  e.  Fin )  /\  w  C_  B
)  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph )  ->  ( A. y  e.  w  E. x  e.  A  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph )  ->  E. y  e.  w  A. u  e.  w  u  <_  y ) ) )
2524ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/)  /\  B  C_  RR )  /\  w  e.  Fin )  ->  (
w  C_  B  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph )  ->  ( A. y  e.  w  E. x  e.  A  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph )  ->  E. y  e.  w  A. u  e.  w  u  <_  y ) ) ) )
26253impd 1210 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/)  /\  B  C_  RR )  /\  w  e.  Fin )  ->  (
( w  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph )  /\  A. y  e.  w  E. x  e.  A  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph ) )  ->  E. y  e.  w  A. u  e.  w  u  <_  y ) )
27 nfv 1683 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y ( B  C_  RR  /\  w  C_  B )
28 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ y A
29 nfre1 2925 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph )
3028, 29nfral 2850 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph )
3127, 30nfan 1875 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B
)  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph ) )
32 nfv 1683 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ z ( B  C_  RR  /\  w  C_  B )
33 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ z A
34 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ z
w
35 nfra1 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ z A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph )
3634, 35nfrex 2927 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ z E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph )
3733, 36nfral 2850 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ z A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph )
3832, 37nfan 1875 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ z ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B
)  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph ) )
39 nfv 1683 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ z ( y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y )
4038, 39nfan 1875 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ z ( ( ( B 
C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph ) )  /\  (
y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )
41 breq1 4450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  v  ->  (
y  <_  z  <->  v  <_  z ) )
4241imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  v  ->  (
( y  <_  z  ->  ph )  <->  ( v  <_  z  ->  ph ) ) )
4342ralbidv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  v  ->  ( A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph )  <->  A. z  e.  B  ( v  <_  z  ->  ph ) ) )
4443cbvrexv 3089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. y  e.  w  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph )  <->  E. v  e.  w  A. z  e.  B  ( v  <_  z  ->  ph ) )
45 rsp 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. z  e.  B  (
v  <_  z  ->  ph )  ->  ( z  e.  B  ->  ( v  <_  z  ->  ph )
) )
46 ssel2 3499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( w  C_  B  /\  v  e.  w )  ->  v  e.  B )
47 ssel2 3499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( B  C_  RR  /\  v  e.  B )  ->  v  e.  RR )
4846, 47sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( B  C_  RR  /\  (
w  C_  B  /\  v  e.  w )
)  ->  v  e.  RR )
4948anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  v  e.  w
)  ->  v  e.  RR )
5049adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B
)  /\  ( y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  v  e.  w )  ->  v  e.  RR )
5150adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( B 
C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  (
y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  ( z  e.  B  /\  y  <_ 
z ) )  /\  v  e.  w )  ->  v  e.  RR )
52 ssel2 3499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( w  C_  B  /\  y  e.  w )  ->  y  e.  B )
53 ssel2 3499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( B  C_  RR  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  RR )
5452, 53sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( B  C_  RR  /\  (
w  C_  B  /\  y  e.  w )
)  ->  y  e.  RR )
5554anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  y  e.  w
)  ->  y  e.  RR )
5655adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  ( y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  ->  y  e.  RR )
5756ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( B 
C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  (
y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  ( z  e.  B  /\  y  <_ 
z ) )  /\  v  e.  w )  ->  y  e.  RR )
58 ssel2 3499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( B  C_  RR  /\  z  e.  B )  ->  z  e.  RR )
5958adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  z  e.  B
)  ->  z  e.  RR )
6059ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B
)  /\  ( y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  y  <_  z ) )  ->  z  e.  RR )
6160adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( B 
C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  (
y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  ( z  e.  B  /\  y  <_ 
z ) )  /\  v  e.  w )  ->  z  e.  RR )
62 breq1 4450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( u  =  v  ->  (
u  <_  y  <->  v  <_  y ) )
6362rspccva 3213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A. u  e.  w  u  <_  y  /\  v  e.  w )  ->  v  <_  y )
6463adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y )  /\  v  e.  w )  ->  v  <_  y )
6564adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B
)  /\  ( y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  v  e.  w )  ->  v  <_  y )
6665adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( B 
C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  (
y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  ( z  e.  B  /\  y  <_ 
z ) )  /\  v  e.  w )  ->  v  <_  y )
67 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( B 
C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  (
y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  ( z  e.  B  /\  y  <_ 
z ) )  /\  v  e.  w )  ->  y  <_  z )
6851, 57, 61, 66, 67letrd 9738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( B 
C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  (
y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  ( z  e.  B  /\  y  <_ 
z ) )  /\  v  e.  w )  ->  v  <_  z )
69 pm2.27 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  e.  B  ->  (
( z  e.  B  ->  ( v  <_  z  ->  ph ) )  -> 
( v  <_  z  ->  ph ) ) )
7069adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( z  e.  B  /\  y  <_  z )  -> 
( ( z  e.  B  ->  ( v  <_  z  ->  ph ) )  ->  ( v  <_ 
z  ->  ph ) ) )
7170ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( B 
C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  (
y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  ( z  e.  B  /\  y  <_ 
z ) )  /\  v  e.  w )  ->  ( ( z  e.  B  ->  ( v  <_  z  ->  ph ) )  ->  ( v  <_ 
z  ->  ph ) ) )
7268, 71mpid 41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( B 
C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  (
y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  ( z  e.  B  /\  y  <_ 
z ) )  /\  v  e.  w )  ->  ( ( z  e.  B  ->  ( v  <_  z  ->  ph ) )  ->  ph ) )
7345, 72syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( B 
C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  (
y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  ( z  e.  B  /\  y  <_ 
z ) )  /\  v  e.  w )  ->  ( A. z  e.  B  ( v  <_ 
z  ->  ph )  ->  ph ) )
7473adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  (
y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  ( z  e.  B  /\  y  <_ 
z ) )  /\  x  e.  A )  /\  v  e.  w
)  ->  ( A. z  e.  B  (
v  <_  z  ->  ph )  ->  ph ) )
7574rexlimdva 2955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( B 
C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  (
y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  ( z  e.  B  /\  y  <_ 
z ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. v  e.  w  A. z  e.  B  ( v  <_ 
z  ->  ph )  ->  ph ) )
7644, 75syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( B 
C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  (
y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  ( z  e.  B  /\  y  <_ 
z ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_ 
z  ->  ph )  ->  ph ) )
7776ralimdva 2872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B
)  /\  ( y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  y  <_  z ) )  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph )  ->  A. x  e.  A  ph ) )
7877imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( B 
C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  (
y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  ( z  e.  B  /\  y  <_ 
z ) )  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph ) )  ->  A. x  e.  A  ph )
7978an32s 802 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( B 
C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  (
y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_ 
z  ->  ph ) )  /\  ( z  e.  B  /\  y  <_ 
z ) )  ->  A. x  e.  A  ph )
8079exp32 605 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B
)  /\  ( y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph ) )  ->  (
z  e.  B  -> 
( y  <_  z  ->  A. x  e.  A  ph ) ) )
8180an32s 802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B
)  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph ) )  /\  ( y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  ->  (
z  e.  B  -> 
( y  <_  z  ->  A. x  e.  A  ph ) ) )
8240, 81ralrimi 2864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B
)  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph ) )  /\  ( y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  ->  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  A. x  e.  A  ph ) )
8382exp32 605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph ) )  -> 
( y  e.  w  ->  ( A. u  e.  w  u  <_  y  ->  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  A. x  e.  A  ph ) ) ) )
8431, 83reximdai 2933 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph ) )  -> 
( E. y  e.  w  A. u  e.  w  u  <_  y  ->  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  A. x  e.  A  ph ) ) )
8584adantrr 716 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  ( A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_ 
z  ->  ph )  /\  A. y  e.  w  E. x  e.  A  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph ) ) )  -> 
( E. y  e.  w  A. u  e.  w  u  <_  y  ->  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  A. x  e.  A  ph ) ) )
86 ssrexv 3565 . . . . . . . . . 10  |-  ( w 
C_  B  ->  ( E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  A. x  e.  A  ph )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  A. x  e.  A  ph ) ) )
8786ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  ( A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_ 
z  ->  ph )  /\  A. y  e.  w  E. x  e.  A  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph ) ) )  -> 
( E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_ 
z  ->  A. x  e.  A  ph )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  A. x  e.  A  ph ) ) )
8885, 87syld 44 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  ( A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_ 
z  ->  ph )  /\  A. y  e.  w  E. x  e.  A  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph ) ) )  -> 
( E. y  e.  w  A. u  e.  w  u  <_  y  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  A. x  e.  A  ph ) ) )
8988exp43 612 . . . . . . 7  |-  ( B 
C_  RR  ->  ( w 
C_  B  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph )  ->  ( A. y  e.  w  E. x  e.  A  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph )  ->  ( E. y  e.  w  A. u  e.  w  u  <_  y  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  A. x  e.  A  ph ) ) ) ) ) )
90893impd 1210 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  RR  ->  ( ( w  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph )  /\  A. y  e.  w  E. x  e.  A  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph ) )  ->  ( E. y  e.  w  A. u  e.  w  u  <_  y  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  A. x  e.  A  ph ) ) ) )
91903ad2ant3 1019 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/)  /\  B  C_  RR )  ->  ( ( w  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph )  /\  A. y  e.  w  E. x  e.  A  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph ) )  ->  ( E. y  e.  w  A. u  e.  w  u  <_  y  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  A. x  e.  A  ph ) ) ) )
9291adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/)  /\  B  C_  RR )  /\  w  e.  Fin )  ->  (
( w  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph )  /\  A. y  e.  w  E. x  e.  A  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph ) )  ->  ( E. y  e.  w  A. u  e.  w  u  <_  y  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  A. x  e.  A  ph ) ) ) )
9326, 92mpdd 40 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/)  /\  B  C_  RR )  /\  w  e.  Fin )  ->  (
( w  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph )  /\  A. y  e.  w  E. x  e.  A  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph ) )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  A. x  e.  A  ph ) ) )
9493rexlimdva 2955 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/)  /\  B  C_  RR )  ->  ( E. w  e.  Fin  (
w  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph )  /\  A. y  e.  w  E. x  e.  A  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph ) )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  A. x  e.  A  ph ) ) )
956, 94syld 44 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/)  /\  B  C_  RR )  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  A. x  e.  A  ph ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   (/)c0 3785   class class class wbr 4447   Fincfn 7516   RRcr 9491    <_ cle 9629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-om 6685  df-1o 7130  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634
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