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Theorem fiiuncl 37406
Description: If a set is closed under the union of two sets, then it is closed under finite indexed union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fiiuncl.xph  |-  F/ x ph
fiiuncl.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  D )
fiiuncl.un  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D  /\  z  e.  D
)  ->  ( y  u.  z )  e.  D
)
fiiuncl.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fiiuncl.n0  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
Assertion
Ref Expression
fiiuncl  |-  ( ph  ->  U_ x  e.  A  B  e.  D )
Distinct variable groups:    x, A    y, B, z    x, D, y, z    ph, y,
z
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( y, z)    B( x)

Proof of Theorem fiiuncl
Dummy variables  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fiiuncl.n0 . 2  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
2 neeq1 2686 . . . 4  |-  ( v  =  (/)  ->  ( v  =/=  (/)  <->  (/)  =/=  (/) ) )
3 iuneq1 4292 . . . . 5  |-  ( v  =  (/)  ->  U_ x  e.  v  B  =  U_ x  e.  (/)  B )
43eleq1d 2513 . . . 4  |-  ( v  =  (/)  ->  ( U_ x  e.  v  B  e.  D  <->  U_ x  e.  (/)  B  e.  D ) )
52, 4imbi12d 322 . . 3  |-  ( v  =  (/)  ->  ( ( v  =/=  (/)  ->  U_ x  e.  v  B  e.  D )  <->  ( (/)  =/=  (/)  ->  U_ x  e.  (/)  B  e.  D
) ) )
6 neeq1 2686 . . . 4  |-  ( v  =  w  ->  (
v  =/=  (/)  <->  w  =/=  (/) ) )
7 iuneq1 4292 . . . . 5  |-  ( v  =  w  ->  U_ x  e.  v  B  =  U_ x  e.  w  B )
87eleq1d 2513 . . . 4  |-  ( v  =  w  ->  ( U_ x  e.  v  B  e.  D  <->  U_ x  e.  w  B  e.  D
) )
96, 8imbi12d 322 . . 3  |-  ( v  =  w  ->  (
( v  =/=  (/)  ->  U_ x  e.  v  B  e.  D )  <->  ( w  =/=  (/)  ->  U_ x  e.  w  B  e.  D
) ) )
10 neeq1 2686 . . . 4  |-  ( v  =  ( w  u. 
{ u } )  ->  ( v  =/=  (/) 
<->  ( w  u.  {
u } )  =/=  (/) ) )
11 iuneq1 4292 . . . . 5  |-  ( v  =  ( w  u. 
{ u } )  ->  U_ x  e.  v  B  =  U_ x  e.  ( w  u.  {
u } ) B )
1211eleq1d 2513 . . . 4  |-  ( v  =  ( w  u. 
{ u } )  ->  ( U_ x  e.  v  B  e.  D 
<-> 
U_ x  e.  ( w  u.  { u } ) B  e.  D ) )
1310, 12imbi12d 322 . . 3  |-  ( v  =  ( w  u. 
{ u } )  ->  ( ( v  =/=  (/)  ->  U_ x  e.  v  B  e.  D
)  <->  ( ( w  u.  { u }
)  =/=  (/)  ->  U_ x  e.  ( w  u.  {
u } ) B  e.  D ) ) )
14 neeq1 2686 . . . 4  |-  ( v  =  A  ->  (
v  =/=  (/)  <->  A  =/=  (/) ) )
15 iuneq1 4292 . . . . 5  |-  ( v  =  A  ->  U_ x  e.  v  B  =  U_ x  e.  A  B
)
1615eleq1d 2513 . . . 4  |-  ( v  =  A  ->  ( U_ x  e.  v  B  e.  D  <->  U_ x  e.  A  B  e.  D
) )
1714, 16imbi12d 322 . . 3  |-  ( v  =  A  ->  (
( v  =/=  (/)  ->  U_ x  e.  v  B  e.  D )  <->  ( A  =/=  (/)  ->  U_ x  e.  A  B  e.  D
) ) )
18 neirr 2632 . . . . 5  |-  -.  (/)  =/=  (/)
1918pm2.21i 135 . . . 4  |-  ( (/)  =/=  (/)  ->  U_ x  e.  (/)  B  e.  D )
2019a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (/)  =/=  (/)  ->  U_ x  e.  (/)  B  e.  D
) )
21 iunxun 4363 . . . . . . . 8  |-  U_ x  e.  ( w  u.  {
u } ) B  =  ( U_ x  e.  w  B  u.  U_ x  e.  { u } B )
22 nfcsb1v 3379 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x [_ u  /  x ]_ B
23 vex 3048 . . . . . . . . . 10  |-  u  e. 
_V
24 csbeq1a 3372 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  u  ->  B  =  [_ u  /  x ]_ B )
2522, 23, 24iunxsnf 37405 . . . . . . . . 9  |-  U_ x  e.  { u } B  =  [_ u  /  x ]_ B
2625uneq2i 3585 . . . . . . . 8  |-  ( U_ x  e.  w  B  u.  U_ x  e.  {
u } B )  =  ( U_ x  e.  w  B  u.  [_ u  /  x ]_ B )
2721, 26eqtri 2473 . . . . . . 7  |-  U_ x  e.  ( w  u.  {
u } ) B  =  ( U_ x  e.  w  B  u.  [_ u  /  x ]_ B )
28 iuneq1 4292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  (/)  ->  U_ x  e.  w  B  =  U_ x  e.  (/)  B )
29 0iun 4335 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U_ x  e.  (/)  B  =  (/)
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  (/)  ->  U_ x  e.  (/)  B  =  (/) )
3128, 30eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  (/)  ->  U_ x  e.  w  B  =  (/) )
3231uneq1d 3587 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  (/)  ->  ( U_ x  e.  w  B  u.  [_ u  /  x ]_ B )  =  (
(/)  u.  [_ u  /  x ]_ B ) )
33 0un 37386 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (/)  u. 
[_ u  /  x ]_ B )  =  [_ u  /  x ]_ B
34 unidm 3577 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( [_ u  /  x ]_ B  u.  [_ u  /  x ]_ B )  =  [_ u  /  x ]_ B
3533, 34eqtr4i 2476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/)  u. 
[_ u  /  x ]_ B )  =  (
[_ u  /  x ]_ B  u.  [_ u  /  x ]_ B )
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  (/)  ->  ( (/)  u. 
[_ u  /  x ]_ B )  =  (
[_ u  /  x ]_ B  u.  [_ u  /  x ]_ B ) )
3732, 36eqtrd 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  (/)  ->  ( U_ x  e.  w  B  u.  [_ u  /  x ]_ B )  =  (
[_ u  /  x ]_ B  u.  [_ u  /  x ]_ B ) )
3837adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( A  \  w
) )  /\  w  =  (/) )  ->  ( U_ x  e.  w  B  u.  [_ u  /  x ]_ B )  =  ( [_ u  /  x ]_ B  u.  [_ u  /  x ]_ B
) )
39 simpl 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( A  \  w
) )  ->  ph )
40 eldifi 3555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  ( A  \  w )  ->  u  e.  A )
4140adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( A  \  w
) )  ->  u  e.  A )
42 fiiuncl.xph . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x ph
43 nfv 1761 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x  u  e.  A
4442, 43nfan 2011 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x
( ph  /\  u  e.  A )
45 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x D
4622, 45nfel 2604 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x [_ u  /  x ]_ B  e.  D
4744, 46nfim 2003 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x
( ( ph  /\  u  e.  A )  ->  [_ u  /  x ]_ B  e.  D
)
48 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  u  ->  (
x  e.  A  <->  u  e.  A ) )
4948anbi2d 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  u  ->  (
( ph  /\  x  e.  A )  <->  ( ph  /\  u  e.  A ) ) )
5024eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  u  ->  ( B  e.  D  <->  [_ u  /  x ]_ B  e.  D
) )
5149, 50imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  u  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  D )  <-> 
( ( ph  /\  u  e.  A )  ->  [_ u  /  x ]_ B  e.  D
) ) )
52 fiiuncl.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  D )
5347, 51, 52chvar 2106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  A )  ->  [_ u  /  x ]_ B  e.  D )
5434, 53syl5eqel 2533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  A )  ->  ( [_ u  /  x ]_ B  u.  [_ u  /  x ]_ B )  e.  D )
5539, 41, 54syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( A  \  w
) )  ->  ( [_ u  /  x ]_ B  u.  [_ u  /  x ]_ B )  e.  D )
5655adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( A  \  w
) )  /\  w  =  (/) )  ->  ( [_ u  /  x ]_ B  u.  [_ u  /  x ]_ B )  e.  D )
5738, 56eqeltrd 2529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( A  \  w
) )  /\  w  =  (/) )  ->  ( U_ x  e.  w  B  u.  [_ u  /  x ]_ B )  e.  D )
5857adantlr 721 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  ( A  \  w ) )  /\  ( w  =/=  (/)  ->  U_ x  e.  w  B  e.  D ) )  /\  w  =  (/) )  -> 
( U_ x  e.  w  B  u.  [_ u  /  x ]_ B )  e.  D )
59 simplll 768 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  ( A  \  w ) )  /\  ( w  =/=  (/)  ->  U_ x  e.  w  B  e.  D ) )  /\  -.  w  =  (/) )  ->  ph )
6040ad3antlr 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  ( A  \  w ) )  /\  ( w  =/=  (/)  ->  U_ x  e.  w  B  e.  D ) )  /\  -.  w  =  (/) )  ->  u  e.  A )
61 neqne 37374 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  w  =  (/)  ->  w  =/=  (/) )
6261adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( w  =/=  (/)  ->  U_ x  e.  w  B  e.  D )  /\  -.  w  =  (/) )  ->  w  =/=  (/) )
63 simpl 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( w  =/=  (/)  ->  U_ x  e.  w  B  e.  D )  /\  -.  w  =  (/) )  -> 
( w  =/=  (/)  ->  U_ x  e.  w  B  e.  D ) )
6462, 63mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( w  =/=  (/)  ->  U_ x  e.  w  B  e.  D )  /\  -.  w  =  (/) )  ->  U_ x  e.  w  B  e.  D )
6564adantll 720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  ( A  \  w ) )  /\  ( w  =/=  (/)  ->  U_ x  e.  w  B  e.  D ) )  /\  -.  w  =  (/) )  ->  U_ x  e.  w  B  e.  D )
66533adant3 1028 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  A  /\  U_ x  e.  w  B  e.  D
)  ->  [_ u  /  x ]_ B  e.  D
)
67 simp3 1010 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  A  /\  U_ x  e.  w  B  e.  D
)  ->  U_ x  e.  w  B  e.  D
)
68 simp1 1008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  A  /\  U_ x  e.  w  B  e.  D
)  ->  ph )
6968, 67, 663jca 1188 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  A  /\  U_ x  e.  w  B  e.  D
)  ->  ( ph  /\ 
U_ x  e.  w  B  e.  D  /\  [_ u  /  x ]_ B  e.  D )
)
70 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  [_ u  /  x ]_ B  ->  (
z  e.  D  <->  [_ u  /  x ]_ B  e.  D
) )
71703anbi3d 1345 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  [_ u  /  x ]_ B  ->  (
( ph  /\  U_ x  e.  w  B  e.  D  /\  z  e.  D
)  <->  ( ph  /\  U_ x  e.  w  B  e.  D  /\  [_ u  /  x ]_ B  e.  D ) ) )
72 uneq2 3582 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  [_ u  /  x ]_ B  ->  ( U_ x  e.  w  B  u.  z )  =  ( U_ x  e.  w  B  u.  [_ u  /  x ]_ B ) )
7372eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  [_ u  /  x ]_ B  ->  (
( U_ x  e.  w  B  u.  z )  e.  D  <->  ( U_ x  e.  w  B  u.  [_ u  /  x ]_ B )  e.  D
) )
7471, 73imbi12d 322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  [_ u  /  x ]_ B  ->  (
( ( ph  /\  U_ x  e.  w  B  e.  D  /\  z  e.  D )  ->  ( U_ x  e.  w  B  u.  z )  e.  D )  <->  ( ( ph  /\  U_ x  e.  w  B  e.  D  /\  [_ u  /  x ]_ B  e.  D
)  ->  ( U_ x  e.  w  B  u.  [_ u  /  x ]_ B )  e.  D
) ) )
7574imbi2d 318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  [_ u  /  x ]_ B  ->  (
( U_ x  e.  w  B  e.  D  ->  ( ( ph  /\  U_ x  e.  w  B  e.  D  /\  z  e.  D )  ->  ( U_ x  e.  w  B  u.  z )  e.  D ) )  <->  ( U_ x  e.  w  B  e.  D  ->  ( (
ph  /\  U_ x  e.  w  B  e.  D  /\  [_ u  /  x ]_ B  e.  D
)  ->  ( U_ x  e.  w  B  u.  [_ u  /  x ]_ B )  e.  D
) ) ) )
76 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  U_ x  e.  w  B  ->  (
y  e.  D  <->  U_ x  e.  w  B  e.  D
) )
77763anbi2d 1344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  U_ x  e.  w  B  ->  (
( ph  /\  y  e.  D  /\  z  e.  D )  <->  ( ph  /\ 
U_ x  e.  w  B  e.  D  /\  z  e.  D )
) )
78 uneq1 3581 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  U_ x  e.  w  B  ->  (
y  u.  z )  =  ( U_ x  e.  w  B  u.  z ) )
7978eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  U_ x  e.  w  B  ->  (
( y  u.  z
)  e.  D  <->  ( U_ x  e.  w  B  u.  z )  e.  D
) )
8077, 79imbi12d 322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  U_ x  e.  w  B  ->  (
( ( ph  /\  y  e.  D  /\  z  e.  D )  ->  ( y  u.  z
)  e.  D )  <-> 
( ( ph  /\  U_ x  e.  w  B  e.  D  /\  z  e.  D )  ->  ( U_ x  e.  w  B  u.  z )  e.  D ) ) )
81 fiiuncl.un . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D  /\  z  e.  D
)  ->  ( y  u.  z )  e.  D
)
8280, 81vtoclg 3107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U_ x  e.  w  B  e.  D  ->  ( (
ph  /\  U_ x  e.  w  B  e.  D  /\  z  e.  D
)  ->  ( U_ x  e.  w  B  u.  z )  e.  D
) )
8375, 82vtoclg 3107 . . . . . . . . . 10  |-  ( [_ u  /  x ]_ B  e.  D  ->  ( U_ x  e.  w  B  e.  D  ->  ( (
ph  /\  U_ x  e.  w  B  e.  D  /\  [_ u  /  x ]_ B  e.  D
)  ->  ( U_ x  e.  w  B  u.  [_ u  /  x ]_ B )  e.  D
) ) )
8466, 67, 69, 83syl3c 63 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  A  /\  U_ x  e.  w  B  e.  D
)  ->  ( U_ x  e.  w  B  u.  [_ u  /  x ]_ B )  e.  D
)
8559, 60, 65, 84syl3anc 1268 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  ( A  \  w ) )  /\  ( w  =/=  (/)  ->  U_ x  e.  w  B  e.  D ) )  /\  -.  w  =  (/) )  -> 
( U_ x  e.  w  B  u.  [_ u  /  x ]_ B )  e.  D )
8658, 85pm2.61dan 800 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( A  \  w
) )  /\  (
w  =/=  (/)  ->  U_ x  e.  w  B  e.  D ) )  -> 
( U_ x  e.  w  B  u.  [_ u  /  x ]_ B )  e.  D )
8727, 86syl5eqel 2533 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( A  \  w
) )  /\  (
w  =/=  (/)  ->  U_ x  e.  w  B  e.  D ) )  ->  U_ x  e.  (
w  u.  { u } ) B  e.  D )
8887a1d 26 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( A  \  w
) )  /\  (
w  =/=  (/)  ->  U_ x  e.  w  B  e.  D ) )  -> 
( ( w  u. 
{ u } )  =/=  (/)  ->  U_ x  e.  ( w  u.  {
u } ) B  e.  D ) )
8988ex 436 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( A  \  w
) )  ->  (
( w  =/=  (/)  ->  U_ x  e.  w  B  e.  D )  ->  (
( w  u.  {
u } )  =/=  (/)  ->  U_ x  e.  ( w  u.  { u } ) B  e.  D ) ) )
9089adantrl 722 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( w  C_  A  /\  u  e.  ( A  \  w
) ) )  -> 
( ( w  =/=  (/)  ->  U_ x  e.  w  B  e.  D )  ->  ( ( w  u. 
{ u } )  =/=  (/)  ->  U_ x  e.  ( w  u.  {
u } ) B  e.  D ) ) )
91 fiiuncl.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
925, 9, 13, 17, 20, 90, 91findcard2d 7813 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =/=  (/)  ->  U_ x  e.  A  B  e.  D ) )
931, 92mpd 15 1  |-  ( ph  ->  U_ x  e.  A  B  e.  D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444   F/wnf 1667    e. wcel 1887    =/= wne 2622   [_csb 3363    \ cdif 3401    u. cun 3402    C_ wss 3404   (/)c0 3731   {csn 3968   U_ciun 4278   Fincfn 7569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-om 6693  df-1o 7182  df-er 7363  df-en 7570  df-fin 7573
This theorem is referenced by:  fiunicl  37408  caragenfiiuncl  38336
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