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Theorem fiiuncl 37406
 Description: If a set is closed under the union of two sets, then it is closed under finite indexed union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fiiuncl.xph
fiiuncl.b
fiiuncl.un
fiiuncl.a
fiiuncl.n0
Assertion
Ref Expression
fiiuncl
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   ()

Proof of Theorem fiiuncl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fiiuncl.n0 . 2
2 neeq1 2686 . . . 4
3 iuneq1 4292 . . . . 5
43eleq1d 2513 . . . 4
52, 4imbi12d 322 . . 3
6 neeq1 2686 . . . 4
7 iuneq1 4292 . . . . 5
87eleq1d 2513 . . . 4
96, 8imbi12d 322 . . 3
10 neeq1 2686 . . . 4
11 iuneq1 4292 . . . . 5
1211eleq1d 2513 . . . 4
1310, 12imbi12d 322 . . 3
14 neeq1 2686 . . . 4
15 iuneq1 4292 . . . . 5
1615eleq1d 2513 . . . 4
1714, 16imbi12d 322 . . 3
18 neirr 2632 . . . . 5
1918pm2.21i 135 . . . 4
2019a1i 11 . . 3
21 iunxun 4363 . . . . . . . 8
22 nfcsb1v 3379 . . . . . . . . . 10
23 vex 3048 . . . . . . . . . 10
24 csbeq1a 3372 . . . . . . . . . 10
2522, 23, 24iunxsnf 37405 . . . . . . . . 9
2625uneq2i 3585 . . . . . . . 8
2721, 26eqtri 2473 . . . . . . 7
28 iuneq1 4292 . . . . . . . . . . . . . 14
29 0iun 4335 . . . . . . . . . . . . . . 15
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
3128, 30eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . 13
3231uneq1d 3587 . . . . . . . . . . . 12
33 0un 37386 . . . . . . . . . . . . . 14
34 unidm 3577 . . . . . . . . . . . . . 14
3533, 34eqtr4i 2476 . . . . . . . . . . . . 13
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
3732, 36eqtrd 2485 . . . . . . . . . . 11
3837adantl 468 . . . . . . . . . 10
39 simpl 459 . . . . . . . . . . . 12
40 eldifi 3555 . . . . . . . . . . . . 13
4140adantl 468 . . . . . . . . . . . 12
42 fiiuncl.xph . . . . . . . . . . . . . . . 16
43 nfv 1761 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4442, 43nfan 2011 . . . . . . . . . . . . . . 15
45 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4622, 45nfel 2604 . . . . . . . . . . . . . . 15
4744, 46nfim 2003 . . . . . . . . . . . . . 14
48 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4948anbi2d 710 . . . . . . . . . . . . . . 15
5024eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . . 15
5149, 50imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . 14
52 fiiuncl.b . . . . . . . . . . . . . 14
5347, 51, 52chvar 2106 . . . . . . . . . . . . 13
5434, 53syl5eqel 2533 . . . . . . . . . . . 12
5539, 41, 54syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11
5655adantr 467 . . . . . . . . . 10
5738, 56eqeltrd 2529 . . . . . . . . 9
5857adantlr 721 . . . . . . . 8
59 simplll 768 . . . . . . . . 9
6040ad3antlr 737 . . . . . . . . 9
61 neqne 37374 . . . . . . . . . . . 12
6261adantl 468 . . . . . . . . . . 11
63 simpl 459 . . . . . . . . . . 11
6462, 63mpd 15 . . . . . . . . . 10
6564adantll 720 . . . . . . . . 9
66533adant3 1028 . . . . . . . . . 10
67 simp3 1010 . . . . . . . . . 10
68 simp1 1008 . . . . . . . . . . 11
6968, 67, 663jca 1188 . . . . . . . . . 10
70 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . . 14
71703anbi3d 1345 . . . . . . . . . . . . 13
72 uneq2 3582 . . . . . . . . . . . . . 14
7372eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . 13
7471, 73imbi12d 322 . . . . . . . . . . . 12
7574imbi2d 318 . . . . . . . . . . 11
76 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . . 14
77763anbi2d 1344 . . . . . . . . . . . . 13
78 uneq1 3581 . . . . . . . . . . . . . 14
7978eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . 13
8077, 79imbi12d 322 . . . . . . . . . . . 12
81 fiiuncl.un . . . . . . . . . . . 12
8280, 81vtoclg 3107 . . . . . . . . . . 11
8375, 82vtoclg 3107 . . . . . . . . . 10
8466, 67, 69, 83syl3c 63 . . . . . . . . 9
8559, 60, 65, 84syl3anc 1268 . . . . . . . 8
8658, 85pm2.61dan 800 . . . . . . 7
8727, 86syl5eqel 2533 . . . . . 6
8887a1d 26 . . . . 5
8988ex 436 . . . 4
9089adantrl 722 . . 3
91 fiiuncl.a . . 3
925, 9, 13, 17, 20, 90, 91findcard2d 7813 . 2
931, 92mpd 15 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 371   w3a 985   wceq 1444  wnf 1667   wcel 1887   wne 2622  csb 3363   cdif 3401   cun 3402   wss 3404  c0 3731  csn 3968  ciun 4278  cfn 7569 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-om 6693  df-1o 7182  df-er 7363  df-en 7570  df-fin 7573 This theorem is referenced by:  fiunicl  37408  caragenfiiuncl  38336
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