Theorem fiiuncl 37406

Description: If a set is closed under the union of two sets, then it is closed under finite indexed union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fiiuncl.xph	|- F/ x ph
fiiuncl.b	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. D )
fiiuncl.un	|- ( ( ph /\ y e. D /\ z e. D ) -> ( y u. z ) e. D )
fiiuncl.a	|- ( ph -> A e. Fin )
fiiuncl.n0	|- ( ph -> A =/= (/) )

Assertion

Ref	Expression
fiiuncl	|- ( ph -> U_ x e. A B e. D )

Distinct variable groups:   x, A   y, B, z   x, D, y, z   ph, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( y, z)   B( x)

Proof of Theorem fiiuncl

Dummy variables u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fiiuncl.n0	. 2 |- ( ph -> A =/= (/) )
2		neeq1 2686	. . . 4 |- ( v = (/) -> ( v =/= (/) <-> (/) =/= (/) ) )
3		iuneq1 4292	. . . . 5 |- ( v = (/) -> U_ x e. v B = U_ x e. (/) B )
4	3	eleq1d 2513	. . . 4 |- ( v = (/) -> ( U_ x e. v B e. D <-> U_ x e. (/) B e. D ) )
5	2, 4	imbi12d 322	. . 3 |- ( v = (/) -> ( ( v =/= (/) -> U_ x e. v B e. D ) <-> ( (/) =/= (/) -> U_ x e. (/) B e. D ) ) )
6		neeq1 2686	. . . 4 |- ( v = w -> ( v =/= (/) <-> w =/= (/) ) )
7		iuneq1 4292	. . . . 5 |- ( v = w -> U_ x e. v B = U_ x e. w B )
8	7	eleq1d 2513	. . . 4 |- ( v = w -> ( U_ x e. v B e. D <-> U_ x e. w B e. D ) )
9	6, 8	imbi12d 322	. . 3 |- ( v = w -> ( ( v =/= (/) -> U_ x e. v B e. D ) <-> ( w =/= (/) -> U_ x e. w B e. D ) ) )
10		neeq1 2686	. . . 4 |- ( v = ( w u. { u } ) -> ( v =/= (/) <-> ( w u. { u } ) =/= (/) ) )
11		iuneq1 4292	. . . . 5 |- ( v = ( w u. { u } ) -> U_ x e. v B = U_ x e. ( w u. { u } ) B )
12	11	eleq1d 2513	. . . 4 |- ( v = ( w u. { u } ) -> ( U_ x e. v B e. D <-> U_ x e. ( w u. { u } ) B e. D ) )
13	10, 12	imbi12d 322	. . 3 |- ( v = ( w u. { u } ) -> ( ( v =/= (/) -> U_ x e. v B e. D ) <-> ( ( w u. { u } ) =/= (/) -> U_ x e. ( w u. { u } ) B e. D ) ) )
14		neeq1 2686	. . . 4 |- ( v = A -> ( v =/= (/) <-> A =/= (/) ) )
15		iuneq1 4292	. . . . 5 |- ( v = A -> U_ x e. v B = U_ x e. A B )
16	15	eleq1d 2513	. . . 4 |- ( v = A -> ( U_ x e. v B e. D <-> U_ x e. A B e. D ) )
17	14, 16	imbi12d 322	. . 3 |- ( v = A -> ( ( v =/= (/) -> U_ x e. v B e. D ) <-> ( A =/= (/) -> U_ x e. A B e. D ) ) )
18		neirr 2632	. . . . 5 |- -. (/) =/= (/)
19	18	pm2.21i 135	. . . 4 |- ( (/) =/= (/) -> U_ x e. (/) B e. D )
20	19	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( (/) =/= (/) -> U_ x e. (/) B e. D ) )
21		iunxun 4363	. . . . . . . 8 |- U_ x e. ( w u. { u } ) B = ( U_ x e. w B u. U_ x e. { u } B )
22		nfcsb1v 3379	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x [_ u / x ]_ B
23		vex 3048	. . . . . . . . . 10 |- u e. _V
24		csbeq1a 3372	. . . . . . . . . 10 |- ( x = u -> B = [_ u / x ]_ B )
25	22, 23, 24	iunxsnf 37405	. . . . . . . . 9 |- U_ x e. { u } B = [_ u / x ]_ B
26	25	uneq2i 3585	. . . . . . . 8 |- ( U_ x e. w B u. U_ x e. { u } B ) = ( U_ x e. w B u. [_ u / x ]_ B )
27	21, 26	eqtri 2473	. . . . . . 7 |- U_ x e. ( w u. { u } ) B = ( U_ x e. w B u. [_ u / x ]_ B )
28		iuneq1 4292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = (/) -> U_ x e. w B = U_ x e. (/) B )
29		0iun 4335	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U_ x e. (/) B = (/)
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = (/) -> U_ x e. (/) B = (/) )
31	28, 30	eqtrd 2485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = (/) -> U_ x e. w B = (/) )
32	31	uneq1d 3587	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = (/) -> ( U_ x e. w B u. [_ u / x ]_ B ) = ( (/) u. [_ u / x ]_ B ) )
33		0un 37386	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (/) u. [_ u / x ]_ B ) = [_ u / x ]_ B
34		unidm 3577	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( [_ u / x ]_ B u. [_ u / x ]_ B ) = [_ u / x ]_ B
35	33, 34	eqtr4i 2476	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (/) u. [_ u / x ]_ B ) = ( [_ u / x ]_ B u. [_ u / x ]_ B )
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = (/) -> ( (/) u. [_ u / x ]_ B ) = ( [_ u / x ]_ B u. [_ u / x ]_ B ) )
37	32, 36	eqtrd 2485	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = (/) -> ( U_ x e. w B u. [_ u / x ]_ B ) = ( [_ u / x ]_ B u. [_ u / x ]_ B ) )
38	37	adantl 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ u e. ( A \ w ) ) /\ w = (/) ) -> ( U_ x e. w B u. [_ u / x ]_ B ) = ( [_ u / x ]_ B u. [_ u / x ]_ B ) )
39		simpl 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. ( A \ w ) ) -> ph )
40		eldifi 3555	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. ( A \ w ) -> u e. A )
41	40	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. ( A \ w ) ) -> u e. A )
42		fiiuncl.xph	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x ph
43		nfv 1761	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x u e. A
44	42, 43	nfan 2011	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ x ( ph /\ u e. A )
45		nfcv 2592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ x D
46	22, 45	nfel 2604	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ x [_ u / x ]_ B e. D
47	44, 46	nfim 2003	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ x ( ( ph /\ u e. A ) -> [_ u / x ]_ B e. D )
48		eleq1 2517	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = u -> ( x e. A <-> u e. A ) )
49	48	anbi2d 710	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = u -> ( ( ph /\ x e. A ) <-> ( ph /\ u e. A ) ) )
50	24	eleq1d 2513	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = u -> ( B e. D <-> [_ u / x ]_ B e. D ) )
51	49, 50	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = u -> ( ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. D ) <-> ( ( ph /\ u e. A ) -> [_ u / x ]_ B e. D ) ) )
52		fiiuncl.b	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. D )
53	47, 51, 52	chvar 2106	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. A ) -> [_ u / x ]_ B e. D )
54	34, 53	syl5eqel 2533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. A ) -> ( [_ u / x ]_ B u. [_ u / x ]_ B ) e. D )
55	39, 41, 54	syl2anc 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. ( A \ w ) ) -> ( [_ u / x ]_ B u. [_ u / x ]_ B ) e. D )
56	55	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ u e. ( A \ w ) ) /\ w = (/) ) -> ( [_ u / x ]_ B u. [_ u / x ]_ B ) e. D )
57	38, 56	eqeltrd 2529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ u e. ( A \ w ) ) /\ w = (/) ) -> ( U_ x e. w B u. [_ u / x ]_ B ) e. D )
58	57	adantlr 721	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ u e. ( A \ w ) ) /\ ( w =/= (/) -> U_ x e. w B e. D ) ) /\ w = (/) ) -> ( U_ x e. w B u. [_ u / x ]_ B ) e. D )
59		simplll 768	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ u e. ( A \ w ) ) /\ ( w =/= (/) -> U_ x e. w B e. D ) ) /\ -. w = (/) ) -> ph )
60	40	ad3antlr 737	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ u e. ( A \ w ) ) /\ ( w =/= (/) -> U_ x e. w B e. D ) ) /\ -. w = (/) ) -> u e. A )
61		neqne 37374	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. w = (/) -> w =/= (/) )
62	61	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( w =/= (/) -> U_ x e. w B e. D ) /\ -. w = (/) ) -> w =/= (/) )
63		simpl 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( w =/= (/) -> U_ x e. w B e. D ) /\ -. w = (/) ) -> ( w =/= (/) -> U_ x e. w B e. D ) )
64	62, 63	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( w =/= (/) -> U_ x e. w B e. D ) /\ -. w = (/) ) -> U_ x e. w B e. D )
65	64	adantll 720	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ u e. ( A \ w ) ) /\ ( w =/= (/) -> U_ x e. w B e. D ) ) /\ -. w = (/) ) -> U_ x e. w B e. D )
66	53	3adant3 1028	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. A /\ U_ x e. w B e. D ) -> [_ u / x ]_ B e. D )
67		simp3 1010	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. A /\ U_ x e. w B e. D ) -> U_ x e. w B e. D )
68		simp1 1008	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. A /\ U_ x e. w B e. D ) -> ph )
69	68, 67, 66	3jca 1188	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. A /\ U_ x e. w B e. D ) -> ( ph /\ U_ x e. w B e. D /\ [_ u / x ]_ B e. D ) )
70		eleq1 2517	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = [_ u / x ]_ B -> ( z e. D <-> [_ u / x ]_ B e. D ) )
71	70	3anbi3d 1345	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = [_ u / x ]_ B -> ( ( ph /\ U_ x e. w B e. D /\ z e. D ) <-> ( ph /\ U_ x e. w B e. D /\ [_ u / x ]_ B e. D ) ) )
72		uneq2 3582	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = [_ u / x ]_ B -> ( U_ x e. w B u. z ) = ( U_ x e. w B u. [_ u / x ]_ B ) )
73	72	eleq1d 2513	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = [_ u / x ]_ B -> ( ( U_ x e. w B u. z ) e. D <-> ( U_ x e. w B u. [_ u / x ]_ B ) e. D ) )
74	71, 73	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = [_ u / x ]_ B -> ( ( ( ph /\ U_ x e. w B e. D /\ z e. D ) -> ( U_ x e. w B u. z ) e. D ) <-> ( ( ph /\ U_ x e. w B e. D /\ [_ u / x ]_ B e. D ) -> ( U_ x e. w B u. [_ u / x ]_ B ) e. D ) ) )
75	74	imbi2d 318	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = [_ u / x ]_ B -> ( ( U_ x e. w B e. D -> ( ( ph /\ U_ x e. w B e. D /\ z e. D ) -> ( U_ x e. w B u. z ) e. D ) ) <-> ( U_ x e. w B e. D -> ( ( ph /\ U_ x e. w B e. D /\ [_ u / x ]_ B e. D ) -> ( U_ x e. w B u. [_ u / x ]_ B ) e. D ) ) ) )
76		eleq1 2517	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = U_ x e. w B -> ( y e. D <-> U_ x e. w B e. D ) )
77	76	3anbi2d 1344	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = U_ x e. w B -> ( ( ph /\ y e. D /\ z e. D ) <-> ( ph /\ U_ x e. w B e. D /\ z e. D ) ) )
78		uneq1 3581	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = U_ x e. w B -> ( y u. z ) = ( U_ x e. w B u. z ) )
79	78	eleq1d 2513	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = U_ x e. w B -> ( ( y u. z ) e. D <-> ( U_ x e. w B u. z ) e. D ) )
80	77, 79	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = U_ x e. w B -> ( ( ( ph /\ y e. D /\ z e. D ) -> ( y u. z ) e. D ) <-> ( ( ph /\ U_ x e. w B e. D /\ z e. D ) -> ( U_ x e. w B u. z ) e. D ) ) )
81		fiiuncl.un	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. D /\ z e. D ) -> ( y u. z ) e. D )
82	80, 81	vtoclg 3107	. . . . . . . . . . 11 |- ( U_ x e. w B e. D -> ( ( ph /\ U_ x e. w B e. D /\ z e. D ) -> ( U_ x e. w B u. z ) e. D ) )
83	75, 82	vtoclg 3107	. . . . . . . . . 10 |- ( [_ u / x ]_ B e. D -> ( U_ x e. w B e. D -> ( ( ph /\ U_ x e. w B e. D /\ [_ u / x ]_ B e. D ) -> ( U_ x e. w B u. [_ u / x ]_ B ) e. D ) ) )
84	66, 67, 69, 83	syl3c 63	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ u e. A /\ U_ x e. w B e. D ) -> ( U_ x e. w B u. [_ u / x ]_ B ) e. D )
85	59, 60, 65, 84	syl3anc 1268	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ u e. ( A \ w ) ) /\ ( w =/= (/) -> U_ x e. w B e. D ) ) /\ -. w = (/) ) -> ( U_ x e. w B u. [_ u / x ]_ B ) e. D )
86	58, 85	pm2.61dan 800	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ u e. ( A \ w ) ) /\ ( w =/= (/) -> U_ x e. w B e. D ) ) -> ( U_ x e. w B u. [_ u / x ]_ B ) e. D )
87	27, 86	syl5eqel 2533	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ u e. ( A \ w ) ) /\ ( w =/= (/) -> U_ x e. w B e. D ) ) -> U_ x e. ( w u. { u } ) B e. D )
88	87	a1d 26	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ u e. ( A \ w ) ) /\ ( w =/= (/) -> U_ x e. w B e. D ) ) -> ( ( w u. { u } ) =/= (/) -> U_ x e. ( w u. { u } ) B e. D ) )
89	88	ex 436	. . . 4 |- ( ( ph /\ u e. ( A \ w ) ) -> ( ( w =/= (/) -> U_ x e. w B e. D ) -> ( ( w u. { u } ) =/= (/) -> U_ x e. ( w u. { u } ) B e. D ) ) )
90	89	adantrl 722	. . 3 |- ( ( ph /\ ( w C_ A /\ u e. ( A \ w ) ) ) -> ( ( w =/= (/) -> U_ x e. w B e. D ) -> ( ( w u. { u } ) =/= (/) -> U_ x e. ( w u. { u } ) B e. D ) ) )
91		fiiuncl.a	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
92	5, 9, 13, 17, 20, 90, 91	findcard2d 7813	. 2 |- ( ph -> ( A =/= (/) -> U_ x e. A B e. D ) )
93	1, 92	mpd 15	1 |- ( ph -> U_ x e. A B e. D )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   F/wnf 1667   e. wcel 1887   =/= wne 2622   [_csb 3363   \ cdif 3401   u. cun 3402   C_ wss 3404   (/)c0 3731   {csn 3968   U_ciun 4278   Fincfn 7569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-om 6693  df-1o 7182  df-er 7363  df-en 7570  df-fin 7573

This theorem is referenced by:  fiunicl  37408  caragenfiiuncl  38336