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Theorem fiint 7576
Description: Equivalent ways of stating the finite intersection property. We show two ways of saying, "the intersection of elements in every finite nonempty subcollection of  A is in  A." This theorem is applicable to a topology, which (among other axioms) is closed under finite intersections. Some texts use the left-hand version of this axiom and others the right-hand version, but as our proof here shows, their "intuitively obvious" equivalence can be non-trivial to establish formally. (Contributed by NM, 22-Sep-2002.)
Assertion
Ref Expression
fiint  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  i^i  y )  e.  A  <->  A. x ( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/)  /\  x  e. 
Fin )  ->  |^| x  e.  A ) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem fiint
Dummy variables  z  w  v  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 7321 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  Fin  <->  E. y  e.  om  x  ~~  y
)
2 ensym 7346 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
~~  y  ->  y  ~~  x )
3 breq1 4283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y 
~~  x  <->  (/)  ~~  x
) )
43anbi2d 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  y  ~~  x )  <->  ( (
x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  (/)  ~~  x
) ) )
54imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( ( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  y  ~~  x )  ->  |^| x  e.  A
)  <->  ( ( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  (/)  ~~  x
)  ->  |^| x  e.  A ) ) )
65albidv 1678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  (/)  ->  ( A. x ( ( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  y  ~~  x )  ->  |^| x  e.  A )  <->  A. x
( ( ( x 
C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  (/)  ~~  x
)  ->  |^| x  e.  A ) ) )
7 breq1 4283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  v  ->  (
y  ~~  x  <->  v  ~~  x ) )
87anbi2d 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  v  ->  (
( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  y  ~~  x )  <->  ( (
x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  v  ~~  x ) ) )
98imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  v  ->  (
( ( ( x 
C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  y  ~~  x )  ->  |^| x  e.  A )  <->  ( (
( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  v  ~~  x )  ->  |^| x  e.  A
) ) )
109albidv 1678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  v  ->  ( A. x ( ( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  y  ~~  x )  ->  |^| x  e.  A )  <->  A. x
( ( ( x 
C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  v  ~~  x )  ->  |^| x  e.  A ) ) )
11 breq1 4283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  suc  v  -> 
( y  ~~  x  <->  suc  v  ~~  x ) )
1211anbi2d 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  suc  v  -> 
( ( ( x 
C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  y  ~~  x )  <->  ( (
x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  suc  v  ~~  x ) ) )
1312imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  suc  v  -> 
( ( ( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  y  ~~  x )  ->  |^| x  e.  A )  <->  ( (
( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  suc  v  ~~  x )  ->  |^| x  e.  A
) ) )
1413albidv 1678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  suc  v  -> 
( A. x ( ( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  y  ~~  x )  ->  |^| x  e.  A
)  <->  A. x ( ( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  suc  v  ~~  x )  ->  |^| x  e.  A
) ) )
15 ensym 7346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (/)  ~~  x  ->  x  ~~  (/) )
16 en0 7360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x 
~~  (/)  <->  x  =  (/) )
1715, 16sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (/)  ~~  x  ->  x  =  (/) )
1817anim1i 563 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
(/)  ~~  x  /\  x  =/=  (/) )  ->  (
x  =  (/)  /\  x  =/=  (/) ) )
1918ancoms 450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =/=  (/)  /\  (/)  ~~  x
)  ->  ( x  =  (/)  /\  x  =/=  (/) ) )
2019adantll 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  (/)  ~~  x )  ->  (
x  =  (/)  /\  x  =/=  (/) ) )
21 df-ne 2598 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =/=  (/)  <->  -.  x  =  (/) )
22 pm3.24 870 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -.  (
x  =  (/)  /\  -.  x  =  (/) )
2322pm2.21i 131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  (/)  /\  -.  x  =  (/) )  ->  |^| x  e.  A
)
2421, 23sylan2b 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  (/)  /\  x  =/=  (/) )  ->  |^| x  e.  A )
2520, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  (/)  ~~  x )  ->  |^| x  e.  A )
2625ax-gen 1594 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  A. x
( ( ( x 
C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  (/)  ~~  x
)  ->  |^| x  e.  A )
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z  e.  A  A. w  e.  A  (
z  i^i  w )  e.  A  ->  A. x
( ( ( x 
C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  (/)  ~~  x
)  ->  |^| x  e.  A ) )
28 nfv 1672 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z  i^i  w
)  e.  A
29 nfa1 1829 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x A. x ( ( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  v  ~~  x )  ->  |^| x  e.  A )
30 bren 7307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( suc  v  ~~  x  <->  E. f 
f : suc  v -1-1-onto-> x
)
31 f1of 5629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( f : suc  v -1-1-onto-> x  -> 
f : suc  v --> x )
32 vex 2965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  v  e. 
_V
3332sucid 4785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  v  e. 
suc  v
34 ffvelrn 5829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( f : suc  v --> x  /\  v  e.  suc  v )  ->  (
f `  v )  e.  x )
3531, 33, 34sylancl 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( f : suc  v -1-1-onto-> x  -> 
( f `  v
)  e.  x )
36 ssel 3338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x 
C_  A  ->  (
( f `  v
)  e.  x  -> 
( f `  v
)  e.  A ) )
3735, 36syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x 
C_  A  ->  (
f : suc  v -1-1-onto-> x  ->  ( f `  v
)  e.  A ) )
3837imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  C_  A  /\  f : suc  v -1-1-onto-> x )  ->  ( f `  v )  e.  A
)
3938adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x  C_  A  /\  f : suc  v -1-1-onto-> x
)  /\  ( A. x ( ( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  v  ~~  x )  ->  |^| x  e.  A )  /\  A. z  e.  A  A. w  e.  A  (
z  i^i  w )  e.  A ) )  -> 
( f `  v
)  e.  A )
40 df-ne 2598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( f " v )  =/=  (/)  <->  -.  ( f " v )  =  (/) )
41 imassrn 5168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( f
" v )  C_  ran  f
42 dff1o2 5634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( f : suc  v -1-1-onto-> x  <->  ( f  Fn  suc  v  /\  Fun  `' f  /\  ran  f  =  x ) )
4342simp3bi 998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( f : suc  v -1-1-onto-> x  ->  ran  f  =  x
)
4441, 43syl5sseq 3392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( f : suc  v -1-1-onto-> x  -> 
( f " v
)  C_  x )
45 sstr2 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( f " v ) 
C_  x  ->  (
x  C_  A  ->  ( f " v ) 
C_  A ) )
4644, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( f : suc  v -1-1-onto-> x  -> 
( x  C_  A  ->  ( f " v
)  C_  A )
)
4746anim1d 559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( f : suc  v -1-1-onto-> x  -> 
( ( x  C_  A  /\  ( f "
v )  =/=  (/) )  -> 
( ( f "
v )  C_  A  /\  ( f " v
)  =/=  (/) ) ) )
48 f1of1 5628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( f : suc  v -1-1-onto-> x  -> 
f : suc  v -1-1->
x )
49 vex 2965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  x  e. 
_V
50 sssucid 4783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  v  C_  suc  v
51 f1imaen2g 7358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( f : suc  v -1-1-> x  /\  x  e.  _V )  /\  (
v  C_  suc  v  /\  v  e.  _V )
)  ->  ( f " v )  ~~  v )
5250, 32, 51mpanr12 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( f : suc  v -1-1->
x  /\  x  e.  _V )  ->  ( f
" v )  ~~  v )
5348, 49, 52sylancl 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( f : suc  v -1-1-onto-> x  -> 
( f " v
)  ~~  v )
5453ensymd 7348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( f : suc  v -1-1-onto-> x  -> 
v  ~~  ( f " v ) )
5547, 54jctird 539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( f : suc  v -1-1-onto-> x  -> 
( ( x  C_  A  /\  ( f "
v )  =/=  (/) )  -> 
( ( ( f
" v )  C_  A  /\  ( f "
v )  =/=  (/) )  /\  v  ~~  ( f "
v ) ) ) )
56 vex 2965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  f  e. 
_V
57 imaexg 6504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( f  e.  _V  ->  (
f " v )  e.  _V )
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( f
" v )  e. 
_V
59 sseq1 3365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( x  =  ( f "
v )  ->  (
x  C_  A  <->  ( f " v )  C_  A ) )
60 neeq1 2606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( x  =  ( f "
v )  ->  (
x  =/=  (/)  <->  ( f " v )  =/=  (/) ) )
6159, 60anbi12d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( x  =  ( f "
v )  ->  (
( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  <->  ( (
f " v ) 
C_  A  /\  (
f " v )  =/=  (/) ) ) )
62 breq2 4284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( x  =  ( f "
v )  ->  (
v  ~~  x  <->  v  ~~  ( f " v
) ) )
6361, 62anbi12d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( x  =  ( f "
v )  ->  (
( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  v  ~~  x )  <->  ( (
( f " v
)  C_  A  /\  ( f " v
)  =/=  (/) )  /\  v  ~~  ( f "
v ) ) ) )
64 inteq 4119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( x  =  ( f "
v )  ->  |^| x  =  |^| ( f "
v ) )
6564eleq1d 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( x  =  ( f "
v )  ->  ( |^| x  e.  A  <->  |^| ( f " v
)  e.  A ) )
6663, 65imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( x  =  ( f "
v )  ->  (
( ( ( x 
C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  v  ~~  x )  ->  |^| x  e.  A )  <->  ( (
( ( f "
v )  C_  A  /\  ( f " v
)  =/=  (/) )  /\  v  ~~  ( f "
v ) )  ->  |^| ( f " v
)  e.  A ) ) )
6758, 66spcv 3052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( A. x ( ( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  v  ~~  x )  ->  |^| x  e.  A )  ->  (
( ( ( f
" v )  C_  A  /\  ( f "
v )  =/=  (/) )  /\  v  ~~  ( f "
v ) )  ->  |^| ( f " v
)  e.  A ) )
6855, 67sylan9 650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( f : suc  v -1-1-onto-> x  /\  A. x ( ( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  v  ~~  x )  ->  |^| x  e.  A
) )  ->  (
( x  C_  A  /\  ( f " v
)  =/=  (/) )  ->  |^| ( f " v
)  e.  A ) )
69 ineq1 3533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( z  =  |^| ( f
" v )  -> 
( z  i^i  w
)  =  ( |^| ( f " v
)  i^i  w )
)
7069eleq1d 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( z  =  |^| ( f
" v )  -> 
( ( z  i^i  w )  e.  A  <->  (
|^| ( f "
v )  i^i  w
)  e.  A ) )
71 ineq2 3534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( w  =  ( f `  v )  ->  ( |^| ( f " v
)  i^i  w )  =  ( |^| (
f " v )  i^i  ( f `  v ) ) )
7271eleq1d 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( w  =  ( f `  v )  ->  (
( |^| ( f "
v )  i^i  w
)  e.  A  <->  ( |^| ( f " v
)  i^i  ( f `  v ) )  e.  A ) )
7370, 72rspc2v 3068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
|^| ( f "
v )  e.  A  /\  ( f `  v
)  e.  A )  ->  ( A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z  i^i  w )  e.  A  ->  ( |^| ( f
" v )  i^i  ( f `  v
) )  e.  A
) )
7473ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( |^| ( f " v
)  e.  A  -> 
( ( f `  v )  e.  A  ->  ( A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z  i^i  w )  e.  A  ->  ( |^| ( f
" v )  i^i  ( f `  v
) )  e.  A
) ) )
7568, 74syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( f : suc  v -1-1-onto-> x  /\  A. x ( ( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  v  ~~  x )  ->  |^| x  e.  A
) )  ->  (
( x  C_  A  /\  ( f " v
)  =/=  (/) )  -> 
( ( f `  v )  e.  A  ->  ( A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z  i^i  w )  e.  A  ->  ( |^| ( f
" v )  i^i  ( f `  v
) )  e.  A
) ) ) )
7675com4r 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( A. z  e.  A  A. w  e.  A  (
z  i^i  w )  e.  A  ->  ( ( f : suc  v -1-1-onto-> x  /\  A. x ( ( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  v  ~~  x )  ->  |^| x  e.  A
) )  ->  (
( x  C_  A  /\  ( f " v
)  =/=  (/) )  -> 
( ( f `  v )  e.  A  ->  ( |^| ( f
" v )  i^i  ( f `  v
) )  e.  A
) ) ) )
7776exp5c 611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( A. z  e.  A  A. w  e.  A  (
z  i^i  w )  e.  A  ->  ( f : suc  v -1-1-onto-> x  -> 
( A. x ( ( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  v  ~~  x )  ->  |^| x  e.  A
)  ->  ( x  C_  A  ->  ( (
f " v )  =/=  (/)  ->  ( (
f `  v )  e.  A  ->  ( |^| ( f " v
)  i^i  ( f `  v ) )  e.  A ) ) ) ) ) )
7877com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x 
C_  A  ->  (
f : suc  v -1-1-onto-> x  ->  ( A. x ( ( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  v  ~~  x )  ->  |^| x  e.  A
)  ->  ( A. z  e.  A  A. w  e.  A  (
z  i^i  w )  e.  A  ->  ( ( f " v )  =/=  (/)  ->  ( (
f `  v )  e.  A  ->  ( |^| ( f " v
)  i^i  ( f `  v ) )  e.  A ) ) ) ) ) )
7978imp43 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( x  C_  A  /\  f : suc  v -1-1-onto-> x
)  /\  ( A. x ( ( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  v  ~~  x )  ->  |^| x  e.  A )  /\  A. z  e.  A  A. w  e.  A  (
z  i^i  w )  e.  A ) )  -> 
( ( f "
v )  =/=  (/)  ->  (
( f `  v
)  e.  A  -> 
( |^| ( f "
v )  i^i  (
f `  v )
)  e.  A ) ) )
8040, 79syl5bir 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( x  C_  A  /\  f : suc  v -1-1-onto-> x
)  /\  ( A. x ( ( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  v  ~~  x )  ->  |^| x  e.  A )  /\  A. z  e.  A  A. w  e.  A  (
z  i^i  w )  e.  A ) )  -> 
( -.  ( f
" v )  =  (/)  ->  ( ( f `
 v )  e.  A  ->  ( |^| ( f " v
)  i^i  ( f `  v ) )  e.  A ) ) )
81 inteq 4119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( f " v )  =  (/)  ->  |^| (
f " v )  =  |^| (/) )
82 int0 4130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  |^| (/)  =  _V
8381, 82syl6eq 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( f " v )  =  (/)  ->  |^| (
f " v )  =  _V )
8483ineq1d 3539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( f " v )  =  (/)  ->  ( |^| ( f " v
)  i^i  ( f `  v ) )  =  ( _V  i^i  (
f `  v )
) )
85 ssv 3364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( f `
 v )  C_  _V
86 sseqin2 3557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( f `  v ) 
C_  _V  <->  ( _V  i^i  ( f `  v
) )  =  ( f `  v ) )
8785, 86mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( _V 
i^i  ( f `  v ) )  =  ( f `  v
)
8884, 87syl6eq 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( f " v )  =  (/)  ->  ( |^| ( f " v
)  i^i  ( f `  v ) )  =  ( f `  v
) )
8988eleq1d 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( f " v )  =  (/)  ->  ( (
|^| ( f "
v )  i^i  (
f `  v )
)  e.  A  <->  ( f `  v )  e.  A
) )
9089biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( f " v )  =  (/)  ->  ( ( f `  v )  e.  A  ->  ( |^| ( f " v
)  i^i  ( f `  v ) )  e.  A ) )
9180, 90pm2.61d2 160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x  C_  A  /\  f : suc  v -1-1-onto-> x
)  /\  ( A. x ( ( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  v  ~~  x )  ->  |^| x  e.  A )  /\  A. z  e.  A  A. w  e.  A  (
z  i^i  w )  e.  A ) )  -> 
( ( f `  v )  e.  A  ->  ( |^| ( f
" v )  i^i  ( f `  v
) )  e.  A
) )
9239, 91mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x  C_  A  /\  f : suc  v -1-1-onto-> x
)  /\  ( A. x ( ( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  v  ~~  x )  ->  |^| x  e.  A )  /\  A. z  e.  A  A. w  e.  A  (
z  i^i  w )  e.  A ) )  -> 
( |^| ( f "
v )  i^i  (
f `  v )
)  e.  A )
93 fvex 5689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( f `
 v )  e. 
_V
9493intunsn 4155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  |^| (
( f " v
)  u.  { ( f `  v ) } )  =  (
|^| ( f "
v )  i^i  (
f `  v )
)
95 f1ofn 5630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( f : suc  v -1-1-onto-> x  -> 
f  Fn  suc  v
)
96 fnsnfv 5739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( f  Fn  suc  v  /\  v  e.  suc  v )  ->  { ( f `  v ) }  =  ( f
" { v } ) )
9795, 33, 96sylancl 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( f : suc  v -1-1-onto-> x  ->  { ( f `  v ) }  =  ( f " {
v } ) )
9897uneq2d 3498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( f : suc  v -1-1-onto-> x  -> 
( ( f "
v )  u.  {
( f `  v
) } )  =  ( ( f "
v )  u.  (
f " { v } ) ) )
99 df-suc 4712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  suc  v  =  ( v  u. 
{ v } )
10099imaeq2i 5155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( f
" suc  v )  =  ( f "
( v  u.  {
v } ) )
101 imaundi 5237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( f
" ( v  u. 
{ v } ) )  =  ( ( f " v )  u.  ( f " { v } ) )
102100, 101eqtr2i 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( f " v )  u.  ( f " { v } ) )  =  ( f
" suc  v )
10398, 102syl6eq 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( f : suc  v -1-1-onto-> x  -> 
( ( f "
v )  u.  {
( f `  v
) } )  =  ( f " suc  v ) )
104 f1ofo 5636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( f : suc  v -1-1-onto-> x  -> 
f : suc  v -onto->
x )
105 foima 5613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( f : suc  v -onto-> x  ->  ( f " suc  v )  =  x )
106104, 105syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( f : suc  v -1-1-onto-> x  -> 
( f " suc  v )  =  x )
107103, 106eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( f : suc  v -1-1-onto-> x  -> 
( ( f "
v )  u.  {
( f `  v
) } )  =  x )
108107inteqd 4121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( f : suc  v -1-1-onto-> x  ->  |^| ( ( f "
v )  u.  {
( f `  v
) } )  = 
|^| x )
10994, 108syl5eqr 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( f : suc  v -1-1-onto-> x  -> 
( |^| ( f "
v )  i^i  (
f `  v )
)  =  |^| x
)
110109eleq1d 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( f : suc  v -1-1-onto-> x  -> 
( ( |^| (
f " v )  i^i  ( f `  v ) )  e.  A  <->  |^| x  e.  A
) )
111110ad2antlr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x  C_  A  /\  f : suc  v -1-1-onto-> x
)  /\  ( A. x ( ( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  v  ~~  x )  ->  |^| x  e.  A )  /\  A. z  e.  A  A. w  e.  A  (
z  i^i  w )  e.  A ) )  -> 
( ( |^| (
f " v )  i^i  ( f `  v ) )  e.  A  <->  |^| x  e.  A
) )
11292, 111mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  C_  A  /\  f : suc  v -1-1-onto-> x
)  /\  ( A. x ( ( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  v  ~~  x )  ->  |^| x  e.  A )  /\  A. z  e.  A  A. w  e.  A  (
z  i^i  w )  e.  A ) )  ->  |^| x  e.  A
)
113112exp43 607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x 
C_  A  ->  (
f : suc  v -1-1-onto-> x  ->  ( A. x ( ( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  v  ~~  x )  ->  |^| x  e.  A
)  ->  ( A. z  e.  A  A. w  e.  A  (
z  i^i  w )  e.  A  ->  |^| x  e.  A ) ) ) )
114113exlimdv 1689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x 
C_  A  ->  ( E. f  f : suc  v -1-1-onto-> x  ->  ( A. x ( ( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  v  ~~  x )  ->  |^| x  e.  A )  ->  ( A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z  i^i  w
)  e.  A  ->  |^| x  e.  A
) ) ) )
11530, 114syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x 
C_  A  ->  ( suc  v  ~~  x  -> 
( A. x ( ( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  v  ~~  x )  ->  |^| x  e.  A
)  ->  ( A. z  e.  A  A. w  e.  A  (
z  i^i  w )  e.  A  ->  |^| x  e.  A ) ) ) )
116115imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  C_  A  /\  suc  v  ~~  x )  ->  ( A. x
( ( ( x 
C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  v  ~~  x )  ->  |^| x  e.  A )  ->  ( A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z  i^i  w
)  e.  A  ->  |^| x  e.  A
) ) )
117116adantlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  suc  v  ~~  x )  ->  ( A. x
( ( ( x 
C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  v  ~~  x )  ->  |^| x  e.  A )  ->  ( A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z  i^i  w
)  e.  A  ->  |^| x  e.  A
) ) )
118117com13 80 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. z  e.  A  A. w  e.  A  (
z  i^i  w )  e.  A  ->  ( A. x ( ( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  v  ~~  x )  ->  |^| x  e.  A )  ->  (
( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  suc  v  ~~  x )  ->  |^| x  e.  A
) ) )
11928, 29, 118alrimd 1814 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. z  e.  A  A. w  e.  A  (
z  i^i  w )  e.  A  ->  ( A. x ( ( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  v  ~~  x )  ->  |^| x  e.  A )  ->  A. x
( ( ( x 
C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  suc  v  ~~  x )  ->  |^| x  e.  A
) ) )
120119a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  om  ->  ( A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z  i^i  w
)  e.  A  -> 
( A. x ( ( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  v  ~~  x )  ->  |^| x  e.  A
)  ->  A. x
( ( ( x 
C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  suc  v  ~~  x )  ->  |^| x  e.  A
) ) ) )
1216, 10, 14, 27, 120finds2 6493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  om  ->  ( A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z  i^i  w
)  e.  A  ->  A. x ( ( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  y  ~~  x )  ->  |^| x  e.  A ) ) )
122 sp 1793 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x ( ( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  y  ~~  x )  ->  |^| x  e.  A )  ->  (
( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  y  ~~  x )  ->  |^| x  e.  A
) )
123121, 122syl6 33 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  om  ->  ( A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z  i^i  w
)  e.  A  -> 
( ( ( x 
C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  y  ~~  x )  ->  |^| x  e.  A ) ) )
124123exp4a 601 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  om  ->  ( A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z  i^i  w
)  e.  A  -> 
( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  -> 
( y  ~~  x  ->  |^| x  e.  A
) ) ) )
125124com24 87 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  om  ->  (
y  ~~  x  ->  ( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  -> 
( A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z  i^i  w )  e.  A  ->  |^| x  e.  A
) ) ) )
1262, 125syl5 32 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  om  ->  (
x  ~~  y  ->  ( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  -> 
( A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z  i^i  w )  e.  A  ->  |^| x  e.  A
) ) ) )
127126rexlimiv 2825 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  om  x  ~~  y  ->  ( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  ->  ( A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z  i^i  w
)  e.  A  ->  |^| x  e.  A
) ) )
1281, 127sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Fin  ->  (
( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  -> 
( A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z  i^i  w )  e.  A  ->  |^| x  e.  A
) ) )
129128com13 80 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  A  A. w  e.  A  (
z  i^i  w )  e.  A  ->  ( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  ->  (
x  e.  Fin  ->  |^| x  e.  A ) ) )
130129imp3a 431 . . . 4  |-  ( A. z  e.  A  A. w  e.  A  (
z  i^i  w )  e.  A  ->  ( ( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  Fin )  ->  |^| x  e.  A
) )
131130alrimiv 1684 . . 3  |-  ( A. z  e.  A  A. w  e.  A  (
z  i^i  w )  e.  A  ->  A. x
( ( ( x 
C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  Fin )  ->  |^| x  e.  A ) )
132 zfpair2 4520 . . . . . 6  |-  { z ,  w }  e.  _V
133 sseq1 3365 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { z ,  w }  ->  (
x  C_  A  <->  { z ,  w }  C_  A
) )
134 neeq1 2606 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { z ,  w }  ->  (
x  =/=  (/)  <->  { z ,  w }  =/=  (/) ) )
135133, 134anbi12d 703 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { z ,  w }  ->  (
( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  <->  ( {
z ,  w }  C_  A  /\  { z ,  w }  =/=  (/) ) ) )
136 eleq1 2493 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { z ,  w }  ->  (
x  e.  Fin  <->  { z ,  w }  e.  Fin ) )
137135, 136anbi12d 703 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { z ,  w }  ->  (
( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  Fin )  <->  ( ( { z ,  w }  C_  A  /\  { z ,  w }  =/=  (/) )  /\  {
z ,  w }  e.  Fin ) ) )
138 inteq 4119 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { z ,  w }  ->  |^| x  =  |^| { z ,  w } )
139138eleq1d 2499 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { z ,  w }  ->  ( |^| x  e.  A  <->  |^|
{ z ,  w }  e.  A )
)
140137, 139imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( x  =  { z ,  w }  ->  (
( ( ( x 
C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  Fin )  ->  |^| x  e.  A )  <->  ( (
( { z ,  w }  C_  A  /\  { z ,  w }  =/=  (/) )  /\  {
z ,  w }  e.  Fin )  ->  |^| { z ,  w }  e.  A ) ) )
141132, 140spcv 3052 . . . . 5  |-  ( A. x ( ( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  Fin )  ->  |^| x  e.  A )  ->  (
( ( { z ,  w }  C_  A  /\  { z ,  w }  =/=  (/) )  /\  { z ,  w }  e.  Fin )  ->  |^| { z ,  w }  e.  A ) )
142 vex 2965 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
143 vex 2965 . . . . . . 7  |-  w  e. 
_V
144142, 143prss 4015 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  A  /\  w  e.  A )  <->  { z ,  w }  C_  A )
145142prnz 3982 . . . . . . 7  |-  { z ,  w }  =/=  (/)
146145biantru 502 . . . . . 6  |-  ( { z ,  w }  C_  A  <->  ( { z ,  w }  C_  A  /\  { z ,  w }  =/=  (/) ) )
147 prfi 7574 . . . . . . 7  |-  { z ,  w }  e.  Fin
148147biantru 502 . . . . . 6  |-  ( ( { z ,  w }  C_  A  /\  {
z ,  w }  =/=  (/) )  <->  ( ( { z ,  w }  C_  A  /\  {
z ,  w }  =/=  (/) )  /\  {
z ,  w }  e.  Fin ) )
149144, 146, 1483bitrri 272 . . . . 5  |-  ( ( ( { z ,  w }  C_  A  /\  { z ,  w }  =/=  (/) )  /\  {
z ,  w }  e.  Fin )  <->  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )
150142, 143intpr 4149 . . . . . 6  |-  |^| { z ,  w }  =  ( z  i^i  w
)
151150eleq1i 2496 . . . . 5  |-  ( |^| { z ,  w }  e.  A  <->  ( z  i^i  w )  e.  A
)
152141, 149, 1513imtr3g 269 . . . 4  |-  ( A. x ( ( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  Fin )  ->  |^| x  e.  A )  ->  (
( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  ->  ( z  i^i  w )  e.  A
) )
153152ralrimivv 2797 . . 3  |-  ( A. x ( ( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  Fin )  ->  |^| x  e.  A )  ->  A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z  i^i  w )  e.  A
)
154131, 153impbii 188 . 2  |-  ( A. z  e.  A  A. w  e.  A  (
z  i^i  w )  e.  A  <->  A. x ( ( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  Fin )  ->  |^| x  e.  A
) )
155 ineq1 3533 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  (
x  i^i  y )  =  ( z  i^i  y ) )
156155eleq1d 2499 . . 3  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  i^i  y
)  e.  A  <->  ( z  i^i  y )  e.  A
) )
157 ineq2 3534 . . . 4  |-  ( y  =  w  ->  (
z  i^i  y )  =  ( z  i^i  w ) )
158157eleq1d 2499 . . 3  |-  ( y  =  w  ->  (
( z  i^i  y
)  e.  A  <->  ( z  i^i  w )  e.  A
) )
159156, 158cbvral2v 2945 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  i^i  y )  e.  A  <->  A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z  i^i  w
)  e.  A )
160 df-3an 960 . . . 4  |-  ( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/)  /\  x  e. 
Fin )  <->  ( (
x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  Fin ) )
161160imbi1i 325 . . 3  |-  ( ( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/)  /\  x  e.  Fin )  ->  |^| x  e.  A )  <->  ( (
( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  Fin )  ->  |^| x  e.  A
) )
162161albii 1613 . 2  |-  ( A. x ( ( x 
C_  A  /\  x  =/=  (/)  /\  x  e. 
Fin )  ->  |^| x  e.  A )  <->  A. x
( ( ( x 
C_  A  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  Fin )  ->  |^| x  e.  A ) )
163154, 159, 1623bitr4i 277 1  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  i^i  y )  e.  A  <->  A. x ( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/)  /\  x  e. 
Fin )  ->  |^| x  e.  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 958   A.wal 1360    = wceq 1362   E.wex 1589    e. wcel 1755    =/= wne 2596   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2962    u. cun 3314    i^i cin 3315    C_ wss 3316   (/)c0 3625   {csn 3865   {cpr 3867   |^|cint 4116   class class class wbr 4280   suc csuc 4708   `'ccnv 4826   ran crn 4828   "cima 4830   Fun wfun 5400    Fn wfn 5401   -->wf 5402   -1-1->wf1 5403   -onto->wfo 5404   -1-1-onto->wf1o 5405   ` cfv 5406   omcom 6465    ~~ cen 7295   Fincfn 7298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-en 7299  df-fin 7302
This theorem is referenced by:  dffi2  7661  istop2g  18350  istps4OLD  18369  neificl  28490
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