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Theorem fiinfi 36189
Description: If two classes have the finite intersection property, then so does their intersection. (Contributed by Richard Penner, 1-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fiinfi.a  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  i^i  y
)  e.  A )
fiinfi.b  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  i^i  y
)  e.  B )
fiinfi.c  |-  ( ph  ->  C  =  ( A  i^i  B ) )
Assertion
Ref Expression
fiinfi  |-  ( ph  ->  A. x  e.  C  A. y  e.  C  ( x  i^i  y
)  e.  C )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C, y    ph, x, y

Proof of Theorem fiinfi
StepHypRef Expression
1 fiinfi.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  i^i  y
)  e.  A )
2 elinel1 3621 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( A  i^i  B )  ->  x  e.  A )
3 elinel1 3621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( A  i^i  B )  ->  y  e.  A )
43imim1i 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  A  -> 
( x  i^i  y
)  e.  A )  ->  ( y  e.  ( A  i^i  B
)  ->  ( x  i^i  y )  e.  A
) )
54ralimi2 2780 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  A  (
x  i^i  y )  e.  A  ->  A. y  e.  ( A  i^i  B
) ( x  i^i  y )  e.  A
)
62, 5imim12i 59 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  ->  A. y  e.  A  ( x  i^i  y
)  e.  A )  ->  ( x  e.  ( A  i^i  B
)  ->  A. y  e.  ( A  i^i  B
) ( x  i^i  y )  e.  A
) )
76ralimi2 2780 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  i^i  y )  e.  A  ->  A. x  e.  ( A  i^i  B
) A. y  e.  ( A  i^i  B
) ( x  i^i  y )  e.  A
)
81, 7syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A  i^i  B ) A. y  e.  ( A  i^i  B ) ( x  i^i  y
)  e.  A )
9 fiinfi.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  i^i  y
)  e.  B )
10 elinel2 3622 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( A  i^i  B )  ->  x  e.  B )
11 elinel2 3622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( A  i^i  B )  ->  y  e.  B )
1211imim1i 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  B  -> 
( x  i^i  y
)  e.  B )  ->  ( y  e.  ( A  i^i  B
)  ->  ( x  i^i  y )  e.  B
) )
1312ralimi2 2780 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  B  (
x  i^i  y )  e.  B  ->  A. y  e.  ( A  i^i  B
) ( x  i^i  y )  e.  B
)
1410, 13imim12i 59 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  B  ->  A. y  e.  B  ( x  i^i  y
)  e.  B )  ->  ( x  e.  ( A  i^i  B
)  ->  A. y  e.  ( A  i^i  B
) ( x  i^i  y )  e.  B
) )
1514ralimi2 2780 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  i^i  y )  e.  B  ->  A. x  e.  ( A  i^i  B
) A. y  e.  ( A  i^i  B
) ( x  i^i  y )  e.  B
)
169, 15syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A  i^i  B ) A. y  e.  ( A  i^i  B ) ( x  i^i  y
)  e.  B )
17 r19.26-2 2920 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ( A  i^i  B ) A. y  e.  ( A  i^i  B
) ( ( x  i^i  y )  e.  A  /\  ( x  i^i  y )  e.  B )  <->  ( A. x  e.  ( A  i^i  B ) A. y  e.  ( A  i^i  B
) ( x  i^i  y )  e.  A  /\  A. x  e.  ( A  i^i  B ) A. y  e.  ( A  i^i  B ) ( x  i^i  y
)  e.  B ) )
188, 16, 17sylanbrc 671 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A  i^i  B ) A. y  e.  ( A  i^i  B ) ( ( x  i^i  y )  e.  A  /\  ( x  i^i  y
)  e.  B ) )
19 elin 3619 . . . . . 6  |-  ( ( x  i^i  y )  e.  ( A  i^i  B )  <->  ( ( x  i^i  y )  e.  A  /\  ( x  i^i  y )  e.  B ) )
20192ralbii 2822 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( A  i^i  B ) A. y  e.  ( A  i^i  B
) ( x  i^i  y )  e.  ( A  i^i  B )  <->  A. x  e.  ( A  i^i  B ) A. y  e.  ( A  i^i  B ) ( ( x  i^i  y )  e.  A  /\  (
x  i^i  y )  e.  B ) )
2118, 20sylibr 216 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A  i^i  B ) A. y  e.  ( A  i^i  B ) ( x  i^i  y
)  e.  ( A  i^i  B ) )
22 fiinfi.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  =  ( A  i^i  B ) )
2322eleq2d 2516 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  i^i  y )  e.  C  <->  ( x  i^i  y )  e.  ( A  i^i  B ) ) )
2423ralbidv 2829 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  ( A  i^i  B
) ( x  i^i  y )  e.  C  <->  A. y  e.  ( A  i^i  B ) ( x  i^i  y )  e.  ( A  i^i  B ) ) )
2524ralbidv 2829 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  ( A  i^i  B
) A. y  e.  ( A  i^i  B
) ( x  i^i  y )  e.  C  <->  A. x  e.  ( A  i^i  B ) A. y  e.  ( A  i^i  B ) ( x  i^i  y )  e.  ( A  i^i  B
) ) )
2621, 25mpbird 236 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A  i^i  B ) A. y  e.  ( A  i^i  B ) ( x  i^i  y
)  e.  C )
2722raleqdv 2995 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  C  ( x  i^i  y )  e.  C  <->  A. y  e.  ( A  i^i  B ) ( x  i^i  y )  e.  C ) )
2827ralbidv 2829 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  ( A  i^i  B
) A. y  e.  C  ( x  i^i  y )  e.  C  <->  A. x  e.  ( A  i^i  B ) A. y  e.  ( A  i^i  B ) ( x  i^i  y )  e.  C ) )
2926, 28mpbird 236 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A  i^i  B ) A. y  e.  C  ( x  i^i  y
)  e.  C )
3022raleqdv 2995 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  C  A. y  e.  C  ( x  i^i  y )  e.  C  <->  A. x  e.  ( A  i^i  B ) A. y  e.  C  (
x  i^i  y )  e.  C ) )
3129, 30mpbird 236 1  |-  ( ph  ->  A. x  e.  C  A. y  e.  C  ( x  i^i  y
)  e.  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889   A.wral 2739    i^i cin 3405
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-an 373  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ral 2744  df-v 3049  df-in 3413
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