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Theorem fiin 7670
Description: The elements of  ( fi
`  C ) are closed under finite intersection. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
fiin  |-  ( ( A  e.  ( fi
`  C )  /\  B  e.  ( fi `  C ) )  -> 
( A  i^i  B
)  e.  ( fi
`  C ) )

Proof of Theorem fiin
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 5715 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( fi `  C )  ->  C  e.  _V )
2 elfi 7661 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( fi
`  C )  /\  C  e.  _V )  ->  ( A  e.  ( fi `  C )  <->  E. x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A  =  |^| x ) )
31, 2mpdan 668 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( fi `  C )  ->  ( A  e.  ( fi `  C )  <->  E. x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A  =  |^| x ) )
43ibi 241 . . . 4  |-  ( A  e.  ( fi `  C )  ->  E. x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A  =  |^| x )
54adantr 465 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( fi
`  C )  /\  B  e.  ( fi `  C ) )  ->  E. x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A  =  |^| x )
6 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( fi
`  C )  /\  B  e.  ( fi `  C ) )  ->  B  e.  ( fi `  C ) )
7 elfi 7661 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( fi
`  C )  /\  C  e.  _V )  ->  ( B  e.  ( fi `  C )  <->  E. y  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) B  =  |^| y ) )
87ancoms 453 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  _V  /\  B  e.  ( fi `  C ) )  -> 
( B  e.  ( fi `  C )  <->  E. y  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) B  =  |^| y ) )
91, 8sylan 471 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( fi
`  C )  /\  B  e.  ( fi `  C ) )  -> 
( B  e.  ( fi `  C )  <->  E. y  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) B  =  |^| y ) )
106, 9mpbid 210 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( fi
`  C )  /\  B  e.  ( fi `  C ) )  ->  E. y  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) B  =  |^| y )
11 elin 3537 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  <->  ( x  e.  ~P C  /\  x  e.  Fin ) )
12 elin 3537 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  <->  ( y  e.  ~P C  /\  y  e.  Fin ) )
13 elpwi 3867 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~P C  ->  x  C_  C )
14 elpwi 3867 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ~P C  -> 
y  C_  C )
1513, 14anim12i 566 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ~P C  /\  y  e.  ~P C )  ->  (
x  C_  C  /\  y  C_  C ) )
16 unss 3528 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  C_  C  /\  y  C_  C )  <->  ( x  u.  y )  C_  C
)
1715, 16sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~P C  /\  y  e.  ~P C )  ->  (
x  u.  y ) 
C_  C )
18 vex 2973 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  x  e. 
_V
19 vex 2973 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  e. 
_V
2018, 19unex 6376 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  u.  y )  e. 
_V
2120elpw 3864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  u.  y )  e.  ~P C  <->  ( x  u.  y )  C_  C
)
2217, 21sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~P C  /\  y  e.  ~P C )  ->  (
x  u.  y )  e.  ~P C )
23 unfi 7577 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  y  e.  Fin )  ->  ( x  u.  y
)  e.  Fin )
2422, 23anim12i 566 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ~P C  /\  y  e.  ~P C )  /\  (
x  e.  Fin  /\  y  e.  Fin )
)  ->  ( (
x  u.  y )  e.  ~P C  /\  ( x  u.  y
)  e.  Fin )
)
2524an4s 822 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ~P C  /\  x  e.  Fin )  /\  ( y  e. 
~P C  /\  y  e.  Fin ) )  -> 
( ( x  u.  y )  e.  ~P C  /\  ( x  u.  y )  e.  Fin ) )
2611, 12, 25syl2anb 479 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  /\  y  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
)  ->  ( (
x  u.  y )  e.  ~P C  /\  ( x  u.  y
)  e.  Fin )
)
27 elin 3537 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  u.  y )  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  <->  ( (
x  u.  y )  e.  ~P C  /\  ( x  u.  y
)  e.  Fin )
)
2826, 27sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  /\  y  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
)  ->  ( x  u.  y )  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )
29 ineq12 3545 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =  |^| x  /\  B  =  |^| y )  ->  ( A  i^i  B )  =  ( |^| x  i^i  |^| y ) )
30 intun 4158 . . . . . . . 8  |-  |^| (
x  u.  y )  =  ( |^| x  i^i  |^| y )
3129, 30syl6eqr 2491 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =  |^| x  /\  B  =  |^| y )  ->  ( A  i^i  B )  = 
|^| ( x  u.  y ) )
32 inteq 4129 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( x  u.  y )  ->  |^| z  =  |^| ( x  u.  y ) )
3332eqeq2d 2452 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( x  u.  y )  ->  (
( A  i^i  B
)  =  |^| z  <->  ( A  i^i  B )  =  |^| ( x  u.  y ) ) )
3433rspcev 3071 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  u.  y
)  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  |^| (
x  u.  y ) )  ->  E. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( A  i^i  B )  =  |^| z
)
3528, 31, 34syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  /\  y  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  ( A  =  |^| x  /\  B  =  |^| y ) )  ->  E. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( A  i^i  B )  =  |^| z
)
3635an4s 822 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| x )  /\  (
y  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  /\  B  =  |^| y ) )  ->  E. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
( A  i^i  B
)  =  |^| z
)
3736rexlimdvaa 2840 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| x )  ->  ( E. y  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) B  =  |^| y  ->  E. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
( A  i^i  B
)  =  |^| z
) )
3837rexlimiva 2834 . . 3  |-  ( E. x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A  =  |^| x  -> 
( E. y  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) B  =  |^| y  ->  E. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( A  i^i  B )  =  |^| z
) )
395, 10, 38sylc 60 . 2  |-  ( ( A  e.  ( fi
`  C )  /\  B  e.  ( fi `  C ) )  ->  E. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
( A  i^i  B
)  =  |^| z
)
40 inex1g 4433 . . . 4  |-  ( A  e.  ( fi `  C )  ->  ( A  i^i  B )  e. 
_V )
41 elfi 7661 . . . 4  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  e.  _V  /\  C  e.  _V )  ->  ( ( A  i^i  B )  e.  ( fi
`  C )  <->  E. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( A  i^i  B )  =  |^| z
) )
4240, 1, 41syl2anc 661 . . 3  |-  ( A  e.  ( fi `  C )  ->  (
( A  i^i  B
)  e.  ( fi
`  C )  <->  E. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( A  i^i  B )  =  |^| z
) )
4342adantr 465 . 2  |-  ( ( A  e.  ( fi
`  C )  /\  B  e.  ( fi `  C ) )  -> 
( ( A  i^i  B )  e.  ( fi
`  C )  <->  E. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( A  i^i  B )  =  |^| z
) )
4439, 43mpbird 232 1  |-  ( ( A  e.  ( fi
`  C )  /\  B  e.  ( fi `  C ) )  -> 
( A  i^i  B
)  e.  ( fi
`  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2714   _Vcvv 2970    u. cun 3324    i^i cin 3325    C_ wss 3326   ~Pcpw 3858   |^|cint 4126   ` cfv 5416   Fincfn 7308   ficfi 7658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-oadd 6922  df-er 7099  df-en 7309  df-fin 7312  df-fi 7659
This theorem is referenced by:  dffi2  7671  inficl  7673  elfiun  7678  dffi3  7679  fibas  18580  ordtbas2  18793  fsubbas  19438
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