Theorem fiin 7882

Description: The elements of ( fi ` C ) are closed under finite intersection. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fiin	|- ( ( A e. ( fi ` C ) /\ B e. ( fi ` C ) ) -> ( A i^i B ) e. ( fi ` C ) )

Proof of Theorem fiin

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvex 5893	. . . . . 6 |- ( A e. ( fi ` C ) -> C e. _V )
2		elfi 7873	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( fi ` C ) /\ C e. _V ) -> ( A e. ( fi ` C ) <-> E. x e. ( ~P C i^i Fin ) A = |^| x ) )
3	1, 2	mpdan 668	. . . . 5 |- ( A e. ( fi ` C ) -> ( A e. ( fi ` C ) <-> E. x e. ( ~P C i^i Fin ) A = |^| x ) )
4	3	ibi 241	. . . 4 |- ( A e. ( fi ` C ) -> E. x e. ( ~P C i^i Fin ) A = |^| x )
5	4	adantr 465	. . 3 |- ( ( A e. ( fi ` C ) /\ B e. ( fi ` C ) ) -> E. x e. ( ~P C i^i Fin ) A = |^| x )
6		simpr 461	. . . 4 |- ( ( A e. ( fi ` C ) /\ B e. ( fi ` C ) ) -> B e. ( fi ` C ) )
7		elfi 7873	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( fi ` C ) /\ C e. _V ) -> ( B e. ( fi ` C ) <-> E. y e. ( ~P C i^i Fin ) B = |^| y ) )
8	7	ancoms 453	. . . . 5 |- ( ( C e. _V /\ B e. ( fi ` C ) ) -> ( B e. ( fi ` C ) <-> E. y e. ( ~P C i^i Fin ) B = |^| y ) )
9	1, 8	sylan 471	. . . 4 |- ( ( A e. ( fi ` C ) /\ B e. ( fi ` C ) ) -> ( B e. ( fi ` C ) <-> E. y e. ( ~P C i^i Fin ) B = |^| y ) )
10	6, 9	mpbid 210	. . 3 |- ( ( A e. ( fi ` C ) /\ B e. ( fi ` C ) ) -> E. y e. ( ~P C i^i Fin ) B = |^| y )
11		elin 3687	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ~P C i^i Fin ) <-> ( x e. ~P C /\ x e. Fin ) )
12		elin 3687	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( ~P C i^i Fin ) <-> ( y e. ~P C /\ y e. Fin ) )
13		elpwi 4019	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ~P C -> x C_ C )
14		elpwi 4019	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ~P C -> y C_ C )
15	13, 14	anim12i 566	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ~P C /\ y e. ~P C ) -> ( x C_ C /\ y C_ C ) )
16		unss 3678	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x C_ C /\ y C_ C ) <-> ( x u. y ) C_ C )
17	15, 16	sylib 196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ~P C /\ y e. ~P C ) -> ( x u. y ) C_ C )
18		vex 3116	. . . . . . . . . . . . . 14 |- x e. _V
19		vex 3116	. . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. _V
20	18, 19	unex 6582	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x u. y ) e. _V
21	20	elpw 4016	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x u. y ) e. ~P C <-> ( x u. y ) C_ C )
22	17, 21	sylibr 212	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~P C /\ y e. ~P C ) -> ( x u. y ) e. ~P C )
23		unfi 7787	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. Fin /\ y e. Fin ) -> ( x u. y ) e. Fin )
24	22, 23	anim12i 566	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ~P C /\ y e. ~P C ) /\ ( x e. Fin /\ y e. Fin ) ) -> ( ( x u. y ) e. ~P C /\ ( x u. y ) e. Fin ) )
25	24	an4s 824	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ~P C /\ x e. Fin ) /\ ( y e. ~P C /\ y e. Fin ) ) -> ( ( x u. y ) e. ~P C /\ ( x u. y ) e. Fin ) )
26	11, 12, 25	syl2anb 479	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( ~P C i^i Fin ) /\ y e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( ( x u. y ) e. ~P C /\ ( x u. y ) e. Fin ) )
27		elin 3687	. . . . . . . 8 |- ( ( x u. y ) e. ( ~P C i^i Fin ) <-> ( ( x u. y ) e. ~P C /\ ( x u. y ) e. Fin ) )
28	26, 27	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ~P C i^i Fin ) /\ y e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( x u. y ) e. ( ~P C i^i Fin ) )
29		ineq12 3695	. . . . . . . 8 |- ( ( A = |^| x /\ B = |^| y ) -> ( A i^i B ) = ( |^| x i^i |^| y ) )
30		intun 4314	. . . . . . . 8 |- |^| ( x u. y ) = ( |^| x i^i |^| y )
31	29, 30	syl6eqr 2526	. . . . . . 7 |- ( ( A = |^| x /\ B = |^| y ) -> ( A i^i B ) = |^| ( x u. y ) )
32		inteq 4285	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( x u. y ) -> |^| z = |^| ( x u. y ) )
33	32	eqeq2d 2481	. . . . . . . 8 |- ( z = ( x u. y ) -> ( ( A i^i B ) = |^| z <-> ( A i^i B ) = |^| ( x u. y ) ) )
34	33	rspcev 3214	. . . . . . 7 |- ( ( ( x u. y ) e. ( ~P C i^i Fin ) /\ ( A i^i B ) = |^| ( x u. y ) ) -> E. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( A i^i B ) = |^| z )
35	28, 31, 34	syl2an 477	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( ~P C i^i Fin ) /\ y e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ ( A = |^| x /\ B = |^| y ) ) -> E. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( A i^i B ) = |^| z )
36	35	an4s 824	. . . . 5 |- ( ( ( x e. ( ~P C i^i Fin ) /\ A = |^| x ) /\ ( y e. ( ~P C i^i Fin ) /\ B = |^| y ) ) -> E. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( A i^i B ) = |^| z )
37	36	rexlimdvaa 2956	. . . 4 |- ( ( x e. ( ~P C i^i Fin ) /\ A = |^| x ) -> ( E. y e. ( ~P C i^i Fin ) B = |^| y -> E. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( A i^i B ) = |^| z ) )
38	37	rexlimiva 2951	. . 3 |- ( E. x e. ( ~P C i^i Fin ) A = |^| x -> ( E. y e. ( ~P C i^i Fin ) B = |^| y -> E. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( A i^i B ) = |^| z ) )
39	5, 10, 38	sylc 60	. 2 |- ( ( A e. ( fi ` C ) /\ B e. ( fi ` C ) ) -> E. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( A i^i B ) = |^| z )
40		inex1g 4590	. . . 4 |- ( A e. ( fi ` C ) -> ( A i^i B ) e. _V )
41		elfi 7873	. . . 4 |- ( ( ( A i^i B ) e. _V /\ C e. _V ) -> ( ( A i^i B ) e. ( fi ` C ) <-> E. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( A i^i B ) = |^| z ) )
42	40, 1, 41	syl2anc 661	. . 3 |- ( A e. ( fi ` C ) -> ( ( A i^i B ) e. ( fi ` C ) <-> E. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( A i^i B ) = |^| z ) )
43	42	adantr 465	. 2 |- ( ( A e. ( fi ` C ) /\ B e. ( fi ` C ) ) -> ( ( A i^i B ) e. ( fi ` C ) <-> E. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( A i^i B ) = |^| z ) )
44	39, 43	mpbird 232	1 |- ( ( A e. ( fi ` C ) /\ B e. ( fi ` C ) ) -> ( A i^i B ) e. ( fi ` C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   u. cun 3474   i^i cin 3475   C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   |^|cint 4282   ` cfv 5588   Fincfn 7516   ficfi 7870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-fin 7520  df-fi 7871

This theorem is referenced by:  dffi2  7883  inficl  7885  elfiun  7890  dffi3  7891  fibas  19273  ordtbas2  19486  fsubbas  20131