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Theorem fiin 7882
Description: The elements of  ( fi
`  C ) are closed under finite intersection. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
fiin  |-  ( ( A  e.  ( fi
`  C )  /\  B  e.  ( fi `  C ) )  -> 
( A  i^i  B
)  e.  ( fi
`  C ) )

Proof of Theorem fiin
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 5893 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( fi `  C )  ->  C  e.  _V )
2 elfi 7873 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( fi
`  C )  /\  C  e.  _V )  ->  ( A  e.  ( fi `  C )  <->  E. x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A  =  |^| x ) )
31, 2mpdan 668 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( fi `  C )  ->  ( A  e.  ( fi `  C )  <->  E. x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A  =  |^| x ) )
43ibi 241 . . . 4  |-  ( A  e.  ( fi `  C )  ->  E. x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A  =  |^| x )
54adantr 465 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( fi
`  C )  /\  B  e.  ( fi `  C ) )  ->  E. x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A  =  |^| x )
6 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( fi
`  C )  /\  B  e.  ( fi `  C ) )  ->  B  e.  ( fi `  C ) )
7 elfi 7873 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( fi
`  C )  /\  C  e.  _V )  ->  ( B  e.  ( fi `  C )  <->  E. y  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) B  =  |^| y ) )
87ancoms 453 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  _V  /\  B  e.  ( fi `  C ) )  -> 
( B  e.  ( fi `  C )  <->  E. y  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) B  =  |^| y ) )
91, 8sylan 471 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( fi
`  C )  /\  B  e.  ( fi `  C ) )  -> 
( B  e.  ( fi `  C )  <->  E. y  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) B  =  |^| y ) )
106, 9mpbid 210 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( fi
`  C )  /\  B  e.  ( fi `  C ) )  ->  E. y  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) B  =  |^| y )
11 elin 3687 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  <->  ( x  e.  ~P C  /\  x  e.  Fin ) )
12 elin 3687 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  <->  ( y  e.  ~P C  /\  y  e.  Fin ) )
13 elpwi 4019 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~P C  ->  x  C_  C )
14 elpwi 4019 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ~P C  -> 
y  C_  C )
1513, 14anim12i 566 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ~P C  /\  y  e.  ~P C )  ->  (
x  C_  C  /\  y  C_  C ) )
16 unss 3678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  C_  C  /\  y  C_  C )  <->  ( x  u.  y )  C_  C
)
1715, 16sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~P C  /\  y  e.  ~P C )  ->  (
x  u.  y ) 
C_  C )
18 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  x  e. 
_V
19 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  e. 
_V
2018, 19unex 6582 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  u.  y )  e. 
_V
2120elpw 4016 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  u.  y )  e.  ~P C  <->  ( x  u.  y )  C_  C
)
2217, 21sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~P C  /\  y  e.  ~P C )  ->  (
x  u.  y )  e.  ~P C )
23 unfi 7787 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  y  e.  Fin )  ->  ( x  u.  y
)  e.  Fin )
2422, 23anim12i 566 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ~P C  /\  y  e.  ~P C )  /\  (
x  e.  Fin  /\  y  e.  Fin )
)  ->  ( (
x  u.  y )  e.  ~P C  /\  ( x  u.  y
)  e.  Fin )
)
2524an4s 824 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ~P C  /\  x  e.  Fin )  /\  ( y  e. 
~P C  /\  y  e.  Fin ) )  -> 
( ( x  u.  y )  e.  ~P C  /\  ( x  u.  y )  e.  Fin ) )
2611, 12, 25syl2anb 479 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  /\  y  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
)  ->  ( (
x  u.  y )  e.  ~P C  /\  ( x  u.  y
)  e.  Fin )
)
27 elin 3687 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  u.  y )  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  <->  ( (
x  u.  y )  e.  ~P C  /\  ( x  u.  y
)  e.  Fin )
)
2826, 27sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  /\  y  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
)  ->  ( x  u.  y )  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )
29 ineq12 3695 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =  |^| x  /\  B  =  |^| y )  ->  ( A  i^i  B )  =  ( |^| x  i^i  |^| y ) )
30 intun 4314 . . . . . . . 8  |-  |^| (
x  u.  y )  =  ( |^| x  i^i  |^| y )
3129, 30syl6eqr 2526 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =  |^| x  /\  B  =  |^| y )  ->  ( A  i^i  B )  = 
|^| ( x  u.  y ) )
32 inteq 4285 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( x  u.  y )  ->  |^| z  =  |^| ( x  u.  y ) )
3332eqeq2d 2481 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( x  u.  y )  ->  (
( A  i^i  B
)  =  |^| z  <->  ( A  i^i  B )  =  |^| ( x  u.  y ) ) )
3433rspcev 3214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  u.  y
)  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  |^| (
x  u.  y ) )  ->  E. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( A  i^i  B )  =  |^| z
)
3528, 31, 34syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  /\  y  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  ( A  =  |^| x  /\  B  =  |^| y ) )  ->  E. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( A  i^i  B )  =  |^| z
)
3635an4s 824 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| x )  /\  (
y  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  /\  B  =  |^| y ) )  ->  E. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
( A  i^i  B
)  =  |^| z
)
3736rexlimdvaa 2956 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| x )  ->  ( E. y  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) B  =  |^| y  ->  E. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
( A  i^i  B
)  =  |^| z
) )
3837rexlimiva 2951 . . 3  |-  ( E. x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A  =  |^| x  -> 
( E. y  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) B  =  |^| y  ->  E. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( A  i^i  B )  =  |^| z
) )
395, 10, 38sylc 60 . 2  |-  ( ( A  e.  ( fi
`  C )  /\  B  e.  ( fi `  C ) )  ->  E. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
( A  i^i  B
)  =  |^| z
)
40 inex1g 4590 . . . 4  |-  ( A  e.  ( fi `  C )  ->  ( A  i^i  B )  e. 
_V )
41 elfi 7873 . . . 4  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  e.  _V  /\  C  e.  _V )  ->  ( ( A  i^i  B )  e.  ( fi
`  C )  <->  E. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( A  i^i  B )  =  |^| z
) )
4240, 1, 41syl2anc 661 . . 3  |-  ( A  e.  ( fi `  C )  ->  (
( A  i^i  B
)  e.  ( fi
`  C )  <->  E. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( A  i^i  B )  =  |^| z
) )
4342adantr 465 . 2  |-  ( ( A  e.  ( fi
`  C )  /\  B  e.  ( fi `  C ) )  -> 
( ( A  i^i  B )  e.  ( fi
`  C )  <->  E. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( A  i^i  B )  =  |^| z
) )
4439, 43mpbird 232 1  |-  ( ( A  e.  ( fi
`  C )  /\  B  e.  ( fi `  C ) )  -> 
( A  i^i  B
)  e.  ( fi
`  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   |^|cint 4282   ` cfv 5588   Fincfn 7516   ficfi 7870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-fin 7520  df-fi 7871
This theorem is referenced by:  dffi2  7883  inficl  7885  elfiun  7890  dffi3  7891  fibas  19273  ordtbas2  19486  fsubbas  20131
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