Theorem fiin 7954

Description: The elements of ( fi ` C ) are closed under finite intersection. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fiin	|- ( ( A e. ( fi ` C ) /\ B e. ( fi ` C ) ) -> ( A i^i B ) e. ( fi ` C ) )

Proof of Theorem fiin

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvex 5906	. . . . . 6 |- ( A e. ( fi ` C ) -> C e. _V )
2		elfi 7945	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( fi ` C ) /\ C e. _V ) -> ( A e. ( fi ` C ) <-> E. x e. ( ~P C i^i Fin ) A = |^| x ) )
3	1, 2	mpdan 681	. . . . 5 |- ( A e. ( fi ` C ) -> ( A e. ( fi ` C ) <-> E. x e. ( ~P C i^i Fin ) A = |^| x ) )
4	3	ibi 249	. . . 4 |- ( A e. ( fi ` C ) -> E. x e. ( ~P C i^i Fin ) A = |^| x )
5	4	adantr 472	. . 3 |- ( ( A e. ( fi ` C ) /\ B e. ( fi ` C ) ) -> E. x e. ( ~P C i^i Fin ) A = |^| x )
6		simpr 468	. . . 4 |- ( ( A e. ( fi ` C ) /\ B e. ( fi ` C ) ) -> B e. ( fi ` C ) )
7		elfi 7945	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( fi ` C ) /\ C e. _V ) -> ( B e. ( fi ` C ) <-> E. y e. ( ~P C i^i Fin ) B = |^| y ) )
8	7	ancoms 460	. . . . 5 |- ( ( C e. _V /\ B e. ( fi ` C ) ) -> ( B e. ( fi ` C ) <-> E. y e. ( ~P C i^i Fin ) B = |^| y ) )
9	1, 8	sylan 479	. . . 4 |- ( ( A e. ( fi ` C ) /\ B e. ( fi ` C ) ) -> ( B e. ( fi ` C ) <-> E. y e. ( ~P C i^i Fin ) B = |^| y ) )
10	6, 9	mpbid 215	. . 3 |- ( ( A e. ( fi ` C ) /\ B e. ( fi ` C ) ) -> E. y e. ( ~P C i^i Fin ) B = |^| y )
11		elin 3608	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ~P C i^i Fin ) <-> ( x e. ~P C /\ x e. Fin ) )
12		elin 3608	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( ~P C i^i Fin ) <-> ( y e. ~P C /\ y e. Fin ) )
13		elpwi 3951	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ~P C -> x C_ C )
14		elpwi 3951	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ~P C -> y C_ C )
15	13, 14	anim12i 576	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ~P C /\ y e. ~P C ) -> ( x C_ C /\ y C_ C ) )
16		unss 3599	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x C_ C /\ y C_ C ) <-> ( x u. y ) C_ C )
17	15, 16	sylib 201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ~P C /\ y e. ~P C ) -> ( x u. y ) C_ C )
18		vex 3034	. . . . . . . . . . . . . 14 |- x e. _V
19		vex 3034	. . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. _V
20	18, 19	unex 6608	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x u. y ) e. _V
21	20	elpw 3948	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x u. y ) e. ~P C <-> ( x u. y ) C_ C )
22	17, 21	sylibr 217	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~P C /\ y e. ~P C ) -> ( x u. y ) e. ~P C )
23		unfi 7856	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. Fin /\ y e. Fin ) -> ( x u. y ) e. Fin )
24	22, 23	anim12i 576	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ~P C /\ y e. ~P C ) /\ ( x e. Fin /\ y e. Fin ) ) -> ( ( x u. y ) e. ~P C /\ ( x u. y ) e. Fin ) )
25	24	an4s 842	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ~P C /\ x e. Fin ) /\ ( y e. ~P C /\ y e. Fin ) ) -> ( ( x u. y ) e. ~P C /\ ( x u. y ) e. Fin ) )
26	11, 12, 25	syl2anb 487	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( ~P C i^i Fin ) /\ y e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( ( x u. y ) e. ~P C /\ ( x u. y ) e. Fin ) )
27		elin 3608	. . . . . . . 8 |- ( ( x u. y ) e. ( ~P C i^i Fin ) <-> ( ( x u. y ) e. ~P C /\ ( x u. y ) e. Fin ) )
28	26, 27	sylibr 217	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ~P C i^i Fin ) /\ y e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( x u. y ) e. ( ~P C i^i Fin ) )
29		ineq12 3620	. . . . . . . 8 |- ( ( A = |^| x /\ B = |^| y ) -> ( A i^i B ) = ( |^| x i^i |^| y ) )
30		intun 4258	. . . . . . . 8 |- |^| ( x u. y ) = ( |^| x i^i |^| y )
31	29, 30	syl6eqr 2523	. . . . . . 7 |- ( ( A = |^| x /\ B = |^| y ) -> ( A i^i B ) = |^| ( x u. y ) )
32		inteq 4229	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( x u. y ) -> |^| z = |^| ( x u. y ) )
33	32	eqeq2d 2481	. . . . . . . 8 |- ( z = ( x u. y ) -> ( ( A i^i B ) = |^| z <-> ( A i^i B ) = |^| ( x u. y ) ) )
34	33	rspcev 3136	. . . . . . 7 |- ( ( ( x u. y ) e. ( ~P C i^i Fin ) /\ ( A i^i B ) = |^| ( x u. y ) ) -> E. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( A i^i B ) = |^| z )
35	28, 31, 34	syl2an 485	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( ~P C i^i Fin ) /\ y e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ ( A = |^| x /\ B = |^| y ) ) -> E. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( A i^i B ) = |^| z )
36	35	an4s 842	. . . . 5 |- ( ( ( x e. ( ~P C i^i Fin ) /\ A = |^| x ) /\ ( y e. ( ~P C i^i Fin ) /\ B = |^| y ) ) -> E. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( A i^i B ) = |^| z )
37	36	rexlimdvaa 2872	. . . 4 |- ( ( x e. ( ~P C i^i Fin ) /\ A = |^| x ) -> ( E. y e. ( ~P C i^i Fin ) B = |^| y -> E. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( A i^i B ) = |^| z ) )
38	37	rexlimiva 2868	. . 3 |- ( E. x e. ( ~P C i^i Fin ) A = |^| x -> ( E. y e. ( ~P C i^i Fin ) B = |^| y -> E. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( A i^i B ) = |^| z ) )
39	5, 10, 38	sylc 61	. 2 |- ( ( A e. ( fi ` C ) /\ B e. ( fi ` C ) ) -> E. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( A i^i B ) = |^| z )
40		inex1g 4539	. . . 4 |- ( A e. ( fi ` C ) -> ( A i^i B ) e. _V )
41		elfi 7945	. . . 4 |- ( ( ( A i^i B ) e. _V /\ C e. _V ) -> ( ( A i^i B ) e. ( fi ` C ) <-> E. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( A i^i B ) = |^| z ) )
42	40, 1, 41	syl2anc 673	. . 3 |- ( A e. ( fi ` C ) -> ( ( A i^i B ) e. ( fi ` C ) <-> E. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( A i^i B ) = |^| z ) )
43	42	adantr 472	. 2 |- ( ( A e. ( fi ` C ) /\ B e. ( fi ` C ) ) -> ( ( A i^i B ) e. ( fi ` C ) <-> E. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( A i^i B ) = |^| z ) )
44	39, 43	mpbird 240	1 |- ( ( A e. ( fi ` C ) /\ B e. ( fi ` C ) ) -> ( A i^i B ) e. ( fi ` C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   u. cun 3388   i^i cin 3389   C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   |^|cint 4226   ` cfv 5589   Fincfn 7587   ficfi 7942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-fin 7591  df-fi 7943

This theorem is referenced by:  dffi2  7955  inficl  7957  elfiun  7962  dffi3  7963  fibas  20070  ordtbas2  20284  fsubbas  20960