Theorem fiin 7942

Description: The elements of ( fi ` C ) are closed under finite intersection. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fiin	|- ( ( A e. ( fi ` C ) /\ B e. ( fi ` C ) ) -> ( A i^i B ) e. ( fi ` C ) )

Proof of Theorem fiin

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvex 5908	. . . . . 6 |- ( A e. ( fi ` C ) -> C e. _V )
2		elfi 7933	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( fi ` C ) /\ C e. _V ) -> ( A e. ( fi ` C ) <-> E. x e. ( ~P C i^i Fin ) A = |^| x ) )
3	1, 2	mpdan 672	. . . . 5 |- ( A e. ( fi ` C ) -> ( A e. ( fi ` C ) <-> E. x e. ( ~P C i^i Fin ) A = |^| x ) )
4	3	ibi 244	. . . 4 |- ( A e. ( fi ` C ) -> E. x e. ( ~P C i^i Fin ) A = |^| x )
5	4	adantr 466	. . 3 |- ( ( A e. ( fi ` C ) /\ B e. ( fi ` C ) ) -> E. x e. ( ~P C i^i Fin ) A = |^| x )
6		simpr 462	. . . 4 |- ( ( A e. ( fi ` C ) /\ B e. ( fi ` C ) ) -> B e. ( fi ` C ) )
7		elfi 7933	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( fi ` C ) /\ C e. _V ) -> ( B e. ( fi ` C ) <-> E. y e. ( ~P C i^i Fin ) B = |^| y ) )
8	7	ancoms 454	. . . . 5 |- ( ( C e. _V /\ B e. ( fi ` C ) ) -> ( B e. ( fi ` C ) <-> E. y e. ( ~P C i^i Fin ) B = |^| y ) )
9	1, 8	sylan 473	. . . 4 |- ( ( A e. ( fi ` C ) /\ B e. ( fi ` C ) ) -> ( B e. ( fi ` C ) <-> E. y e. ( ~P C i^i Fin ) B = |^| y ) )
10	6, 9	mpbid 213	. . 3 |- ( ( A e. ( fi ` C ) /\ B e. ( fi ` C ) ) -> E. y e. ( ~P C i^i Fin ) B = |^| y )
11		elin 3655	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ~P C i^i Fin ) <-> ( x e. ~P C /\ x e. Fin ) )
12		elin 3655	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( ~P C i^i Fin ) <-> ( y e. ~P C /\ y e. Fin ) )
13		elpwi 3994	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ~P C -> x C_ C )
14		elpwi 3994	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ~P C -> y C_ C )
15	13, 14	anim12i 568	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ~P C /\ y e. ~P C ) -> ( x C_ C /\ y C_ C ) )
16		unss 3646	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x C_ C /\ y C_ C ) <-> ( x u. y ) C_ C )
17	15, 16	sylib 199	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ~P C /\ y e. ~P C ) -> ( x u. y ) C_ C )
18		vex 3090	. . . . . . . . . . . . . 14 |- x e. _V
19		vex 3090	. . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. _V
20	18, 19	unex 6603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x u. y ) e. _V
21	20	elpw 3991	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x u. y ) e. ~P C <-> ( x u. y ) C_ C )
22	17, 21	sylibr 215	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~P C /\ y e. ~P C ) -> ( x u. y ) e. ~P C )
23		unfi 7844	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. Fin /\ y e. Fin ) -> ( x u. y ) e. Fin )
24	22, 23	anim12i 568	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ~P C /\ y e. ~P C ) /\ ( x e. Fin /\ y e. Fin ) ) -> ( ( x u. y ) e. ~P C /\ ( x u. y ) e. Fin ) )
25	24	an4s 833	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ~P C /\ x e. Fin ) /\ ( y e. ~P C /\ y e. Fin ) ) -> ( ( x u. y ) e. ~P C /\ ( x u. y ) e. Fin ) )
26	11, 12, 25	syl2anb 481	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( ~P C i^i Fin ) /\ y e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( ( x u. y ) e. ~P C /\ ( x u. y ) e. Fin ) )
27		elin 3655	. . . . . . . 8 |- ( ( x u. y ) e. ( ~P C i^i Fin ) <-> ( ( x u. y ) e. ~P C /\ ( x u. y ) e. Fin ) )
28	26, 27	sylibr 215	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ~P C i^i Fin ) /\ y e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( x u. y ) e. ( ~P C i^i Fin ) )
29		ineq12 3665	. . . . . . . 8 |- ( ( A = |^| x /\ B = |^| y ) -> ( A i^i B ) = ( |^| x i^i |^| y ) )
30		intun 4291	. . . . . . . 8 |- |^| ( x u. y ) = ( |^| x i^i |^| y )
31	29, 30	syl6eqr 2488	. . . . . . 7 |- ( ( A = |^| x /\ B = |^| y ) -> ( A i^i B ) = |^| ( x u. y ) )
32		inteq 4261	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( x u. y ) -> |^| z = |^| ( x u. y ) )
33	32	eqeq2d 2443	. . . . . . . 8 |- ( z = ( x u. y ) -> ( ( A i^i B ) = |^| z <-> ( A i^i B ) = |^| ( x u. y ) ) )
34	33	rspcev 3188	. . . . . . 7 |- ( ( ( x u. y ) e. ( ~P C i^i Fin ) /\ ( A i^i B ) = |^| ( x u. y ) ) -> E. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( A i^i B ) = |^| z )
35	28, 31, 34	syl2an 479	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( ~P C i^i Fin ) /\ y e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ ( A = |^| x /\ B = |^| y ) ) -> E. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( A i^i B ) = |^| z )
36	35	an4s 833	. . . . 5 |- ( ( ( x e. ( ~P C i^i Fin ) /\ A = |^| x ) /\ ( y e. ( ~P C i^i Fin ) /\ B = |^| y ) ) -> E. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( A i^i B ) = |^| z )
37	36	rexlimdvaa 2925	. . . 4 |- ( ( x e. ( ~P C i^i Fin ) /\ A = |^| x ) -> ( E. y e. ( ~P C i^i Fin ) B = |^| y -> E. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( A i^i B ) = |^| z ) )
38	37	rexlimiva 2920	. . 3 |- ( E. x e. ( ~P C i^i Fin ) A = |^| x -> ( E. y e. ( ~P C i^i Fin ) B = |^| y -> E. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( A i^i B ) = |^| z ) )
39	5, 10, 38	sylc 62	. 2 |- ( ( A e. ( fi ` C ) /\ B e. ( fi ` C ) ) -> E. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( A i^i B ) = |^| z )
40		inex1g 4568	. . . 4 |- ( A e. ( fi ` C ) -> ( A i^i B ) e. _V )
41		elfi 7933	. . . 4 |- ( ( ( A i^i B ) e. _V /\ C e. _V ) -> ( ( A i^i B ) e. ( fi ` C ) <-> E. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( A i^i B ) = |^| z ) )
42	40, 1, 41	syl2anc 665	. . 3 |- ( A e. ( fi ` C ) -> ( ( A i^i B ) e. ( fi ` C ) <-> E. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( A i^i B ) = |^| z ) )
43	42	adantr 466	. 2 |- ( ( A e. ( fi ` C ) /\ B e. ( fi ` C ) ) -> ( ( A i^i B ) e. ( fi ` C ) <-> E. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( A i^i B ) = |^| z ) )
44	39, 43	mpbird 235	1 |- ( ( A e. ( fi ` C ) /\ B e. ( fi ` C ) ) -> ( A i^i B ) e. ( fi ` C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1870   E.wrex 2783   _Vcvv 3087   u. cun 3440   i^i cin 3441   C_ wss 3442   ~Pcpw 3985   |^|cint 4258   ` cfv 5601   Fincfn 7577   ficfi 7930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-fin 7581  df-fi 7931

This theorem is referenced by:  dffi2  7943  inficl  7945  elfiun  7950  dffi3  7951  fibas  19928  ordtbas2  20142  fsubbas  20817