Theorem fiin 7670

Description: The elements of ( fi ` C ) are closed under finite intersection. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fiin	|- ( ( A e. ( fi ` C ) /\ B e. ( fi ` C ) ) -> ( A i^i B ) e. ( fi ` C ) )

Proof of Theorem fiin

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvex 5715	. . . . . 6 |- ( A e. ( fi ` C ) -> C e. _V )
2		elfi 7661	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( fi ` C ) /\ C e. _V ) -> ( A e. ( fi ` C ) <-> E. x e. ( ~P C i^i Fin ) A = |^| x ) )
3	1, 2	mpdan 668	. . . . 5 |- ( A e. ( fi ` C ) -> ( A e. ( fi ` C ) <-> E. x e. ( ~P C i^i Fin ) A = |^| x ) )
4	3	ibi 241	. . . 4 |- ( A e. ( fi ` C ) -> E. x e. ( ~P C i^i Fin ) A = |^| x )
5	4	adantr 465	. . 3 |- ( ( A e. ( fi ` C ) /\ B e. ( fi ` C ) ) -> E. x e. ( ~P C i^i Fin ) A = |^| x )
6		simpr 461	. . . 4 |- ( ( A e. ( fi ` C ) /\ B e. ( fi ` C ) ) -> B e. ( fi ` C ) )
7		elfi 7661	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( fi ` C ) /\ C e. _V ) -> ( B e. ( fi ` C ) <-> E. y e. ( ~P C i^i Fin ) B = |^| y ) )
8	7	ancoms 453	. . . . 5 |- ( ( C e. _V /\ B e. ( fi ` C ) ) -> ( B e. ( fi ` C ) <-> E. y e. ( ~P C i^i Fin ) B = |^| y ) )
9	1, 8	sylan 471	. . . 4 |- ( ( A e. ( fi ` C ) /\ B e. ( fi ` C ) ) -> ( B e. ( fi ` C ) <-> E. y e. ( ~P C i^i Fin ) B = |^| y ) )
10	6, 9	mpbid 210	. . 3 |- ( ( A e. ( fi ` C ) /\ B e. ( fi ` C ) ) -> E. y e. ( ~P C i^i Fin ) B = |^| y )
11		elin 3537	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ~P C i^i Fin ) <-> ( x e. ~P C /\ x e. Fin ) )
12		elin 3537	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( ~P C i^i Fin ) <-> ( y e. ~P C /\ y e. Fin ) )
13		elpwi 3867	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ~P C -> x C_ C )
14		elpwi 3867	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ~P C -> y C_ C )
15	13, 14	anim12i 566	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ~P C /\ y e. ~P C ) -> ( x C_ C /\ y C_ C ) )
16		unss 3528	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x C_ C /\ y C_ C ) <-> ( x u. y ) C_ C )
17	15, 16	sylib 196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ~P C /\ y e. ~P C ) -> ( x u. y ) C_ C )
18		vex 2973	. . . . . . . . . . . . . 14 |- x e. _V
19		vex 2973	. . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. _V
20	18, 19	unex 6376	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x u. y ) e. _V
21	20	elpw 3864	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x u. y ) e. ~P C <-> ( x u. y ) C_ C )
22	17, 21	sylibr 212	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~P C /\ y e. ~P C ) -> ( x u. y ) e. ~P C )
23		unfi 7577	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. Fin /\ y e. Fin ) -> ( x u. y ) e. Fin )
24	22, 23	anim12i 566	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ~P C /\ y e. ~P C ) /\ ( x e. Fin /\ y e. Fin ) ) -> ( ( x u. y ) e. ~P C /\ ( x u. y ) e. Fin ) )
25	24	an4s 822	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ~P C /\ x e. Fin ) /\ ( y e. ~P C /\ y e. Fin ) ) -> ( ( x u. y ) e. ~P C /\ ( x u. y ) e. Fin ) )
26	11, 12, 25	syl2anb 479	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( ~P C i^i Fin ) /\ y e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( ( x u. y ) e. ~P C /\ ( x u. y ) e. Fin ) )
27		elin 3537	. . . . . . . 8 |- ( ( x u. y ) e. ( ~P C i^i Fin ) <-> ( ( x u. y ) e. ~P C /\ ( x u. y ) e. Fin ) )
28	26, 27	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ~P C i^i Fin ) /\ y e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( x u. y ) e. ( ~P C i^i Fin ) )
29		ineq12 3545	. . . . . . . 8 |- ( ( A = |^| x /\ B = |^| y ) -> ( A i^i B ) = ( |^| x i^i |^| y ) )
30		intun 4158	. . . . . . . 8 |- |^| ( x u. y ) = ( |^| x i^i |^| y )
31	29, 30	syl6eqr 2491	. . . . . . 7 |- ( ( A = |^| x /\ B = |^| y ) -> ( A i^i B ) = |^| ( x u. y ) )
32		inteq 4129	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( x u. y ) -> |^| z = |^| ( x u. y ) )
33	32	eqeq2d 2452	. . . . . . . 8 |- ( z = ( x u. y ) -> ( ( A i^i B ) = |^| z <-> ( A i^i B ) = |^| ( x u. y ) ) )
34	33	rspcev 3071	. . . . . . 7 |- ( ( ( x u. y ) e. ( ~P C i^i Fin ) /\ ( A i^i B ) = |^| ( x u. y ) ) -> E. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( A i^i B ) = |^| z )
35	28, 31, 34	syl2an 477	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( ~P C i^i Fin ) /\ y e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ ( A = |^| x /\ B = |^| y ) ) -> E. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( A i^i B ) = |^| z )
36	35	an4s 822	. . . . 5 |- ( ( ( x e. ( ~P C i^i Fin ) /\ A = |^| x ) /\ ( y e. ( ~P C i^i Fin ) /\ B = |^| y ) ) -> E. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( A i^i B ) = |^| z )
37	36	rexlimdvaa 2840	. . . 4 |- ( ( x e. ( ~P C i^i Fin ) /\ A = |^| x ) -> ( E. y e. ( ~P C i^i Fin ) B = |^| y -> E. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( A i^i B ) = |^| z ) )
38	37	rexlimiva 2834	. . 3 |- ( E. x e. ( ~P C i^i Fin ) A = |^| x -> ( E. y e. ( ~P C i^i Fin ) B = |^| y -> E. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( A i^i B ) = |^| z ) )
39	5, 10, 38	sylc 60	. 2 |- ( ( A e. ( fi ` C ) /\ B e. ( fi ` C ) ) -> E. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( A i^i B ) = |^| z )
40		inex1g 4433	. . . 4 |- ( A e. ( fi ` C ) -> ( A i^i B ) e. _V )
41		elfi 7661	. . . 4 |- ( ( ( A i^i B ) e. _V /\ C e. _V ) -> ( ( A i^i B ) e. ( fi ` C ) <-> E. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( A i^i B ) = |^| z ) )
42	40, 1, 41	syl2anc 661	. . 3 |- ( A e. ( fi ` C ) -> ( ( A i^i B ) e. ( fi ` C ) <-> E. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( A i^i B ) = |^| z ) )
43	42	adantr 465	. 2 |- ( ( A e. ( fi ` C ) /\ B e. ( fi ` C ) ) -> ( ( A i^i B ) e. ( fi ` C ) <-> E. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( A i^i B ) = |^| z ) )
44	39, 43	mpbird 232	1 |- ( ( A e. ( fi ` C ) /\ B e. ( fi ` C ) ) -> ( A i^i B ) e. ( fi ` C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   E.wrex 2714   _Vcvv 2970   u. cun 3324   i^i cin 3325   C_ wss 3326   ~Pcpw 3858   |^|cint 4126   ` cfv 5416   Fincfn 7308   ficfi 7658

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-oadd 6922  df-er 7099  df-en 7309  df-fin 7312  df-fi 7659

This theorem is referenced by:  dffi2  7671  inficl  7673  elfiun  7678  dffi3  7679  fibas  18580  ordtbas2  18793  fsubbas  19438