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Theorem fiin 7942
Description: The elements of  ( fi
`  C ) are closed under finite intersection. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
fiin  |-  ( ( A  e.  ( fi
`  C )  /\  B  e.  ( fi `  C ) )  -> 
( A  i^i  B
)  e.  ( fi
`  C ) )

Proof of Theorem fiin
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 5908 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( fi `  C )  ->  C  e.  _V )
2 elfi 7933 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( fi
`  C )  /\  C  e.  _V )  ->  ( A  e.  ( fi `  C )  <->  E. x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A  =  |^| x ) )
31, 2mpdan 672 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( fi `  C )  ->  ( A  e.  ( fi `  C )  <->  E. x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A  =  |^| x ) )
43ibi 244 . . . 4  |-  ( A  e.  ( fi `  C )  ->  E. x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A  =  |^| x )
54adantr 466 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( fi
`  C )  /\  B  e.  ( fi `  C ) )  ->  E. x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A  =  |^| x )
6 simpr 462 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( fi
`  C )  /\  B  e.  ( fi `  C ) )  ->  B  e.  ( fi `  C ) )
7 elfi 7933 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( fi
`  C )  /\  C  e.  _V )  ->  ( B  e.  ( fi `  C )  <->  E. y  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) B  =  |^| y ) )
87ancoms 454 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  _V  /\  B  e.  ( fi `  C ) )  -> 
( B  e.  ( fi `  C )  <->  E. y  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) B  =  |^| y ) )
91, 8sylan 473 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( fi
`  C )  /\  B  e.  ( fi `  C ) )  -> 
( B  e.  ( fi `  C )  <->  E. y  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) B  =  |^| y ) )
106, 9mpbid 213 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( fi
`  C )  /\  B  e.  ( fi `  C ) )  ->  E. y  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) B  =  |^| y )
11 elin 3655 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  <->  ( x  e.  ~P C  /\  x  e.  Fin ) )
12 elin 3655 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  <->  ( y  e.  ~P C  /\  y  e.  Fin ) )
13 elpwi 3994 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~P C  ->  x  C_  C )
14 elpwi 3994 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ~P C  -> 
y  C_  C )
1513, 14anim12i 568 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ~P C  /\  y  e.  ~P C )  ->  (
x  C_  C  /\  y  C_  C ) )
16 unss 3646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  C_  C  /\  y  C_  C )  <->  ( x  u.  y )  C_  C
)
1715, 16sylib 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~P C  /\  y  e.  ~P C )  ->  (
x  u.  y ) 
C_  C )
18 vex 3090 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  x  e. 
_V
19 vex 3090 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  e. 
_V
2018, 19unex 6603 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  u.  y )  e. 
_V
2120elpw 3991 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  u.  y )  e.  ~P C  <->  ( x  u.  y )  C_  C
)
2217, 21sylibr 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~P C  /\  y  e.  ~P C )  ->  (
x  u.  y )  e.  ~P C )
23 unfi 7844 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  y  e.  Fin )  ->  ( x  u.  y
)  e.  Fin )
2422, 23anim12i 568 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ~P C  /\  y  e.  ~P C )  /\  (
x  e.  Fin  /\  y  e.  Fin )
)  ->  ( (
x  u.  y )  e.  ~P C  /\  ( x  u.  y
)  e.  Fin )
)
2524an4s 833 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ~P C  /\  x  e.  Fin )  /\  ( y  e. 
~P C  /\  y  e.  Fin ) )  -> 
( ( x  u.  y )  e.  ~P C  /\  ( x  u.  y )  e.  Fin ) )
2611, 12, 25syl2anb 481 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  /\  y  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
)  ->  ( (
x  u.  y )  e.  ~P C  /\  ( x  u.  y
)  e.  Fin )
)
27 elin 3655 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  u.  y )  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  <->  ( (
x  u.  y )  e.  ~P C  /\  ( x  u.  y
)  e.  Fin )
)
2826, 27sylibr 215 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  /\  y  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
)  ->  ( x  u.  y )  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )
29 ineq12 3665 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =  |^| x  /\  B  =  |^| y )  ->  ( A  i^i  B )  =  ( |^| x  i^i  |^| y ) )
30 intun 4291 . . . . . . . 8  |-  |^| (
x  u.  y )  =  ( |^| x  i^i  |^| y )
3129, 30syl6eqr 2488 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =  |^| x  /\  B  =  |^| y )  ->  ( A  i^i  B )  = 
|^| ( x  u.  y ) )
32 inteq 4261 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( x  u.  y )  ->  |^| z  =  |^| ( x  u.  y ) )
3332eqeq2d 2443 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( x  u.  y )  ->  (
( A  i^i  B
)  =  |^| z  <->  ( A  i^i  B )  =  |^| ( x  u.  y ) ) )
3433rspcev 3188 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  u.  y
)  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  |^| (
x  u.  y ) )  ->  E. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( A  i^i  B )  =  |^| z
)
3528, 31, 34syl2an 479 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  /\  y  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  ( A  =  |^| x  /\  B  =  |^| y ) )  ->  E. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( A  i^i  B )  =  |^| z
)
3635an4s 833 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| x )  /\  (
y  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  /\  B  =  |^| y ) )  ->  E. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
( A  i^i  B
)  =  |^| z
)
3736rexlimdvaa 2925 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| x )  ->  ( E. y  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) B  =  |^| y  ->  E. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
( A  i^i  B
)  =  |^| z
) )
3837rexlimiva 2920 . . 3  |-  ( E. x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A  =  |^| x  -> 
( E. y  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) B  =  |^| y  ->  E. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( A  i^i  B )  =  |^| z
) )
395, 10, 38sylc 62 . 2  |-  ( ( A  e.  ( fi
`  C )  /\  B  e.  ( fi `  C ) )  ->  E. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
( A  i^i  B
)  =  |^| z
)
40 inex1g 4568 . . . 4  |-  ( A  e.  ( fi `  C )  ->  ( A  i^i  B )  e. 
_V )
41 elfi 7933 . . . 4  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  e.  _V  /\  C  e.  _V )  ->  ( ( A  i^i  B )  e.  ( fi
`  C )  <->  E. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( A  i^i  B )  =  |^| z
) )
4240, 1, 41syl2anc 665 . . 3  |-  ( A  e.  ( fi `  C )  ->  (
( A  i^i  B
)  e.  ( fi
`  C )  <->  E. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( A  i^i  B )  =  |^| z
) )
4342adantr 466 . 2  |-  ( ( A  e.  ( fi
`  C )  /\  B  e.  ( fi `  C ) )  -> 
( ( A  i^i  B )  e.  ( fi
`  C )  <->  E. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( A  i^i  B )  =  |^| z
) )
4439, 43mpbird 235 1  |-  ( ( A  e.  ( fi
`  C )  /\  B  e.  ( fi `  C ) )  -> 
( A  i^i  B
)  e.  ( fi
`  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   E.wrex 2783   _Vcvv 3087    u. cun 3440    i^i cin 3441    C_ wss 3442   ~Pcpw 3985   |^|cint 4258   ` cfv 5601   Fincfn 7577   ficfi 7930
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-fin 7581  df-fi 7931
This theorem is referenced by:  dffi2  7943  inficl  7945  elfiun  7950  dffi3  7951  fibas  19928  ordtbas2  20142  fsubbas  20817
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