MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fiidomfld Structured version   Unicode version

Theorem fiidomfld 18520
Description: A finite integral domain is a field. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fidomndrng.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
fiidomfld  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( R  e. IDomn  <->  R  e. Field ) )

Proof of Theorem fiidomfld
StepHypRef Expression
1 fidomndrng.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
21fidomndrng 18519 . . 3  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( R  e. Domn  <->  R  e.  DivRing ) )
32anbi2d 708 . 2  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
( R  e.  CRing  /\  R  e. Domn )  <->  ( R  e.  CRing  /\  R  e.  DivRing ) ) )
4 isidom 18516 . 2  |-  ( R  e. IDomn 
<->  ( R  e.  CRing  /\  R  e. Domn ) )
5 isfld 17972 . . 3  |-  ( R  e. Field 
<->  ( R  e.  DivRing  /\  R  e.  CRing ) )
6 ancom 451 . . 3  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  R  e.  CRing )  <->  ( R  e.  CRing  /\  R  e.  DivRing ) )
75, 6bitri 252 . 2  |-  ( R  e. Field 
<->  ( R  e.  CRing  /\  R  e.  DivRing ) )
83, 4, 73bitr4g 291 1  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( R  e. IDomn  <->  R  e. Field ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868   ` cfv 5598   Fincfn 7574   Basecbs 15109   CRingccrg 17769   DivRingcdr 17963  Fieldcfield 17964  Domncdomn 18492  IDomncidom 18493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-tpos 6978  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-ndx 15112  df-slot 15113  df-base 15114  df-sets 15115  df-ress 15116  df-plusg 15191  df-mulr 15192  df-0g 15328  df-mgm 16476  df-sgrp 16515  df-mnd 16525  df-grp 16661  df-minusg 16662  df-sbg 16663  df-ghm 16869  df-mgp 17712  df-ur 17724  df-ring 17770  df-oppr 17839  df-dvdsr 17857  df-unit 17858  df-invr 17888  df-drng 17965  df-field 17966  df-nzr 18470  df-rlreg 18495  df-domn 18496  df-idom 18497
This theorem is referenced by:  znfld  19118
  Copyright terms: Public domain W3C validator