MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fieq0 Structured version   Unicode version

Theorem fieq0 7915
Description: If  A is not empty, the class of all the finite intersections of  A is not empty either. (Contributed by FL, 27-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
fieq0  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  =  (/)  <->  ( fi `  A )  =  (/) ) )

Proof of Theorem fieq0
StepHypRef Expression
1 fveq2 5849 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  ( fi
`  A )  =  ( fi `  (/) ) )
2 fi0 7914 . . 3  |-  ( fi
`  (/) )  =  (/)
31, 2syl6eq 2459 . 2  |-  ( A  =  (/)  ->  ( fi
`  A )  =  (/) )
4 ssfii 7913 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  A  C_  ( fi `  A
) )
5 sseq0 3771 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ( fi `  A )  /\  ( fi `  A )  =  (/) )  ->  A  =  (/) )
64, 5sylan 469 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( fi `  A )  =  (/) )  ->  A  =  (/) )
76ex 432 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
( fi `  A
)  =  (/)  ->  A  =  (/) ) )
83, 7impbid2 204 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  =  (/)  <->  ( fi `  A )  =  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1405    e. wcel 1842    C_ wss 3414   (/)c0 3738   ` cfv 5569   ficfi 7904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-om 6684  df-1o 7167  df-en 7555  df-fin 7558  df-fi 7905
This theorem is referenced by:  fsubbas  20660
  Copyright terms: Public domain W3C validator