MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fieq0 Structured version   Unicode version

Theorem fieq0 7877
Description: If  A is not empty, the class of all the finite intersections of  A is not empty either. (Contributed by FL, 27-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
fieq0  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  =  (/)  <->  ( fi `  A )  =  (/) ) )

Proof of Theorem fieq0
StepHypRef Expression
1 fveq2 5864 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  ( fi
`  A )  =  ( fi `  (/) ) )
2 fi0 7876 . . 3  |-  ( fi
`  (/) )  =  (/)
31, 2syl6eq 2524 . 2  |-  ( A  =  (/)  ->  ( fi
`  A )  =  (/) )
4 ssfii 7875 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  A  C_  ( fi `  A
) )
5 sseq0 3817 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ( fi `  A )  /\  ( fi `  A )  =  (/) )  ->  A  =  (/) )
64, 5sylan 471 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( fi `  A )  =  (/) )  ->  A  =  (/) )
76ex 434 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
( fi `  A
)  =  (/)  ->  A  =  (/) ) )
83, 7impbid2 204 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  =  (/)  <->  ( fi `  A )  =  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ` cfv 5586   ficfi 7866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-om 6679  df-1o 7127  df-en 7514  df-fin 7517  df-fi 7867
This theorem is referenced by:  fsubbas  20103
  Copyright terms: Public domain W3C validator