MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fidomtri2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fidomtri2 8446
Description: Trichotomy of dominance without AC when one set is finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fidomtri2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  Fin )  ->  ( A  ~<_  B  <->  -.  B  ~<  A ) )

Proof of Theorem fidomtri2
StepHypRef Expression
1 domnsym 7716 . 2  |-  ( A  ~<_  B  ->  -.  B  ~<  A )
2 sdomdom 7615 . . . . . . 7  |-  ( A 
~<  B  ->  A  ~<_  B )
32con3i 142 . . . . . 6  |-  ( -.  A  ~<_  B  ->  -.  A  ~<  B )
4 fidomtri 8445 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  e.  V )  ->  ( B  ~<_  A  <->  -.  A  ~<  B ) )
54ancoms 460 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  Fin )  ->  ( B  ~<_  A  <->  -.  A  ~<  B ) )
63, 5syl5ibr 229 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  Fin )  ->  ( -.  A  ~<_  B  ->  B  ~<_  A ) )
7 ensym 7636 . . . . . . . 8  |-  ( B 
~~  A  ->  A  ~~  B )
8 endom 7614 . . . . . . . 8  |-  ( A 
~~  B  ->  A  ~<_  B )
97, 8syl 17 . . . . . . 7  |-  ( B 
~~  A  ->  A  ~<_  B )
109con3i 142 . . . . . 6  |-  ( -.  A  ~<_  B  ->  -.  B  ~~  A )
1110a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  Fin )  ->  ( -.  A  ~<_  B  ->  -.  B  ~~  A ) )
126, 11jcad 542 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  Fin )  ->  ( -.  A  ~<_  B  ->  ( B  ~<_  A  /\  -.  B  ~~  A ) ) )
13 brsdom 7610 . . . 4  |-  ( B 
~<  A  <->  ( B  ~<_  A  /\  -.  B  ~~  A ) )
1412, 13syl6ibr 235 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  Fin )  ->  ( -.  A  ~<_  B  ->  B  ~<  A ) )
1514con1d 129 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  Fin )  ->  ( -.  B  ~<  A  ->  A  ~<_  B ) )
161, 15impbid2 209 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  Fin )  ->  ( A  ~<_  B  <->  -.  B  ~<  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    e. wcel 1904   class class class wbr 4395    ~~ cen 7584    ~<_ cdom 7585    ~< csdm 7586   Fincfn 7587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-om 6712  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391
This theorem is referenced by:  gchdomtri  9072  gchcda1  9099  frgpcyg  19221
  Copyright terms: Public domain W3C validator