MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fidomtri2 Structured version   Unicode version

Theorem fidomtri2 8392
Description: Trichotomy of dominance without AC when one set is finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fidomtri2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  Fin )  ->  ( A  ~<_  B  <->  -.  B  ~<  A ) )

Proof of Theorem fidomtri2
StepHypRef Expression
1 domnsym 7662 . 2  |-  ( A  ~<_  B  ->  -.  B  ~<  A )
2 sdomdom 7562 . . . . . . 7  |-  ( A 
~<  B  ->  A  ~<_  B )
32con3i 135 . . . . . 6  |-  ( -.  A  ~<_  B  ->  -.  A  ~<  B )
4 fidomtri 8391 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  e.  V )  ->  ( B  ~<_  A  <->  -.  A  ~<  B ) )
54ancoms 453 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  Fin )  ->  ( B  ~<_  A  <->  -.  A  ~<  B ) )
63, 5syl5ibr 221 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  Fin )  ->  ( -.  A  ~<_  B  ->  B  ~<_  A ) )
7 ensym 7583 . . . . . . . 8  |-  ( B 
~~  A  ->  A  ~~  B )
8 endom 7561 . . . . . . . 8  |-  ( A 
~~  B  ->  A  ~<_  B )
97, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( B 
~~  A  ->  A  ~<_  B )
109con3i 135 . . . . . 6  |-  ( -.  A  ~<_  B  ->  -.  B  ~~  A )
1110a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  Fin )  ->  ( -.  A  ~<_  B  ->  -.  B  ~~  A ) )
126, 11jcad 533 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  Fin )  ->  ( -.  A  ~<_  B  ->  ( B  ~<_  A  /\  -.  B  ~~  A ) ) )
13 brsdom 7557 . . . 4  |-  ( B 
~<  A  <->  ( B  ~<_  A  /\  -.  B  ~~  A ) )
1412, 13syl6ibr 227 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  Fin )  ->  ( -.  A  ~<_  B  ->  B  ~<  A ) )
1514con1d 124 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  Fin )  ->  ( -.  B  ~<  A  ->  A  ~<_  B ) )
161, 15impbid2 204 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  Fin )  ->  ( A  ~<_  B  <->  -.  B  ~<  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1819   class class class wbr 4456    ~~ cen 7532    ~<_ cdom 7533    ~< csdm 7534   Fincfn 7535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-om 6700  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337
This theorem is referenced by:  gchdomtri  9024  gchcda1  9051  frgpcyg  18739
  Copyright terms: Public domain W3C validator