MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fidomtri2 Structured version   Unicode version

Theorem fidomtri2 8276
Description: Trichotomy of dominance without AC when one set is finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fidomtri2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  Fin )  ->  ( A  ~<_  B  <->  -.  B  ~<  A ) )

Proof of Theorem fidomtri2
StepHypRef Expression
1 domnsym 7548 . 2  |-  ( A  ~<_  B  ->  -.  B  ~<  A )
2 sdomdom 7448 . . . . . . 7  |-  ( A 
~<  B  ->  A  ~<_  B )
32con3i 135 . . . . . 6  |-  ( -.  A  ~<_  B  ->  -.  A  ~<  B )
4 fidomtri 8275 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  e.  V )  ->  ( B  ~<_  A  <->  -.  A  ~<  B ) )
54ancoms 453 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  Fin )  ->  ( B  ~<_  A  <->  -.  A  ~<  B ) )
63, 5syl5ibr 221 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  Fin )  ->  ( -.  A  ~<_  B  ->  B  ~<_  A ) )
7 ensym 7469 . . . . . . . 8  |-  ( B 
~~  A  ->  A  ~~  B )
8 endom 7447 . . . . . . . 8  |-  ( A 
~~  B  ->  A  ~<_  B )
97, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( B 
~~  A  ->  A  ~<_  B )
109con3i 135 . . . . . 6  |-  ( -.  A  ~<_  B  ->  -.  B  ~~  A )
1110a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  Fin )  ->  ( -.  A  ~<_  B  ->  -.  B  ~~  A ) )
126, 11jcad 533 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  Fin )  ->  ( -.  A  ~<_  B  ->  ( B  ~<_  A  /\  -.  B  ~~  A ) ) )
13 brsdom 7443 . . . 4  |-  ( B 
~<  A  <->  ( B  ~<_  A  /\  -.  B  ~~  A ) )
1412, 13syl6ibr 227 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  Fin )  ->  ( -.  A  ~<_  B  ->  B  ~<  A ) )
1514con1d 124 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  Fin )  ->  ( -.  B  ~<  A  ->  A  ~<_  B ) )
161, 15impbid2 204 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  Fin )  ->  ( A  ~<_  B  <->  -.  B  ~<  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1758   class class class wbr 4401    ~~ cen 7418    ~<_ cdom 7419    ~< csdm 7420   Fincfn 7421
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-om 6588  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-card 8221
This theorem is referenced by:  gchdomtri  8908  gchcda1  8935  frgpcyg  18132
  Copyright terms: Public domain W3C validator