MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fidomndrng Structured version   Unicode version

Theorem fidomndrng 18151
Description: A finite domain is a division ring. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fidomndrng.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
fidomndrng  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( R  e. Domn  <->  R  e.  DivRing ) )

Proof of Theorem fidomndrng
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domnring 18140 . . . . 5  |-  ( R  e. Domn  ->  R  e.  Ring )
21adantl 464 . . . 4  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  R  e. Domn )  ->  R  e.  Ring )
3 domnnzr 18139 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e. Domn  ->  R  e. NzRing )
43adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  R  e. Domn )  ->  R  e. NzRing )
5 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
6 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
75, 6nzrnz 18103 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e. NzRing  ->  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )
84, 7syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  R  e. Domn )  ->  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )
98neneqd 2656 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  R  e. Domn )  ->  -.  ( 1r `  R
)  =  ( 0g
`  R ) )
10 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  (Unit `  R )  =  (Unit `  R )
1110, 6, 50unit 17524 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( 0g `  R )  e.  (Unit `  R
)  <->  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R ) ) )
122, 11syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  R  e. Domn )  ->  ( ( 0g `  R
)  e.  (Unit `  R )  <->  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R ) ) )
139, 12mtbird 299 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  R  e. Domn )  ->  -.  ( 0g `  R
)  e.  (Unit `  R ) )
14 disjsn 4076 . . . . . . 7  |-  ( ( (Unit `  R )  i^i  { ( 0g `  R ) } )  =  (/)  <->  -.  ( 0g `  R )  e.  (Unit `  R ) )
1513, 14sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  R  e. Domn )  ->  ( (Unit `  R )  i^i  { ( 0g `  R ) } )  =  (/) )
16 fidomndrng.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  R
)
1716, 10unitss 17504 . . . . . . 7  |-  (Unit `  R )  C_  B
18 reldisj 3858 . . . . . . 7  |-  ( (Unit `  R )  C_  B  ->  ( ( (Unit `  R )  i^i  {
( 0g `  R
) } )  =  (/) 
<->  (Unit `  R )  C_  ( B  \  {
( 0g `  R
) } ) ) )
1917, 18ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( (Unit `  R )  i^i  { ( 0g `  R ) } )  =  (/)  <->  (Unit `  R )  C_  ( B  \  {
( 0g `  R
) } ) )
2015, 19sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  R  e. Domn )  ->  (Unit `  R )  C_  ( B  \  { ( 0g
`  R ) } ) )
21 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( ||r `  R
)  =  ( ||r `  R
)
22 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
23 simplr 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  R  e. Domn )  /\  x  e.  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  R  e. Domn )
24 simpll 751 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  R  e. Domn )  /\  x  e.  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  B  e.  Fin )
25 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  R  e. Domn )  /\  x  e.  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  x  e.  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) )
26 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  |->  ( y ( .r `  R
) x ) )  =  ( y  e.  B  |->  ( y ( .r `  R ) x ) )
2716, 6, 5, 21, 22, 23, 24, 25, 26fidomndrnglem 18150 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  R  e. Domn )  /\  x  e.  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  x ( ||r `  R ) ( 1r
`  R ) )
28 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  (oppr `  R
)  =  (oppr `  R
)
2928, 16opprbas 17473 . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  (oppr `  R
) )
3028, 6oppr0 17477 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  (oppr `  R
) )
3128, 5oppr1 17478 . . . . . . . . 9  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  (oppr `  R
) )
32 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( ||r `  (oppr `  R
) )  =  (
||r `  (oppr
`  R ) )
33 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  (oppr
`  R ) )  =  ( .r `  (oppr `  R ) )
3428opprdomn 18145 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e. Domn  ->  (oppr
`  R )  e. Domn
)
3523, 34syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  R  e. Domn )  /\  x  e.  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  (oppr
`  R )  e. Domn
)
36 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  |->  ( y ( .r `  (oppr `  R
) ) x ) )  =  ( y  e.  B  |->  ( y ( .r `  (oppr `  R
) ) x ) )
3729, 30, 31, 32, 33, 35, 24, 25, 36fidomndrnglem 18150 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  R  e. Domn )  /\  x  e.  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  x ( ||r `  (oppr
`  R ) ) ( 1r `  R
) )
3810, 5, 21, 28, 32isunit 17501 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  (Unit `  R
)  <->  ( x (
||r `  R ) ( 1r
`  R )  /\  x ( ||r `
 (oppr
`  R ) ) ( 1r `  R
) ) )
3927, 37, 38sylanbrc 662 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  R  e. Domn )  /\  x  e.  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  x  e.  (Unit `  R ) )
4039ex 432 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  R  e. Domn )  ->  ( x  e.  ( B 
\  { ( 0g
`  R ) } )  ->  x  e.  (Unit `  R ) ) )
4140ssrdv 3495 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  R  e. Domn )  ->  ( B  \  { ( 0g `  R ) } )  C_  (Unit `  R ) )
4220, 41eqssd 3506 . . . 4  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  R  e. Domn )  ->  (Unit `  R )  =  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) )
4316, 10, 6isdrng 17595 . . . 4  |-  ( R  e.  DivRing 
<->  ( R  e.  Ring  /\  (Unit `  R )  =  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )
442, 42, 43sylanbrc 662 . . 3  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  R  e. Domn )  ->  R  e.  DivRing )
4544ex 432 . 2  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( R  e. Domn  ->  R  e.  DivRing ) )
46 drngdomn 18147 . 2  |-  ( R  e.  DivRing  ->  R  e. Domn )
4745, 46impbid1 203 1  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( R  e. Domn  <->  R  e.  DivRing ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649    \ cdif 3458    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3783   {csn 4016   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Fincfn 7509   Basecbs 14716   .rcmulr 14785   0gc0g 14929   1rcur 17348   Ringcrg 17393  opprcoppr 17466   ||rcdsr 17482  Unitcui 17483   DivRingcdr 17591  NzRingcnzr 18100  Domncdomn 18123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-0g 14931  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-sbg 16258  df-ghm 16464  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-oppr 17467  df-dvdsr 17485  df-unit 17486  df-invr 17516  df-drng 17593  df-nzr 18101  df-rlreg 18126  df-domn 18127
This theorem is referenced by:  fiidomfld  18152
  Copyright terms: Public domain W3C validator