Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fidomndrng Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fidomndrng 18543
 Description: A finite domain is a division ring. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fidomndrng.b
Assertion
Ref Expression
fidomndrng Domn

Proof of Theorem fidomndrng
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domnring 18532 . . . . 5 Domn
21adantl 468 . . . 4 Domn
3 domnnzr 18531 . . . . . . . . . . 11 Domn NzRing
43adantl 468 . . . . . . . . . 10 Domn NzRing
5 eqid 2453 . . . . . . . . . . 11
6 eqid 2453 . . . . . . . . . . 11
75, 6nzrnz 18496 . . . . . . . . . 10 NzRing
84, 7syl 17 . . . . . . . . 9 Domn
98neneqd 2631 . . . . . . . 8 Domn
10 eqid 2453 . . . . . . . . . 10 Unit Unit
1110, 6, 50unit 17920 . . . . . . . . 9 Unit
122, 11syl 17 . . . . . . . 8 Domn Unit
139, 12mtbird 303 . . . . . . 7 Domn Unit
14 disjsn 4034 . . . . . . 7 Unit Unit
1513, 14sylibr 216 . . . . . 6 Domn Unit
16 fidomndrng.b . . . . . . . 8
1716, 10unitss 17900 . . . . . . 7 Unit
18 reldisj 3810 . . . . . . 7 Unit Unit Unit
1917, 18ax-mp 5 . . . . . 6 Unit Unit
2015, 19sylib 200 . . . . 5 Domn Unit
21 eqid 2453 . . . . . . . . 9 r r
22 eqid 2453 . . . . . . . . 9
23 simplr 763 . . . . . . . . 9 Domn Domn
24 simpll 761 . . . . . . . . 9 Domn
25 simpr 463 . . . . . . . . 9 Domn
26 eqid 2453 . . . . . . . . 9
2716, 6, 5, 21, 22, 23, 24, 25, 26fidomndrnglem 18542 . . . . . . . 8 Domn r
28 eqid 2453 . . . . . . . . . 10 oppr oppr
2928, 16opprbas 17869 . . . . . . . . 9 oppr
3028, 6oppr0 17873 . . . . . . . . 9 oppr
3128, 5oppr1 17874 . . . . . . . . 9 oppr
32 eqid 2453 . . . . . . . . 9 roppr roppr
33 eqid 2453 . . . . . . . . 9 oppr oppr
3428opprdomn 18537 . . . . . . . . . 10 Domn oppr Domn
3523, 34syl 17 . . . . . . . . 9 Domn oppr Domn
36 eqid 2453 . . . . . . . . 9 oppr oppr
3729, 30, 31, 32, 33, 35, 24, 25, 36fidomndrnglem 18542 . . . . . . . 8 Domn roppr
3810, 5, 21, 28, 32isunit 17897 . . . . . . . 8 Unit r roppr
3927, 37, 38sylanbrc 671 . . . . . . 7 Domn Unit
4039ex 436 . . . . . 6 Domn Unit
4140ssrdv 3440 . . . . 5 Domn Unit
4220, 41eqssd 3451 . . . 4 Domn Unit
4316, 10, 6isdrng 17991 . . . 4 Unit
442, 42, 43sylanbrc 671 . . 3 Domn
4544ex 436 . 2 Domn
46 drngdomn 18539 . 2 Domn
4745, 46impbid1 207 1 Domn
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1446   wcel 1889   wne 2624   cdif 3403   cin 3405   wss 3406  c0 3733  csn 3970   class class class wbr 4405   cmpt 4464  cfv 5585  (class class class)co 6295  cfn 7574  cbs 15133  cmulr 15203  c0g 15350  cur 17747  crg 17792  opprcoppr 17862  rcdsr 17878  Unitcui 17879  cdr 17987  NzRingcnzr 18493  Domncdomn 18516 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-tpos 6978  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-0g 15352  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-grp 16685  df-minusg 16686  df-sbg 16687  df-ghm 16893  df-mgp 17736  df-ur 17748  df-ring 17794  df-oppr 17863  df-dvdsr 17881  df-unit 17882  df-invr 17912  df-drng 17989  df-nzr 18494  df-rlreg 18519  df-domn 18520 This theorem is referenced by:  fiidomfld  18544
 Copyright terms: Public domain W3C validator