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Theorem fictb 8081
Description: A set is countable iff its collection of finite intersections is countable. (Contributed by Jeff Hankins, 24-Aug-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fictb  |-  ( A  e.  B  ->  ( A  ~<_  om  <->  ( fi `  A )  ~<_  om )
)

Proof of Theorem fictb
Dummy variables  x  f  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 7078 . . . . 5  |-  ( A  ~<_  om  ->  E. f 
f : A -1-1-> om )
21adantl 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  B  /\  A  ~<_  om )  ->  E. f 
f : A -1-1-> om )
3 reldom 7074 . . . . . 6  |-  Rel  ~<_
43brrelex2i 4878 . . . . 5  |-  ( A  ~<_  om  ->  om  e.  _V )
5 omelon2 4816 . . . . . . . . . . 11  |-  ( om  e.  _V  ->  om  e.  On )
65ad2antlr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  om  e.  _V )  /\  f : A -1-1-> om )  ->  om  e.  On )
7 pwexg 4343 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  B  ->  ~P A  e.  _V )
87ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  om  e.  _V )  /\  f : A -1-1-> om )  ->  ~P A  e. 
_V )
9 inex1g 4306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ~P A  e.  _V  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  e.  _V )
108, 9syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  om  e.  _V )  /\  f : A -1-1-> om )  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  e.  _V )
11 difss 3434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } ) 
C_  ( ~P A  i^i  Fin )
12 ssdomg 7112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ~P A  i^i  Fin )  e.  _V  ->  ( ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/)
} )  C_  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/)
} )  ~<_  ( ~P A  i^i  Fin )
) )
1310, 11, 12ee10 1382 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  om  e.  _V )  /\  f : A -1-1-> om )  ->  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } )  ~<_  ( ~P A  i^i  Fin ) )
14 f1f1orn 5644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : A -1-1-> om  ->  f : A -1-1-onto-> ran  f )
1514adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  om  e.  _V )  /\  f : A -1-1-> om )  ->  f : A -1-1-onto-> ran  f )
16 f1opwfi 7368 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : A -1-1-onto-> ran  f  ->  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( f " x
) ) : ( ~P A  i^i  Fin )
-1-1-onto-> ( ~P ran  f  i^i 
Fin ) )
1715, 16syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  om  e.  _V )  /\  f : A -1-1-> om )  ->  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( f "
x ) ) : ( ~P A  i^i  Fin ) -1-1-onto-> ( ~P ran  f  i^i  Fin ) )
18 f1oeng 7085 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ~P A  i^i  Fin )  e.  _V  /\  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( f " x
) ) : ( ~P A  i^i  Fin )
-1-1-onto-> ( ~P ran  f  i^i 
Fin ) )  -> 
( ~P A  i^i  Fin )  ~~  ( ~P
ran  f  i^i  Fin ) )
1910, 17, 18syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  om  e.  _V )  /\  f : A -1-1-> om )  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  ~~  ( ~P ran  f  i^i  Fin ) )
20 pwexg 4343 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( om  e.  _V  ->  ~P om  e.  _V )
2120ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  om  e.  _V )  /\  f : A -1-1-> om )  ->  ~P om  e.  _V )
22 inex1g 4306 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ~P
om  e.  _V  ->  ( ~P om  i^i  Fin )  e.  _V )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  om  e.  _V )  /\  f : A -1-1-> om )  ->  ( ~P om  i^i  Fin )  e.  _V )
24 f1f 5598 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : A -1-1-> om  ->  f : A --> om )
2524adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  om  e.  _V )  /\  f : A -1-1-> om )  ->  f : A --> om )
26 frn 5556 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : A --> om  ->  ran  f  C_  om )
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  om  e.  _V )  /\  f : A -1-1-> om )  ->  ran  f  C_  om )
28 sspwb 4373 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ran  f  C_  om  <->  ~P ran  f  C_  ~P om )
2927, 28sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  om  e.  _V )  /\  f : A -1-1-> om )  ->  ~P ran  f  C_ 
~P om )
30 ssrin 3526 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ~P
ran  f  C_  ~P om  ->  ( ~P ran  f  i^i  Fin )  C_  ( ~P om  i^i  Fin ) )
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  om  e.  _V )  /\  f : A -1-1-> om )  ->  ( ~P ran  f  i^i  Fin )  C_  ( ~P om  i^i  Fin ) )
32 ssdomg 7112 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ~P om  i^i  Fin )  e.  _V  ->  ( ( ~P ran  f  i^i  Fin )  C_  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( ~P ran  f  i^i  Fin )  ~<_  ( ~P
om  i^i  Fin )
) )
3323, 31, 32sylc 58 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  om  e.  _V )  /\  f : A -1-1-> om )  ->  ( ~P ran  f  i^i  Fin )  ~<_  ( ~P om  i^i  Fin ) )
34 sneq 3785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  =  z  ->  { f }  =  { z } )
35 pweq 3762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  =  z  ->  ~P f  =  ~P z
)
3634, 35xpeq12d 4862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  =  z  ->  ( { f }  X.  ~P f )  =  ( { z }  X.  ~P z ) )
3736cbviunv 4090 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U_ f  e.  x  ( {
f }  X.  ~P f )  =  U_ z  e.  x  ( { z }  X.  ~P z )
38 iuneq1 4066 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  U_ z  e.  x  ( {
z }  X.  ~P z )  =  U_ z  e.  y  ( { z }  X.  ~P z ) )
3937, 38syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  U_ f  e.  x  ( {
f }  X.  ~P f )  =  U_ z  e.  y  ( { z }  X.  ~P z ) )
4039fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  ( card `  U_ f  e.  x  ( { f }  X.  ~P f
) )  =  (
card `  U_ z  e.  y  ( { z }  X.  ~P z
) ) )
4140cbvmptv 4260 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ f  e.  x  ( { f }  X.  ~P f ) ) )  =  ( y  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ z  e.  y  ( {
z }  X.  ~P z ) ) )
4241ackbij1 8074 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ f  e.  x  ( { f }  X.  ~P f ) ) ) : ( ~P om  i^i  Fin ) -1-1-onto-> om
43 f1oeng 7085 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ~P om  i^i  Fin )  e.  _V  /\  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ f  e.  x  ( {
f }  X.  ~P f ) ) ) : ( ~P om  i^i  Fin ) -1-1-onto-> om )  ->  ( ~P om  i^i  Fin )  ~~  om )
4423, 42, 43sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  om  e.  _V )  /\  f : A -1-1-> om )  ->  ( ~P om  i^i  Fin )  ~~  om )
45 domentr 7125 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ~P ran  f  i^i  Fin )  ~<_  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  ( ~P om  i^i  Fin )  ~~  om )  ->  ( ~P ran  f  i^i  Fin )  ~<_  om )
4633, 44, 45syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  om  e.  _V )  /\  f : A -1-1-> om )  ->  ( ~P ran  f  i^i  Fin )  ~<_  om )
47 endomtr 7124 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ~P A  i^i  Fin )  ~~  ( ~P
ran  f  i^i  Fin )  /\  ( ~P ran  f  i^i  Fin )  ~<_  om )  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  ~<_  om )
4819, 46, 47syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  om  e.  _V )  /\  f : A -1-1-> om )  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  ~<_  om )
49 domtr 7119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/)
} )  ~<_  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( ~P A  i^i  Fin )  ~<_  om )  ->  (
( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } )  ~<_  om )
5013, 48, 49syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  om  e.  _V )  /\  f : A -1-1-> om )  ->  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } )  ~<_  om )
51 ondomen 7874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( om  e.  On  /\  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/)
} )  ~<_  om )  ->  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/)
} )  e.  dom  card )
526, 50, 51syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  om  e.  _V )  /\  f : A -1-1-> om )  ->  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } )  e. 
dom  card )
53 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } )  |->  |^| y )  =  ( y  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } ) 
|->  |^| y )
5453fifo 7395 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  B  ->  (
y  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } ) 
|->  |^| y ) : ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) -onto-> ( fi
`  A ) )
5554ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  om  e.  _V )  /\  f : A -1-1-> om )  ->  ( y  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/)
} )  |->  |^| y
) : ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } )
-onto-> ( fi `  A
) )
56 fodomnum 7894 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } )  e.  dom  card  -> 
( ( y  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/)
} )  |->  |^| y
) : ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } )
-onto-> ( fi `  A
)  ->  ( fi `  A )  ~<_  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } ) ) )
5752, 55, 56sylc 58 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  om  e.  _V )  /\  f : A -1-1-> om )  ->  ( fi `  A )  ~<_  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )
58 domtr 7119 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( fi `  A
)  ~<_  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/)
} )  ~<_  om )  ->  ( fi `  A
)  ~<_  om )
5957, 50, 58syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  om  e.  _V )  /\  f : A -1-1-> om )  ->  ( fi `  A )  ~<_  om )
6059ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  B  /\  om  e.  _V )  -> 
( f : A -1-1-> om 
->  ( fi `  A
)  ~<_  om ) )
6160exlimdv 1643 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  B  /\  om  e.  _V )  -> 
( E. f  f : A -1-1-> om  ->  ( fi `  A )  ~<_  om ) )
624, 61sylan2 461 . . . 4  |-  ( ( A  e.  B  /\  A  ~<_  om )  ->  ( E. f  f : A -1-1-> om  ->  ( fi
`  A )  ~<_  om ) )
632, 62mpd 15 . . 3  |-  ( ( A  e.  B  /\  A  ~<_  om )  ->  ( fi `  A )  ~<_  om )
6463ex 424 . 2  |-  ( A  e.  B  ->  ( A  ~<_  om  ->  ( fi
`  A )  ~<_  om ) )
65 fvex 5701 . . . 4  |-  ( fi
`  A )  e. 
_V
66 ssfii 7382 . . . 4  |-  ( A  e.  B  ->  A  C_  ( fi `  A
) )
67 ssdomg 7112 . . . 4  |-  ( ( fi `  A )  e.  _V  ->  ( A  C_  ( fi `  A )  ->  A  ~<_  ( fi `  A ) ) )
6865, 66, 67mpsyl 61 . . 3  |-  ( A  e.  B  ->  A  ~<_  ( fi `  A ) )
69 domtr 7119 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  ( fi `  A )  /\  ( fi `  A )  ~<_  om )  ->  A  ~<_  om )
7069ex 424 . . 3  |-  ( A  ~<_  ( fi `  A
)  ->  ( ( fi `  A )  ~<_  om 
->  A  ~<_  om )
)
7168, 70syl 16 . 2  |-  ( A  e.  B  ->  (
( fi `  A
)  ~<_  om  ->  A  ~<_  om ) )
7264, 71impbid 184 1  |-  ( A  e.  B  ->  ( A  ~<_  om  <->  ( fi `  A )  ~<_  om )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547    e. wcel 1721   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   {csn 3774   |^|cint 4010   U_ciun 4053   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   Oncon0 4541   omcom 4804    X. cxp 4835   dom cdm 4837   ran crn 4838   "cima 4840   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   -onto->wfo 5411   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413    ~~ cen 7065    ~<_ cdom 7066   Fincfn 7068   ficfi 7373   cardccrd 7778
This theorem is referenced by:  2ndcsb  17465
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-card 7782  df-acn 7785  df-cda 8004
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