MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fibas Structured version   Unicode version

Theorem fibas 19564
Description: A collection of finite intersections is a basis. The initial set is a subbasis for the topology. (Contributed by Jeff Hankins, 25-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
fibas  |-  ( fi
`  A )  e.  TopBases

Proof of Theorem fibas
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5784 . 2  |-  ( fi
`  A )  e. 
_V
2 fiin 7797 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( fi
`  A )  /\  y  e.  ( fi `  A ) )  -> 
( x  i^i  y
)  e.  ( fi
`  A ) )
32rgen2a 2809 . 2  |-  A. x  e.  ( fi `  A
) A. y  e.  ( fi `  A
) ( x  i^i  y )  e.  ( fi `  A )
4 fiinbas 19538 . 2  |-  ( ( ( fi `  A
)  e.  _V  /\  A. x  e.  ( fi
`  A ) A. y  e.  ( fi `  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( fi `  A
) )  ->  ( fi `  A )  e.  TopBases )
51, 3, 4mp2an 670 1  |-  ( fi
`  A )  e.  TopBases
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1826   A.wral 2732   _Vcvv 3034    i^i cin 3388   ` cfv 5496   ficfi 7785   TopBasesctb 19483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-oadd 7052  df-er 7229  df-en 7436  df-fin 7439  df-fi 7786  df-bases 19486
This theorem is referenced by:  restbas  19745  ordttopon  19780  ordtopn1  19781  ordtopn2  19782  ordtrest2  19791  leordtval2  19799  2ndcsb  20035  ptbas  20165  xkotop  20174  alexsublem  20629  alexsub  20630  alexsubb  20631  alexsubALTlem3  20634  alexsubALTlem4  20635  alexsubALT  20636  ptcmplem1  20637  ordtrest2NEW  28059  topjoin  30349
  Copyright terms: Public domain W3C validator