MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fibas Structured version   Unicode version

Theorem fibas 19240
Description: A collection of finite intersections is a basis. The initial set is a subbasis for the topology. (Contributed by Jeff Hankins, 25-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
fibas  |-  ( fi
`  A )  e.  TopBases

Proof of Theorem fibas
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5869 . 2  |-  ( fi
`  A )  e. 
_V
2 fiin 7873 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( fi
`  A )  /\  y  e.  ( fi `  A ) )  -> 
( x  i^i  y
)  e.  ( fi
`  A ) )
32rgen2a 2886 . 2  |-  A. x  e.  ( fi `  A
) A. y  e.  ( fi `  A
) ( x  i^i  y )  e.  ( fi `  A )
4 fiinbas 19215 . 2  |-  ( ( ( fi `  A
)  e.  _V  /\  A. x  e.  ( fi
`  A ) A. y  e.  ( fi `  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( fi `  A
) )  ->  ( fi `  A )  e.  TopBases )
51, 3, 4mp2an 672 1  |-  ( fi
`  A )  e.  TopBases
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1762   A.wral 2809   _Vcvv 3108    i^i cin 3470   ` cfv 5581   ficfi 7861   TopBasesctb 19160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7509  df-fin 7512  df-fi 7862  df-bases 19163
This theorem is referenced by:  restbas  19420  ordttopon  19455  ordtopn1  19456  ordtopn2  19457  ordtrest2  19466  leordtval2  19474  2ndcsb  19711  ptbas  19810  xkotop  19819  alexsublem  20274  alexsub  20275  alexsubb  20276  alexsubALTlem3  20279  alexsubALTlem4  20280  alexsubALT  20281  ptcmplem1  20282  ordtrest2NEW  27529  topjoin  29775
  Copyright terms: Public domain W3C validator