Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fib3 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fib3 29284
Description: Value of the Fibonacci sequence at index 3. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
fib3  |-  (Fibci ` 
3 )  =  2

Proof of Theorem fib3
StepHypRef Expression
1 2p1e3 10761 . . 3  |-  ( 2  +  1 )  =  3
21fveq2i 5890 . 2  |-  (Fibci `  ( 2  +  1 ) )  =  (Fibci `  3 )
3 2nn 10795 . . . 4  |-  2  e.  NN
4 fibp1 29282 . . . 4  |-  ( 2  e.  NN  ->  (Fibci `  ( 2  +  1 ) )  =  ( (Fibci `  ( 2  -  1 ) )  +  (Fibci `  2
) ) )
53, 4ax-mp 5 . . 3  |-  (Fibci `  ( 2  +  1 ) )  =  ( (Fibci `  ( 2  -  1 ) )  +  (Fibci `  2
) )
6 2m1e1 10751 . . . . . 6  |-  ( 2  -  1 )  =  1
76fveq2i 5890 . . . . 5  |-  (Fibci `  ( 2  -  1 ) )  =  (Fibci `  1 )
8 fib1 29281 . . . . 5  |-  (Fibci ` 
1 )  =  1
97, 8eqtri 2483 . . . 4  |-  (Fibci `  ( 2  -  1 ) )  =  1
10 fib2 29283 . . . 4  |-  (Fibci ` 
2 )  =  1
119, 10oveq12i 6326 . . 3  |-  ( (Fibci `  ( 2  -  1 ) )  +  (Fibci `  2 ) )  =  ( 1  +  1 )
12 1p1e2 10750 . . 3  |-  ( 1  +  1 )  =  2
135, 11, 123eqtri 2487 . 2  |-  (Fibci `  ( 2  +  1 ) )  =  2
142, 13eqtr3i 2485 1  |-  (Fibci ` 
3 )  =  2
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1454    e. wcel 1897   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   1c1 9565    + caddc 9567    - cmin 9885   NNcn 10636   2c2 10686   3c3 10687  Fibcicfib 29277
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-inf2 8171  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-oadd 7211  df-er 7388  df-map 7499  df-pm 7500  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-card 8398  df-cda 8623  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-rp 11331  df-fz 11813  df-fzo 11946  df-seq 12245  df-hash 12547  df-word 12696  df-lsw 12697  df-concat 12698  df-s1 12699  df-substr 12700  df-s2 12980  df-sseq 29265  df-fib 29278
This theorem is referenced by:  fib4  29285  fib5  29286
  Copyright terms: Public domain W3C validator