Theorem fib3 26922

Description: Value of the Fibonacci sequence at index 3. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fib3	|- (Fibci ` 3 ) = 2

Proof of Theorem fib3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2p1e3 10548	. . 3 |- ( 2 + 1 ) = 3
2	1	fveq2i 5794	. 2 |- (Fibci ` ( 2 + 1 ) ) = (Fibci ` 3 )
3		2nn 10582	. . . 4 |- 2 e. NN
4		fibp1 26920	. . . 4 |- ( 2 e. NN -> (Fibci ` ( 2 + 1 ) ) = ( (Fibci ` ( 2 - 1 ) ) + (Fibci ` 2 ) ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 |- (Fibci ` ( 2 + 1 ) ) = ( (Fibci ` ( 2 - 1 ) ) + (Fibci ` 2 ) )
6		2m1e1 10539	. . . . . 6 |- ( 2 - 1 ) = 1
7	6	fveq2i 5794	. . . . 5 |- (Fibci ` ( 2 - 1 ) ) = (Fibci ` 1 )
8		fib1 26919	. . . . 5 |- (Fibci ` 1 ) = 1
9	7, 8	eqtri 2480	. . . 4 |- (Fibci ` ( 2 - 1 ) ) = 1
10		fib2 26921	. . . 4 |- (Fibci ` 2 ) = 1
11	9, 10	oveq12i 6204	. . 3 |- ( (Fibci ` ( 2 - 1 ) ) + (Fibci ` 2 ) ) = ( 1 + 1 )
12		1p1e2 10538	. . 3 |- ( 1 + 1 ) = 2
13	5, 11, 12	3eqtri 2484	. 2 |- (Fibci ` ( 2 + 1 ) ) = 2
14	2, 13	eqtr3i 2482	1 |- (Fibci ` 3 ) = 2

Syntax hints:   = wceq 1370   e. wcel 1758   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   1c1 9386   + caddc 9388   - cmin 9698   NNcn 10425   2c2 10474   3c3 10475  Fibcicfib 26915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-inf2 7950  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-pm 7319  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-card 8212  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-rp 11095  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-seq 11910  df-hash 12207  df-word 12333  df-lsw 12334  df-concat 12335  df-s1 12336  df-substr 12337  df-s2 12579  df-sseq 26903  df-fib 26916

This theorem is referenced by:  fib4  26923  fib5  26924