Theorem fib3 28167

Description: Value of the Fibonacci sequence at index 3. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fib3	|- (Fibci ` 3 ) = 2

Proof of Theorem fib3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2p1e3 10671	. . 3 |- ( 2 + 1 ) = 3
2	1	fveq2i 5875	. 2 |- (Fibci ` ( 2 + 1 ) ) = (Fibci ` 3 )
3		2nn 10705	. . . 4 |- 2 e. NN
4		fibp1 28165	. . . 4 |- ( 2 e. NN -> (Fibci ` ( 2 + 1 ) ) = ( (Fibci ` ( 2 - 1 ) ) + (Fibci ` 2 ) ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 |- (Fibci ` ( 2 + 1 ) ) = ( (Fibci ` ( 2 - 1 ) ) + (Fibci ` 2 ) )
6		2m1e1 10662	. . . . . 6 |- ( 2 - 1 ) = 1
7	6	fveq2i 5875	. . . . 5 |- (Fibci ` ( 2 - 1 ) ) = (Fibci ` 1 )
8		fib1 28164	. . . . 5 |- (Fibci ` 1 ) = 1
9	7, 8	eqtri 2496	. . . 4 |- (Fibci ` ( 2 - 1 ) ) = 1
10		fib2 28166	. . . 4 |- (Fibci ` 2 ) = 1
11	9, 10	oveq12i 6307	. . 3 |- ( (Fibci ` ( 2 - 1 ) ) + (Fibci ` 2 ) ) = ( 1 + 1 )
12		1p1e2 10661	. . 3 |- ( 1 + 1 ) = 2
13	5, 11, 12	3eqtri 2500	. 2 |- (Fibci ` ( 2 + 1 ) ) = 2
14	2, 13	eqtr3i 2498	1 |- (Fibci ` 3 ) = 2

Syntax hints:   = wceq 1379   e. wcel 1767   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   1c1 9505   + caddc 9507   - cmin 9817   NNcn 10548   2c2 10597   3c3 10598  Fibcicfib 28160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-hash 12386  df-word 12523  df-lsw 12524  df-concat 12525  df-s1 12526  df-substr 12527  df-s2 12793  df-sseq 28148  df-fib 28161

This theorem is referenced by:  fib4  28168  fib5  28169