Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fib0 Structured version   Unicode version

Theorem fib0 27994
Description: Value of the Fibonacci sequence at index 0. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
fib0  |-  (Fibci ` 
0 )  =  0

Proof of Theorem fib0
StepHypRef Expression
1 df-fib 27992 . . 3  |- Fibci  =  (
<" 0 1 ">seqstr ( w  e.  (Word 
NN0  i^i  ( `' #
" ( ZZ>= `  2
) ) )  |->  ( ( w `  (
( # `  w )  -  2 ) )  +  ( w `  ( ( # `  w
)  -  1 ) ) ) ) )
21fveq1i 5866 . 2  |-  (Fibci ` 
0 )  =  ( ( <" 0
1 ">seqstr ( w  e.  (Word 
NN0  i^i  ( `' #
" ( ZZ>= `  2
) ) )  |->  ( ( w `  (
( # `  w )  -  2 ) )  +  ( w `  ( ( # `  w
)  -  1 ) ) ) ) ) `
 0 )
3 nn0ex 10800 . . . . 5  |-  NN0  e.  _V
43a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  NN0  e.  _V )
5 0nn0 10809 . . . . . 6  |-  0  e.  NN0
65a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  0  e.  NN0 )
7 1nn0 10810 . . . . . 6  |-  1  e.  NN0
87a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  1  e.  NN0 )
96, 8s2cld 12796 . . . 4  |-  ( T. 
->  <" 0 1 ">  e. Word  NN0 )
10 eqid 2467 . . . 4  |-  (Word  NN0  i^i  ( `' # " ( ZZ>=
`  ( # `  <" 0 1 "> ) ) ) )  =  (Word  NN0  i^i  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `  <" 0
1 "> )
) ) )
11 fiblem 27993 . . . . 5  |-  ( w  e.  (Word  NN0  i^i  ( `' # " ( ZZ>= ` 
2 ) ) ) 
|->  ( ( w `  ( ( # `  w
)  -  2 ) )  +  ( w `
 ( ( # `  w )  -  1 ) ) ) ) : (Word  NN0  i^i  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `  <" 0
1 "> )
) ) ) --> NN0
1211a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( w  e.  (Word 
NN0  i^i  ( `' #
" ( ZZ>= `  2
) ) )  |->  ( ( w `  (
( # `  w )  -  2 ) )  +  ( w `  ( ( # `  w
)  -  1 ) ) ) ) : (Word  NN0  i^i  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `  <" 0
1 "> )
) ) ) --> NN0 )
13 2nn 10692 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN
14 lbfzo0 11829 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  ( 0..^ 2 )  <->  2  e.  NN )
1513, 14mpbir 209 . . . . . 6  |-  0  e.  ( 0..^ 2 )
16 s2len 12814 . . . . . . 7  |-  ( # `  <" 0 1 "> )  =  2
1716oveq2i 6294 . . . . . 6  |-  ( 0..^ ( # `  <" 0 1 "> ) )  =  ( 0..^ 2 )
1815, 17eleqtrri 2554 . . . . 5  |-  0  e.  ( 0..^ ( # `  <" 0 1 "> ) )
1918a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  0  e.  (
0..^ ( # `  <" 0 1 "> ) ) )
204, 9, 10, 12, 19sseqfv1 27984 . . 3  |-  ( T. 
->  ( ( <" 0
1 ">seqstr ( w  e.  (Word 
NN0  i^i  ( `' #
" ( ZZ>= `  2
) ) )  |->  ( ( w `  (
( # `  w )  -  2 ) )  +  ( w `  ( ( # `  w
)  -  1 ) ) ) ) ) `
 0 )  =  ( <" 0
1 "> `  0
) )
2120trud 1388 . 2  |-  ( (
<" 0 1 ">seqstr ( w  e.  (Word 
NN0  i^i  ( `' #
" ( ZZ>= `  2
) ) )  |->  ( ( w `  (
( # `  w )  -  2 ) )  +  ( w `  ( ( # `  w
)  -  1 ) ) ) ) ) `
 0 )  =  ( <" 0
1 "> `  0
)
22 s2fv0 12812 . . 3  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( <" 0 1 "> `  0 )  =  0 )
235, 22ax-mp 5 . 2  |-  ( <" 0 1 "> `  0 )  =  0
242, 21, 233eqtri 2500 1  |-  (Fibci ` 
0 )  =  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379   T. wtru 1380    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    i^i cin 3475    |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   "cima 5002   -->wf 5583   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   0cc0 9491   1c1 9492    + caddc 9494    - cmin 9804   NNcn 10535   2c2 10584   NN0cn0 10794   ZZ>=cuz 11081  ..^cfzo 11791   #chash 12372  Word cword 12499   <"cs2 12768  seqstrcsseq 27978  Fibcicfib 27991
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-card 8319  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-2 10593  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-rp 11220  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-seq 12075  df-hash 12373  df-word 12507  df-lsw 12508  df-concat 12509  df-s1 12510  df-s2 12775  df-sseq 27979  df-fib 27992
This theorem is referenced by:  fib2  27997
  Copyright terms: Public domain W3C validator