Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fib0 Structured version   Unicode version

Theorem fib0 26782
Description: Value of the Fibonacci sequence at index 0. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
fib0  |-  (Fibci ` 
0 )  =  0

Proof of Theorem fib0
StepHypRef Expression
1 df-fib 26780 . . 3  |- Fibci  =  (
<" 0 1 ">seqstr ( w  e.  (Word 
NN0  i^i  ( `' #
" ( ZZ>= `  2
) ) )  |->  ( ( w `  (
( # `  w )  -  2 ) )  +  ( w `  ( ( # `  w
)  -  1 ) ) ) ) )
21fveq1i 5692 . 2  |-  (Fibci ` 
0 )  =  ( ( <" 0
1 ">seqstr ( w  e.  (Word 
NN0  i^i  ( `' #
" ( ZZ>= `  2
) ) )  |->  ( ( w `  (
( # `  w )  -  2 ) )  +  ( w `  ( ( # `  w
)  -  1 ) ) ) ) ) `
 0 )
3 nn0ex 10585 . . . . 5  |-  NN0  e.  _V
43a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  NN0  e.  _V )
5 0nn0 10594 . . . . . 6  |-  0  e.  NN0
65a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  0  e.  NN0 )
7 1nn0 10595 . . . . . 6  |-  1  e.  NN0
87a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  1  e.  NN0 )
96, 8s2cld 12496 . . . 4  |-  ( T. 
->  <" 0 1 ">  e. Word  NN0 )
10 eqid 2443 . . . 4  |-  (Word  NN0  i^i  ( `' # " ( ZZ>=
`  ( # `  <" 0 1 "> ) ) ) )  =  (Word  NN0  i^i  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `  <" 0
1 "> )
) ) )
11 fiblem 26781 . . . . 5  |-  ( w  e.  (Word  NN0  i^i  ( `' # " ( ZZ>= ` 
2 ) ) ) 
|->  ( ( w `  ( ( # `  w
)  -  2 ) )  +  ( w `
 ( ( # `  w )  -  1 ) ) ) ) : (Word  NN0  i^i  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `  <" 0
1 "> )
) ) ) --> NN0
1211a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( w  e.  (Word 
NN0  i^i  ( `' #
" ( ZZ>= `  2
) ) )  |->  ( ( w `  (
( # `  w )  -  2 ) )  +  ( w `  ( ( # `  w
)  -  1 ) ) ) ) : (Word  NN0  i^i  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `  <" 0
1 "> )
) ) ) --> NN0 )
13 2nn 10479 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN
14 lbfzo0 11586 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  ( 0..^ 2 )  <->  2  e.  NN )
1513, 14mpbir 209 . . . . . 6  |-  0  e.  ( 0..^ 2 )
16 s2len 12514 . . . . . . 7  |-  ( # `  <" 0 1 "> )  =  2
1716oveq2i 6102 . . . . . 6  |-  ( 0..^ ( # `  <" 0 1 "> ) )  =  ( 0..^ 2 )
1815, 17eleqtrri 2516 . . . . 5  |-  0  e.  ( 0..^ ( # `  <" 0 1 "> ) )
1918a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  0  e.  (
0..^ ( # `  <" 0 1 "> ) ) )
204, 9, 10, 12, 19sseqfv1 26772 . . 3  |-  ( T. 
->  ( ( <" 0
1 ">seqstr ( w  e.  (Word 
NN0  i^i  ( `' #
" ( ZZ>= `  2
) ) )  |->  ( ( w `  (
( # `  w )  -  2 ) )  +  ( w `  ( ( # `  w
)  -  1 ) ) ) ) ) `
 0 )  =  ( <" 0
1 "> `  0
) )
2120trud 1378 . 2  |-  ( (
<" 0 1 ">seqstr ( w  e.  (Word 
NN0  i^i  ( `' #
" ( ZZ>= `  2
) ) )  |->  ( ( w `  (
( # `  w )  -  2 ) )  +  ( w `  ( ( # `  w
)  -  1 ) ) ) ) ) `
 0 )  =  ( <" 0
1 "> `  0
)
22 s2fv0 12512 . . 3  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( <" 0 1 "> `  0 )  =  0 )
235, 22ax-mp 5 . 2  |-  ( <" 0 1 "> `  0 )  =  0
242, 21, 233eqtri 2467 1  |-  (Fibci ` 
0 )  =  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1369   T. wtru 1370    e. wcel 1756   _Vcvv 2972    i^i cin 3327    e. cmpt 4350   `'ccnv 4839   "cima 4843   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   0cc0 9282   1c1 9283    + caddc 9285    - cmin 9595   NNcn 10322   2c2 10371   NN0cn0 10579   ZZ>=cuz 10861  ..^cfzo 11548   #chash 12103  Word cword 12221   <"cs2 12468  seqstrcsseq 26766  Fibcicfib 26779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-rp 10992  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-hash 12104  df-word 12229  df-lsw 12230  df-concat 12231  df-s1 12232  df-s2 12475  df-sseq 26767  df-fib 26780
This theorem is referenced by:  fib2  26785
  Copyright terms: Public domain W3C validator