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Theorem fi1uzind 12650
 Description: Properties of an ordered pair with a finite first component with at least L elements, proven by finite induction on the size of the first component. This theorem can be applied for graphs (represented as orderd pairs of vertices and edges) with a finite number of vertices, usually with (see opfi1ind 12655) or . (Contributed by AV, 22-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fi1uzind.f
fi1uzind.l
fi1uzind.1
fi1uzind.2
fi1uzind.3
fi1uzind.4
fi1uzind.base
fi1uzind.step
Assertion
Ref Expression
fi1uzind
Distinct variable groups:   ,,,,,,,   ,,,,   ,,,   ,,,,,   ,,,,   ,,,,,   ,,,,   ,,,   ,,   ,,,   ,,,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,,)   (,,,)   (,,,,,)   (,,,,)   (,)   (,,,,,,,)   (,,,)   (,,,,)   (,,,)   (,,)

Proof of Theorem fi1uzind
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashcl 12538 . . . 4
2 df-clel 2447 . . . . 5
3 fi1uzind.l . . . . . . . . . . . . . . 15
4 nn0z 10960 . . . . . . . . . . . . . . 15
53, 4mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14
6 nn0z 10960 . . . . . . . . . . . . . . 15
76ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . . . 14
8 breq2 4406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
98eqcoms 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
109biimpcd 228 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1110adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15
1211imp 431 . . . . . . . . . . . . . 14
13 eqeq1 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1413anbi2d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1514imbi1d 319 . . . . . . . . . . . . . . . 16
16152albidv 1769 . . . . . . . . . . . . . . 15
17 eqeq1 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1817anbi2d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1918imbi1d 319 . . . . . . . . . . . . . . . 16
20192albidv 1769 . . . . . . . . . . . . . . 15
21 eqeq1 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2221anbi2d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2322imbi1d 319 . . . . . . . . . . . . . . . 16
24232albidv 1769 . . . . . . . . . . . . . . 15
25 eqeq1 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2625anbi2d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2726imbi1d 319 . . . . . . . . . . . . . . . 16
28272albidv 1769 . . . . . . . . . . . . . . 15
29 eqcom 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
30 fi1uzind.base . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3129, 30sylan2b 478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3231gen2 1670 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
34 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
35 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3635sbceq1d 3272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3734, 36sbceqbid 3274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
38 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3938eqeq2d 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4039adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4137, 40anbi12d 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
42 fi1uzind.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4341, 42imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4443cbval2v 2122 . . . . . . . . . . . . . . . 16
45 nn0ge0 10895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
46 0red 9644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
47 nn0re 10878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
483, 47mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
49 zre 10941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
50 letr 9727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5146, 48, 49, 50syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
52 0nn0 10884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
53 pm3.22 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
54 0z 10948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
55 eluz1 11163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5654, 55mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5753, 56mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
58 eluznn0 11228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5952, 57, 58sylancr 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6059ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6151, 60syl6com 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6261ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6362com14 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6463pm2.43a 51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6564imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6665com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
673, 45, 66mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
68673adant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
69 eqcom 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
70 nn0p1gt0 10899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7170adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
72 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7371, 72breqtrrd 4429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7469, 73sylan2b 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7574adantrl 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
76 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
77 hashgt0elex 12578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
78 fi1uzind.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
7976a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
80 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
81 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
82 brfi1indlem 12649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
8369, 82syl5bi 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
8479, 80, 81, 83syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
8584imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
86 peano2nn0 10910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
8786ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
8887ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
89 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
90 simplrr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
91 simprlr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
9291adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
9389, 90, 923jca 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
9488, 93jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
95 difexg 4551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
9676, 95ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
97 fi1uzind.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
98 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
99 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
10099sbceq1d 3272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
10198, 100sbceqbid 3274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
102 eqcom 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
103 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
104103eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
105102, 104syl5bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
106105adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
107101, 106anbi12d 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
108 fi1uzind.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
109107, 108imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
110109spc2gv 3137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
11196, 97, 110mp2an 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
112111expdimp 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
113112ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
114693anbi2i 1200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
115114anbi2i 700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
116 fi1uzind.step . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
117115, 116sylanb 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
11894, 113, 117syl6an 548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
119118exp41 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
120119com15 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
121120com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
12285, 121mpcom 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
123122ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
124123com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
125124ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
126125com15 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
127126imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
12878, 127mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
129128ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
130129com4l 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
131130exlimiv 1776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
13277, 131syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
133132ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
134133com25 94 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
13576, 134ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
136135imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
137136impcom 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
13875, 137mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
13968, 138sylan 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
140139impancom 442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
141140alrimivv 1774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
142141ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . 16
14344, 142syl5bi 221 . . . . . . . . . . . . . . 15
14416, 20, 24, 28, 33, 143uzind 11027 . . . . . . . . . . . . . 14
1455, 7, 12, 144syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . 13
146 sbcex 3277 . . . . . . . . . . . . . . . 16
147 sbccom 3339 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
148 sbcex 3277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
149147, 148sylbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . 16
150146, 149jca 535 . . . . . . . . . . . . . . 15
151 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
152 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
153152sbceq1d 3272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
154151, 153sbceqbid 3274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
155 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
156155eqeq2d 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
157156adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
158154, 157anbi12d 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
159 fi1uzind.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
160158, 159imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
161160spc2gv 3137 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
162161com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . 16
163162expd 438 . . . . . . . . . . . . . . 15
164150, 163mpcom 37 . . . . . . . . . . . . . 14
165164imp 431 . . . . . . . . . . . . 13
166145, 165syl5com 31 . . . . . . . . . . . 12
167166exp31 609 . . . . . . . . . . 11
168167com14 91 . . . . . . . . . 10
169168expcom 437 . . . . . . . . 9
170169com24 90 . . . . . . . 8
171170pm2.43i 49 . . . . . . 7
172171imp 431 . . . . . 6
173172exlimiv 1776 . . . . 5
1742, 173sylbi 199 . . . 4
1751, 174syl 17 . . 3
176175com12 32 . 2
1771763imp 1202 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 985  wal 1442   wceq 1444  wex 1663   wcel 1887  cvv 3045  wsbc 3267   cdif 3401  csn 3968   class class class wbr 4402  cfv 5582  (class class class)co 6290  cfn 7569  cr 9538  cc0 9539  c1 9540   caddc 9542   clt 9675   cle 9676  cn0 10869  cz 10937  cuz 11159  chash 12515 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-hash 12516 This theorem is referenced by:  brfi1uzind  12651  opfi1uzind  12654
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