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Theorem fi1uzind 12650
Description: Properties of an ordered pair with a finite first component with at least L elements, proven by finite induction on the size of the first component. This theorem can be applied for graphs (represented as orderd pairs of vertices and edges) with a finite number of vertices, usually with  L  =  0 (see opfi1ind 12655) or  L  =  1. (Contributed by AV, 22-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fi1uzind.f  |-  F  e.  U
fi1uzind.l  |-  L  e. 
NN0
fi1uzind.1  |-  ( ( v  =  V  /\  e  =  E )  ->  ( ps  <->  ph ) )
fi1uzind.2  |-  ( ( v  =  w  /\  e  =  f )  ->  ( ps  <->  th )
)
fi1uzind.3  |-  ( (
[. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  /\  n  e.  v )  ->  [. (
v  \  { n } )  /  a ]. [. F  /  b ]. rh )
fi1uzind.4  |-  ( ( w  =  ( v 
\  { n }
)  /\  f  =  F )  ->  ( th 
<->  ch ) )
fi1uzind.base  |-  ( (
[. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  /\  ( # `  v )  =  L )  ->  ps )
fi1uzind.step  |-  ( ( ( ( y  +  1 )  e.  NN0  /\  ( [. v  / 
a ]. [. e  / 
b ]. rh  /\  ( # `
 v )  =  ( y  +  1 )  /\  n  e.  v ) )  /\  ch )  ->  ps )
Assertion
Ref Expression
fi1uzind  |-  ( (
[. V  /  a ]. [. E  /  b ]. rh  /\  V  e. 
Fin  /\  L  <_  (
# `  V )
)  ->  ph )
Distinct variable groups:    a, b,
e, n, v, y, f, w    E, a, e, n, v    F, a, f, w    e, f, w, n, v, y   
e, L, n, v, y    V, a, b, e, n, v    ps, f, n, w, y    th, e, n, v    ch, f, w    ph, e, n, v    rh, e, f, n, v, w, y
Allowed substitution hints:    ph( y, w, f, a, b)    ps( v, e, a, b)    ch( y, v, e, n, a, b)    th( y, w, f, a, b)    rh( a,
b)    U( y, w, v, e, f, n, a, b)    E( y, w, f, b)    F( y, v, e, n, b)    L( w, f, a, b)    V( y, w, f)

Proof of Theorem fi1uzind
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashcl 12538 . . . 4  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( # `
 V )  e. 
NN0 )
2 df-clel 2447 . . . . 5  |-  ( (
# `  V )  e.  NN0  <->  E. n ( n  =  ( # `  V
)  /\  n  e.  NN0 ) )
3 fi1uzind.l . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  L  e. 
NN0
4 nn0z 10960 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( L  e.  NN0  ->  L  e.  ZZ )
53, 4mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( L  <_  ( # `
 V )  /\  n  e.  NN0 )  /\  n  =  ( # `  V
) )  ->  L  e.  ZZ )
6 nn0z 10960 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ZZ )
76ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( L  <_  ( # `
 V )  /\  n  e.  NN0 )  /\  n  =  ( # `  V
) )  ->  n  e.  ZZ )
8 breq2 4406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  V )  =  n  ->  ( L  <_  ( # `  V
)  <->  L  <_  n ) )
98eqcoms 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( # `  V
)  ->  ( L  <_  ( # `  V
)  <->  L  <_  n ) )
109biimpcd 228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( L  <_  ( # `  V
)  ->  ( n  =  ( # `  V
)  ->  L  <_  n ) )
1110adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( L  <_  ( # `  V
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( n  =  ( # `  V
)  ->  L  <_  n ) )
1211imp 431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( L  <_  ( # `
 V )  /\  n  e.  NN0 )  /\  n  =  ( # `  V
) )  ->  L  <_  n )
13 eqeq1 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  L  ->  (
x  =  ( # `  v )  <->  L  =  ( # `  v ) ) )
1413anbi2d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  L  ->  (
( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  /\  x  =  ( # `  v
) )  <->  ( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  /\  L  =  ( # `
 v ) ) ) )
1514imbi1d 319 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  L  ->  (
( ( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  /\  x  =  ( # `
 v ) )  ->  ps )  <->  ( ( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  /\  L  =  ( # `  v
) )  ->  ps ) ) )
16152albidv 1769 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  L  ->  ( A. v A. e ( ( [. v  / 
a ]. [. e  / 
b ]. rh  /\  x  =  ( # `  v
) )  ->  ps ) 
<-> 
A. v A. e
( ( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  /\  L  =  ( # `
 v ) )  ->  ps ) ) )
17 eqeq1 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  ( # `  v )  <->  y  =  ( # `  v ) ) )
1817anbi2d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  (
( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  /\  x  =  ( # `  v
) )  <->  ( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  /\  y  =  ( # `
 v ) ) ) )
1918imbi1d 319 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  /\  x  =  ( # `
 v ) )  ->  ps )  <->  ( ( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  /\  y  =  ( # `  v
) )  ->  ps ) ) )
20192albidv 1769 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  ( A. v A. e ( ( [. v  / 
a ]. [. e  / 
b ]. rh  /\  x  =  ( # `  v
) )  ->  ps ) 
<-> 
A. v A. e
( ( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  /\  y  =  ( # `
 v ) )  ->  ps ) ) )
21 eqeq1 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
x  =  ( # `  v )  <->  ( y  +  1 )  =  ( # `  v
) ) )
2221anbi2d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  /\  x  =  ( # `  v
) )  <->  ( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  /\  ( y  +  1 )  =  ( # `  v ) ) ) )
2322imbi1d 319 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  /\  x  =  ( # `
 v ) )  ->  ps )  <->  ( ( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  /\  ( y  +  1 )  =  ( # `  v
) )  ->  ps ) ) )
24232albidv 1769 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( A. v A. e ( ( [. v  / 
a ]. [. e  / 
b ]. rh  /\  x  =  ( # `  v
) )  ->  ps ) 
<-> 
A. v A. e
( ( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  /\  ( y  +  1 )  =  ( # `  v ) )  ->  ps ) ) )
25 eqeq1 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  n  ->  (
x  =  ( # `  v )  <->  n  =  ( # `  v ) ) )
2625anbi2d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  n  ->  (
( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  /\  x  =  ( # `  v
) )  <->  ( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  /\  n  =  ( # `
 v ) ) ) )
2726imbi1d 319 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  /\  x  =  ( # `
 v ) )  ->  ps )  <->  ( ( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  /\  n  =  ( # `  v
) )  ->  ps ) ) )
28272albidv 1769 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  n  ->  ( A. v A. e ( ( [. v  / 
a ]. [. e  / 
b ]. rh  /\  x  =  ( # `  v
) )  ->  ps ) 
<-> 
A. v A. e
( ( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  /\  n  =  ( # `
 v ) )  ->  ps ) ) )
29 eqcom 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( L  =  ( # `  v
)  <->  ( # `  v
)  =  L )
30 fi1uzind.base . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
[. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  /\  ( # `  v )  =  L )  ->  ps )
3129, 30sylan2b 478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
[. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  /\  L  =  ( # `  v
) )  ->  ps )
3231gen2 1670 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  A. v A. e ( ( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  /\  L  =  ( # `
 v ) )  ->  ps )
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( L  e.  ZZ  ->  A. v A. e ( ( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  /\  L  =  ( # `
 v ) )  ->  ps ) )
34 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( v  =  w  /\  e  =  f )  ->  v  =  w )
35 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( v  =  w  /\  e  =  f )  ->  e  =  f )
3635sbceq1d 3272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( v  =  w  /\  e  =  f )  ->  ( [. e  / 
b ]. rh  <->  [. f  / 
b ]. rh ) )
3734, 36sbceqbid 3274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( v  =  w  /\  e  =  f )  ->  ( [. v  / 
a ]. [. e  / 
b ]. rh  <->  [. w  / 
a ]. [. f  / 
b ]. rh ) )
38 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  =  w  ->  ( # `
 v )  =  ( # `  w
) )
3938eqeq2d 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  =  w  ->  (
y  =  ( # `  v )  <->  y  =  ( # `  w ) ) )
4039adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( v  =  w  /\  e  =  f )  ->  ( y  =  (
# `  v )  <->  y  =  ( # `  w
) ) )
4137, 40anbi12d 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( v  =  w  /\  e  =  f )  ->  ( ( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  /\  y  =  ( # `
 v ) )  <-> 
( [. w  /  a ]. [. f  /  b ]. rh  /\  y  =  ( # `  w
) ) ) )
42 fi1uzind.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( v  =  w  /\  e  =  f )  ->  ( ps  <->  th )
)
4341, 42imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  =  w  /\  e  =  f )  ->  ( ( ( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  /\  y  =  ( # `
 v ) )  ->  ps )  <->  ( ( [. w  /  a ]. [. f  /  b ]. rh  /\  y  =  ( # `  w
) )  ->  th )
) )
4443cbval2v 2122 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. v A. e ( (
[. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  /\  y  =  ( # `  v
) )  ->  ps ) 
<-> 
A. w A. f
( ( [. w  /  a ]. [. f  /  b ]. rh  /\  y  =  ( # `
 w ) )  ->  th ) )
45 nn0ge0 10895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( L  e.  NN0  ->  0  <_  L )
46 0red 9644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  e.  ZZ  ->  0  e.  RR )
47 nn0re 10878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( L  e.  NN0  ->  L  e.  RR )
483, 47mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  e.  ZZ  ->  L  e.  RR )
49 zre 10941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  RR )
50 letr 9727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  L  /\  L  <_  y )  ->  0  <_  y
) )
5146, 48, 49, 50syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
( 0  <_  L  /\  L  <_  y )  ->  0  <_  y
) )
52 0nn0 10884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  0  e.  NN0
53 pm3.22 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( 0  <_  y  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( y  e.  ZZ  /\  0  <_  y )
)
54 0z 10948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  0  e.  ZZ
55 eluz1 11163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
y  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  <->  ( y  e.  ZZ  /\  0  <_ 
y ) ) )
5654, 55mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( 0  <_  y  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( y  e.  (
ZZ>= `  0 )  <->  ( y  e.  ZZ  /\  0  <_ 
y ) ) )
5753, 56mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( 0  <_  y  /\  y  e.  ZZ )  ->  y  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
58 eluznn0 11228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  y  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  -> 
y  e.  NN0 )
5952, 57, 58sylancr 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( 0  <_  y  /\  y  e.  ZZ )  ->  y  e.  NN0 )
6059ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( 0  <_  y  ->  (
y  e.  ZZ  ->  y  e.  NN0 ) )
6151, 60syl6com 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( 0  <_  L  /\  L  <_  y )  -> 
( y  e.  ZZ  ->  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  NN0 )
) )
6261ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 0  <_  L  ->  ( L  <_  y  ->  (
y  e.  ZZ  ->  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  NN0 ) ) ) )
6362com14 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  ZZ  ->  ( L  <_  y  ->  (
y  e.  ZZ  ->  ( 0  <_  L  ->  y  e.  NN0 ) ) ) )
6463pm2.43a 51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  ZZ  ->  ( L  <_  y  ->  (
0  <_  L  ->  y  e.  NN0 ) ) )
6564imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  L  <_  y )  -> 
( 0  <_  L  ->  y  e.  NN0 )
)
6665com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 0  <_  L  ->  (
( y  e.  ZZ  /\  L  <_  y )  ->  y  e.  NN0 )
)
673, 45, 66mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  L  <_  y )  -> 
y  e.  NN0 )
68673adant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ  /\  L  <_  y )  ->  y  e.  NN0 )
69 eqcom 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  +  1 )  =  ( # `  v
)  <->  ( # `  v
)  =  ( y  +  1 ) )
70 nn0p1gt0 10899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  NN0  ->  0  < 
( y  +  1 ) )
7170adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( # `  v )  =  ( y  +  1 ) )  -> 
0  <  ( y  +  1 ) )
72 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( # `  v )  =  ( y  +  1 ) )  -> 
( # `  v )  =  ( y  +  1 ) )
7371, 72breqtrrd 4429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( # `  v )  =  ( y  +  1 ) )  -> 
0  <  ( # `  v
) )
7469, 73sylan2b 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( y  +  1 )  =  ( # `  v ) )  -> 
0  <  ( # `  v
) )
7574adantrl 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  /\  ( y  +  1 )  =  ( # `  v
) ) )  -> 
0  <  ( # `  v
) )
76 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  v  e. 
_V
77 hashgt0elex 12578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( v  e.  _V  /\  0  <  ( # `  v
) )  ->  E. n  n  e.  v )
78 fi1uzind.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
[. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  /\  n  e.  v )  ->  [. (
v  \  { n } )  /  a ]. [. F  /  b ]. rh )
7976a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  ->  v  e.  _V )
80 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  ->  n  e.  v )
81 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  ->  y  e.  NN0 )
82 brfi1indlem 12649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( v  e.  _V  /\  n  e.  v  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  v
)  =  ( y  +  1 )  -> 
( # `  ( v 
\  { n }
) )  =  y ) )
8369, 82syl5bi 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( v  e.  _V  /\  n  e.  v  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( ( y  +  1 )  =  (
# `  v )  ->  ( # `  (
v  \  { n } ) )  =  y ) )
8479, 80, 81, 83syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  ->  ( ( y  +  1 )  =  (
# `  v )  ->  ( # `  (
v  \  { n } ) )  =  y ) )
8584imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  /\  ( y  +  1 )  =  (
# `  v )
)  ->  ( # `  (
v  \  { n } ) )  =  y )
86 peano2nn0 10910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( y  +  1 )  e. 
NN0 )
8786ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  /\  ( y  +  1 )  =  (
# `  v )
)  ->  ( y  +  1 )  e. 
NN0 )
8887ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( ( A. w A. f ( ( [. w  /  a ]. [. f  /  b ]. rh  /\  y  =  ( # `
 w ) )  ->  th )  /\  [. (
v  \  { n } )  /  a ]. [. F  /  b ]. rh )  /\  (
( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  /\  ( y  +  1 )  =  (
# `  v )
) )  /\  [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh )  ->  ( y  +  1 )  e.  NN0 )
89 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( ( A. w A. f ( ( [. w  /  a ]. [. f  /  b ]. rh  /\  y  =  ( # `
 w ) )  ->  th )  /\  [. (
v  \  { n } )  /  a ]. [. F  /  b ]. rh )  /\  (
( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  /\  ( y  +  1 )  =  (
# `  v )
) )  /\  [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh )  ->  [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh )
90 simplrr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( ( A. w A. f ( ( [. w  /  a ]. [. f  /  b ]. rh  /\  y  =  ( # `
 w ) )  ->  th )  /\  [. (
v  \  { n } )  /  a ]. [. F  /  b ]. rh )  /\  (
( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  /\  ( y  +  1 )  =  (
# `  v )
) )  /\  [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh )  ->  ( y  +  1 )  =  (
# `  v )
)
91 simprlr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( A. w A. f ( ( [. w  /  a ]. [. f  /  b ]. rh  /\  y  =  ( # `
 w ) )  ->  th )  /\  [. (
v  \  { n } )  /  a ]. [. F  /  b ]. rh )  /\  (
( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  /\  ( y  +  1 )  =  (
# `  v )
) )  ->  n  e.  v )
9291adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( ( A. w A. f ( ( [. w  /  a ]. [. f  /  b ]. rh  /\  y  =  ( # `
 w ) )  ->  th )  /\  [. (
v  \  { n } )  /  a ]. [. F  /  b ]. rh )  /\  (
( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  /\  ( y  +  1 )  =  (
# `  v )
) )  /\  [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh )  ->  n  e.  v )
9389, 90, 923jca 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( ( A. w A. f ( ( [. w  /  a ]. [. f  /  b ]. rh  /\  y  =  ( # `
 w ) )  ->  th )  /\  [. (
v  \  { n } )  /  a ]. [. F  /  b ]. rh )  /\  (
( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  /\  ( y  +  1 )  =  (
# `  v )
) )  /\  [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh )  ->  ( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  /\  ( y  +  1 )  =  ( # `  v )  /\  n  e.  v ) )
9488, 93jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( ( ( A. w A. f ( ( [. w  /  a ]. [. f  /  b ]. rh  /\  y  =  ( # `
 w ) )  ->  th )  /\  [. (
v  \  { n } )  /  a ]. [. F  /  b ]. rh )  /\  (
( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  /\  ( y  +  1 )  =  (
# `  v )
) )  /\  [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh )  ->  ( ( y  +  1 )  e. 
NN0  /\  ( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  /\  ( y  +  1 )  =  ( # `  v )  /\  n  e.  v ) ) )
95 difexg 4551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( v  e.  _V  ->  (
v  \  { n } )  e.  _V )
9676, 95ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( v 
\  { n }
)  e.  _V
97 fi1uzind.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  F  e.  U
98 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  |-  ( ( w  =  ( v 
\  { n }
)  /\  f  =  F )  ->  w  =  ( v  \  { n } ) )
99 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49  |-  ( ( w  =  ( v 
\  { n }
)  /\  f  =  F )  ->  f  =  F )
10099sbceq1d 3272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  |-  ( ( w  =  ( v 
\  { n }
)  /\  f  =  F )  ->  ( [. f  /  b ]. rh  <->  [. F  /  b ]. rh ) )
10198, 100sbceqbid 3274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( ( w  =  ( v 
\  { n }
)  /\  f  =  F )  ->  ( [. w  /  a ]. [. f  /  b ]. rh  <->  [. ( v  \  { n } )  /  a ]. [. F  /  b ]. rh ) )
102 eqcom 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49  |-  ( y  =  ( # `  w
)  <->  ( # `  w
)  =  y )
103 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50  |-  ( w  =  ( v  \  { n } )  ->  ( # `  w
)  =  ( # `  ( v  \  {
n } ) ) )
104103eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49  |-  ( w  =  ( v  \  { n } )  ->  ( ( # `  w )  =  y  <-> 
( # `  ( v 
\  { n }
) )  =  y ) )
105102, 104syl5bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  |-  ( w  =  ( v  \  { n } )  ->  ( y  =  ( # `  w
)  <->  ( # `  (
v  \  { n } ) )  =  y ) )
106105adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( ( w  =  ( v 
\  { n }
)  /\  f  =  F )  ->  (
y  =  ( # `  w )  <->  ( # `  (
v  \  { n } ) )  =  y ) )
107101, 106anbi12d 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( w  =  ( v 
\  { n }
)  /\  f  =  F )  ->  (
( [. w  /  a ]. [. f  /  b ]. rh  /\  y  =  ( # `  w
) )  <->  ( [. ( v  \  {
n } )  / 
a ]. [. F  / 
b ]. rh  /\  ( # `
 ( v  \  { n } ) )  =  y ) ) )
108 fi1uzind.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( w  =  ( v 
\  { n }
)  /\  f  =  F )  ->  ( th 
<->  ch ) )
109107, 108imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( w  =  ( v 
\  { n }
)  /\  f  =  F )  ->  (
( ( [. w  /  a ]. [. f  /  b ]. rh  /\  y  =  ( # `
 w ) )  ->  th )  <->  ( ( [. ( v  \  {
n } )  / 
a ]. [. F  / 
b ]. rh  /\  ( # `
 ( v  \  { n } ) )  =  y )  ->  ch ) ) )
110109spc2gv 3137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( v  \  {
n } )  e. 
_V  /\  F  e.  U )  ->  ( A. w A. f ( ( [. w  / 
a ]. [. f  / 
b ]. rh  /\  y  =  ( # `  w
) )  ->  th )  ->  ( ( [. (
v  \  { n } )  /  a ]. [. F  /  b ]. rh  /\  ( # `  ( v  \  {
n } ) )  =  y )  ->  ch ) ) )
11196, 97, 110mp2an 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( A. w A. f ( (
[. w  /  a ]. [. f  /  b ]. rh  /\  y  =  ( # `  w
) )  ->  th )  ->  ( ( [. (
v  \  { n } )  /  a ]. [. F  /  b ]. rh  /\  ( # `  ( v  \  {
n } ) )  =  y )  ->  ch ) )
112111expdimp 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( A. w A. f
( ( [. w  /  a ]. [. f  /  b ]. rh  /\  y  =  ( # `
 w ) )  ->  th )  /\  [. (
v  \  { n } )  /  a ]. [. F  /  b ]. rh )  ->  (
( # `  ( v 
\  { n }
) )  =  y  ->  ch ) )
113112ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( ( ( A. w A. f ( ( [. w  /  a ]. [. f  /  b ]. rh  /\  y  =  ( # `
 w ) )  ->  th )  /\  [. (
v  \  { n } )  /  a ]. [. F  /  b ]. rh )  /\  (
( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  /\  ( y  +  1 )  =  (
# `  v )
) )  /\  [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh )  ->  ( ( # `  ( v  \  {
n } ) )  =  y  ->  ch ) )
114693anbi2i 1200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( (
[. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  /\  ( y  +  1 )  =  ( # `  v
)  /\  n  e.  v )  <->  ( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  /\  ( # `  v
)  =  ( y  +  1 )  /\  n  e.  v )
)
115114anbi2i 700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( y  +  1 )  e.  NN0  /\  ( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  /\  ( y  +  1 )  =  ( # `  v
)  /\  n  e.  v ) )  <->  ( (
y  +  1 )  e.  NN0  /\  ( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  /\  ( # `  v )  =  ( y  +  1 )  /\  n  e.  v ) ) )
116 fi1uzind.step . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( ( y  +  1 )  e.  NN0  /\  ( [. v  / 
a ]. [. e  / 
b ]. rh  /\  ( # `
 v )  =  ( y  +  1 )  /\  n  e.  v ) )  /\  ch )  ->  ps )
117115, 116sylanb 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( ( ( y  +  1 )  e.  NN0  /\  ( [. v  / 
a ]. [. e  / 
b ]. rh  /\  (
y  +  1 )  =  ( # `  v
)  /\  n  e.  v ) )  /\  ch )  ->  ps )
11894, 113, 117syl6an 548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( ( A. w A. f ( ( [. w  /  a ]. [. f  /  b ]. rh  /\  y  =  ( # `
 w ) )  ->  th )  /\  [. (
v  \  { n } )  /  a ]. [. F  /  b ]. rh )  /\  (
( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  /\  ( y  +  1 )  =  (
# `  v )
) )  /\  [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh )  ->  ( ( # `  ( v  \  {
n } ) )  =  y  ->  ps ) )
119118exp41 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( A. w A. f ( (
[. w  /  a ]. [. f  /  b ]. rh  /\  y  =  ( # `  w
) )  ->  th )  ->  ( [. ( v 
\  { n }
)  /  a ]. [. F  /  b ]. rh  ->  ( ( ( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  /\  ( y  +  1 )  =  ( # `  v ) )  -> 
( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  ->  ( ( # `
 ( v  \  { n } ) )  =  y  ->  ps ) ) ) ) )
120119com15 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( (
# `  ( v  \  { n } ) )  =  y  -> 
( [. ( v  \  { n } )  /  a ]. [. F  /  b ]. rh  ->  ( ( ( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  /\  (
y  +  1 )  =  ( # `  v
) )  ->  ( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  ->  ( A. w A. f ( (
[. w  /  a ]. [. f  /  b ]. rh  /\  y  =  ( # `  w
) )  ->  th )  ->  ps ) ) ) ) )
121120com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( (
# `  ( v  \  { n } ) )  =  y  -> 
( ( ( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  /\  (
y  +  1 )  =  ( # `  v
) )  ->  ( [. ( v  \  {
n } )  / 
a ]. [. F  / 
b ]. rh  ->  ( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  ->  ( A. w A. f ( (
[. w  /  a ]. [. f  /  b ]. rh  /\  y  =  ( # `  w
) )  ->  th )  ->  ps ) ) ) ) )
12285, 121mpcom 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  /\  ( y  +  1 )  =  (
# `  v )
)  ->  ( [. ( v  \  {
n } )  / 
a ]. [. F  / 
b ]. rh  ->  ( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  ->  ( A. w A. f ( (
[. w  /  a ]. [. f  /  b ]. rh  /\  y  =  ( # `  w
) )  ->  th )  ->  ps ) ) ) )
123122ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  ->  ( ( y  +  1 )  =  (
# `  v )  ->  ( [. ( v 
\  { n }
)  /  a ]. [. F  /  b ]. rh  ->  ( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  ->  ( A. w A. f ( ( [. w  /  a ]. [. f  /  b ]. rh  /\  y  =  ( # `
 w ) )  ->  th )  ->  ps ) ) ) ) )
124123com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  ->  ( [. ( v 
\  { n }
)  /  a ]. [. F  /  b ]. rh  ->  ( ( y  +  1 )  =  ( # `  v
)  ->  ( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  ->  ( A. w A. f ( ( [. w  /  a ]. [. f  /  b ]. rh  /\  y  =  ( # `
 w ) )  ->  th )  ->  ps ) ) ) ) )
125124ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( n  e.  v  ->  ( [. ( v  \  {
n } )  / 
a ]. [. F  / 
b ]. rh  ->  (
( y  +  1 )  =  ( # `  v )  ->  ( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  ->  ( A. w A. f ( (
[. w  /  a ]. [. f  /  b ]. rh  /\  y  =  ( # `  w
) )  ->  th )  ->  ps ) ) ) ) ) )
126125com15 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  ->  ( n  e.  v  ->  ( [. (
v  \  { n } )  /  a ]. [. F  /  b ]. rh  ->  ( (
y  +  1 )  =  ( # `  v
)  ->  ( y  e.  NN0  ->  ( A. w A. f ( (
[. w  /  a ]. [. f  /  b ]. rh  /\  y  =  ( # `  w
) )  ->  th )  ->  ps ) ) ) ) ) )
127126imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
[. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  /\  n  e.  v )  ->  ( [. ( v  \  {
n } )  / 
a ]. [. F  / 
b ]. rh  ->  (
( y  +  1 )  =  ( # `  v )  ->  (
y  e.  NN0  ->  ( A. w A. f
( ( [. w  /  a ]. [. f  /  b ]. rh  /\  y  =  ( # `
 w ) )  ->  th )  ->  ps ) ) ) ) )
12878, 127mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
[. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  /\  n  e.  v )  ->  (
( y  +  1 )  =  ( # `  v )  ->  (
y  e.  NN0  ->  ( A. w A. f
( ( [. w  /  a ]. [. f  /  b ]. rh  /\  y  =  ( # `
 w ) )  ->  th )  ->  ps ) ) ) )
129128ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  ->  ( n  e.  v  ->  ( ( y  +  1 )  =  ( # `  v
)  ->  ( y  e.  NN0  ->  ( A. w A. f ( (
[. w  /  a ]. [. f  /  b ]. rh  /\  y  =  ( # `  w
) )  ->  th )  ->  ps ) ) ) ) )
130129com4l 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( n  e.  v  ->  (
( y  +  1 )  =  ( # `  v )  ->  (
y  e.  NN0  ->  (
[. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  ->  ( A. w A. f ( (
[. w  /  a ]. [. f  /  b ]. rh  /\  y  =  ( # `  w
) )  ->  th )  ->  ps ) ) ) ) )
131130exlimiv 1776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( E. n  n  e.  v  ->  ( ( y  +  1 )  =  ( # `  v
)  ->  ( y  e.  NN0  ->  ( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  ->  ( A. w A. f ( ( [. w  /  a ]. [. f  /  b ]. rh  /\  y  =  ( # `
 w ) )  ->  th )  ->  ps ) ) ) ) )
13277, 131syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( v  e.  _V  /\  0  <  ( # `  v
) )  ->  (
( y  +  1 )  =  ( # `  v )  ->  (
y  e.  NN0  ->  (
[. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  ->  ( A. w A. f ( (
[. w  /  a ]. [. f  /  b ]. rh  /\  y  =  ( # `  w
) )  ->  th )  ->  ps ) ) ) ) )
133132ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( v  e.  _V  ->  (
0  <  ( # `  v
)  ->  ( (
y  +  1 )  =  ( # `  v
)  ->  ( y  e.  NN0  ->  ( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  ->  ( A. w A. f ( ( [. w  /  a ]. [. f  /  b ]. rh  /\  y  =  ( # `
 w ) )  ->  th )  ->  ps ) ) ) ) ) )
134133com25 94 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( v  e.  _V  ->  ( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  ->  ( (
y  +  1 )  =  ( # `  v
)  ->  ( y  e.  NN0  ->  ( 0  <  ( # `  v
)  ->  ( A. w A. f ( (
[. w  /  a ]. [. f  /  b ]. rh  /\  y  =  ( # `  w
) )  ->  th )  ->  ps ) ) ) ) ) )
13576, 134ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  ->  ( ( y  +  1 )  =  (
# `  v )  ->  ( y  e.  NN0  ->  ( 0  <  ( # `
 v )  -> 
( A. w A. f ( ( [. w  /  a ]. [. f  /  b ]. rh  /\  y  =  ( # `
 w ) )  ->  th )  ->  ps ) ) ) ) )
136135imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
[. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  /\  ( y  +  1 )  =  ( # `  v
) )  ->  (
y  e.  NN0  ->  ( 0  <  ( # `  v )  ->  ( A. w A. f ( ( [. w  / 
a ]. [. f  / 
b ]. rh  /\  y  =  ( # `  w
) )  ->  th )  ->  ps ) ) ) )
137136impcom 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  /\  ( y  +  1 )  =  ( # `  v
) ) )  -> 
( 0  <  ( # `
 v )  -> 
( A. w A. f ( ( [. w  /  a ]. [. f  /  b ]. rh  /\  y  =  ( # `
 w ) )  ->  th )  ->  ps ) ) )
13875, 137mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  /\  ( y  +  1 )  =  ( # `  v
) ) )  -> 
( A. w A. f ( ( [. w  /  a ]. [. f  /  b ]. rh  /\  y  =  ( # `
 w ) )  ->  th )  ->  ps ) )
13968, 138sylan 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ  /\  L  <_  y )  /\  ( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  /\  ( y  +  1 )  =  ( # `  v
) ) )  -> 
( A. w A. f ( ( [. w  /  a ]. [. f  /  b ]. rh  /\  y  =  ( # `
 w ) )  ->  th )  ->  ps ) )
140139impancom 442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ  /\  L  <_  y )  /\  A. w A. f ( ( [. w  / 
a ]. [. f  / 
b ]. rh  /\  y  =  ( # `  w
) )  ->  th )
)  ->  ( ( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  /\  ( y  +  1 )  =  ( # `  v
) )  ->  ps ) )
141140alrimivv 1774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ  /\  L  <_  y )  /\  A. w A. f ( ( [. w  / 
a ]. [. f  / 
b ]. rh  /\  y  =  ( # `  w
) )  ->  th )
)  ->  A. v A. e ( ( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  /\  ( y  +  1 )  =  ( # `  v ) )  ->  ps ) )
142141ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ  /\  L  <_  y )  ->  ( A. w A. f ( ( [. w  / 
a ]. [. f  / 
b ]. rh  /\  y  =  ( # `  w
) )  ->  th )  ->  A. v A. e
( ( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  /\  ( y  +  1 )  =  ( # `  v ) )  ->  ps ) ) )
14344, 142syl5bi 221 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ  /\  L  <_  y )  ->  ( A. v A. e ( ( [. v  / 
a ]. [. e  / 
b ]. rh  /\  y  =  ( # `  v
) )  ->  ps )  ->  A. v A. e
( ( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  /\  ( y  +  1 )  =  ( # `  v ) )  ->  ps ) ) )
14416, 20, 24, 28, 33, 143uzind 11027 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ  /\  L  <_  n )  ->  A. v A. e ( ( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  /\  n  =  ( # `
 v ) )  ->  ps ) )
1455, 7, 12, 144syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( L  <_  ( # `
 V )  /\  n  e.  NN0 )  /\  n  =  ( # `  V
) )  ->  A. v A. e ( ( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  /\  n  =  ( # `
 v ) )  ->  ps ) )
146 sbcex 3277 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( [. V  /  a ]. [. E  /  b ]. rh  ->  V  e.  _V )
147 sbccom 3339 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( [. V  /  a ]. [. E  /  b ]. rh  <->  [. E  /  b ]. [. V  /  a ]. rh )
148 sbcex 3277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( [. E  /  b ]. [. V  /  a ]. rh  ->  E  e.  _V )
149147, 148sylbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( [. V  /  a ]. [. E  /  b ]. rh  ->  E  e.  _V )
150146, 149jca 535 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [. V  /  a ]. [. E  /  b ]. rh  ->  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )
)
151 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( v  =  V  /\  e  =  E )  ->  v  =  V )
152 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( v  =  V  /\  e  =  E )  ->  e  =  E )
153152sbceq1d 3272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( v  =  V  /\  e  =  E )  ->  ( [. e  / 
b ]. rh  <->  [. E  / 
b ]. rh ) )
154151, 153sbceqbid 3274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( v  =  V  /\  e  =  E )  ->  ( [. v  / 
a ]. [. e  / 
b ]. rh  <->  [. V  / 
a ]. [. E  / 
b ]. rh ) )
155 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  =  V  ->  ( # `
 v )  =  ( # `  V
) )
156155eqeq2d 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  =  V  ->  (
n  =  ( # `  v )  <->  n  =  ( # `  V ) ) )
157156adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( v  =  V  /\  e  =  E )  ->  ( n  =  (
# `  v )  <->  n  =  ( # `  V
) ) )
158154, 157anbi12d 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( v  =  V  /\  e  =  E )  ->  ( ( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  /\  n  =  ( # `
 v ) )  <-> 
( [. V  /  a ]. [. E  /  b ]. rh  /\  n  =  ( # `  V
) ) ) )
159 fi1uzind.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( v  =  V  /\  e  =  E )  ->  ( ps  <->  ph ) )
160158, 159imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( v  =  V  /\  e  =  E )  ->  ( ( ( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  /\  n  =  ( # `
 v ) )  ->  ps )  <->  ( ( [. V  /  a ]. [. E  /  b ]. rh  /\  n  =  ( # `  V
) )  ->  ph )
) )
161160spc2gv 3137 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( A. v A. e ( ( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  /\  n  =  ( # `
 v ) )  ->  ps )  -> 
( ( [. V  /  a ]. [. E  /  b ]. rh  /\  n  =  ( # `
 V ) )  ->  ph ) ) )
162161com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( [. V  /  a ]. [. E  /  b ]. rh  /\  n  =  ( # `
 V ) )  ->  ( A. v A. e ( ( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  /\  n  =  ( # `
 v ) )  ->  ps )  ->  ph ) ) )
163162expd 438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( [. V  / 
a ]. [. E  / 
b ]. rh  ->  (
n  =  ( # `  V )  ->  ( A. v A. e ( ( [. v  / 
a ]. [. e  / 
b ]. rh  /\  n  =  ( # `  v
) )  ->  ps )  ->  ph ) ) ) )
164150, 163mpcom 37 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( [. V  /  a ]. [. E  /  b ]. rh  ->  ( n  =  (
# `  V )  ->  ( A. v A. e ( ( [. v  /  a ]. [. e  /  b ]. rh  /\  n  =  ( # `
 v ) )  ->  ps )  ->  ph ) ) )
165164imp 431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
[. V  /  a ]. [. E  /  b ]. rh  /\  n  =  ( # `  V
) )  ->  ( A. v A. e ( ( [. v  / 
a ]. [. e  / 
b ]. rh  /\  n  =  ( # `  v
) )  ->  ps )  ->  ph ) )
166145, 165syl5com 31 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( L  <_  ( # `
 V )  /\  n  e.  NN0 )  /\  n  =  ( # `  V
) )  ->  (
( [. V  /  a ]. [. E  /  b ]. rh  /\  n  =  ( # `  V
) )  ->  ph )
)
167166exp31 609 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  <_  ( # `  V
)  ->  ( n  e.  NN0  ->  ( n  =  ( # `  V
)  ->  ( ( [. V  /  a ]. [. E  /  b ]. rh  /\  n  =  ( # `  V
) )  ->  ph )
) ) )
168167com14 91 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
[. V  /  a ]. [. E  /  b ]. rh  /\  n  =  ( # `  V
) )  ->  (
n  e.  NN0  ->  ( n  =  ( # `  V )  ->  ( L  <_  ( # `  V
)  ->  ph ) ) ) )
169168expcom 437 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( # `  V
)  ->  ( [. V  /  a ]. [. E  /  b ]. rh  ->  ( n  e.  NN0  ->  ( n  =  (
# `  V )  ->  ( L  <_  ( # `
 V )  ->  ph ) ) ) ) )
170169com24 90 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( # `  V
)  ->  ( n  =  ( # `  V
)  ->  ( n  e.  NN0  ->  ( [. V  /  a ]. [. E  /  b ]. rh  ->  ( L  <_  ( # `
 V )  ->  ph ) ) ) ) )
171170pm2.43i 49 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( # `  V
)  ->  ( n  e.  NN0  ->  ( [. V  /  a ]. [. E  /  b ]. rh  ->  ( L  <_  ( # `
 V )  ->  ph ) ) ) )
172171imp 431 . . . . . 6  |-  ( ( n  =  ( # `  V )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( [. V  /  a ]. [. E  /  b ]. rh  ->  ( L  <_  ( # `  V
)  ->  ph ) ) )
173172exlimiv 1776 . . . . 5  |-  ( E. n ( n  =  ( # `  V
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( [. V  /  a ]. [. E  /  b ]. rh  ->  ( L  <_  ( # `
 V )  ->  ph ) ) )
1742, 173sylbi 199 . . . 4  |-  ( (
# `  V )  e.  NN0  ->  ( [. V  /  a ]. [. E  /  b ]. rh  ->  ( L  <_  ( # `
 V )  ->  ph ) ) )
1751, 174syl 17 . . 3  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( [. V  /  a ]. [. E  /  b ]. rh  ->  ( L  <_  ( # `  V
)  ->  ph ) ) )
176175com12 32 . 2  |-  ( [. V  /  a ]. [. E  /  b ]. rh  ->  ( V  e.  Fin  ->  ( L  <_  ( # `
 V )  ->  ph ) ) )
1771763imp 1202 1  |-  ( (
[. V  /  a ]. [. E  /  b ]. rh  /\  V  e. 
Fin  /\  L  <_  (
# `  V )
)  ->  ph )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985   A.wal 1442    = wceq 1444   E.wex 1663    e. wcel 1887   _Vcvv 3045   [.wsbc 3267    \ cdif 3401   {csn 3968   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    < clt 9675    <_ cle 9676   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   #chash 12515
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-hash 12516
This theorem is referenced by:  brfi1uzind  12651  opfi1uzind  12654
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