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Theorem fgss2 20544
Description: A condition for a filter to be finer than another involving their filter bases. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fgss2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
( X filGen F ) 
C_  ( X filGen G )  <->  A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x ) )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, G, y    x, X, y

Proof of Theorem fgss2
Dummy variables  u  t  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssfg 20542 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  F  C_  ( X filGen F ) )
21adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  F  C_  ( X filGen F ) )
32sseld 3488 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
x  e.  F  ->  x  e.  ( X filGen F ) ) )
4 ssel2 3484 . . . . . 6  |-  ( ( ( X filGen F ) 
C_  ( X filGen G )  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  ->  x  e.  ( X filGen G ) )
5 elfg 20541 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( x  e.  ( X filGen G )  <-> 
( x  C_  X  /\  E. y  e.  G  y  C_  x ) ) )
6 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  X  /\  E. y  e.  G  y 
C_  x )  ->  E. y  e.  G  y  C_  x )
75, 6syl6bi 228 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( x  e.  ( X filGen G )  ->  E. y  e.  G  y  C_  x ) )
87adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
x  e.  ( X
filGen G )  ->  E. y  e.  G  y  C_  x ) )
94, 8syl5 32 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
( ( X filGen F )  C_  ( X filGen G )  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  ->  E. y  e.  G  y  C_  x ) )
109expd 434 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
( X filGen F ) 
C_  ( X filGen G )  ->  ( x  e.  ( X filGen F )  ->  E. y  e.  G  y  C_  x ) ) )
113, 10syl5d 67 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
( X filGen F ) 
C_  ( X filGen G )  ->  ( x  e.  F  ->  E. y  e.  G  y  C_  x ) ) )
1211ralrimdv 2870 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
( X filGen F ) 
C_  ( X filGen G )  ->  A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x ) )
13 sseq2 3511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  u  ->  (
y  C_  x  <->  y  C_  u ) )
1413rexbidv 2965 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  u  ->  ( E. y  e.  G  y  C_  x  <->  E. y  e.  G  y  C_  u ) )
1514rspcv 3203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  F  ->  ( A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x  ->  E. y  e.  G  y  C_  u ) )
1615adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X ) )  /\  u  e.  F
)  ->  ( A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x  ->  E. y  e.  G  y  C_  u ) )
17 sstr 3497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  C_  u  /\  u  C_  t )  -> 
y  C_  t )
18 sseq1 3510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  y  ->  (
v  C_  t  <->  y  C_  t ) )
1918rspcev 3207 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  G  /\  y  C_  t )  ->  E. v  e.  G  v  C_  t )
2019adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  X
)  /\  G  e.  ( fBas `  X )
)  /\  u  e.  F )  /\  (
y  e.  G  /\  y  C_  t ) )  ->  E. v  e.  G  v  C_  t )
2120a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  X
)  /\  G  e.  ( fBas `  X )
)  /\  u  e.  F )  /\  (
y  e.  G  /\  y  C_  t ) )  ->  ( t  C_  X  ->  E. v  e.  G  v  C_  t ) )
2217, 21sylanr2 651 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  X
)  /\  G  e.  ( fBas `  X )
)  /\  u  e.  F )  /\  (
y  e.  G  /\  ( y  C_  u  /\  u  C_  t ) ) )  ->  (
t  C_  X  ->  E. v  e.  G  v 
C_  t ) )
2322ancld 551 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  X
)  /\  G  e.  ( fBas `  X )
)  /\  u  e.  F )  /\  (
y  e.  G  /\  ( y  C_  u  /\  u  C_  t ) ) )  ->  (
t  C_  X  ->  ( t  C_  X  /\  E. v  e.  G  v 
C_  t ) ) )
2423exp45 612 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X ) )  /\  u  e.  F
)  ->  ( y  e.  G  ->  ( y 
C_  u  ->  (
u  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  ( t  C_  X  /\  E. v  e.  G  v 
C_  t ) ) ) ) ) )
2524rexlimdv 2944 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X ) )  /\  u  e.  F
)  ->  ( E. y  e.  G  y  C_  u  ->  ( u  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  ( t  C_  X  /\  E. v  e.  G  v  C_  t ) ) ) ) )
2616, 25syld 44 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X ) )  /\  u  e.  F
)  ->  ( A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x  ->  ( u  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  ( t  C_  X  /\  E. v  e.  G  v  C_  t ) ) ) ) )
2726impancom 438 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x
)  ->  ( u  e.  F  ->  ( u 
C_  t  ->  (
t  C_  X  ->  ( t  C_  X  /\  E. v  e.  G  v 
C_  t ) ) ) ) )
2827rexlimdv 2944 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x
)  ->  ( E. u  e.  F  u  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  ( t  C_  X  /\  E. v  e.  G  v  C_  t ) ) ) )
2928com23 78 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x
)  ->  ( t  C_  X  ->  ( E. u  e.  F  u  C_  t  ->  ( t  C_  X  /\  E. v  e.  G  v  C_  t ) ) ) )
3029impd 429 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x
)  ->  ( (
t  C_  X  /\  E. u  e.  F  u 
C_  t )  -> 
( t  C_  X  /\  E. v  e.  G  v  C_  t ) ) )
31 elfg 20541 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( t  e.  ( X filGen F )  <-> 
( t  C_  X  /\  E. u  e.  F  u  C_  t ) ) )
3231adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
t  e.  ( X
filGen F )  <->  ( t  C_  X  /\  E. u  e.  F  u  C_  t
) ) )
3332adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x
)  ->  ( t  e.  ( X filGen F )  <-> 
( t  C_  X  /\  E. u  e.  F  u  C_  t ) ) )
34 elfg 20541 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( t  e.  ( X filGen G )  <-> 
( t  C_  X  /\  E. v  e.  G  v  C_  t ) ) )
3534adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
t  e.  ( X
filGen G )  <->  ( t  C_  X  /\  E. v  e.  G  v  C_  t ) ) )
3635adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x
)  ->  ( t  e.  ( X filGen G )  <-> 
( t  C_  X  /\  E. v  e.  G  v  C_  t ) ) )
3730, 33, 363imtr4d 268 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x
)  ->  ( t  e.  ( X filGen F )  ->  t  e.  ( X filGen G ) ) )
3837ssrdv 3495 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x
)  ->  ( X filGen F )  C_  ( X filGen G ) )
3938ex 432 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x  ->  ( X filGen F )  C_  ( X filGen G ) ) )
4012, 39impbid 191 1  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
( X filGen F ) 
C_  ( X filGen G )  <->  A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805    C_ wss 3461   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   fBascfbas 18604   filGencfg 18605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-fbas 18614  df-fg 18615
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