Theorem fgid 10289

Description: A filter generates itself. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fgid	|- (F e. Fil -> (filGen` F) = F)

Proof of Theorem fgid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		filfbas 10276	. . . . 5 |- (F e. Fil -> F e. fBas)
2		eqid 1884	. . . . . 6 |- U.F = U.F
3	2	elfg 10284	. . . . 5 |- (F e. fBas -> (t e. (filGen` F) <-> (t C_ U.F /\ E.x e. F x C_ t)))
4	1, 3	syl 12	. . . 4 |- (F e. Fil -> (t e. (filGen` F) <-> (t C_ U.F /\ E.x e. F x C_ t)))
5	2	fillsb 10270	. . . . . . . . 9 |- (F e. Fil -> ((x e. F /\ t C_ U.F /\ x C_ t) -> t e. F))
6	5	3expd 1085	. . . . . . . 8 |- (F e. Fil -> (x e. F -> (t C_ U.F -> (x C_ t -> t e. F))))
7	6	com34 40	. . . . . . 7 |- (F e. Fil -> (x e. F -> (x C_ t -> (t C_ U.F -> t e. F))))
8	7	r19.23adv 2215	. . . . . 6 |- (F e. Fil -> (E.x e. F x C_ t -> (t C_ U.F -> t e. F)))
9	8	com23 36	. . . . 5 |- (F e. Fil -> (t C_ U.F -> (E.x e. F x C_ t -> t e. F)))
10	9	imp3a 388	. . . 4 |- (F e. Fil -> ((t C_ U.F /\ E.x e. F x C_ t) -> t e. F))
11	4, 10	sylbid 220	. . 3 |- (F e. Fil -> (t e. (filGen` F) -> t e. F))
12	11	ssrdv 2622	. 2 |- (F e. Fil -> (filGen` F) C_ F)
13		fbssfg 10285	. . 3 |- (F e. fBas -> F C_ (filGen` F))
14	1, 13	syl 12	. 2 |- (F e. Fil -> F C_ (filGen` F))
15	12, 14	eqssd 2633	1 |- (F e. Fil -> (filGen` F) = F)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wrex 2106   C_ wss 2593  U.cuni 3177  ` cfv 3998  fBascfbas 10257  filGencfg 10258  Filcfil 10264

This theorem is referenced by:  fbfgss2 14937  filfm 15600  isfclusf 15625

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-fbas 10259  df-fg 10260  df-fil 10265

Copyright terms: Public domain