Theorem fgfil 10290

Description: A generated filter is a filter. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fgfil	|- (F e. fBas -> (filGen` F) e. Fil)

Proof of Theorem fgfil

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = (/) -> (x e. F <-> (/) e. F))
2	1	notbid 673	. . . . . . . . . . 11 |- (x = (/) -> (-. x e. F <-> -. (/) e. F))
3		0nelfb 10277	. . . . . . . . . . . 12 |- (F e. fBas -> (/) e/ F)
4		df-nel 2020	. . . . . . . . . . . 12 |- ((/) e/ F <-> -. (/) e. F)
5	3, 4	sylib 215	. . . . . . . . . . 11 |- (F e. fBas -> -. (/) e. F)
6	2, 5	syl5cbir 228	. . . . . . . . . 10 |- (F e. fBas -> (x = (/) -> -. x e. F))
7	6	con2d 107	. . . . . . . . 9 |- (F e. fBas -> (x e. F -> -. x = (/)))
8	7	imp 377	. . . . . . . 8 |- ((F e. fBas /\ x e. F) -> -. x = (/))
9		ss0 2902	. . . . . . . 8 |- (x C_ (/) -> x = (/))
10	8, 9	nsyl 131	. . . . . . 7 |- ((F e. fBas /\ x e. F) -> -. x C_ (/))
11	10	nrexdv 2193	. . . . . 6 |- (F e. fBas -> -. E.x e. F x C_ (/))
12	11	intnand 757	. . . . 5 |- (F e. fBas -> -. ((/) C_ U.F /\ E.x e. F x C_ (/)))
13		eqid 1884	. . . . . 6 |- U.F = U.F
14	13	elfg 10284	. . . . 5 |- (F e. fBas -> ((/) e. (filGen` F) <-> ((/) C_ U.F /\ E.x e. F x C_ (/))))
15	12, 14	mtbird 783	. . . 4 |- (F e. fBas -> -. (/) e. (filGen` F))
16	13	fgbas 10286	. . . . 5 |- (F e. fBas -> U.F = U.(filGen` F))
17		fbasne0 10262	. . . . . . . 8 |- (F e. fBas -> F =/= (/))
18		elssuni 3206	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. F -> x C_ U.F)
19	18	ancli 320	. . . . . . . . . 10 |- (x e. F -> (x e. F /\ x C_ U.F))
20	19	eximi 1387	. . . . . . . . 9 |- (E.x x e. F -> E.x(x e. F /\ x C_ U.F))
21		n0 2884	. . . . . . . . 9 |- (F =/= (/) <-> E.x x e. F)
22		df-rex 2110	. . . . . . . . 9 |- (E.x e. F x C_ U.F <-> E.x(x e. F /\ x C_ U.F))
23	20, 21, 22	3imtr4i 236	. . . . . . . 8 |- (F =/= (/) -> E.x e. F x C_ U.F)
24	17, 23	syl 12	. . . . . . 7 |- (F e. fBas -> E.x e. F x C_ U.F)
25		ssid 2634	. . . . . . 7 |- U.F C_ U.F
26	24, 25	jctil 316	. . . . . 6 |- (F e. fBas -> (U.F C_ U.F /\ E.x e. F x C_ U.F))
27	13	elfg 10284	. . . . . 6 |- (F e. fBas -> (U.F e. (filGen` F) <-> (U.F C_ U.F /\ E.x e. F x C_ U.F)))
28	26, 27	mpbird 213	. . . . 5 |- (F e. fBas -> U.F e. (filGen` F))
29	16, 28	eqeltrrd 1972	. . . 4 |- (F e. fBas -> U.(filGen` F) e. (filGen` F))
30	15, 29	jca 310	. . 3 |- (F e. fBas -> (-. (/) e. (filGen` F) /\ U.(filGen` F) e. (filGen` F)))
31		simp2 877	. . . . . . 7 |- (((x C_ U.F /\ E.z e. F z C_ x) /\ y C_ U.F /\ x C_ y) -> y C_ U.F)
32	31	a1i 8	. . . . . 6 |- (F e. fBas -> (((x C_ U.F /\ E.z e. F z C_ x) /\ y C_ U.F /\ x C_ y) -> y C_ U.F))
33		sseq1 2637	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (w = z -> (w C_ y <-> z C_ y))
34	33	rcla4ev 2381	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((z e. F /\ z C_ y) -> E.w e. F w C_ y)
35	34	ex 402	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z e. F -> (z C_ y -> E.w e. F w C_ y))
36		sstr 2625	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z C_ x /\ x C_ y) -> z C_ y)
37	35, 36	syl5 20	. . . . . . . . . . . 12 |- (z e. F -> ((z C_ x /\ x C_ y) -> E.w e. F w C_ y))
38	37	exp3a 405	. . . . . . . . . . 11 |- (z e. F -> (z C_ x -> (x C_ y -> E.w e. F w C_ y)))
39	38	r19.23aiv 2211	. . . . . . . . . 10 |- (E.z e. F z C_ x -> (x C_ y -> E.w e. F w C_ y))
40	39	imp 377	. . . . . . . . 9 |- ((E.z e. F z C_ x /\ x C_ y) -> E.w e. F w C_ y)
41	40	adantll 428	. . . . . . . 8 |- (((x C_ U.F /\ E.z e. F z C_ x) /\ x C_ y) -> E.w e. F w C_ y)
42	41	3adant2 895	. . . . . . 7 |- (((x C_ U.F /\ E.z e. F z C_ x) /\ y C_ U.F /\ x C_ y) -> E.w e. F w C_ y)
43	42	a1i 8	. . . . . 6 |- (F e. fBas -> (((x C_ U.F /\ E.z e. F z C_ x) /\ y C_ U.F /\ x C_ y) -> E.w e. F w C_ y))
44	32, 43	jcad 661	. . . . 5 |- (F e. fBas -> (((x C_ U.F /\ E.z e. F z C_ x) /\ y C_ U.F /\ x C_ y) -> (y C_ U.F /\ E.w e. F w C_ y)))
45	13	elfg 10284	. . . . . 6 |- (F e. fBas -> (x e. (filGen` F) <-> (x C_ U.F /\ E.z e. F z C_ x)))
46	16	eqcomd 1889	. . . . . . 7 |- (F e. fBas -> U.(filGen` F) = U.F)
47	46	sseq2d 2645	. . . . . 6 |- (F e. fBas -> (y C_ U.(filGen` F) <-> y C_ U.F))
48	45, 47	3anbi12d 1169	. . . . 5 |- (F e. fBas -> ((x e. (filGen` F) /\ y C_ U.(filGen` F) /\ x C_ y) <-> ((x C_ U.F /\ E.z e. F z C_ x) /\ y C_ U.F /\ x C_ y)))
49	13	elfg 10284	. . . . 5 |- (F e. fBas -> (y e. (filGen` F) <-> (y C_ U.F /\ E.w e. F w C_ y)))
50	44, 48, 49	3imtr4d 602	. . . 4 |- (F e. fBas -> ((x e. (filGen` F) /\ y C_ U.(filGen` F) /\ x C_ y) -> y e. (filGen` F)))
51	50	19.21aivv 1665	. . 3 |- (F e. fBas -> A.xA.y((x e. (filGen` F) /\ y C_ U.(filGen` F) /\ x C_ y) -> y e. (filGen` F)))
52		inss2 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (x i^i y) C_ y
53		sstr 2625	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((x i^i y) C_ y /\ y C_ U.F) -> (x i^i y) C_ U.F)
54	52, 53	mpan 759	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y C_ U.F -> (x i^i y) C_ U.F)
55	54	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((y C_ U.F /\ z C_ x /\ x C_ U.F) -> (x i^i y) C_ U.F)
56	55	ad2antlr 441	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((F e. fBas /\ u e. F /\ u C_ y) /\ (y C_ U.F /\ z C_ x /\ x C_ U.F)) /\ z e. F) -> (x i^i y) C_ U.F)
57		fbasssin 10278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((F e. fBas /\ z e. F /\ u e. F) -> E.v e. F v C_ (z i^i u))
58	57	3com23 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((F e. fBas /\ u e. F /\ z e. F) -> E.v e. F v C_ (z i^i u))
59	58	3expia 1069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((F e. fBas /\ u e. F) -> (z e. F -> E.v e. F v C_ (z i^i u)))
60	59	3adant3 896	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((F e. fBas /\ u e. F /\ u C_ y) -> (z e. F -> E.v e. F v C_ (z i^i u)))
61	60	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((F e. fBas /\ u e. F /\ u C_ y) /\ (y C_ U.F /\ z C_ x /\ x C_ U.F)) -> (z e. F -> E.v e. F v C_ (z i^i u)))
62	61	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((F e. fBas /\ u e. F /\ u C_ y) /\ (y C_ U.F /\ z C_ x /\ x C_ U.F)) /\ z e. F) -> E.v e. F v C_ (z i^i u))
63		ss2in 2820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((z C_ x /\ u C_ y) -> (z i^i u) C_ (x i^i y))
64		sstr 2625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((v C_ (z i^i u) /\ (z i^i u) C_ (x i^i y)) -> v C_ (x i^i y))
65	64	expcom 403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((z i^i u) C_ (x i^i y) -> (v C_ (z i^i u) -> v C_ (x i^i y)))
66	63, 65	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((z C_ x /\ u C_ y) -> (v C_ (z i^i u) -> v C_ (x i^i y)))
67	66	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((u C_ y /\ z C_ x) -> (v C_ (z i^i u) -> v C_ (x i^i y)))
68	67	3ad2antl3 1040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((F e. fBas /\ u e. F /\ u C_ y) /\ z C_ x) -> (v C_ (z i^i u) -> v C_ (x i^i y)))
69	68	3ad2antr2 1042	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((F e. fBas /\ u e. F /\ u C_ y) /\ (y C_ U.F /\ z C_ x /\ x C_ U.F)) -> (v C_ (z i^i u) -> v C_ (x i^i y)))
70	69	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((F e. fBas /\ u e. F /\ u C_ y) /\ (y C_ U.F /\ z C_ x /\ x C_ U.F)) /\ z e. F) -> (v C_ (z i^i u) -> v C_ (x i^i y)))
71	70	reximdv 2202	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((F e. fBas /\ u e. F /\ u C_ y) /\ (y C_ U.F /\ z C_ x /\ x C_ U.F)) /\ z e. F) -> (E.v e. F v C_ (z i^i u) -> E.v e. F v C_ (x i^i y)))
72	62, 71	mpd 29	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((F e. fBas /\ u e. F /\ u C_ y) /\ (y C_ U.F /\ z C_ x /\ x C_ U.F)) /\ z e. F) -> E.v e. F v C_ (x i^i y))
73	56, 72	jca 310	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((F e. fBas /\ u e. F /\ u C_ y) /\ (y C_ U.F /\ z C_ x /\ x C_ U.F)) /\ z e. F) -> ((x i^i y) C_ U.F /\ E.v e. F v C_ (x i^i y)))
74	73	exp516 1088	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((F e. fBas /\ u e. F /\ u C_ y) -> (y C_ U.F -> (z C_ x -> (x C_ U.F -> (z e. F -> ((x i^i y) C_ U.F /\ E.v e. F v C_ (x i^i y)))))))
75	74	3exp 1066	. . . . . . . . . . . 12 |- (F e. fBas -> (u e. F -> (u C_ y -> (y C_ U.F -> (z C_ x -> (x C_ U.F -> (z e. F -> ((x i^i y) C_ U.F /\ E.v e. F v C_ (x i^i y)))))))))
76	75	r19.23adv 2215	. . . . . . . . . . 11 |- (F e. fBas -> (E.u e. F u C_ y -> (y C_ U.F -> (z C_ x -> (x C_ U.F -> (z e. F -> ((x i^i y) C_ U.F /\ E.v e. F v C_ (x i^i y))))))))
77	76	com23 36	. . . . . . . . . 10 |- (F e. fBas -> (y C_ U.F -> (E.u e. F u C_ y -> (z C_ x -> (x C_ U.F -> (z e. F -> ((x i^i y) C_ U.F /\ E.v e. F v C_ (x i^i y))))))))
78	77	imp3a 388	. . . . . . . . 9 |- (F e. fBas -> ((y C_ U.F /\ E.u e. F u C_ y) -> (z C_ x -> (x C_ U.F -> (z e. F -> ((x i^i y) C_ U.F /\ E.v e. F v C_ (x i^i y)))))))
79	78	com25 48	. . . . . . . 8 |- (F e. fBas -> (z e. F -> (z C_ x -> (x C_ U.F -> ((y C_ U.F /\ E.u e. F u C_ y) -> ((x i^i y) C_ U.F /\ E.v e. F v C_ (x i^i y)))))))
80	79	r19.23adv 2215	. . . . . . 7 |- (F e. fBas -> (E.z e. F z C_ x -> (x C_ U.F -> ((y C_ U.F /\ E.u e. F u C_ y) -> ((x i^i y) C_ U.F /\ E.v e. F v C_ (x i^i y))))))
81	80	com23 36	. . . . . 6 |- (F e. fBas -> (x C_ U.F -> (E.z e. F z C_ x -> ((y C_ U.F /\ E.u e. F u C_ y) -> ((x i^i y) C_ U.F /\ E.v e. F v C_ (x i^i y))))))
82	81	imp4c 393	. . . . 5 |- (F e. fBas -> (((x C_ U.F /\ E.z e. F z C_ x) /\ (y C_ U.F /\ E.u e. F u C_ y)) -> ((x i^i y) C_ U.F /\ E.v e. F v C_ (x i^i y))))
83	13	elfg 10284	. . . . . 6 |- (F e. fBas -> (y e. (filGen` F) <-> (y C_ U.F /\ E.u e. F u C_ y)))
84	45, 83	anbi12d 690	. . . . 5 |- (F e. fBas -> ((x e. (filGen` F) /\ y e. (filGen` F)) <-> ((x C_ U.F /\ E.z e. F z C_ x) /\ (y C_ U.F /\ E.u e. F u C_ y))))
85	13	elfg 10284	. . . . 5 |- (F e. fBas -> ((x i^i y) e. (filGen` F) <-> ((x i^i y) C_ U.F /\ E.v e. F v C_ (x i^i y))))
86	82, 84, 85	3imtr4d 602	. . . 4 |- (F e. fBas -> ((x e. (filGen` F) /\ y e. (filGen` F)) -> (x i^i y) e. (filGen` F)))
87	86	r19.21aivv 2183	. . 3 |- (F e. fBas -> A.x e. (filGen` F)A.y e. (filGen` F)(x i^i y) e. (filGen` F))
88	30, 51, 87	3jca 1050	. 2 |- (F e. fBas -> ((-. (/) e. (filGen` F) /\ U.(filGen` F) e. (filGen` F)) /\ A.xA.y((x e. (filGen` F) /\ y C_ U.(filGen` F) /\ x C_ y) -> y e. (filGen` F)) /\ A.x e. (filGen` F)A.y e. (filGen` F)(x i^i y) e. (filGen` F)))
89		fvex 4689	. . 3 |- (filGen` F) e. _V
90		eqid 1884	. . . 4 |- U.(filGen` F) = U.(filGen` F)
91	90	isfil 10266	. . 3 |- ((filGen` F) e. _V -> ((filGen` F) e. Fil <-> ((-. (/) e. (filGen` F) /\ U.(filGen` F) e. (filGen` F)) /\ A.xA.y((x e. (filGen` F) /\ y C_ U.(filGen` F) /\ x C_ y) -> y e. (filGen` F)) /\ A.x e. (filGen` F)A.y e. (filGen` F)(x i^i y) e. (filGen` F))))
92	89, 91	ax-mp 7	. 2 |- ((filGen` F) e. Fil <-> ((-. (/) e. (filGen` F) /\ U.(filGen` F) e. (filGen` F)) /\ A.xA.y((x e. (filGen` F) /\ y C_ U.(filGen` F) /\ x C_ y) -> y e. (filGen` F)) /\ A.x e. (filGen` F)A.y e. (filGen` F)(x i^i y) e. (filGen` F)))
93	88, 92	sylibr 217	1 |- (F e. fBas -> (filGen` F) e. Fil)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326   =/= wne 2017   e/ wnel 2018  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   i^i cin 2592   C_ wss 2593  (/)c0 2875  U.cuni 3177  ` cfv 3998  fBascfbas 10257  filGencfg 10258  Filcfil 10264

This theorem is referenced by:  hausfillim 10303  fmf 10310  elfilmap3 10314  fbfgfmeq 10315  fbaslim 10322  cnpfillim4 14947  isufil2 15565  ufileu 15573  filufint 15574  uffixfr 15575  flimcls 15588  cnpfillim 15589  rnelfm 15593  fmfnfmlem2 15595  fmfnfm 15598  fmufil 15599  flimfbas 15601  fclusbas 15610  fclsfnflim 15614  flimfnfcls 15615  fcluscnp 15618  fcluscomp 15621

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-fbas 10259  df-fg 10260  df-fil 10265

Copyright terms: Public domain