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Theorem fgcfil 22002
Description: The Cauchy filter condition for a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
fgcfil  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  X )
)  ->  ( ( X filGen B )  e.  (CauFil `  D )  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  B  A. z  e.  y  A. w  e.  y  ( z D w )  < 
x ) )
Distinct variable groups:    x, w, y, z, B    w, X, x, y, z    w, D, x, y, z

Proof of Theorem fgcfil
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfili 21999 . . . . . 6  |-  ( ( ( X filGen B )  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. u  e.  ( X filGen B ) A. z  e.  u  A. w  e.  u  ( z D w )  <  x )
21adantll 712 . . . . 5  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  /\  ( X filGen B )  e.  (CauFil `  D )
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. u  e.  ( X filGen B ) A. z  e.  u  A. w  e.  u  ( z D w )  <  x )
3 elfg 20664 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( u  e.  ( X filGen B )  <-> 
( u  C_  X  /\  E. y  e.  B  y  C_  u ) ) )
43ad3antlr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  /\  ( X filGen B )  e.  (CauFil `  D )
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( u  e.  ( X filGen B )  <-> 
( u  C_  X  /\  E. y  e.  B  y  C_  u ) ) )
5 ssralv 3503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y 
C_  u  ->  ( A. w  e.  u  ( z D w )  <  x  ->  A. w  e.  y 
( z D w )  <  x ) )
65ralimdv 2814 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
C_  u  ->  ( A. z  e.  u  A. w  e.  u  ( z D w )  <  x  ->  A. z  e.  u  A. w  e.  y 
( z D w )  <  x ) )
7 ssralv 3503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
C_  u  ->  ( A. z  e.  u  A. w  e.  y 
( z D w )  <  x  ->  A. z  e.  y  A. w  e.  y 
( z D w )  <  x ) )
86, 7syld 42 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
C_  u  ->  ( A. z  e.  u  A. w  e.  u  ( z D w )  <  x  ->  A. z  e.  y  A. w  e.  y 
( z D w )  <  x ) )
98com12 29 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  u  A. w  e.  u  (
z D w )  <  x  ->  (
y  C_  u  ->  A. z  e.  y  A. w  e.  y  (
z D w )  <  x ) )
109reximdv 2878 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  u  A. w  e.  u  (
z D w )  <  x  ->  ( E. y  e.  B  y  C_  u  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  y  A. w  e.  y  ( z D w )  < 
x ) )
1110com12 29 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  B  y 
C_  u  ->  ( A. z  e.  u  A. w  e.  u  ( z D w )  <  x  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  y  A. w  e.  y 
( z D w )  <  x ) )
1211adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( u  C_  X  /\  E. y  e.  B  y 
C_  u )  -> 
( A. z  e.  u  A. w  e.  u  ( z D w )  <  x  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  y  A. w  e.  y 
( z D w )  <  x ) )
134, 12syl6bi 228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  /\  ( X filGen B )  e.  (CauFil `  D )
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( u  e.  ( X filGen B )  ->  ( A. z  e.  u  A. w  e.  u  ( z D w )  < 
x  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  y  A. w  e.  y  ( z D w )  < 
x ) ) )
1413rexlimdv 2894 . . . . 5  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  /\  ( X filGen B )  e.  (CauFil `  D )
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. u  e.  ( X filGen B ) A. z  e.  u  A. w  e.  u  ( z D w )  < 
x  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  y  A. w  e.  y  ( z D w )  < 
x ) )
152, 14mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  /\  ( X filGen B )  e.  (CauFil `  D )
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  y  A. w  e.  y  ( z D w )  < 
x )
1615ralrimiva 2818 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  B  e.  ( fBas `  X )
)  /\  ( X filGen B )  e.  (CauFil `  D ) )  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  B  A. z  e.  y  A. w  e.  y  ( z D w )  < 
x )
1716ex 432 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  X )
)  ->  ( ( X filGen B )  e.  (CauFil `  D )  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  B  A. z  e.  y  A. w  e.  y  (
z D w )  <  x ) )
18 ssfg 20665 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( fBas `  X
)  ->  B  C_  ( X filGen B ) )
1918adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  X )
)  ->  B  C_  ( X filGen B ) )
20 ssrexv 3504 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  ( X filGen B )  ->  ( E. y  e.  B  A. z  e.  y  A. w  e.  y  (
z D w )  <  x  ->  E. y  e.  ( X filGen B ) A. z  e.  y 
A. w  e.  y  ( z D w )  <  x ) )
2120ralimdv 2814 . . . . 5  |-  ( B 
C_  ( X filGen B )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  B  A. z  e.  y  A. w  e.  y  ( z D w )  < 
x  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ( X filGen B ) A. z  e.  y 
A. w  e.  y  ( z D w )  <  x ) )
2219, 21syl 17 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  X )
)  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  B  A. z  e.  y  A. w  e.  y  ( z D w )  < 
x  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ( X filGen B ) A. z  e.  y 
A. w  e.  y  ( z D w )  <  x ) )
23 fgcl 20671 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( X filGen B )  e.  ( Fil `  X ) )
2423adantl 464 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  X )
)  ->  ( X filGen B )  e.  ( Fil `  X ) )
2522, 24jctild 541 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  X )
)  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  B  A. z  e.  y  A. w  e.  y  ( z D w )  < 
x  ->  ( ( X filGen B )  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ( X filGen B ) A. z  e.  y 
A. w  e.  y  ( z D w )  <  x ) ) )
26 iscfil2 21997 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (
( X filGen B )  e.  (CauFil `  D
)  <->  ( ( X
filGen B )  e.  ( Fil `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ( X filGen B ) A. z  e.  y  A. w  e.  y  (
z D w )  <  x ) ) )
2726adantr 463 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  X )
)  ->  ( ( X filGen B )  e.  (CauFil `  D )  <->  ( ( X filGen B )  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ( X filGen B ) A. z  e.  y 
A. w  e.  y  ( z D w )  <  x ) ) )
2825, 27sylibrd 234 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  X )
)  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  B  A. z  e.  y  A. w  e.  y  ( z D w )  < 
x  ->  ( X filGen B )  e.  (CauFil `  D ) ) )
2917, 28impbid 190 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  X )
)  ->  ( ( X filGen B )  e.  (CauFil `  D )  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  B  A. z  e.  y  A. w  e.  y  ( z D w )  < 
x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    e. wcel 1842   A.wral 2754   E.wrex 2755    C_ wss 3414   class class class wbr 4395   ` cfv 5569  (class class class)co 6278    < clt 9658   RR+crp 11265   *Metcxmt 18723   fBascfbas 18726   filGencfg 18727   Filcfil 20638  CauFilccfil 21983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-2 10635  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-ico 11588  df-xmet 18732  df-fbas 18736  df-fg 18737  df-fil 20639  df-cfil 21986
This theorem is referenced by:  fmcfil  22003  cfilresi  22026  minveclem3  22136
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