Theorem fgbas 10286

Description: The base set of a generated filter is the base set of the parent base. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Sep-2009.)

Hypothesis

Ref	Expression
fgbas.1	|- X = U.F

Assertion

Ref	Expression
fgbas	|- (F e. fBas -> X = U.(filGen` F))

Proof of Theorem fgbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fbssfg 10285	. . . 4 |- (F e. fBas -> F C_ (filGen` F))
2		uniss 3199	. . . 4 |- (F C_ (filGen` F) -> U.F C_ U.(filGen` F))
3	1, 2	syl 12	. . 3 |- (F e. fBas -> U.F C_ U.(filGen` F))
4		fgbas.1	. . 3 |- X = U.F
5	3, 4	syl5ss 2661	. 2 |- (F e. fBas -> X C_ U.(filGen` F))
6	4	elfg 10284	. . . . . . 7 |- (F e. fBas -> (x e. (filGen` F) <-> (x C_ X /\ E.y e. F y C_ x)))
7	6	anbi2d 678	. . . . . 6 |- (F e. fBas -> ((t e. x /\ x e. (filGen` F)) <-> (t e. x /\ (x C_ X /\ E.y e. F y C_ x))))
8		ssel2 2616	. . . . . . . 8 |- ((x C_ X /\ t e. x) -> t e. X)
9	8	ancoms 484	. . . . . . 7 |- ((t e. x /\ x C_ X) -> t e. X)
10	9	adantrr 431	. . . . . 6 |- ((t e. x /\ (x C_ X /\ E.y e. F y C_ x)) -> t e. X)
11	7, 10	syl6bi 231	. . . . 5 |- (F e. fBas -> ((t e. x /\ x e. (filGen` F)) -> t e. X))
12	11	19.23adv 1584	. . . 4 |- (F e. fBas -> (E.x(t e. x /\ x e. (filGen` F)) -> t e. X))
13		eluni 3180	. . . 4 |- (t e. U.(filGen` F) <-> E.x(t e. x /\ x e. (filGen` F)))
14	12, 13	syl5ib 223	. . 3 |- (F e. fBas -> (t e. U.(filGen` F) -> t e. X))
15	14	ssrdv 2622	. 2 |- (F e. fBas -> U.(filGen` F) C_ X)
16	5, 15	eqssd 2633	1 |- (F e. fBas -> X = U.(filGen` F))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  E.wrex 2106   C_ wss 2593  U.cuni 3177  ` cfv 3998  fBascfbas 10257  filGencfg 10258

This theorem is referenced by:  fgfil 10290  hausfillim 10303  fmbas 10311  elfilmap3 10314  fbfgfmeq 10315  fbaslim 10322  cnpfillim4 14947  isufil2 15565  ufileu 15573  filufint 15574  uffixfr 15575  flimcls 15588  cnpfillim 15589  rnelfm 15593  fmfnfmlem2 15595  fmfnfm 15598  fmufil 15599  flimfbas 15601  fclusbas 15610  fclsfnflim 15614  flimfnfcls 15615  fcluscnp 15618  fcluscomp 15621

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-fg 10260

Copyright terms: Public domain