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Theorem fgabs 20674
Description: Absorption law for filter generation. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
fgabs  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  Y  C_  X )  ->  ( X filGen ( Y filGen F ) )  =  ( X filGen F ) )

Proof of Theorem fgabs
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  Y  C_  X )  /\  X  e.  _V )  ->  F  e.  (
fBas `  Y )
)
2 fgcl 20673 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( Y filGen F )  e.  ( Fil `  Y ) )
3 filfbas 20643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y filGen F )  e.  ( Fil `  Y
)  ->  ( Y filGen F )  e.  (
fBas `  Y )
)
41, 2, 33syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  Y  C_  X )  /\  X  e.  _V )  ->  ( Y filGen F )  e.  ( fBas `  Y ) )
5 fbsspw 20627 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y filGen F )  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( Y filGen F )  C_  ~P Y )
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  Y  C_  X )  /\  X  e.  _V )  ->  ( Y filGen F )  C_  ~P Y
)
7 simplr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  Y  C_  X )  /\  X  e.  _V )  ->  Y  C_  X
)
8 sspwb 4642 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y 
C_  X  <->  ~P Y  C_ 
~P X )
97, 8sylib 198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  Y  C_  X )  /\  X  e.  _V )  ->  ~P Y  C_  ~P X )
106, 9sstrd 3454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  Y  C_  X )  /\  X  e.  _V )  ->  ( Y filGen F )  C_  ~P X
)
11 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  Y  C_  X )  /\  X  e.  _V )  ->  X  e.  _V )
12 fbasweak 20660 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Y filGen F )  e.  ( fBas `  Y
)  /\  ( Y filGen F )  C_  ~P X  /\  X  e.  _V )  ->  ( Y filGen F )  e.  ( fBas `  X ) )
134, 10, 11, 12syl3anc 1232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  Y  C_  X )  /\  X  e.  _V )  ->  ( Y filGen F )  e.  ( fBas `  X ) )
14 elfg 20666 . . . . . . 7  |-  ( ( Y filGen F )  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( x  e.  ( X filGen ( Y
filGen F ) )  <->  ( x  C_  X  /\  E. y  e.  ( Y filGen F ) y  C_  x )
) )
1513, 14syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  Y  C_  X )  /\  X  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( X filGen ( Y
filGen F ) )  <->  ( x  C_  X  /\  E. y  e.  ( Y filGen F ) y  C_  x )
) )
161adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  Y  C_  X
)  /\  X  e.  _V )  /\  x  C_  X )  ->  F  e.  ( fBas `  Y
) )
17 elfg 20666 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( y  e.  ( Y filGen F )  <-> 
( y  C_  Y  /\  E. z  e.  F  z  C_  y ) ) )
1816, 17syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  Y  C_  X
)  /\  X  e.  _V )  /\  x  C_  X )  ->  (
y  e.  ( Y
filGen F )  <->  ( y  C_  Y  /\  E. z  e.  F  z  C_  y ) ) )
19 fbsspw 20627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F  e.  ( fBas `  Y
)  ->  F  C_  ~P Y )
201, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  Y  C_  X )  /\  X  e.  _V )  ->  F  C_  ~P Y )
2120, 9sstrd 3454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  Y  C_  X )  /\  X  e.  _V )  ->  F  C_  ~P X )
22 fbasweak 20660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  F  C_ 
~P X  /\  X  e.  _V )  ->  F  e.  ( fBas `  X
) )
231, 21, 11, 22syl3anc 1232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  Y  C_  X )  /\  X  e.  _V )  ->  F  e.  (
fBas `  X )
)
24 fgcl 20673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X ) )
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  Y  C_  X )  /\  X  e.  _V )  ->  ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X ) )
2625ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  Y  C_  X
)  /\  X  e.  _V )  /\  (
x  C_  X  /\  y  C_  Y ) )  /\  ( ( z  e.  F  /\  z  C_  y )  /\  y  C_  x ) )  -> 
( X filGen F )  e.  ( Fil `  X
) )
27 ssfg 20667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  F  C_  ( X filGen F ) )
2823, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  Y  C_  X )  /\  X  e.  _V )  ->  F  C_  ( X filGen F ) )
2928adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  Y  C_  X
)  /\  X  e.  _V )  /\  (
x  C_  X  /\  y  C_  Y ) )  ->  F  C_  ( X filGen F ) )
3029sselda 3444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  Y  C_  X
)  /\  X  e.  _V )  /\  (
x  C_  X  /\  y  C_  Y ) )  /\  z  e.  F
)  ->  z  e.  ( X filGen F ) )
3130adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  Y  C_  X
)  /\  X  e.  _V )  /\  (
x  C_  X  /\  y  C_  Y ) )  /\  ( z  e.  F  /\  z  C_  y ) )  -> 
z  e.  ( X
filGen F ) )
3231adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  Y  C_  X
)  /\  X  e.  _V )  /\  (
x  C_  X  /\  y  C_  Y ) )  /\  ( ( z  e.  F  /\  z  C_  y )  /\  y  C_  x ) )  -> 
z  e.  ( X
filGen F ) )
33 simplrl 764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  Y  C_  X
)  /\  X  e.  _V )  /\  (
x  C_  X  /\  y  C_  Y ) )  /\  ( ( z  e.  F  /\  z  C_  y )  /\  y  C_  x ) )  ->  x  C_  X )
34 simprlr 767 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  Y  C_  X
)  /\  X  e.  _V )  /\  (
x  C_  X  /\  y  C_  Y ) )  /\  ( ( z  e.  F  /\  z  C_  y )  /\  y  C_  x ) )  -> 
z  C_  y )
35 simprr 760 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  Y  C_  X
)  /\  X  e.  _V )  /\  (
x  C_  X  /\  y  C_  Y ) )  /\  ( ( z  e.  F  /\  z  C_  y )  /\  y  C_  x ) )  -> 
y  C_  x )
3634, 35sstrd 3454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  Y  C_  X
)  /\  X  e.  _V )  /\  (
x  C_  X  /\  y  C_  Y ) )  /\  ( ( z  e.  F  /\  z  C_  y )  /\  y  C_  x ) )  -> 
z  C_  x )
37 filss 20648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( z  e.  ( X filGen F )  /\  x  C_  X  /\  z  C_  x ) )  ->  x  e.  ( X filGen F ) )
3826, 32, 33, 36, 37syl13anc 1234 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  Y  C_  X
)  /\  X  e.  _V )  /\  (
x  C_  X  /\  y  C_  Y ) )  /\  ( ( z  e.  F  /\  z  C_  y )  /\  y  C_  x ) )  ->  x  e.  ( X filGen F ) )
3938expr 615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  Y  C_  X
)  /\  X  e.  _V )  /\  (
x  C_  X  /\  y  C_  Y ) )  /\  ( z  e.  F  /\  z  C_  y ) )  -> 
( y  C_  x  ->  x  e.  ( X
filGen F ) ) )
4039rexlimdvaa 2899 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  Y  C_  X
)  /\  X  e.  _V )  /\  (
x  C_  X  /\  y  C_  Y ) )  ->  ( E. z  e.  F  z  C_  y  ->  ( y  C_  x  ->  x  e.  ( X filGen F ) ) ) )
4140anassrs 648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  Y  C_  X
)  /\  X  e.  _V )  /\  x  C_  X )  /\  y  C_  Y )  ->  ( E. z  e.  F  z  C_  y  ->  (
y  C_  x  ->  x  e.  ( X filGen F ) ) ) )
4241expimpd 603 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  Y  C_  X
)  /\  X  e.  _V )  /\  x  C_  X )  ->  (
( y  C_  Y  /\  E. z  e.  F  z  C_  y )  -> 
( y  C_  x  ->  x  e.  ( X
filGen F ) ) ) )
4318, 42sylbid 217 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  Y  C_  X
)  /\  X  e.  _V )  /\  x  C_  X )  ->  (
y  e.  ( Y
filGen F )  ->  (
y  C_  x  ->  x  e.  ( X filGen F ) ) ) )
4443rexlimdv 2896 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  Y  C_  X
)  /\  X  e.  _V )  /\  x  C_  X )  ->  ( E. y  e.  ( Y filGen F ) y 
C_  x  ->  x  e.  ( X filGen F ) ) )
4544expimpd 603 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  Y  C_  X )  /\  X  e.  _V )  ->  ( ( x 
C_  X  /\  E. y  e.  ( Y filGen F ) y  C_  x )  ->  x  e.  ( X filGen F ) ) )
4615, 45sylbid 217 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  Y  C_  X )  /\  X  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( X filGen ( Y
filGen F ) )  ->  x  e.  ( X filGen F ) ) )
4746ssrdv 3450 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  Y  C_  X )  /\  X  e.  _V )  ->  ( X filGen ( Y filGen F ) ) 
C_  ( X filGen F ) )
48 ssfg 20667 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( fBas `  Y
)  ->  F  C_  ( Y filGen F ) )
4948ad2antrr 726 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  Y  C_  X )  /\  X  e.  _V )  ->  F  C_  ( Y filGen F ) )
50 fgss 20668 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  ( Y filGen F )  e.  ( fBas `  X
)  /\  F  C_  ( Y filGen F ) )  ->  ( X filGen F )  C_  ( X filGen ( Y filGen F ) ) )
5123, 13, 49, 50syl3anc 1232 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  Y  C_  X )  /\  X  e.  _V )  ->  ( X filGen F )  C_  ( X filGen ( Y filGen F ) ) )
5247, 51eqssd 3461 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  Y  C_  X )  /\  X  e.  _V )  ->  ( X filGen ( Y filGen F ) )  =  ( X filGen F ) )
5352ex 434 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  Y  C_  X )  ->  ( X  e.  _V  ->  ( X filGen ( Y filGen F ) )  =  ( X filGen F ) ) )
54 df-fg 18739 . . . . 5  |-  filGen  =  ( w  e.  _V ,  x  e.  ( fBas `  w )  |->  { y  e.  ~P w  |  ( x  i^i  ~P y )  =/=  (/) } )
5554reldmmpt2 6396 . . . 4  |-  Rel  dom  filGen
5655ovprc1 6311 . . 3  |-  ( -.  X  e.  _V  ->  ( X filGen ( Y filGen F ) )  =  (/) )
5755ovprc1 6311 . . 3  |-  ( -.  X  e.  _V  ->  ( X filGen F )  =  (/) )
5856, 57eqtr4d 2448 . 2  |-  ( -.  X  e.  _V  ->  ( X filGen ( Y filGen F ) )  =  ( X filGen F ) )
5953, 58pm2.61d1 161 1  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  Y  C_  X )  ->  ( X filGen ( Y filGen F ) )  =  ( X filGen F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844    =/= wne 2600   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3061    i^i cin 3415    C_ wss 3416   (/)c0 3740   ~Pcpw 3957   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   fBascfbas 18728   filGencfg 18729   Filcfil 20640
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fv 5579  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-fbas 18738  df-fg 18739  df-fil 20641
This theorem is referenced by:  minveclem4a  22139
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