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Theorem fgabs 17864
Description: Absorption law for filter generation. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
fgabs  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  Y  C_  X )  ->  ( X filGen ( Y filGen F ) )  =  ( X filGen F ) )

Proof of Theorem fgabs
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  Y  C_  X )  /\  X  e.  _V )  ->  F  e.  (
fBas `  Y )
)
2 fgcl 17863 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( Y filGen F )  e.  ( Fil `  Y ) )
3 filfbas 17833 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y filGen F )  e.  ( Fil `  Y
)  ->  ( Y filGen F )  e.  (
fBas `  Y )
)
41, 2, 33syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  Y  C_  X )  /\  X  e.  _V )  ->  ( Y filGen F )  e.  ( fBas `  Y ) )
5 fbsspw 17817 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y filGen F )  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( Y filGen F )  C_  ~P Y )
64, 5syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  Y  C_  X )  /\  X  e.  _V )  ->  ( Y filGen F )  C_  ~P Y
)
7 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  Y  C_  X )  /\  X  e.  _V )  ->  Y  C_  X
)
8 sspwb 4373 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y 
C_  X  <->  ~P Y  C_ 
~P X )
97, 8sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  Y  C_  X )  /\  X  e.  _V )  ->  ~P Y  C_  ~P X )
106, 9sstrd 3318 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  Y  C_  X )  /\  X  e.  _V )  ->  ( Y filGen F )  C_  ~P X
)
11 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  Y  C_  X )  /\  X  e.  _V )  ->  X  e.  _V )
12 fbasweak 17850 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Y filGen F )  e.  ( fBas `  Y
)  /\  ( Y filGen F )  C_  ~P X  /\  X  e.  _V )  ->  ( Y filGen F )  e.  ( fBas `  X ) )
134, 10, 11, 12syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  Y  C_  X )  /\  X  e.  _V )  ->  ( Y filGen F )  e.  ( fBas `  X ) )
14 elfg 17856 . . . . . . 7  |-  ( ( Y filGen F )  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( x  e.  ( X filGen ( Y
filGen F ) )  <->  ( x  C_  X  /\  E. y  e.  ( Y filGen F ) y  C_  x )
) )
1513, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  Y  C_  X )  /\  X  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( X filGen ( Y
filGen F ) )  <->  ( x  C_  X  /\  E. y  e.  ( Y filGen F ) y  C_  x )
) )
161adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  Y  C_  X
)  /\  X  e.  _V )  /\  x  C_  X )  ->  F  e.  ( fBas `  Y
) )
17 elfg 17856 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( y  e.  ( Y filGen F )  <-> 
( y  C_  Y  /\  E. z  e.  F  z  C_  y ) ) )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  Y  C_  X
)  /\  X  e.  _V )  /\  x  C_  X )  ->  (
y  e.  ( Y
filGen F )  <->  ( y  C_  Y  /\  E. z  e.  F  z  C_  y ) ) )
19 fbsspw 17817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F  e.  ( fBas `  Y
)  ->  F  C_  ~P Y )
201, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  Y  C_  X )  /\  X  e.  _V )  ->  F  C_  ~P Y )
2120, 9sstrd 3318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  Y  C_  X )  /\  X  e.  _V )  ->  F  C_  ~P X )
22 fbasweak 17850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  F  C_ 
~P X  /\  X  e.  _V )  ->  F  e.  ( fBas `  X
) )
231, 21, 11, 22syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  Y  C_  X )  /\  X  e.  _V )  ->  F  e.  (
fBas `  X )
)
24 fgcl 17863 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X ) )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  Y  C_  X )  /\  X  e.  _V )  ->  ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X ) )
2625ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  Y  C_  X
)  /\  X  e.  _V )  /\  (
x  C_  X  /\  y  C_  Y ) )  /\  ( ( z  e.  F  /\  z  C_  y )  /\  y  C_  x ) )  -> 
( X filGen F )  e.  ( Fil `  X
) )
27 ssfg 17857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  F  C_  ( X filGen F ) )
2823, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  Y  C_  X )  /\  X  e.  _V )  ->  F  C_  ( X filGen F ) )
2928adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  Y  C_  X
)  /\  X  e.  _V )  /\  (
x  C_  X  /\  y  C_  Y ) )  ->  F  C_  ( X filGen F ) )
3029sselda 3308 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  Y  C_  X
)  /\  X  e.  _V )  /\  (
x  C_  X  /\  y  C_  Y ) )  /\  z  e.  F
)  ->  z  e.  ( X filGen F ) )
3130adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  Y  C_  X
)  /\  X  e.  _V )  /\  (
x  C_  X  /\  y  C_  Y ) )  /\  ( z  e.  F  /\  z  C_  y ) )  -> 
z  e.  ( X
filGen F ) )
3231adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  Y  C_  X
)  /\  X  e.  _V )  /\  (
x  C_  X  /\  y  C_  Y ) )  /\  ( ( z  e.  F  /\  z  C_  y )  /\  y  C_  x ) )  -> 
z  e.  ( X
filGen F ) )
33 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  Y  C_  X
)  /\  X  e.  _V )  /\  (
x  C_  X  /\  y  C_  Y ) )  /\  ( ( z  e.  F  /\  z  C_  y )  /\  y  C_  x ) )  ->  x  C_  X )
34 simprlr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  Y  C_  X
)  /\  X  e.  _V )  /\  (
x  C_  X  /\  y  C_  Y ) )  /\  ( ( z  e.  F  /\  z  C_  y )  /\  y  C_  x ) )  -> 
z  C_  y )
35 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  Y  C_  X
)  /\  X  e.  _V )  /\  (
x  C_  X  /\  y  C_  Y ) )  /\  ( ( z  e.  F  /\  z  C_  y )  /\  y  C_  x ) )  -> 
y  C_  x )
3634, 35sstrd 3318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  Y  C_  X
)  /\  X  e.  _V )  /\  (
x  C_  X  /\  y  C_  Y ) )  /\  ( ( z  e.  F  /\  z  C_  y )  /\  y  C_  x ) )  -> 
z  C_  x )
37 filss 17838 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( z  e.  ( X filGen F )  /\  x  C_  X  /\  z  C_  x ) )  ->  x  e.  ( X filGen F ) )
3826, 32, 33, 36, 37syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  Y  C_  X
)  /\  X  e.  _V )  /\  (
x  C_  X  /\  y  C_  Y ) )  /\  ( ( z  e.  F  /\  z  C_  y )  /\  y  C_  x ) )  ->  x  e.  ( X filGen F ) )
3938expr 599 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  Y  C_  X
)  /\  X  e.  _V )  /\  (
x  C_  X  /\  y  C_  Y ) )  /\  ( z  e.  F  /\  z  C_  y ) )  -> 
( y  C_  x  ->  x  e.  ( X
filGen F ) ) )
4039rexlimdvaa 2791 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  Y  C_  X
)  /\  X  e.  _V )  /\  (
x  C_  X  /\  y  C_  Y ) )  ->  ( E. z  e.  F  z  C_  y  ->  ( y  C_  x  ->  x  e.  ( X filGen F ) ) ) )
4140anassrs 630 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  Y  C_  X
)  /\  X  e.  _V )  /\  x  C_  X )  /\  y  C_  Y )  ->  ( E. z  e.  F  z  C_  y  ->  (
y  C_  x  ->  x  e.  ( X filGen F ) ) ) )
4241expimpd 587 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  Y  C_  X
)  /\  X  e.  _V )  /\  x  C_  X )  ->  (
( y  C_  Y  /\  E. z  e.  F  z  C_  y )  -> 
( y  C_  x  ->  x  e.  ( X
filGen F ) ) ) )
4318, 42sylbid 207 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  Y  C_  X
)  /\  X  e.  _V )  /\  x  C_  X )  ->  (
y  e.  ( Y
filGen F )  ->  (
y  C_  x  ->  x  e.  ( X filGen F ) ) ) )
4443rexlimdv 2789 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  Y  C_  X
)  /\  X  e.  _V )  /\  x  C_  X )  ->  ( E. y  e.  ( Y filGen F ) y 
C_  x  ->  x  e.  ( X filGen F ) ) )
4544expimpd 587 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  Y  C_  X )  /\  X  e.  _V )  ->  ( ( x 
C_  X  /\  E. y  e.  ( Y filGen F ) y  C_  x )  ->  x  e.  ( X filGen F ) ) )
4615, 45sylbid 207 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  Y  C_  X )  /\  X  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( X filGen ( Y
filGen F ) )  ->  x  e.  ( X filGen F ) ) )
4746ssrdv 3314 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  Y  C_  X )  /\  X  e.  _V )  ->  ( X filGen ( Y filGen F ) ) 
C_  ( X filGen F ) )
48 ssfg 17857 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( fBas `  Y
)  ->  F  C_  ( Y filGen F ) )
4948ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  Y  C_  X )  /\  X  e.  _V )  ->  F  C_  ( Y filGen F ) )
50 fgss 17858 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  ( Y filGen F )  e.  ( fBas `  X
)  /\  F  C_  ( Y filGen F ) )  ->  ( X filGen F )  C_  ( X filGen ( Y filGen F ) ) )
5123, 13, 49, 50syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  Y  C_  X )  /\  X  e.  _V )  ->  ( X filGen F )  C_  ( X filGen ( Y filGen F ) ) )
5247, 51eqssd 3325 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  Y  C_  X )  /\  X  e.  _V )  ->  ( X filGen ( Y filGen F ) )  =  ( X filGen F ) )
5352ex 424 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  Y  C_  X )  ->  ( X  e.  _V  ->  ( X filGen ( Y filGen F ) )  =  ( X filGen F ) ) )
54 df-fg 16655 . . . . 5  |-  filGen  =  ( w  e.  _V ,  x  e.  ( fBas `  w )  |->  { y  e.  ~P w  |  ( x  i^i  ~P y )  =/=  (/) } )
5554reldmmpt2 6140 . . . 4  |-  Rel  dom  filGen
5655ovprc1 6068 . . 3  |-  ( -.  X  e.  _V  ->  ( X filGen ( Y filGen F ) )  =  (/) )
5755ovprc1 6068 . . 3  |-  ( -.  X  e.  _V  ->  ( X filGen F )  =  (/) )
5856, 57eqtr4d 2439 . 2  |-  ( -.  X  e.  _V  ->  ( X filGen ( Y filGen F ) )  =  ( X filGen F ) )
5953, 58pm2.61d1 153 1  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  Y  C_  X )  ->  ( X filGen ( Y filGen F ) )  =  ( X filGen F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   E.wrex 2667   {crab 2670   _Vcvv 2916    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   fBascfbas 16644   filGencfg 16645   Filcfil 17830
This theorem is referenced by:  minveclem4a  19284
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-fil 17831
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