MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ffz0iswrd Structured version   Unicode version

Theorem ffz0iswrd 12476
Description: A sequence with zero-based indices is a word. (Contributed by AV, 31-Jan-2018.) (Proof shortened by AV, 13-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
ffz0iswrd  |-  ( W : ( 0 ... L ) --> S  ->  W  e. Word  S )

Proof of Theorem ffz0iswrd
StepHypRef Expression
1 fzval3 11784 . . . . 5  |-  ( L  e.  ZZ  ->  (
0 ... L )  =  ( 0..^ ( L  +  1 ) ) )
21feq2d 5626 . . . 4  |-  ( L  e.  ZZ  ->  ( W : ( 0 ... L ) --> S  <->  W :
( 0..^ ( L  +  1 ) ) --> S ) )
32biimpa 482 . . 3  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  W : ( 0 ... L ) --> S )  ->  W : ( 0..^ ( L  + 
1 ) ) --> S )
4 iswrdi 12457 . . 3  |-  ( W : ( 0..^ ( L  +  1 ) ) --> S  ->  W  e. Word  S )
53, 4syl 16 . 2  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  W : ( 0 ... L ) --> S )  ->  W  e. Word  S
)
6 df-nel 2580 . . . . . . . 8  |-  ( L  e/  ZZ  <->  -.  L  e.  ZZ )
76biimpri 206 . . . . . . 7  |-  ( -.  L  e.  ZZ  ->  L  e/  ZZ )
87olcd 391 . . . . . 6  |-  ( -.  L  e.  ZZ  ->  ( 0  e/  ZZ  \/  L  e/  ZZ ) )
9 fz0 11622 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e/  ZZ  \/  L  e/  ZZ )  -> 
( 0 ... L
)  =  (/) )
108, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( -.  L  e.  ZZ  ->  ( 0 ... L )  =  (/) )
1110feq2d 5626 . . . 4  |-  ( -.  L  e.  ZZ  ->  ( W : ( 0 ... L ) --> S  <-> 
W : (/) --> S ) )
12 iswrddm0 12472 . . . 4  |-  ( W : (/) --> S  ->  W  e. Word  S )
1311, 12syl6bi 228 . . 3  |-  ( -.  L  e.  ZZ  ->  ( W : ( 0 ... L ) --> S  ->  W  e. Word  S
) )
1413imp 427 . 2  |-  ( ( -.  L  e.  ZZ  /\  W : ( 0 ... L ) --> S )  ->  W  e. Word  S )
155, 14pm2.61ian 788 1  |-  ( W : ( 0 ... L ) --> S  ->  W  e. Word  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826    e/ wnel 2578   (/)c0 3711   -->wf 5492  (class class class)co 6196   0cc0 9403   1c1 9404    + caddc 9406   ZZcz 10781   ...cfz 11593  ..^cfzo 11717  Word cword 12438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-word 12446
This theorem is referenced by:  wlkiswwlk1  24811  vfwlkniswwlkn  24827  clwlkisclwwlklem1  24908
  Copyright terms: Public domain W3C validator