MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ffz0iswrd Structured version   Unicode version

Theorem ffz0iswrd 12343
Description: A sequence with zero-based indices is a word. (Contributed by AV, 31-Jan-2018.) (Proof shortened by AV, 13-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
ffz0iswrd  |-  ( W : ( 0 ... L ) --> S  ->  W  e. Word  S )

Proof of Theorem ffz0iswrd
StepHypRef Expression
1 fzval3 11692 . . . . 5  |-  ( L  e.  ZZ  ->  (
0 ... L )  =  ( 0..^ ( L  +  1 ) ) )
21feq2d 5631 . . . 4  |-  ( L  e.  ZZ  ->  ( W : ( 0 ... L ) --> S  <->  W :
( 0..^ ( L  +  1 ) ) --> S ) )
32biimpa 484 . . 3  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  W : ( 0 ... L ) --> S )  ->  W : ( 0..^ ( L  + 
1 ) ) --> S )
4 iswrdi 12327 . . 3  |-  ( W : ( 0..^ ( L  +  1 ) ) --> S  ->  W  e. Word  S )
53, 4syl 16 . 2  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  W : ( 0 ... L ) --> S )  ->  W  e. Word  S
)
6 df-nel 2644 . . . . . . . 8  |-  ( L  e/  ZZ  <->  -.  L  e.  ZZ )
76biimpri 206 . . . . . . 7  |-  ( -.  L  e.  ZZ  ->  L  e/  ZZ )
87olcd 393 . . . . . 6  |-  ( -.  L  e.  ZZ  ->  ( 0  e/  ZZ  \/  L  e/  ZZ ) )
9 fz0 11552 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e/  ZZ  \/  L  e/  ZZ )  -> 
( 0 ... L
)  =  (/) )
108, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( -.  L  e.  ZZ  ->  ( 0 ... L )  =  (/) )
1110feq2d 5631 . . . 4  |-  ( -.  L  e.  ZZ  ->  ( W : ( 0 ... L ) --> S  <-> 
W : (/) --> S ) )
12 iswrddm0 12342 . . . 4  |-  ( W : (/) --> S  ->  W  e. Word  S )
1311, 12syl6bi 228 . . 3  |-  ( -.  L  e.  ZZ  ->  ( W : ( 0 ... L ) --> S  ->  W  e. Word  S
) )
1413imp 429 . 2  |-  ( ( -.  L  e.  ZZ  /\  W : ( 0 ... L ) --> S )  ->  W  e. Word  S )
155, 14pm2.61ian 788 1  |-  ( W : ( 0 ... L ) --> S  ->  W  e. Word  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1757    e/ wnel 2642   (/)c0 3721   -->wf 5498  (class class class)co 6176   0cc0 9369   1c1 9370    + caddc 9372   ZZcz 10733   ...cfz 11524  ..^cfzo 11635  Word cword 12309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-1o 7006  df-oadd 7010  df-er 7187  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-fin 7400  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-nn 10410  df-n0 10667  df-z 10734  df-uz 10949  df-fz 11525  df-fzo 11636  df-word 12317
This theorem is referenced by:  wlkiswwlk1  30448  vfwlkniswwlkn  30464  clwlkisclwwlklem1  30573
  Copyright terms: Public domain W3C validator