Theorem ffvelrni 6015

Description: A function's value belongs to its codomain. (Contributed by NM, 6-Apr-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
ffvrni.1	|- F : A --> B

Assertion

Ref	Expression
ffvelrni	|- ( C e. A -> ( F ` C ) e. B )

Proof of Theorem ffvelrni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvrni.1	. 2 |- F : A --> B
2		ffvelrn 6014	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. B )
3	1, 2	mpan 670	1 |- ( C e. A -> ( F ` C ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1804   -->wf 5574   ` cfv 5578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pr 4676

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-fv 5586

This theorem is referenced by:  f0cli  6027  cantnfval2  8091  cantnfle  8093  cantnflt  8094  cantnfres  8099  cantnfp1lem3  8102  cantnflem1b  8108  cantnflem1d  8110  cantnflem1  8111  cantnfval2OLD  8121  cantnfleOLD  8123  cantnfltOLD  8124  cantnfp1lem3OLD  8128  cantnflem1bOLD  8131  cantnflem1dOLD  8133  cantnflem1OLD  8134  wemapwe  8142  wemapweOLD  8143  cnfcomlem  8146  cnfcom  8147  cnfcom3lem  8150  cnfcom3  8151  cnfcomlemOLD  8154  cnfcomOLD  8155  cnfcom3lemOLD  8158  cnfcom3OLD  8159  ackbij1lem14  8616  ackbij1lem15  8617  ackbij1lem16  8618  ackbij1lem18  8620  fpwwe2lem8  9018  nqercl  9312  uzssz  11111  axdc4uzlem  12074  hashkf  12389  hashcl  12410  hashxrcl  12411  hashgadd  12427  cjcl  12920  limsupcl  13278  limsuplt  13284  limsupval2  13285  limsupgre  13286  limsupbnd2  13288  cn1lem  13402  climcn1lem  13407  caucvgrlem2  13479  fsumrelem  13603  ackbijnn  13622  efcl  13800  sincl  13843  coscl  13844  rpnnen2lem9  13938  rpnnen2  13941  sadcaddlem  14089  sadadd2lem  14091  sadadd3  14093  sadaddlem  14098  sadasslem  14102  sadeq  14104  algcvg  14187  algcvgb  14189  algcvga  14190  algfx  14191  eucalgcvga  14197  eucalg  14198  xpsaddlem  14954  xpsvsca  14958  xpsle  14960  efgtf  16719  efgtlen  16723  efginvrel2  16724  efginvrel1  16725  efgsp1  16734  efgredleme  16740  efgredlemc  16742  efgred  16745  efgred2  16750  efgcpbllemb  16752  frgpnabllem1  16856  xpsdsval  20862  xrhmeo  21424  ioorcl  21964  volsup2  21992  volivth  21994  itg2const2  22126  itg2gt0  22145  dvcjbr  22330  dvcj  22331  dvfre  22332  rolle  22369  deg1xrcl  22460  plypf1  22587  resinf1o  22901  efif1olem4  22910  eff1olem  22913  logrncl  22933  relogcl  22941  asincl  23182  acoscl  23184  atancl  23190  asinrebnd  23210  dvatan  23244  leibpilem2  23250  leibpi  23251  areacl  23270  areage0  23271  divsqrtsumo1  23291  emcllem6  23308  emcllem7  23309  chtcl  23361  chpcl  23376  ppicl  23383  mucl  23393  sqff1o  23434  bposlem7  23543  dchrisum0lem2a  23680  mulog2sumlem1  23697  pntrsumo1  23728  pntrsumbnd  23729  pntrsumbnd2  23730  selbergr  23731  selberg3r  23732  selberg34r  23734  pntrlog2bndlem1  23740  pntrlog2bndlem2  23741  pntrlog2bndlem3  23742  pntrlog2bndlem4  23743  pntrlog2bndlem5  23744  pntrlog2bndlem6  23746  pntrlog2bnd  23747  pntpbnd1a  23748  pntpbnd1  23749  pntpbnd2  23750  pntibndlem2  23754  pntlemn  23763  pntlemj  23766  pntlemf  23768  pntlemo  23770  pntleml  23774  vdegp1ai  24962  lnocoi  25650  nmlno0lem  25686  nmblolbii  25692  blocnilem  25697  blocni  25698  normcl  26020  occl  26200  hococli  26662  hosubcli  26666  hoaddcomi  26669  hodsi  26672  hoaddassi  26673  hocadddiri  26676  hocsubdiri  26677  ho2coi  26678  hoaddid1i  26683  ho0coi  26685  hoid1ri  26687  honegsubi  26693  ho01i  26725  ho02i  26726  dmadjrn  26792  nmopnegi  26862  lnopaddi  26868  lnopsubi  26871  hoddii  26886  nmlnop0iALT  26892  lnopmi  26897  lnophsi  26898  lnopcoi  26900  lnopeq0lem1  26902  lnopeqi  26905  lnopunilem1  26907  lnopunilem2  26908  lnophmlem2  26914  nmbdoplbi  26921  nmcopexi  26924  nmcoplbi  26925  nmophmi  26928  lnopconi  26931  lnfn0i  26939  lnfnaddi  26940  lnfnmuli  26941  lnfnsubi  26943  nmbdfnlbi  26946  nmcfnexi  26948  nmcfnlbi  26949  lnfnconi  26952  riesz3i  26959  riesz4i  26960  cnlnadjlem2  26965  cnlnadjlem4  26967  cnlnadjlem6  26969  cnlnadjlem7  26970  nmopadjlem  26986  nmoptrii  26991  nmopcoi  26992  adjcoi  26997  nmopcoadji  26998  bracnln  27006  opsqrlem5  27041  opsqrlem6  27042  hmopidmchi  27048  hmopidmpji  27049  pjsdii  27052  pjddii  27053  pjcohocli  27100  mhmhmeotmd  27887  xrge0pluscn  27900  voliune  28179  volfiniune  28180  ddemeas  28186  eulerpartlems  28277  eulerpartlemsv3  28278  eulerpartlemgc  28279  eulerpartlemgvv  28293  eulerpartlemgf  28296  eulerpartlemgs2  28297  eulerpartlemn  28298  gamcl  28564  derangen  28594  subfacf  28597  subfacp1lem6  28607  subfaclim  28610  subfacval3  28611  msrrcl  28881  msrid  28883  ghomgrpilem2  29004  circum  29018  stirlinglem13  31822  fourierdlem55  31898  fourierdlem77  31920  fourierdlem80  31923