Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ffthiso Structured version   Unicode version

Theorem ffthiso 15778
 Description: A fully faithful functor reflects isomorphisms. Corollary 3.32 of [Adamek] p. 35. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fthmon.b
fthmon.h
fthmon.f Faith
fthmon.x
fthmon.y
fthmon.r
ffthiso.f Full
ffthiso.s
ffthiso.t
Assertion
Ref Expression
ffthiso

Proof of Theorem ffthiso
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fthmon.b . . 3
2 ffthiso.s . . 3
3 ffthiso.t . . 3
4 fthmon.f . . . . 5 Faith
5 fthfunc 15756 . . . . . 6 Faith
65ssbri 4459 . . . . 5 Faith
74, 6syl 17 . . . 4
9 fthmon.x . . . 4
11 fthmon.y . . . 4
13 simpr 462 . . 3
141, 2, 3, 8, 10, 12, 13funciso 15723 . 2
15 eqid 2420 . . . 4 Inv Inv
16 df-br 4418 . . . . . . . 8
177, 16sylib 199 . . . . . . 7
18 funcrcl 15712 . . . . . . 7
1917, 18syl 17 . . . . . 6
2019simpld 460 . . . . 5
2120ad3antrrr 734 . . . 4 Inv
229ad3antrrr 734 . . . 4 Inv
2311ad3antrrr 734 . . . 4 Inv
24 eqid 2420 . . . . . . . . . . 11
25 eqid 2420 . . . . . . . . . . 11 Inv Inv
2619simprd 464 . . . . . . . . . . 11
271, 24, 7funcf1 15715 . . . . . . . . . . . 12
2827, 9ffvelrnd 6029 . . . . . . . . . . 11
2927, 11ffvelrnd 6029 . . . . . . . . . . 11
3024, 25, 26, 28, 29, 3isoval 15614 . . . . . . . . . 10 Inv
3130eleq2d 2490 . . . . . . . . 9 Inv
3231biimpa 486 . . . . . . . 8 Inv
3324, 25, 26, 28, 29invfun 15613 . . . . . . . . . 10 Inv
3433adantr 466 . . . . . . . . 9 Inv
35 funfvbrb 6001 . . . . . . . . 9 Inv Inv InvInv
3634, 35syl 17 . . . . . . . 8 Inv InvInv
3732, 36mpbid 213 . . . . . . 7 InvInv
3837ad2antrr 730 . . . . . 6 Inv InvInv
39 simpr 462 . . . . . 6 Inv Inv
4038, 39breqtrd 4441 . . . . 5 Inv Inv
41 fthmon.h . . . . . 6
424ad3antrrr 734 . . . . . 6 Inv Faith
43 fthmon.r . . . . . . 7
4443ad3antrrr 734 . . . . . 6 Inv
45 simplr 760 . . . . . 6 Inv
461, 41, 42, 22, 23, 44, 45, 15, 25fthinv 15775 . . . . 5 Inv Inv Inv
4740, 46mpbird 235 . . . 4 Inv Inv
481, 15, 21, 22, 23, 2, 47inviso1 15615 . . 3 Inv
49 eqid 2420 . . . 4
50 ffthiso.f . . . . 5 Full
5150adantr 466 . . . 4 Full
5211adantr 466 . . . 4
539adantr 466 . . . 4
5424, 49, 3, 26, 29, 28isohom 15625 . . . . . 6
5554adantr 466 . . . . 5
5624, 25, 26, 28, 29, 3invf 15617 . . . . . 6 Inv
5756ffvelrnda 6028 . . . . 5 Inv
5855, 57sseldd 3462 . . . 4 Inv
591, 49, 41, 51, 52, 53, 58fulli 15762 . . 3 Inv
6048, 59r19.29a 2968 . 2
6114, 60impbida 840 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1867   wss 3433  cop 3999   class class class wbr 4417   cdm 4845   wfun 5586  cfv 5592  (class class class)co 6296  cbs 15073   chom 15153  ccat 15514  Invcinv 15594   ciso 15595   cfunc 15703   Full cful 15751   Faith cfth 15752 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-map 7473  df-ixp 7522  df-cat 15518  df-cid 15519  df-sect 15596  df-inv 15597  df-iso 15598  df-func 15707  df-full 15753  df-fth 15754 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator