MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ffthiso Structured version   Unicode version

Theorem ffthiso 14851
Description: A fully faithful functor reflects isomorphisms. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fthmon.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
fthmon.h  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
fthmon.f  |-  ( ph  ->  F ( C Faith  D
) G )
fthmon.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
fthmon.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
fthmon.r  |-  ( ph  ->  R  e.  ( X H Y ) )
ffthiso.f  |-  ( ph  ->  F ( C Full  D
) G )
ffthiso.s  |-  I  =  (  Iso  `  C
)
ffthiso.t  |-  J  =  (  Iso  `  D
)
Assertion
Ref Expression
ffthiso  |-  ( ph  ->  ( R  e.  ( X I Y )  <-> 
( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) ) )

Proof of Theorem ffthiso
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fthmon.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  C
)
2 ffthiso.s . . 3  |-  I  =  (  Iso  `  C
)
3 ffthiso.t . . 3  |-  J  =  (  Iso  `  D
)
4 fthmon.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F ( C Faith  D
) G )
5 fthfunc 14829 . . . . . 6  |-  ( C Faith 
D )  C_  ( C  Func  D )
65ssbri 4346 . . . . 5  |-  ( F ( C Faith  D ) G  ->  F ( C  Func  D ) G )
74, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  F ( C  Func  D ) G )
87adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  R  e.  ( X I Y ) )  ->  F ( C  Func  D ) G )
9 fthmon.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
109adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  R  e.  ( X I Y ) )  ->  X  e.  B )
11 fthmon.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
1211adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  R  e.  ( X I Y ) )  ->  Y  e.  B )
13 simpr 461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  R  e.  ( X I Y ) )  ->  R  e.  ( X I Y ) )
141, 2, 3, 8, 10, 12, 13funciso 14796 . 2  |-  ( (
ph  /\  R  e.  ( X I Y ) )  ->  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )
15 eqid 2443 . . . 4  |-  ( Hom  `  D )  =  ( Hom  `  D )
16 fthmon.h . . . 4  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
17 ffthiso.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F ( C Full  D
) G )
1817adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )  ->  F ( C Full  D ) G )
1911adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )  ->  Y  e.  B )
209adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )  ->  X  e.  B )
21 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
22 df-br 4305 . . . . . . . . . 10  |-  ( F ( C  Func  D
) G  <->  <. F ,  G >.  e.  ( C 
Func  D ) )
237, 22sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
<. F ,  G >.  e.  ( C  Func  D
) )
24 funcrcl 14785 . . . . . . . . 9  |-  ( <. F ,  G >.  e.  ( C  Func  D
)  ->  ( C  e.  Cat  /\  D  e. 
Cat ) )
2523, 24syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )
)
2625simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  Cat )
271, 21, 7funcf1 14788 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : B --> ( Base `  D ) )
2827, 11ffvelrnd 5856 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  Y
)  e.  ( Base `  D ) )
2927, 9ffvelrnd 5856 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  e.  ( Base `  D ) )
3021, 15, 3, 26, 28, 29isohom 14722 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F `  Y ) J ( F `  X ) )  C_  ( ( F `  Y )
( Hom  `  D ) ( F `  X
) ) )
3130adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )  ->  ( ( F `  Y ) J ( F `  X ) )  C_  ( ( F `  Y ) ( Hom  `  D ) ( F `
 X ) ) )
32 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  (Inv `  D )  =  (Inv
`  D )
3321, 32, 26, 29, 28, 3invf 14718 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F `  X ) (Inv `  D ) ( F `
 Y ) ) : ( ( F `
 X ) J ( F `  Y
) ) --> ( ( F `  Y ) J ( F `  X ) ) )
3433ffvelrnda 5855 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )  ->  ( (
( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  e.  ( ( F `  Y
) J ( F `
 X ) ) )
3531, 34sseldd 3369 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )  ->  ( (
( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  e.  ( ( F `  Y
) ( Hom  `  D
) ( F `  X ) ) )
361, 15, 16, 18, 19, 20, 35fulli 14835 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )  ->  E. f  e.  ( Y H X ) ( ( ( F `  X ) (Inv `  D )
( F `  Y
) ) `  (
( X G Y ) `  R ) )  =  ( ( Y G X ) `
 f ) )
37 eqid 2443 . . . . . 6  |-  (Inv `  C )  =  (Inv
`  C )
3825simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
3938ad3antrrr 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) )  /\  f  e.  ( Y H X ) )  /\  ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f ) )  ->  C  e.  Cat )
409ad3antrrr 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) )  /\  f  e.  ( Y H X ) )  /\  ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f ) )  ->  X  e.  B )
4111ad3antrrr 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) )  /\  f  e.  ( Y H X ) )  /\  ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f ) )  ->  Y  e.  B )
4221, 32, 26, 29, 28, 3isoval 14715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) )  =  dom  (
( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) )
4342eleq2d 2510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) )  <-> 
( ( X G Y ) `  R
)  e.  dom  (
( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) ) )
4443biimpa 484 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )  ->  ( ( X G Y ) `  R )  e.  dom  ( ( F `  X ) (Inv `  D ) ( F `
 Y ) ) )
4521, 32, 26, 29, 28invfun 14714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Fun  ( ( F `
 X ) (Inv
`  D ) ( F `  Y ) ) )
4645adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )  ->  Fun  ( ( F `  X ) (Inv `  D )
( F `  Y
) ) )
47 funfvbrb 5828 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun  ( ( F `  X ) (Inv `  D ) ( F `
 Y ) )  ->  ( ( ( X G Y ) `
 R )  e. 
dom  ( ( F `
 X ) (Inv
`  D ) ( F `  Y ) )  <->  ( ( X G Y ) `  R ) ( ( F `  X ) (Inv `  D )
( F `  Y
) ) ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) ) ) )
4846, 47syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )  ->  ( (
( X G Y ) `  R )  e.  dom  ( ( F `  X ) (Inv `  D )
( F `  Y
) )  <->  ( ( X G Y ) `  R ) ( ( F `  X ) (Inv `  D )
( F `  Y
) ) ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) ) ) )
4944, 48mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )  ->  ( ( X G Y ) `  R ) ( ( F `  X ) (Inv `  D )
( F `  Y
) ) ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) ) )
5049ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) )  /\  f  e.  ( Y H X ) )  /\  ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f ) )  ->  ( ( X G Y ) `  R ) ( ( F `  X ) (Inv `  D )
( F `  Y
) ) ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) ) )
51 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) )  /\  f  e.  ( Y H X ) )  /\  ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f ) )  ->  ( (
( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f ) )
5250, 51breqtrd 4328 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) )  /\  f  e.  ( Y H X ) )  /\  ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f ) )  ->  ( ( X G Y ) `  R ) ( ( F `  X ) (Inv `  D )
( F `  Y
) ) ( ( Y G X ) `
 f ) )
534ad3antrrr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) )  /\  f  e.  ( Y H X ) )  /\  ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f ) )  ->  F ( C Faith  D ) G )
54 fthmon.r . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  ( X H Y ) )
5554ad3antrrr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) )  /\  f  e.  ( Y H X ) )  /\  ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f ) )  ->  R  e.  ( X H Y ) )
56 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) )  /\  f  e.  ( Y H X ) )  /\  ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f ) )  ->  f  e.  ( Y H X ) )
571, 16, 53, 40, 41, 55, 56, 37, 32fthinv 14848 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) )  /\  f  e.  ( Y H X ) )  /\  ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f ) )  ->  ( R
( X (Inv `  C ) Y ) f  <->  ( ( X G Y ) `  R ) ( ( F `  X ) (Inv `  D )
( F `  Y
) ) ( ( Y G X ) `
 f ) ) )
5852, 57mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) )  /\  f  e.  ( Y H X ) )  /\  ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f ) )  ->  R ( X (Inv `  C ) Y ) f )
591, 37, 39, 40, 41, 2, 58inviso1 14716 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) )  /\  f  e.  ( Y H X ) )  /\  ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f ) )  ->  R  e.  ( X I Y ) )
6059ex 434 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `
 X ) J ( F `  Y
) ) )  /\  f  e.  ( Y H X ) )  -> 
( ( ( ( F `  X ) (Inv `  D )
( F `  Y
) ) `  (
( X G Y ) `  R ) )  =  ( ( Y G X ) `
 f )  ->  R  e.  ( X I Y ) ) )
6160rexlimdva 2853 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )  ->  ( E. f  e.  ( Y H X ) ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f )  ->  R  e.  ( X I Y ) ) )
6236, 61mpd 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )  ->  R  e.  ( X I Y ) )
6314, 62impbida 828 1  |-  ( ph  ->  ( R  e.  ( X I Y )  <-> 
( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2728    C_ wss 3340   <.cop 3895   class class class wbr 4304   dom cdm 4852   Fun wfun 5424   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   Basecbs 14186   Hom chom 14261   Catccat 14614  Invcinv 14696    Iso ciso 14697    Func cfunc 14776   Full cful 14824   Faith cfth 14825
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-id 4648  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-map 7228  df-ixp 7276  df-cat 14618  df-cid 14619  df-sect 14698  df-inv 14699  df-iso 14700  df-func 14780  df-full 14826  df-fth 14827
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator