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Theorem ffthiso 15778
Description: A fully faithful functor reflects isomorphisms. Corollary 3.32 of [Adamek] p. 35. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fthmon.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
fthmon.h  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
fthmon.f  |-  ( ph  ->  F ( C Faith  D
) G )
fthmon.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
fthmon.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
fthmon.r  |-  ( ph  ->  R  e.  ( X H Y ) )
ffthiso.f  |-  ( ph  ->  F ( C Full  D
) G )
ffthiso.s  |-  I  =  (  Iso  `  C
)
ffthiso.t  |-  J  =  (  Iso  `  D
)
Assertion
Ref Expression
ffthiso  |-  ( ph  ->  ( R  e.  ( X I Y )  <-> 
( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) ) )

Proof of Theorem ffthiso
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fthmon.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  C
)
2 ffthiso.s . . 3  |-  I  =  (  Iso  `  C
)
3 ffthiso.t . . 3  |-  J  =  (  Iso  `  D
)
4 fthmon.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F ( C Faith  D
) G )
5 fthfunc 15756 . . . . . 6  |-  ( C Faith 
D )  C_  ( C  Func  D )
65ssbri 4459 . . . . 5  |-  ( F ( C Faith  D ) G  ->  F ( C  Func  D ) G )
74, 6syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  F ( C  Func  D ) G )
87adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  R  e.  ( X I Y ) )  ->  F ( C  Func  D ) G )
9 fthmon.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
109adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  R  e.  ( X I Y ) )  ->  X  e.  B )
11 fthmon.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
1211adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  R  e.  ( X I Y ) )  ->  Y  e.  B )
13 simpr 462 . . 3  |-  ( (
ph  /\  R  e.  ( X I Y ) )  ->  R  e.  ( X I Y ) )
141, 2, 3, 8, 10, 12, 13funciso 15723 . 2  |-  ( (
ph  /\  R  e.  ( X I Y ) )  ->  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )
15 eqid 2420 . . . 4  |-  (Inv `  C )  =  (Inv
`  C )
16 df-br 4418 . . . . . . . 8  |-  ( F ( C  Func  D
) G  <->  <. F ,  G >.  e.  ( C 
Func  D ) )
177, 16sylib 199 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
<. F ,  G >.  e.  ( C  Func  D
) )
18 funcrcl 15712 . . . . . . 7  |-  ( <. F ,  G >.  e.  ( C  Func  D
)  ->  ( C  e.  Cat  /\  D  e. 
Cat ) )
1917, 18syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )
)
2019simpld 460 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
2120ad3antrrr 734 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) )  /\  f  e.  ( Y H X ) )  /\  ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f ) )  ->  C  e.  Cat )
229ad3antrrr 734 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) )  /\  f  e.  ( Y H X ) )  /\  ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f ) )  ->  X  e.  B )
2311ad3antrrr 734 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) )  /\  f  e.  ( Y H X ) )  /\  ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f ) )  ->  Y  e.  B )
24 eqid 2420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
25 eqid 2420 . . . . . . . . . . 11  |-  (Inv `  D )  =  (Inv
`  D )
2619simprd 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  Cat )
271, 24, 7funcf1 15715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : B --> ( Base `  D ) )
2827, 9ffvelrnd 6029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  e.  ( Base `  D ) )
2927, 11ffvelrnd 6029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F `  Y
)  e.  ( Base `  D ) )
3024, 25, 26, 28, 29, 3isoval 15614 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) )  =  dom  (
( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) )
3130eleq2d 2490 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) )  <-> 
( ( X G Y ) `  R
)  e.  dom  (
( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) ) )
3231biimpa 486 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )  ->  ( ( X G Y ) `  R )  e.  dom  ( ( F `  X ) (Inv `  D ) ( F `
 Y ) ) )
3324, 25, 26, 28, 29invfun 15613 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Fun  ( ( F `
 X ) (Inv
`  D ) ( F `  Y ) ) )
3433adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )  ->  Fun  ( ( F `  X ) (Inv `  D )
( F `  Y
) ) )
35 funfvbrb 6001 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun  ( ( F `  X ) (Inv `  D ) ( F `
 Y ) )  ->  ( ( ( X G Y ) `
 R )  e. 
dom  ( ( F `
 X ) (Inv
`  D ) ( F `  Y ) )  <->  ( ( X G Y ) `  R ) ( ( F `  X ) (Inv `  D )
( F `  Y
) ) ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) ) ) )
3634, 35syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )  ->  ( (
( X G Y ) `  R )  e.  dom  ( ( F `  X ) (Inv `  D )
( F `  Y
) )  <->  ( ( X G Y ) `  R ) ( ( F `  X ) (Inv `  D )
( F `  Y
) ) ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) ) ) )
3732, 36mpbid 213 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )  ->  ( ( X G Y ) `  R ) ( ( F `  X ) (Inv `  D )
( F `  Y
) ) ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) ) )
3837ad2antrr 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) )  /\  f  e.  ( Y H X ) )  /\  ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f ) )  ->  ( ( X G Y ) `  R ) ( ( F `  X ) (Inv `  D )
( F `  Y
) ) ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) ) )
39 simpr 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) )  /\  f  e.  ( Y H X ) )  /\  ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f ) )  ->  ( (
( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f ) )
4038, 39breqtrd 4441 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) )  /\  f  e.  ( Y H X ) )  /\  ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f ) )  ->  ( ( X G Y ) `  R ) ( ( F `  X ) (Inv `  D )
( F `  Y
) ) ( ( Y G X ) `
 f ) )
41 fthmon.h . . . . . 6  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
424ad3antrrr 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) )  /\  f  e.  ( Y H X ) )  /\  ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f ) )  ->  F ( C Faith  D ) G )
43 fthmon.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  ( X H Y ) )
4443ad3antrrr 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) )  /\  f  e.  ( Y H X ) )  /\  ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f ) )  ->  R  e.  ( X H Y ) )
45 simplr 760 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) )  /\  f  e.  ( Y H X ) )  /\  ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f ) )  ->  f  e.  ( Y H X ) )
461, 41, 42, 22, 23, 44, 45, 15, 25fthinv 15775 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) )  /\  f  e.  ( Y H X ) )  /\  ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f ) )  ->  ( R
( X (Inv `  C ) Y ) f  <->  ( ( X G Y ) `  R ) ( ( F `  X ) (Inv `  D )
( F `  Y
) ) ( ( Y G X ) `
 f ) ) )
4740, 46mpbird 235 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) )  /\  f  e.  ( Y H X ) )  /\  ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f ) )  ->  R ( X (Inv `  C ) Y ) f )
481, 15, 21, 22, 23, 2, 47inviso1 15615 . . 3  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) )  /\  f  e.  ( Y H X ) )  /\  ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f ) )  ->  R  e.  ( X I Y ) )
49 eqid 2420 . . . 4  |-  ( Hom  `  D )  =  ( Hom  `  D )
50 ffthiso.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F ( C Full  D
) G )
5150adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )  ->  F ( C Full  D ) G )
5211adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )  ->  Y  e.  B )
539adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )  ->  X  e.  B )
5424, 49, 3, 26, 29, 28isohom 15625 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F `  Y ) J ( F `  X ) )  C_  ( ( F `  Y )
( Hom  `  D ) ( F `  X
) ) )
5554adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )  ->  ( ( F `  Y ) J ( F `  X ) )  C_  ( ( F `  Y ) ( Hom  `  D ) ( F `
 X ) ) )
5624, 25, 26, 28, 29, 3invf 15617 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F `  X ) (Inv `  D ) ( F `
 Y ) ) : ( ( F `
 X ) J ( F `  Y
) ) --> ( ( F `  Y ) J ( F `  X ) ) )
5756ffvelrnda 6028 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )  ->  ( (
( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  e.  ( ( F `  Y
) J ( F `
 X ) ) )
5855, 57sseldd 3462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )  ->  ( (
( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  e.  ( ( F `  Y
) ( Hom  `  D
) ( F `  X ) ) )
591, 49, 41, 51, 52, 53, 58fulli 15762 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )  ->  E. f  e.  ( Y H X ) ( ( ( F `  X ) (Inv `  D )
( F `  Y
) ) `  (
( X G Y ) `  R ) )  =  ( ( Y G X ) `
 f ) )
6048, 59r19.29a 2968 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )  ->  R  e.  ( X I Y ) )
6114, 60impbida 840 1  |-  ( ph  ->  ( R  e.  ( X I Y )  <-> 
( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867    C_ wss 3433   <.cop 3999   class class class wbr 4417   dom cdm 4845   Fun wfun 5586   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   Basecbs 15073   Hom chom 15153   Catccat 15514  Invcinv 15594    Iso ciso 15595    Func cfunc 15703   Full cful 15751   Faith cfth 15752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-map 7473  df-ixp 7522  df-cat 15518  df-cid 15519  df-sect 15596  df-inv 15597  df-iso 15598  df-func 15707  df-full 15753  df-fth 15754
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