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Theorem ffthiso 15159
Description: A fully faithful functor reflects isomorphisms. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fthmon.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
fthmon.h  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
fthmon.f  |-  ( ph  ->  F ( C Faith  D
) G )
fthmon.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
fthmon.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
fthmon.r  |-  ( ph  ->  R  e.  ( X H Y ) )
ffthiso.f  |-  ( ph  ->  F ( C Full  D
) G )
ffthiso.s  |-  I  =  (  Iso  `  C
)
ffthiso.t  |-  J  =  (  Iso  `  D
)
Assertion
Ref Expression
ffthiso  |-  ( ph  ->  ( R  e.  ( X I Y )  <-> 
( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) ) )

Proof of Theorem ffthiso
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fthmon.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  C
)
2 ffthiso.s . . 3  |-  I  =  (  Iso  `  C
)
3 ffthiso.t . . 3  |-  J  =  (  Iso  `  D
)
4 fthmon.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F ( C Faith  D
) G )
5 fthfunc 15137 . . . . . 6  |-  ( C Faith 
D )  C_  ( C  Func  D )
65ssbri 4489 . . . . 5  |-  ( F ( C Faith  D ) G  ->  F ( C  Func  D ) G )
74, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  F ( C  Func  D ) G )
87adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  R  e.  ( X I Y ) )  ->  F ( C  Func  D ) G )
9 fthmon.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
109adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  R  e.  ( X I Y ) )  ->  X  e.  B )
11 fthmon.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
1211adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  R  e.  ( X I Y ) )  ->  Y  e.  B )
13 simpr 461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  R  e.  ( X I Y ) )  ->  R  e.  ( X I Y ) )
141, 2, 3, 8, 10, 12, 13funciso 15104 . 2  |-  ( (
ph  /\  R  e.  ( X I Y ) )  ->  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )
15 eqid 2467 . . . 4  |-  ( Hom  `  D )  =  ( Hom  `  D )
16 fthmon.h . . . 4  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
17 ffthiso.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F ( C Full  D
) G )
1817adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )  ->  F ( C Full  D ) G )
1911adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )  ->  Y  e.  B )
209adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )  ->  X  e.  B )
21 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
22 df-br 4448 . . . . . . . . . 10  |-  ( F ( C  Func  D
) G  <->  <. F ,  G >.  e.  ( C 
Func  D ) )
237, 22sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
<. F ,  G >.  e.  ( C  Func  D
) )
24 funcrcl 15093 . . . . . . . . 9  |-  ( <. F ,  G >.  e.  ( C  Func  D
)  ->  ( C  e.  Cat  /\  D  e. 
Cat ) )
2523, 24syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )
)
2625simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  Cat )
271, 21, 7funcf1 15096 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : B --> ( Base `  D ) )
2827, 11ffvelrnd 6023 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  Y
)  e.  ( Base `  D ) )
2927, 9ffvelrnd 6023 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  e.  ( Base `  D ) )
3021, 15, 3, 26, 28, 29isohom 15030 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F `  Y ) J ( F `  X ) )  C_  ( ( F `  Y )
( Hom  `  D ) ( F `  X
) ) )
3130adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )  ->  ( ( F `  Y ) J ( F `  X ) )  C_  ( ( F `  Y ) ( Hom  `  D ) ( F `
 X ) ) )
32 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  (Inv `  D )  =  (Inv
`  D )
3321, 32, 26, 29, 28, 3invf 15026 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F `  X ) (Inv `  D ) ( F `
 Y ) ) : ( ( F `
 X ) J ( F `  Y
) ) --> ( ( F `  Y ) J ( F `  X ) ) )
3433ffvelrnda 6022 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )  ->  ( (
( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  e.  ( ( F `  Y
) J ( F `
 X ) ) )
3531, 34sseldd 3505 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )  ->  ( (
( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  e.  ( ( F `  Y
) ( Hom  `  D
) ( F `  X ) ) )
361, 15, 16, 18, 19, 20, 35fulli 15143 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )  ->  E. f  e.  ( Y H X ) ( ( ( F `  X ) (Inv `  D )
( F `  Y
) ) `  (
( X G Y ) `  R ) )  =  ( ( Y G X ) `
 f ) )
37 eqid 2467 . . . . . 6  |-  (Inv `  C )  =  (Inv
`  C )
3825simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
3938ad3antrrr 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) )  /\  f  e.  ( Y H X ) )  /\  ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f ) )  ->  C  e.  Cat )
409ad3antrrr 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) )  /\  f  e.  ( Y H X ) )  /\  ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f ) )  ->  X  e.  B )
4111ad3antrrr 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) )  /\  f  e.  ( Y H X ) )  /\  ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f ) )  ->  Y  e.  B )
4221, 32, 26, 29, 28, 3isoval 15023 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) )  =  dom  (
( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) )
4342eleq2d 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) )  <-> 
( ( X G Y ) `  R
)  e.  dom  (
( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) ) )
4443biimpa 484 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )  ->  ( ( X G Y ) `  R )  e.  dom  ( ( F `  X ) (Inv `  D ) ( F `
 Y ) ) )
4521, 32, 26, 29, 28invfun 15022 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Fun  ( ( F `
 X ) (Inv
`  D ) ( F `  Y ) ) )
4645adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )  ->  Fun  ( ( F `  X ) (Inv `  D )
( F `  Y
) ) )
47 funfvbrb 5995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun  ( ( F `  X ) (Inv `  D ) ( F `
 Y ) )  ->  ( ( ( X G Y ) `
 R )  e. 
dom  ( ( F `
 X ) (Inv
`  D ) ( F `  Y ) )  <->  ( ( X G Y ) `  R ) ( ( F `  X ) (Inv `  D )
( F `  Y
) ) ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) ) ) )
4846, 47syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )  ->  ( (
( X G Y ) `  R )  e.  dom  ( ( F `  X ) (Inv `  D )
( F `  Y
) )  <->  ( ( X G Y ) `  R ) ( ( F `  X ) (Inv `  D )
( F `  Y
) ) ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) ) ) )
4944, 48mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )  ->  ( ( X G Y ) `  R ) ( ( F `  X ) (Inv `  D )
( F `  Y
) ) ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) ) )
5049ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) )  /\  f  e.  ( Y H X ) )  /\  ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f ) )  ->  ( ( X G Y ) `  R ) ( ( F `  X ) (Inv `  D )
( F `  Y
) ) ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) ) )
51 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) )  /\  f  e.  ( Y H X ) )  /\  ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f ) )  ->  ( (
( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f ) )
5250, 51breqtrd 4471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) )  /\  f  e.  ( Y H X ) )  /\  ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f ) )  ->  ( ( X G Y ) `  R ) ( ( F `  X ) (Inv `  D )
( F `  Y
) ) ( ( Y G X ) `
 f ) )
534ad3antrrr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) )  /\  f  e.  ( Y H X ) )  /\  ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f ) )  ->  F ( C Faith  D ) G )
54 fthmon.r . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  ( X H Y ) )
5554ad3antrrr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) )  /\  f  e.  ( Y H X ) )  /\  ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f ) )  ->  R  e.  ( X H Y ) )
56 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) )  /\  f  e.  ( Y H X ) )  /\  ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f ) )  ->  f  e.  ( Y H X ) )
571, 16, 53, 40, 41, 55, 56, 37, 32fthinv 15156 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) )  /\  f  e.  ( Y H X ) )  /\  ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f ) )  ->  ( R
( X (Inv `  C ) Y ) f  <->  ( ( X G Y ) `  R ) ( ( F `  X ) (Inv `  D )
( F `  Y
) ) ( ( Y G X ) `
 f ) ) )
5852, 57mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) )  /\  f  e.  ( Y H X ) )  /\  ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f ) )  ->  R ( X (Inv `  C ) Y ) f )
591, 37, 39, 40, 41, 2, 58inviso1 15024 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) )  /\  f  e.  ( Y H X ) )  /\  ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f ) )  ->  R  e.  ( X I Y ) )
6059ex 434 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `
 X ) J ( F `  Y
) ) )  /\  f  e.  ( Y H X ) )  -> 
( ( ( ( F `  X ) (Inv `  D )
( F `  Y
) ) `  (
( X G Y ) `  R ) )  =  ( ( Y G X ) `
 f )  ->  R  e.  ( X I Y ) ) )
6160rexlimdva 2955 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )  ->  ( E. f  e.  ( Y H X ) ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f )  ->  R  e.  ( X I Y ) ) )
6236, 61mpd 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )  ->  R  e.  ( X I Y ) )
6314, 62impbida 830 1  |-  ( ph  ->  ( R  e.  ( X I Y )  <-> 
( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2815    C_ wss 3476   <.cop 4033   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   Fun wfun 5582   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   Basecbs 14493   Hom chom 14569   Catccat 14922  Invcinv 15004    Iso ciso 15005    Func cfunc 15084   Full cful 15132   Faith cfth 15133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-map 7423  df-ixp 7471  df-cat 14926  df-cid 14927  df-sect 15006  df-inv 15007  df-iso 15008  df-func 15088  df-full 15134  df-fth 15135
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