Theorem ffnoprv 4943

Description: An operation maps to a class to which all values belong.

Assertion

Ref	Expression
ffnoprv	|- (F:(A X. B)-->C <-> (F Fn (A X. B) /\ A.x e. A A.y e. B (xFy) e. C))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,C,y   x,F,y

Proof of Theorem ffnoprv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffnfv 4801	. 2 |- (F:(A X. B)-->C <-> (F Fn (A X. B) /\ A.w e. (A X. B)(F` w) e. C))
2		fveq2 4681	. . . . . 6 |- (w = <.x, y>. -> (F` w) = (F` <.x, y>.))
3		df-opr 4886	. . . . . 6 |- (xFy) = (F` <.x, y>.)
4	2, 3	syl6eqr 1946	. . . . 5 |- (w = <.x, y>. -> (F` w) = (xFy))
5	4	eleq1d 1963	. . . 4 |- (w = <.x, y>. -> ((F` w) e. C <-> (xFy) e. C))
6	5	ralxp 4041	. . 3 |- (A.w e. (A X. B)(F` w) e. C <-> A.x e. A A.y e. B (xFy) e. C)
7	6	anbi2i 538	. 2 |- ((F Fn (A X. B) /\ A.w e. (A X. B)(F` w) e. C) <-> (F Fn (A X. B) /\ A.x e. A A.y e. B (xFy) e. C))
8	1, 7	bitri 190	1 |- (F:(A X. B)-->C <-> (F Fn (A X. B) /\ A.x e. A A.y e. B (xFy) e. C))

Syntax hints:   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  <.cop 3046   X. cxp 3984   Fn wfn 3993  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884

This theorem is referenced by:  foprcl 4944  foprv 4947  mapxpen 5589  axaddopr 6417  axmulopr 6418  mulnzcnopr 6891  seq1rn2 7734  seqzrn2 7799  acdc3lem 8754  acdc2lem2 8758  acdc5lem2 8761  acdclem 8763  metxp 9111  issubgi 9431  ghgrpilem4 9444  ringsn 9490  gcdf 13725  eucalgf 13751  bsi2 14992  eroprf 15735  pcoloopf 16079  pcohtpylem3 16082  isdivrng2 16111

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886

Copyright terms: Public domain