MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fex2 Structured version   Unicode version

Theorem fex2 6537
Description: A function with bounded domain and range is a set. This version of fex 5955 is proven without the Axiom of Replacement. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
fex2  |-  ( ( F : A --> B  /\  A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  F  e.  _V )

Proof of Theorem fex2
StepHypRef Expression
1 xpexg 6512 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  X.  B
)  e.  _V )
213adant1 1006 . 2  |-  ( ( F : A --> B  /\  A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  X.  B
)  e.  _V )
3 fssxp 5575 . . 3  |-  ( F : A --> B  ->  F  C_  ( A  X.  B ) )
433ad2ant1 1009 . 2  |-  ( ( F : A --> B  /\  A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  F  C_  ( A  X.  B ) )
52, 4ssexd 4444 1  |-  ( ( F : A --> B  /\  A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  F  e.  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    e. wcel 1756   _Vcvv 2977    C_ wss 3333    X. cxp 4843   -->wf 5419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-opab 4356  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-dm 4855  df-rn 4856  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427
This theorem is referenced by:  elmapg  7232  f1oen2g  7331  f1dom2g  7332  dom3d  7356  domssex2  7476  domssex  7477  mapxpen  7482  oismo  7759  wdomima2g  7806  ixpiunwdom  7811  dfac8clem  8207  ac5num  8211  acni2  8221  acnlem  8223  dfac4  8297  dfac2a  8304  axdc2lem  8622  axdc4lem  8629  axcclem  8631  ac6num  8653  axdclem2  8694  addex  10994  mulex  10995  seqf1olem2  11851  seqf1o  11852  hasheqf1oi  12127  ccatfn  12277  limsuple  12961  limsuplt  12962  limsupbnd1  12965  caucvgrlem  13155  prdsval  14398  prdsplusg  14401  prdsmulr  14402  prdsvsca  14403  prdsds  14407  prdshom  14410  plusffval  15432  gsumval  15508  frmdplusg  15537  vrmdfval  15539  odinf  16069  efgtf  16224  gsumval3OLD  16387  gsumval3lem1  16388  gsumval3lem2  16389  gsumval3  16390  staffval  16937  scaffval  16971  cnfldcj  17830  cnfldds  17833  xrsadd  17838  xrsmul  17839  xrsds  17861  ipffval  18082  ocvfval  18096  cnpfval  18843  iscnp2  18848  txcn  19204  fmval  19521  fmf  19523  tsmsval  19706  tsmsadd  19726  blfvalps  19963  nmfval  20186  tngnm  20242  tngngp2  20243  tngngpd  20244  tngngp  20245  nmoffn  20295  nmofval  20298  ishtpy  20549  tchex  20737  adjeu  25298  ismeas  26618  isismty  28705  rrnval  28731
  Copyright terms: Public domain W3C validator