MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fex2 Structured version   Unicode version

Theorem fex2 6736
Description: A function with bounded domain and range is a set. This version of fex 6131 is proven without the Axiom of Replacement. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
fex2  |-  ( ( F : A --> B  /\  A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  F  e.  _V )

Proof of Theorem fex2
StepHypRef Expression
1 xpexg 6709 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  X.  B
)  e.  _V )
213adant1 1014 . 2  |-  ( ( F : A --> B  /\  A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  X.  B
)  e.  _V )
3 fssxp 5741 . . 3  |-  ( F : A --> B  ->  F  C_  ( A  X.  B ) )
433ad2ant1 1017 . 2  |-  ( ( F : A --> B  /\  A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  F  C_  ( A  X.  B ) )
52, 4ssexd 4594 1  |-  ( ( F : A --> B  /\  A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  F  e.  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    C_ wss 3476    X. cxp 4997   -->wf 5582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-dm 5009  df-rn 5010  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590
This theorem is referenced by:  elmapg  7430  f1oen2g  7529  f1dom2g  7530  dom3d  7554  domssex2  7674  domssex  7675  mapxpen  7680  oismo  7961  wdomima2g  8008  ixpiunwdom  8013  dfac8clem  8409  ac5num  8413  acni2  8423  acnlem  8425  dfac4  8499  dfac2a  8506  axdc2lem  8824  axdc4lem  8831  axcclem  8833  ac6num  8855  axdclem2  8896  addex  11214  mulex  11215  seqf1olem2  12111  seqf1o  12112  hasheqf1oi  12388  ccatfn  12552  limsuple  13260  limsuplt  13261  limsupbnd1  13264  caucvgrlem  13454  prdsval  14706  prdsplusg  14709  prdsmulr  14710  prdsvsca  14711  prdsds  14715  prdshom  14718  plusffval  15740  gsumval  15816  frmdplusg  15845  vrmdfval  15847  odinf  16381  efgtf  16536  gsumval3OLD  16699  gsumval3lem1  16700  gsumval3lem2  16701  gsumval3  16702  staffval  17279  scaffval  17313  cnfldcj  18198  cnfldds  18201  xrsadd  18206  xrsmul  18207  xrsds  18229  ipffval  18450  ocvfval  18464  cnpfval  19501  iscnp2  19506  txcn  19862  fmval  20179  fmf  20181  tsmsval  20364  tsmsadd  20384  blfvalps  20621  nmfval  20844  tngnm  20900  tngngp2  20901  tngngpd  20902  tngngp  20903  nmoffn  20953  nmofval  20956  ishtpy  21207  tchex  21395  adjeu  26484  ismeas  27810  isismty  29900  rrnval  29926
  Copyright terms: Public domain W3C validator