Theorem fex 6131

Description: If the domain of a mapping is a set, the function is a set. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
fex	|- ( ( F : A --> B /\ A e. C ) -> F e. _V )

Proof of Theorem fex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5729	. 2 |- ( F : A --> B -> F Fn A )
2		fnex 6125	. 2 |- ( ( F Fn A /\ A e. C ) -> F e. _V )
3	1, 2	sylan 471	1 |- ( ( F : A --> B /\ A e. C ) -> F e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   e. wcel 1767   _Vcvv 3113   Fn wfn 5581   -->wf 5582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594

This theorem is referenced by:  f1oexrnex  6730  frnsuppeq  6910  suppsnop  6912  f1domg  7532  fdmfisuppfi  7834  frnfsuppbi  7854  fsuppco2  7858  fsuppcor  7859  mapfienlem2  7861  ordtypelem10  7948  oiexg  7956  cnfcom3clem  8145  cnfcom3clemOLD  8153  infxpenc2lem2  8393  infxpenc2lem2OLD  8397  fin23lem32  8720  isf32lem10  8738  hashf1rn  12389  hashf1lem1  12466  fz1isolem  12472  climsup  13451  fsum  13501  supcvg  13626  vdwmc  14351  vdwpc  14353  ramval  14381  imasval  14762  imasle  14774  pwsco1mhm  15811  isghm  16062  elsymgbas  16202  gsumval3a  16696  gsumval3lem1  16700  gsumval3lem2  16701  gsumzres  16705  gsumzf1o  16708  gsumzaddlem  16725  gsumzadd  16726  gsumzmhm  16748  gsumzoppg  16758  gsumpt  16779  gsum2dlem2  16789  dmdprd  16820  prdslmodd  17398  gsumply1subr  18046  dsmmsubg  18541  dsmmlss  18542  islindf2  18616  f1lindf  18624  islindf4  18640  prdstps  19865  qtopval2  19932  tsmsres  20381  climcncf  21139  itg2gt0  21902  ulmval  22509  pserulm  22551  jensen  23046  isismt  23649  iseupa  24641  isgrpoi  24876  isgrp2d  24913  isgrpda  24975  elghomlem2  25040  isrngod  25057  vcoprne  25148  isvc  25150  isnv  25181  cnnvg  25259  cnnvs  25262  cnnvnm  25263  cncph  25410  ajval  25453  hvmulex  25604  hhph  25771  hlimi  25781  chlimi  25828  hhssva  25851  hhsssm  25852  hhssnm  25853  hhshsslem1  25859  elunop  26467  adjeq  26530  leoprf2  26722  fpwrelmapffslem  27227  lmdvg  27571  esumpfinvallem  27720  ofcfval4  27744  omsfval  27905  eulerpartgbij  27951  eulerpartlemmf  27954  sseqval  27967  subfacp1lem5  28268  sinccvglem  28513  fprod  28650  elno  28983  mbfresfi  29638  filnetlem4  29802  iscringd  29999  climexp  31147  climinf  31148  limsupre  31183  stirlinglem8  31381  fourierdlem70  31477  fourierdlem71  31478  fourierdlem80  31487  usgra2pth  31823  bj-finsumval0  33735  islaut  34879  ispautN  34895  istendo  35556