Theorem fex 6130

Description: If the domain of a mapping is a set, the function is a set. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
fex	|- ( ( F : A --> B /\ A e. C ) -> F e. _V )

Proof of Theorem fex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5721	. 2 |- ( F : A --> B -> F Fn A )
2		fnex 6124	. 2 |- ( ( F Fn A /\ A e. C ) -> F e. _V )
3	1, 2	sylan 471	1 |- ( ( F : A --> B /\ A e. C ) -> F e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   e. wcel 1804   _Vcvv 3095   Fn wfn 5573   -->wf 5574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pr 4676

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586

This theorem is referenced by:  f1oexrnex  6734  frnsuppeq  6915  suppsnop  6917  f1domg  7537  fdmfisuppfi  7840  frnfsuppbi  7860  fsuppco2  7864  fsuppcor  7865  mapfienlem2  7867  ordtypelem10  7955  oiexg  7963  cnfcom3clem  8152  cnfcom3clemOLD  8160  infxpenc2lem2  8400  infxpenc2lem2OLD  8404  fin23lem32  8727  isf32lem10  8745  hashf1rn  12406  hashf1lem1  12485  fz1isolem  12491  climsup  13473  fsum  13523  supcvg  13648  fprod  13729  vdwmc  14477  vdwpc  14479  ramval  14507  imasval  14889  imasle  14901  pwsco1mhm  15979  isghm  16245  elsymgbas  16385  gsumval3a  16883  gsumval3lem1  16887  gsumval3lem2  16888  gsumzres  16892  gsumzf1o  16895  gsumzaddlem  16912  gsumzadd  16913  gsumzmhm  16935  gsumzoppg  16945  gsumpt  16966  gsum2dlem2  16976  dmdprd  17007  prdslmodd  17593  gsumply1subr  18253  dsmmsubg  18751  dsmmlss  18752  islindf2  18826  f1lindf  18834  islindf4  18850  prdstps  20107  qtopval2  20174  tsmsres  20623  climcncf  21381  itg2gt0  22144  ulmval  22751  pserulm  22793  jensen  23294  isismt  23897  iseupa  24941  isgrpoi  25176  isgrp2d  25213  isgrpda  25275  elghomlem2OLD  25340  isrngod  25357  vcoprne  25448  isvc  25450  isnv  25481  cnnvg  25559  cnnvs  25562  cnnvnm  25563  cncph  25710  ajval  25753  hvmulex  25904  hhph  26071  hlimi  26081  chlimi  26128  hhssva  26151  hhsssm  26152  hhssnm  26153  hhshsslem1  26159  elunop  26767  adjeq  26830  leoprf2  27022  fpwrelmapffslem  27531  lmdvg  27912  esumpfinvallem  28057  ofcfval4  28081  omsfval  28242  eulerpartgbij  28288  eulerpartlemmf  28291  sseqval  28304  subfacp1lem5  28605  sinccvglem  29015  elno  29381  mbfresfi  30036  filnetlem4  30174  iscringd  30371  climexp  31519  climinf  31520  limsupre  31555  stirlinglem8  31752  fourierdlem70  31848  fourierdlem71  31849  fourierdlem80  31858  usgra2pth  32192  isassintop  32371  bj-finsumval0  34403  islaut  35547  ispautN  35563  istendo  36226