MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  feu Structured version   Unicode version

Theorem feu 5698
Description: There is exactly one value of a function in its codomain. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.)
Assertion
Ref Expression
feu  |-  ( ( F : A --> B  /\  C  e.  A )  ->  E! y  e.  B  <. C ,  y >.  e.  F )
Distinct variable groups:    y, F    y, A    y, B    y, C

Proof of Theorem feu
StepHypRef Expression
1 ffn 5670 . . . 4  |-  ( F : A --> B  ->  F  Fn  A )
2 fneu2 5627 . . . 4  |-  ( ( F  Fn  A  /\  C  e.  A )  ->  E! y <. C , 
y >.  e.  F )
31, 2sylan 471 . . 3  |-  ( ( F : A --> B  /\  C  e.  A )  ->  E! y <. C , 
y >.  e.  F )
4 opelf 5685 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> B  /\  <. C ,  y >.  e.  F )  ->  ( C  e.  A  /\  y  e.  B )
)
54simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> B  /\  <. C ,  y >.  e.  F )  ->  y  e.  B )
65ex 434 . . . . . 6  |-  ( F : A --> B  -> 
( <. C ,  y
>.  e.  F  ->  y  e.  B ) )
76pm4.71rd 635 . . . . 5  |-  ( F : A --> B  -> 
( <. C ,  y
>.  e.  F  <->  ( y  e.  B  /\  <. C , 
y >.  e.  F ) ) )
87eubidv 2285 . . . 4  |-  ( F : A --> B  -> 
( E! y <. C ,  y >.  e.  F  <->  E! y ( y  e.  B  /\  <. C ,  y >.  e.  F
) ) )
98adantr 465 . . 3  |-  ( ( F : A --> B  /\  C  e.  A )  ->  ( E! y <. C ,  y >.  e.  F  <->  E! y ( y  e.  B  /\  <. C ,  y >.  e.  F
) ) )
103, 9mpbid 210 . 2  |-  ( ( F : A --> B  /\  C  e.  A )  ->  E! y ( y  e.  B  /\  <. C ,  y >.  e.  F
) )
11 df-reu 2806 . 2  |-  ( E! y  e.  B  <. C ,  y >.  e.  F  <->  E! y ( y  e.  B  /\  <. C , 
y >.  e.  F ) )
1210, 11sylibr 212 1  |-  ( ( F : A --> B  /\  C  e.  A )  ->  E! y  e.  B  <. C ,  y >.  e.  F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1758   E!weu 2262   E!wreu 2801   <.cop 3994    Fn wfn 5524   -->wf 5525
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pr 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-br 4404  df-opab 4462  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533
This theorem is referenced by:  fsn  5993  f1ofveu  6198
  Copyright terms: Public domain W3C validator