Theorem feu 4588

Description: There is exactly one value of a function in its codomain.

Assertion

Ref	Expression
feu	|- ((F:A-->B /\ C e. A) -> E!y e. B <.C, y>. e. F)

Distinct variable groups:   y,F   y,A   y,B   y,C

Proof of Theorem feu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fneu2 4519	. . . 4 |- ((F Fn A /\ C e. A) -> E!y<.C, y>. e. F)
2		ffn 4562	. . . 4 |- (F:A-->B -> F Fn A)
3	1, 2	sylan 497	. . 3 |- ((F:A-->B /\ C e. A) -> E!y<.C, y>. e. F)
4		visset 2295	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
5	4	opelf 4579	. . . . . . . 8 |- ((F:A-->B /\ <.C, y>. e. F) -> (C e. A /\ y e. B))
6	5	simprd 352	. . . . . . 7 |- ((F:A-->B /\ <.C, y>. e. F) -> y e. B)
7	6	ex 402	. . . . . 6 |- (F:A-->B -> (<.C, y>. e. F -> y e. B))
8	7	pm4.71rd 701	. . . . 5 |- (F:A-->B -> (<.C, y>. e. F <-> (y e. B /\ <.C, y>. e. F)))
9	8	eubidv 1779	. . . 4 |- (F:A-->B -> (E!y<.C, y>. e. F <-> E!y(y e. B /\ <.C, y>. e. F)))
10	9	adantr 425	. . 3 |- ((F:A-->B /\ C e. A) -> (E!y<.C, y>. e. F <-> E!y(y e. B /\ <.C, y>. e. F)))
11	3, 10	mpbid 212	. 2 |- ((F:A-->B /\ C e. A) -> E!y(y e. B /\ <.C, y>. e. F))
12		df-reu 2111	. 2 |- (E!y e. B <.C, y>. e. F <-> E!y(y e. B /\ <.C, y>. e. F))
13	11, 12	sylibr 217	1 |- ((F:A-->B /\ C e. A) -> E!y e. B <.C, y>. e. F)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   e. wcel 1300  E!weu 1771  E!wreu 2107  <.cop 3046   Fn wfn 3993  -->wf 3994

This theorem is referenced by:  fsn 4807  f1ofveu 4858

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-reu 2111  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010

Copyright terms: Public domain