MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  feu Structured version   Unicode version

Theorem feu 5743
Description: There is exactly one value of a function in its codomain. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.)
Assertion
Ref Expression
feu  |-  ( ( F : A --> B  /\  C  e.  A )  ->  E! y  e.  B  <. C ,  y >.  e.  F )
Distinct variable groups:    y, F    y, A    y, B    y, C

Proof of Theorem feu
StepHypRef Expression
1 ffn 5713 . . . 4  |-  ( F : A --> B  ->  F  Fn  A )
2 fneu2 5668 . . . 4  |-  ( ( F  Fn  A  /\  C  e.  A )  ->  E! y <. C , 
y >.  e.  F )
31, 2sylan 469 . . 3  |-  ( ( F : A --> B  /\  C  e.  A )  ->  E! y <. C , 
y >.  e.  F )
4 opelf 5729 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> B  /\  <. C ,  y >.  e.  F )  ->  ( C  e.  A  /\  y  e.  B )
)
54simprd 461 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> B  /\  <. C ,  y >.  e.  F )  ->  y  e.  B )
65ex 432 . . . . . 6  |-  ( F : A --> B  -> 
( <. C ,  y
>.  e.  F  ->  y  e.  B ) )
76pm4.71rd 633 . . . . 5  |-  ( F : A --> B  -> 
( <. C ,  y
>.  e.  F  <->  ( y  e.  B  /\  <. C , 
y >.  e.  F ) ) )
87eubidv 2306 . . . 4  |-  ( F : A --> B  -> 
( E! y <. C ,  y >.  e.  F  <->  E! y ( y  e.  B  /\  <. C ,  y >.  e.  F
) ) )
98adantr 463 . . 3  |-  ( ( F : A --> B  /\  C  e.  A )  ->  ( E! y <. C ,  y >.  e.  F  <->  E! y ( y  e.  B  /\  <. C ,  y >.  e.  F
) ) )
103, 9mpbid 210 . 2  |-  ( ( F : A --> B  /\  C  e.  A )  ->  E! y ( y  e.  B  /\  <. C ,  y >.  e.  F
) )
11 df-reu 2811 . 2  |-  ( E! y  e.  B  <. C ,  y >.  e.  F  <->  E! y ( y  e.  B  /\  <. C , 
y >.  e.  F ) )
1210, 11sylibr 212 1  |-  ( ( F : A --> B  /\  C  e.  A )  ->  E! y  e.  B  <. C ,  y >.  e.  F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    e. wcel 1823   E!weu 2284   E!wreu 2806   <.cop 4022    Fn wfn 5565   -->wf 5566
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-br 4440  df-opab 4498  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574
This theorem is referenced by:  fsn  6045  f1ofveu  6265
  Copyright terms: Public domain W3C validator