Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fdc1 Structured version   Unicode version

Theorem fdc1 29842
Description: Variant of fdc 29841 with no specified base value. (Contributed by Jeff Madsen, 18-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
fdc1.1  |-  A  e. 
_V
fdc1.2  |-  M  e.  ZZ
fdc1.3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
fdc1.4  |-  N  =  ( M  +  1 )
fdc1.5  |-  ( a  =  ( f `  M )  ->  ( ze 
<-> 
si ) )
fdc1.6  |-  ( a  =  ( f `  ( k  -  1 ) )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
fdc1.7  |-  ( b  =  ( f `  k )  ->  ( ps 
<->  ch ) )
fdc1.8  |-  ( a  =  ( f `  n )  ->  ( th 
<->  ta ) )
fdc1.9  |-  ( et 
->  E. a  e.  A  ze )
fdc1.10  |-  ( et 
->  R  Fr  A
)
fdc1.11  |-  ( ( et  /\  a  e.  A )  ->  ( th  \/  E. b  e.  A  ph ) )
fdc1.12  |-  ( ( ( et  /\  ph )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
b R a )
Assertion
Ref Expression
fdc1  |-  ( et 
->  E. n  e.  Z  E. f ( f : ( M ... n
) --> A  /\  ( si  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch ) )
Distinct variable groups:    A, a,
b, f, n    R, a, b    M, a, b, f, k, n    Z, a, b, n    N, a, b, f, k, n    ph, f, k    ps, a    ch, a, b, n    th, f, n    ta, a, b    et, a, b, f, n    ze, b, f, n    si, a
Allowed substitution hints:    ph( n, a, b)    ps( f, k, n, b)    ch( f, k)    th( k,
a, b)    ta( f,
k, n)    et( k)    ze( k, a)    si( f,
k, n, b)    A( k)    R( f, k, n)    Z( f, k)

Proof of Theorem fdc1
Dummy variables  c 
d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fdc1.9 . 2  |-  ( et 
->  E. a  e.  A  ze )
2 eleq1 2539 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  a  ->  (
c  e.  A  <->  a  e.  A ) )
32anbi2d 703 . . . . . . 7  |-  ( c  =  a  ->  (
( et  /\  c  e.  A )  <->  ( et  /\  a  e.  A
) ) )
4 sbceq2a 3343 . . . . . . 7  |-  ( c  =  a  ->  ( [. c  /  a ]. ze  <->  ze ) )
53, 4anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( c  =  a  ->  (
( ( et  /\  c  e.  A )  /\  [. c  /  a ]. ze )  <->  ( ( et  /\  a  e.  A
)  /\  ze )
) )
65imbi1d 317 . . . . 5  |-  ( c  =  a  ->  (
( ( ( et 
/\  c  e.  A
)  /\  [. c  / 
a ]. ze )  ->  E. n  e.  Z  E. f ( f : ( M ... n
) --> A  /\  ( si  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch ) )  <->  ( (
( et  /\  a  e.  A )  /\  ze )  ->  E. n  e.  Z  E. f ( f : ( M ... n
) --> A  /\  ( si  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch ) ) ) )
7 fdc1.1 . . . . . . . 8  |-  A  e. 
_V
8 fdc1.2 . . . . . . . 8  |-  M  e.  ZZ
9 fdc1.3 . . . . . . . 8  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
10 fdc1.4 . . . . . . . 8  |-  N  =  ( M  +  1 )
11 sbsbc 3335 . . . . . . . . 9  |-  ( [ d  /  a ]
ph 
<-> 
[. d  /  a ]. ph )
12 nfv 1683 . . . . . . . . . 10  |-  F/ a ps
13 fdc1.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( f `  ( k  -  1 ) )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
1412, 13sbhypf 3160 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  ( f `  ( k  -  1 ) )  ->  ( [ d  /  a ] ph  <->  ps ) )
1511, 14syl5bbr 259 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  ( f `  ( k  -  1 ) )  ->  ( [. d  /  a ]. ph  <->  ps ) )
16 fdc1.7 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( f `  k )  ->  ( ps 
<->  ch ) )
17 sbsbc 3335 . . . . . . . . 9  |-  ( [ d  /  a ] th  <->  [. d  /  a ]. th )
18 nfv 1683 . . . . . . . . . 10  |-  F/ a ta
19 fdc1.8 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( f `  n )  ->  ( th 
<->  ta ) )
2018, 19sbhypf 3160 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  ( f `  n )  ->  ( [ d  /  a ] th  <->  ta ) )
2117, 20syl5bbr 259 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  ( f `  n )  ->  ( [. d  /  a ]. th  <->  ta ) )
22 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( et  /\  ( c  e.  A  /\  [. c  /  a ]. ze ) )  ->  c  e.  A )
23 fdc1.10 . . . . . . . . 9  |-  ( et 
->  R  Fr  A
)
2423adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( et  /\  ( c  e.  A  /\  [. c  /  a ]. ze ) )  ->  R  Fr  A )
25 nfv 1683 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ a ( et  /\  d  e.  A )
26 nfsbc1v 3351 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ a
[. d  /  a ]. th
27 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ a A
28 nfsbc1v 3351 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ a
[. d  /  a ]. ph
2927, 28nfrex 2927 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ a E. b  e.  A  [. d  /  a ]. ph
3026, 29nfor 1882 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ a ( [. d  / 
a ]. th  \/  E. b  e.  A  [. d  /  a ]. ph )
3125, 30nfim 1867 . . . . . . . . . 10  |-  F/ a ( ( et  /\  d  e.  A )  ->  ( [. d  / 
a ]. th  \/  E. b  e.  A  [. d  /  a ]. ph )
)
32 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  d  ->  (
a  e.  A  <->  d  e.  A ) )
3332anbi2d 703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  d  ->  (
( et  /\  a  e.  A )  <->  ( et  /\  d  e.  A
) ) )
34 sbceq1a 3342 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  d  ->  ( th 
<-> 
[. d  /  a ]. th ) )
35 sbceq1a 3342 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  d  ->  ( ph 
<-> 
[. d  /  a ]. ph ) )
3635rexbidv 2973 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  d  ->  ( E. b  e.  A  ph  <->  E. b  e.  A  [. d  /  a ]. ph )
)
3734, 36orbi12d 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  d  ->  (
( th  \/  E. b  e.  A  ph )  <->  (
[. d  /  a ]. th  \/  E. b  e.  A  [. d  / 
a ]. ph ) ) )
3833, 37imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  d  ->  (
( ( et  /\  a  e.  A )  ->  ( th  \/  E. b  e.  A  ph )
)  <->  ( ( et 
/\  d  e.  A
)  ->  ( [. d  /  a ]. th  \/  E. b  e.  A  [. d  /  a ]. ph ) ) ) )
39 fdc1.11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( et  /\  a  e.  A )  ->  ( th  \/  E. b  e.  A  ph ) )
4031, 38, 39chvar 1982 . . . . . . . . 9  |-  ( ( et  /\  d  e.  A )  ->  ( [. d  /  a ]. th  \/  E. b  e.  A  [. d  / 
a ]. ph ) )
4140adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( et  /\  (
c  e.  A  /\  [. c  /  a ]. ze ) )  /\  d  e.  A )  ->  ( [. d  /  a ]. th  \/  E. b  e.  A  [. d  / 
a ]. ph ) )
42 nfv 1683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ a et
4342, 28nfan 1875 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ a ( et  /\  [. d  /  a ]. ph )
44 nfv 1683 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ a ( d  e.  A  /\  b  e.  A
)
4543, 44nfan 1875 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ a ( ( et  /\  [. d  /  a ]. ph )  /\  ( d  e.  A  /\  b  e.  A ) )
46 nfv 1683 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ a  b R d
4745, 46nfim 1867 . . . . . . . . . 10  |-  F/ a ( ( ( et 
/\  [. d  /  a ]. ph )  /\  (
d  e.  A  /\  b  e.  A )
)  ->  b R
d )
4835anbi2d 703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  d  ->  (
( et  /\  ph ) 
<->  ( et  /\  [. d  /  a ]. ph )
) )
4932anbi1d 704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  d  ->  (
( a  e.  A  /\  b  e.  A
)  <->  ( d  e.  A  /\  b  e.  A ) ) )
5048, 49anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  d  ->  (
( ( et  /\  ph )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  <->  ( ( et  /\  [. d  / 
a ]. ph )  /\  ( d  e.  A  /\  b  e.  A
) ) ) )
51 breq2 4451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  d  ->  (
b R a  <->  b R
d ) )
5250, 51imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  d  ->  (
( ( ( et 
/\  ph )  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A )
)  ->  b R
a )  <->  ( (
( et  /\  [. d  /  a ]. ph )  /\  ( d  e.  A  /\  b  e.  A
) )  ->  b R d ) ) )
53 fdc1.12 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( et  /\  ph )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
b R a )
5447, 52, 53chvar 1982 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( et  /\  [. d  /  a ]. ph )  /\  ( d  e.  A  /\  b  e.  A
) )  ->  b R d )
5554adantllr 718 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( et  /\  ( c  e.  A  /\  [. c  /  a ]. ze ) )  /\  [. d  /  a ]. ph )  /\  ( d  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
b R d )
567, 8, 9, 10, 15, 16, 21, 22, 24, 41, 55fdc 29841 . . . . . . 7  |-  ( ( et  /\  ( c  e.  A  /\  [. c  /  a ]. ze ) )  ->  E. n  e.  Z  E. f
( f : ( M ... n ) --> A  /\  ( ( f `  M )  =  c  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n
) ch ) )
5756anassrs 648 . . . . . 6  |-  ( ( ( et  /\  c  e.  A )  /\  [. c  /  a ]. ze )  ->  E. n  e.  Z  E. f ( f : ( M ... n
) --> A  /\  (
( f `  M
)  =  c  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n
) ch ) )
58 idd 24 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( et  /\  c  e.  A )  /\  [. c  /  a ]. ze )  ->  ( f : ( M ... n
) --> A  ->  f : ( M ... n ) --> A ) )
59 fvex 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f `
 M )  e. 
_V
60 fdc1.5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  ( f `  M )  ->  ( ze 
<-> 
si ) )
6159, 60sbcie 3366 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [. ( f `  M
)  /  a ]. ze 
<-> 
si )
62 dfsbcq 3333 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f `  M )  =  c  ->  ( [. ( f `  M
)  /  a ]. ze 
<-> 
[. c  /  a ]. ze ) )
6361, 62syl5rbbr 260 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  M )  =  c  ->  ( [. c  /  a ]. ze  <->  si ) )
6463biimpcd 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [. c  /  a ]. ze  ->  ( ( f `  M )  =  c  ->  si ) )
6564adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( et  /\  c  e.  A )  /\  [. c  /  a ]. ze )  ->  ( ( f `
 M )  =  c  ->  si )
)
6665anim1d 564 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( et  /\  c  e.  A )  /\  [. c  /  a ]. ze )  ->  ( ( ( f `  M )  =  c  /\  ta )  ->  ( si  /\  ta ) ) )
67 idd 24 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( et  /\  c  e.  A )  /\  [. c  /  a ]. ze )  ->  ( A. k  e.  ( N ... n
) ch  ->  A. k  e.  ( N ... n
) ch ) )
6858, 66, 673anim123d 1306 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( et  /\  c  e.  A )  /\  [. c  /  a ]. ze )  ->  ( ( f : ( M ... n ) --> A  /\  ( ( f `  M )  =  c  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch )  ->  ( f : ( M ... n ) --> A  /\  ( si  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch ) ) )
6968eximdv 1686 . . . . . . 7  |-  ( ( ( et  /\  c  e.  A )  /\  [. c  /  a ]. ze )  ->  ( E. f
( f : ( M ... n ) --> A  /\  ( ( f `  M )  =  c  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n
) ch )  ->  E. f ( f : ( M ... n
) --> A  /\  ( si  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch ) ) )
7069reximdv 2937 . . . . . 6  |-  ( ( ( et  /\  c  e.  A )  /\  [. c  /  a ]. ze )  ->  ( E. n  e.  Z  E. f
( f : ( M ... n ) --> A  /\  ( ( f `  M )  =  c  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n
) ch )  ->  E. n  e.  Z  E. f ( f : ( M ... n
) --> A  /\  ( si  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch ) ) )
7157, 70mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( et  /\  c  e.  A )  /\  [. c  /  a ]. ze )  ->  E. n  e.  Z  E. f ( f : ( M ... n
) --> A  /\  ( si  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch ) )
726, 71chvarv 1983 . . . 4  |-  ( ( ( et  /\  a  e.  A )  /\  ze )  ->  E. n  e.  Z  E. f ( f : ( M ... n
) --> A  /\  ( si  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch ) )
7372ex 434 . . 3  |-  ( ( et  /\  a  e.  A )  ->  ( ze  ->  E. n  e.  Z  E. f ( f : ( M ... n
) --> A  /\  ( si  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch ) ) )
7473rexlimdva 2955 . 2  |-  ( et 
->  ( E. a  e.  A  ze  ->  E. n  e.  Z  E. f
( f : ( M ... n ) --> A  /\  ( si  /\ 
ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch )
) )
751, 74mpd 15 1  |-  ( et 
->  E. n  e.  Z  E. f ( f : ( M ... n
) --> A  /\  ( si  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596   [wsb 1711    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   [.wsbc 3331   class class class wbr 4447    Fr wfr 4835   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   1c1 9489    + caddc 9491    - cmin 9801   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   ...cfz 11668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator