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Theorem fdc1 32075
Description: Variant of fdc 32074 with no specified base value. (Contributed by Jeff Madsen, 18-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
fdc1.1  |-  A  e. 
_V
fdc1.2  |-  M  e.  ZZ
fdc1.3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
fdc1.4  |-  N  =  ( M  +  1 )
fdc1.5  |-  ( a  =  ( f `  M )  ->  ( ze 
<-> 
si ) )
fdc1.6  |-  ( a  =  ( f `  ( k  -  1 ) )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
fdc1.7  |-  ( b  =  ( f `  k )  ->  ( ps 
<->  ch ) )
fdc1.8  |-  ( a  =  ( f `  n )  ->  ( th 
<->  ta ) )
fdc1.9  |-  ( et 
->  E. a  e.  A  ze )
fdc1.10  |-  ( et 
->  R  Fr  A
)
fdc1.11  |-  ( ( et  /\  a  e.  A )  ->  ( th  \/  E. b  e.  A  ph ) )
fdc1.12  |-  ( ( ( et  /\  ph )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
b R a )
Assertion
Ref Expression
fdc1  |-  ( et 
->  E. n  e.  Z  E. f ( f : ( M ... n
) --> A  /\  ( si  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch ) )
Distinct variable groups:    A, a,
b, f, n    R, a, b    M, a, b, f, k, n    Z, a, b, n    N, a, b, f, k, n    ph, f, k    ps, a    ch, a, b, n    th, f, n    ta, a, b    et, a, b, f, n    ze, b, f, n    si, a
Allowed substitution hints:    ph( n, a, b)    ps( f, k, n, b)    ch( f, k)    th( k,
a, b)    ta( f,
k, n)    et( k)    ze( k, a)    si( f,
k, n, b)    A( k)    R( f, k, n)    Z( f, k)

Proof of Theorem fdc1
Dummy variables  c 
d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2517 . . . . . 6  |-  ( c  =  a  ->  (
c  e.  A  <->  a  e.  A ) )
21anbi2d 710 . . . . 5  |-  ( c  =  a  ->  (
( et  /\  c  e.  A )  <->  ( et  /\  a  e.  A
) ) )
3 sbceq2a 3279 . . . . 5  |-  ( c  =  a  ->  ( [. c  /  a ]. ze  <->  ze ) )
42, 3anbi12d 717 . . . 4  |-  ( c  =  a  ->  (
( ( et  /\  c  e.  A )  /\  [. c  /  a ]. ze )  <->  ( ( et  /\  a  e.  A
)  /\  ze )
) )
54imbi1d 319 . . 3  |-  ( c  =  a  ->  (
( ( ( et 
/\  c  e.  A
)  /\  [. c  / 
a ]. ze )  ->  E. n  e.  Z  E. f ( f : ( M ... n
) --> A  /\  ( si  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch ) )  <->  ( (
( et  /\  a  e.  A )  /\  ze )  ->  E. n  e.  Z  E. f ( f : ( M ... n
) --> A  /\  ( si  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch ) ) ) )
6 fdc1.1 . . . . . 6  |-  A  e. 
_V
7 fdc1.2 . . . . . 6  |-  M  e.  ZZ
8 fdc1.3 . . . . . 6  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
9 fdc1.4 . . . . . 6  |-  N  =  ( M  +  1 )
10 sbsbc 3271 . . . . . . 7  |-  ( [ d  /  a ]
ph 
<-> 
[. d  /  a ]. ph )
11 nfv 1761 . . . . . . . 8  |-  F/ a ps
12 fdc1.6 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( f `  ( k  -  1 ) )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
1311, 12sbhypf 3095 . . . . . . 7  |-  ( d  =  ( f `  ( k  -  1 ) )  ->  ( [ d  /  a ] ph  <->  ps ) )
1410, 13syl5bbr 263 . . . . . 6  |-  ( d  =  ( f `  ( k  -  1 ) )  ->  ( [. d  /  a ]. ph  <->  ps ) )
15 fdc1.7 . . . . . 6  |-  ( b  =  ( f `  k )  ->  ( ps 
<->  ch ) )
16 sbsbc 3271 . . . . . . 7  |-  ( [ d  /  a ] th  <->  [. d  /  a ]. th )
17 nfv 1761 . . . . . . . 8  |-  F/ a ta
18 fdc1.8 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( f `  n )  ->  ( th 
<->  ta ) )
1917, 18sbhypf 3095 . . . . . . 7  |-  ( d  =  ( f `  n )  ->  ( [ d  /  a ] th  <->  ta ) )
2016, 19syl5bbr 263 . . . . . 6  |-  ( d  =  ( f `  n )  ->  ( [. d  /  a ]. th  <->  ta ) )
21 simprl 764 . . . . . 6  |-  ( ( et  /\  ( c  e.  A  /\  [. c  /  a ]. ze ) )  ->  c  e.  A )
22 fdc1.10 . . . . . . 7  |-  ( et 
->  R  Fr  A
)
2322adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( et  /\  ( c  e.  A  /\  [. c  /  a ]. ze ) )  ->  R  Fr  A )
24 nfv 1761 . . . . . . . . 9  |-  F/ a ( et  /\  d  e.  A )
25 nfsbc1v 3287 . . . . . . . . . 10  |-  F/ a
[. d  /  a ]. th
26 nfcv 2592 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ a A
27 nfsbc1v 3287 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ a
[. d  /  a ]. ph
2826, 27nfrex 2850 . . . . . . . . . 10  |-  F/ a E. b  e.  A  [. d  /  a ]. ph
2925, 28nfor 2018 . . . . . . . . 9  |-  F/ a ( [. d  / 
a ]. th  \/  E. b  e.  A  [. d  /  a ]. ph )
3024, 29nfim 2003 . . . . . . . 8  |-  F/ a ( ( et  /\  d  e.  A )  ->  ( [. d  / 
a ]. th  \/  E. b  e.  A  [. d  /  a ]. ph )
)
31 eleq1 2517 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  d  ->  (
a  e.  A  <->  d  e.  A ) )
3231anbi2d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  d  ->  (
( et  /\  a  e.  A )  <->  ( et  /\  d  e.  A
) ) )
33 sbceq1a 3278 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  d  ->  ( th 
<-> 
[. d  /  a ]. th ) )
34 sbceq1a 3278 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  d  ->  ( ph 
<-> 
[. d  /  a ]. ph ) )
3534rexbidv 2901 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  d  ->  ( E. b  e.  A  ph  <->  E. b  e.  A  [. d  /  a ]. ph )
)
3633, 35orbi12d 716 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  d  ->  (
( th  \/  E. b  e.  A  ph )  <->  (
[. d  /  a ]. th  \/  E. b  e.  A  [. d  / 
a ]. ph ) ) )
3732, 36imbi12d 322 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  d  ->  (
( ( et  /\  a  e.  A )  ->  ( th  \/  E. b  e.  A  ph )
)  <->  ( ( et 
/\  d  e.  A
)  ->  ( [. d  /  a ]. th  \/  E. b  e.  A  [. d  /  a ]. ph ) ) ) )
38 fdc1.11 . . . . . . . 8  |-  ( ( et  /\  a  e.  A )  ->  ( th  \/  E. b  e.  A  ph ) )
3930, 37, 38chvar 2106 . . . . . . 7  |-  ( ( et  /\  d  e.  A )  ->  ( [. d  /  a ]. th  \/  E. b  e.  A  [. d  / 
a ]. ph ) )
4039adantlr 721 . . . . . 6  |-  ( ( ( et  /\  (
c  e.  A  /\  [. c  /  a ]. ze ) )  /\  d  e.  A )  ->  ( [. d  /  a ]. th  \/  E. b  e.  A  [. d  / 
a ]. ph ) )
41 nfv 1761 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ a et
4241, 27nfan 2011 . . . . . . . . . 10  |-  F/ a ( et  /\  [. d  /  a ]. ph )
43 nfv 1761 . . . . . . . . . 10  |-  F/ a ( d  e.  A  /\  b  e.  A
)
4442, 43nfan 2011 . . . . . . . . 9  |-  F/ a ( ( et  /\  [. d  /  a ]. ph )  /\  ( d  e.  A  /\  b  e.  A ) )
45 nfv 1761 . . . . . . . . 9  |-  F/ a  b R d
4644, 45nfim 2003 . . . . . . . 8  |-  F/ a ( ( ( et 
/\  [. d  /  a ]. ph )  /\  (
d  e.  A  /\  b  e.  A )
)  ->  b R
d )
4734anbi2d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  d  ->  (
( et  /\  ph ) 
<->  ( et  /\  [. d  /  a ]. ph )
) )
4831anbi1d 711 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  d  ->  (
( a  e.  A  /\  b  e.  A
)  <->  ( d  e.  A  /\  b  e.  A ) ) )
4947, 48anbi12d 717 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  d  ->  (
( ( et  /\  ph )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  <->  ( ( et  /\  [. d  / 
a ]. ph )  /\  ( d  e.  A  /\  b  e.  A
) ) ) )
50 breq2 4406 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  d  ->  (
b R a  <->  b R
d ) )
5149, 50imbi12d 322 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  d  ->  (
( ( ( et 
/\  ph )  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A )
)  ->  b R
a )  <->  ( (
( et  /\  [. d  /  a ]. ph )  /\  ( d  e.  A  /\  b  e.  A
) )  ->  b R d ) ) )
52 fdc1.12 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( et  /\  ph )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
b R a )
5346, 51, 52chvar 2106 . . . . . . 7  |-  ( ( ( et  /\  [. d  /  a ]. ph )  /\  ( d  e.  A  /\  b  e.  A
) )  ->  b R d )
5453adantllr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( et  /\  ( c  e.  A  /\  [. c  /  a ]. ze ) )  /\  [. d  /  a ]. ph )  /\  ( d  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
b R d )
556, 7, 8, 9, 14, 15, 20, 21, 23, 40, 54fdc 32074 . . . . 5  |-  ( ( et  /\  ( c  e.  A  /\  [. c  /  a ]. ze ) )  ->  E. n  e.  Z  E. f
( f : ( M ... n ) --> A  /\  ( ( f `  M )  =  c  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n
) ch ) )
5655anassrs 654 . . . 4  |-  ( ( ( et  /\  c  e.  A )  /\  [. c  /  a ]. ze )  ->  E. n  e.  Z  E. f ( f : ( M ... n
) --> A  /\  (
( f `  M
)  =  c  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n
) ch ) )
57 idd 25 . . . . . . 7  |-  ( ( ( et  /\  c  e.  A )  /\  [. c  /  a ]. ze )  ->  ( f : ( M ... n
) --> A  ->  f : ( M ... n ) --> A ) )
58 fvex 5875 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f `
 M )  e. 
_V
59 fdc1.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( f `  M )  ->  ( ze 
<-> 
si ) )
6058, 59sbcie 3302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [. ( f `  M
)  /  a ]. ze 
<-> 
si )
61 dfsbcq 3269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  M )  =  c  ->  ( [. ( f `  M
)  /  a ]. ze 
<-> 
[. c  /  a ]. ze ) )
6260, 61syl5rbbr 264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  M )  =  c  ->  ( [. c  /  a ]. ze  <->  si ) )
6362biimpcd 228 . . . . . . . . 9  |-  ( [. c  /  a ]. ze  ->  ( ( f `  M )  =  c  ->  si ) )
6463adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( et  /\  c  e.  A )  /\  [. c  /  a ]. ze )  ->  ( ( f `
 M )  =  c  ->  si )
)
6564anim1d 568 . . . . . . 7  |-  ( ( ( et  /\  c  e.  A )  /\  [. c  /  a ]. ze )  ->  ( ( ( f `  M )  =  c  /\  ta )  ->  ( si  /\  ta ) ) )
66 idd 25 . . . . . . 7  |-  ( ( ( et  /\  c  e.  A )  /\  [. c  /  a ]. ze )  ->  ( A. k  e.  ( N ... n
) ch  ->  A. k  e.  ( N ... n
) ch ) )
6757, 65, 663anim123d 1346 . . . . . 6  |-  ( ( ( et  /\  c  e.  A )  /\  [. c  /  a ]. ze )  ->  ( ( f : ( M ... n ) --> A  /\  ( ( f `  M )  =  c  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch )  ->  ( f : ( M ... n ) --> A  /\  ( si  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch ) ) )
6867eximdv 1764 . . . . 5  |-  ( ( ( et  /\  c  e.  A )  /\  [. c  /  a ]. ze )  ->  ( E. f
( f : ( M ... n ) --> A  /\  ( ( f `  M )  =  c  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n
) ch )  ->  E. f ( f : ( M ... n
) --> A  /\  ( si  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch ) ) )
6968reximdv 2861 . . . 4  |-  ( ( ( et  /\  c  e.  A )  /\  [. c  /  a ]. ze )  ->  ( E. n  e.  Z  E. f
( f : ( M ... n ) --> A  /\  ( ( f `  M )  =  c  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n
) ch )  ->  E. n  e.  Z  E. f ( f : ( M ... n
) --> A  /\  ( si  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch ) ) )
7056, 69mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( et  /\  c  e.  A )  /\  [. c  /  a ]. ze )  ->  E. n  e.  Z  E. f ( f : ( M ... n
) --> A  /\  ( si  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch ) )
715, 70chvarv 2107 . 2  |-  ( ( ( et  /\  a  e.  A )  /\  ze )  ->  E. n  e.  Z  E. f ( f : ( M ... n
) --> A  /\  ( si  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch ) )
72 fdc1.9 . 2  |-  ( et 
->  E. a  e.  A  ze )
7371, 72r19.29a 2932 1  |-  ( et 
->  E. n  e.  Z  E. f ( f : ( M ... n
) --> A  /\  ( si  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444   E.wex 1663   [wsb 1797    e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045   [.wsbc 3267   class class class wbr 4402    Fr wfr 4790   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   1c1 9540    + caddc 9542    - cmin 9860   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   ...cfz 11784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785
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