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Theorem fdc1 28486
Description: Variant of fdc 28485 with no specified base value. (Contributed by Jeff Madsen, 18-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
fdc1.1  |-  A  e. 
_V
fdc1.2  |-  M  e.  ZZ
fdc1.3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
fdc1.4  |-  N  =  ( M  +  1 )
fdc1.5  |-  ( a  =  ( f `  M )  ->  ( ze 
<-> 
si ) )
fdc1.6  |-  ( a  =  ( f `  ( k  -  1 ) )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
fdc1.7  |-  ( b  =  ( f `  k )  ->  ( ps 
<->  ch ) )
fdc1.8  |-  ( a  =  ( f `  n )  ->  ( th 
<->  ta ) )
fdc1.9  |-  ( et 
->  E. a  e.  A  ze )
fdc1.10  |-  ( et 
->  R  Fr  A
)
fdc1.11  |-  ( ( et  /\  a  e.  A )  ->  ( th  \/  E. b  e.  A  ph ) )
fdc1.12  |-  ( ( ( et  /\  ph )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
b R a )
Assertion
Ref Expression
fdc1  |-  ( et 
->  E. n  e.  Z  E. f ( f : ( M ... n
) --> A  /\  ( si  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch ) )
Distinct variable groups:    A, a,
b, f, n    R, a, b    M, a, b, f, k, n    Z, a, b, n    N, a, b, f, k, n    ph, f, k    ps, a    ch, a, b, n    th, f, n    ta, a, b    et, a, b, f, n    ze, b, f, n    si, a
Allowed substitution hints:    ph( n, a, b)    ps( f, k, n, b)    ch( f, k)    th( k,
a, b)    ta( f,
k, n)    et( k)    ze( k, a)    si( f,
k, n, b)    A( k)    R( f, k, n)    Z( f, k)

Proof of Theorem fdc1
Dummy variables  c 
d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fdc1.9 . 2  |-  ( et 
->  E. a  e.  A  ze )
2 eleq1 2493 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  a  ->  (
c  e.  A  <->  a  e.  A ) )
32anbi2d 696 . . . . . . 7  |-  ( c  =  a  ->  (
( et  /\  c  e.  A )  <->  ( et  /\  a  e.  A
) ) )
4 sbceq2a 3186 . . . . . . 7  |-  ( c  =  a  ->  ( [. c  /  a ]. ze  <->  ze ) )
53, 4anbi12d 703 . . . . . 6  |-  ( c  =  a  ->  (
( ( et  /\  c  e.  A )  /\  [. c  /  a ]. ze )  <->  ( ( et  /\  a  e.  A
)  /\  ze )
) )
65imbi1d 317 . . . . 5  |-  ( c  =  a  ->  (
( ( ( et 
/\  c  e.  A
)  /\  [. c  / 
a ]. ze )  ->  E. n  e.  Z  E. f ( f : ( M ... n
) --> A  /\  ( si  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch ) )  <->  ( (
( et  /\  a  e.  A )  /\  ze )  ->  E. n  e.  Z  E. f ( f : ( M ... n
) --> A  /\  ( si  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch ) ) ) )
7 fdc1.1 . . . . . . . 8  |-  A  e. 
_V
8 fdc1.2 . . . . . . . 8  |-  M  e.  ZZ
9 fdc1.3 . . . . . . . 8  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
10 fdc1.4 . . . . . . . 8  |-  N  =  ( M  +  1 )
11 sbsbc 3179 . . . . . . . . 9  |-  ( [ d  /  a ]
ph 
<-> 
[. d  /  a ]. ph )
12 nfv 1672 . . . . . . . . . 10  |-  F/ a ps
13 fdc1.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( f `  ( k  -  1 ) )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
1412, 13sbhypf 3008 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  ( f `  ( k  -  1 ) )  ->  ( [ d  /  a ] ph  <->  ps ) )
1511, 14syl5bbr 259 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  ( f `  ( k  -  1 ) )  ->  ( [. d  /  a ]. ph  <->  ps ) )
16 fdc1.7 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( f `  k )  ->  ( ps 
<->  ch ) )
17 sbsbc 3179 . . . . . . . . 9  |-  ( [ d  /  a ] th  <->  [. d  /  a ]. th )
18 nfv 1672 . . . . . . . . . 10  |-  F/ a ta
19 fdc1.8 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( f `  n )  ->  ( th 
<->  ta ) )
2018, 19sbhypf 3008 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  ( f `  n )  ->  ( [ d  /  a ] th  <->  ta ) )
2117, 20syl5bbr 259 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  ( f `  n )  ->  ( [. d  /  a ]. th  <->  ta ) )
22 simprl 748 . . . . . . . 8  |-  ( ( et  /\  ( c  e.  A  /\  [. c  /  a ]. ze ) )  ->  c  e.  A )
23 fdc1.10 . . . . . . . . 9  |-  ( et 
->  R  Fr  A
)
2423adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( et  /\  ( c  e.  A  /\  [. c  /  a ]. ze ) )  ->  R  Fr  A )
25 nfv 1672 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ a ( et  /\  d  e.  A )
26 nfsbc1v 3194 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ a
[. d  /  a ]. th
27 nfcv 2569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ a A
28 nfsbc1v 3194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ a
[. d  /  a ]. ph
2927, 28nfrex 2761 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ a E. b  e.  A  [. d  /  a ]. ph
3026, 29nfor 1866 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ a ( [. d  / 
a ]. th  \/  E. b  e.  A  [. d  /  a ]. ph )
3125, 30nfim 1851 . . . . . . . . . 10  |-  F/ a ( ( et  /\  d  e.  A )  ->  ( [. d  / 
a ]. th  \/  E. b  e.  A  [. d  /  a ]. ph )
)
32 eleq1 2493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  d  ->  (
a  e.  A  <->  d  e.  A ) )
3332anbi2d 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  d  ->  (
( et  /\  a  e.  A )  <->  ( et  /\  d  e.  A
) ) )
34 sbceq1a 3185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  d  ->  ( th 
<-> 
[. d  /  a ]. th ) )
35 sbceq1a 3185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  d  ->  ( ph 
<-> 
[. d  /  a ]. ph ) )
3635rexbidv 2726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  d  ->  ( E. b  e.  A  ph  <->  E. b  e.  A  [. d  /  a ]. ph )
)
3734, 36orbi12d 702 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  d  ->  (
( th  \/  E. b  e.  A  ph )  <->  (
[. d  /  a ]. th  \/  E. b  e.  A  [. d  / 
a ]. ph ) ) )
3833, 37imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  d  ->  (
( ( et  /\  a  e.  A )  ->  ( th  \/  E. b  e.  A  ph )
)  <->  ( ( et 
/\  d  e.  A
)  ->  ( [. d  /  a ]. th  \/  E. b  e.  A  [. d  /  a ]. ph ) ) ) )
39 fdc1.11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( et  /\  a  e.  A )  ->  ( th  \/  E. b  e.  A  ph ) )
4031, 38, 39chvar 1956 . . . . . . . . 9  |-  ( ( et  /\  d  e.  A )  ->  ( [. d  /  a ]. th  \/  E. b  e.  A  [. d  / 
a ]. ph ) )
4140adantlr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( et  /\  (
c  e.  A  /\  [. c  /  a ]. ze ) )  /\  d  e.  A )  ->  ( [. d  /  a ]. th  \/  E. b  e.  A  [. d  / 
a ]. ph ) )
42 nfv 1672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ a et
4342, 28nfan 1859 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ a ( et  /\  [. d  /  a ]. ph )
44 nfv 1672 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ a ( d  e.  A  /\  b  e.  A
)
4543, 44nfan 1859 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ a ( ( et  /\  [. d  /  a ]. ph )  /\  ( d  e.  A  /\  b  e.  A ) )
46 nfv 1672 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ a  b R d
4745, 46nfim 1851 . . . . . . . . . 10  |-  F/ a ( ( ( et 
/\  [. d  /  a ]. ph )  /\  (
d  e.  A  /\  b  e.  A )
)  ->  b R
d )
4835anbi2d 696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  d  ->  (
( et  /\  ph ) 
<->  ( et  /\  [. d  /  a ]. ph )
) )
4932anbi1d 697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  d  ->  (
( a  e.  A  /\  b  e.  A
)  <->  ( d  e.  A  /\  b  e.  A ) ) )
5048, 49anbi12d 703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  d  ->  (
( ( et  /\  ph )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  <->  ( ( et  /\  [. d  / 
a ]. ph )  /\  ( d  e.  A  /\  b  e.  A
) ) ) )
51 breq2 4284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  d  ->  (
b R a  <->  b R
d ) )
5250, 51imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  d  ->  (
( ( ( et 
/\  ph )  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A )
)  ->  b R
a )  <->  ( (
( et  /\  [. d  /  a ]. ph )  /\  ( d  e.  A  /\  b  e.  A
) )  ->  b R d ) ) )
53 fdc1.12 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( et  /\  ph )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
b R a )
5447, 52, 53chvar 1956 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( et  /\  [. d  /  a ]. ph )  /\  ( d  e.  A  /\  b  e.  A
) )  ->  b R d )
5554adantllr 711 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( et  /\  ( c  e.  A  /\  [. c  /  a ]. ze ) )  /\  [. d  /  a ]. ph )  /\  ( d  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
b R d )
567, 8, 9, 10, 15, 16, 21, 22, 24, 41, 55fdc 28485 . . . . . . 7  |-  ( ( et  /\  ( c  e.  A  /\  [. c  /  a ]. ze ) )  ->  E. n  e.  Z  E. f
( f : ( M ... n ) --> A  /\  ( ( f `  M )  =  c  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n
) ch ) )
5756anassrs 641 . . . . . 6  |-  ( ( ( et  /\  c  e.  A )  /\  [. c  /  a ]. ze )  ->  E. n  e.  Z  E. f ( f : ( M ... n
) --> A  /\  (
( f `  M
)  =  c  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n
) ch ) )
58 idd 24 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( et  /\  c  e.  A )  /\  [. c  /  a ]. ze )  ->  ( f : ( M ... n
) --> A  ->  f : ( M ... n ) --> A ) )
59 fvex 5689 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f `
 M )  e. 
_V
60 fdc1.5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  ( f `  M )  ->  ( ze 
<-> 
si ) )
6159, 60sbcie 3209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [. ( f `  M
)  /  a ]. ze 
<-> 
si )
62 dfsbcq 3177 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f `  M )  =  c  ->  ( [. ( f `  M
)  /  a ]. ze 
<-> 
[. c  /  a ]. ze ) )
6361, 62syl5rbbr 260 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  M )  =  c  ->  ( [. c  /  a ]. ze  <->  si ) )
6463biimpcd 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [. c  /  a ]. ze  ->  ( ( f `  M )  =  c  ->  si ) )
6564adantl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( et  /\  c  e.  A )  /\  [. c  /  a ]. ze )  ->  ( ( f `
 M )  =  c  ->  si )
)
6665anim1d 559 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( et  /\  c  e.  A )  /\  [. c  /  a ]. ze )  ->  ( ( ( f `  M )  =  c  /\  ta )  ->  ( si  /\  ta ) ) )
67 idd 24 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( et  /\  c  e.  A )  /\  [. c  /  a ]. ze )  ->  ( A. k  e.  ( N ... n
) ch  ->  A. k  e.  ( N ... n
) ch ) )
6858, 66, 673anim123d 1289 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( et  /\  c  e.  A )  /\  [. c  /  a ]. ze )  ->  ( ( f : ( M ... n ) --> A  /\  ( ( f `  M )  =  c  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch )  ->  ( f : ( M ... n ) --> A  /\  ( si  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch ) ) )
6968eximdv 1675 . . . . . . 7  |-  ( ( ( et  /\  c  e.  A )  /\  [. c  /  a ]. ze )  ->  ( E. f
( f : ( M ... n ) --> A  /\  ( ( f `  M )  =  c  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n
) ch )  ->  E. f ( f : ( M ... n
) --> A  /\  ( si  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch ) ) )
7069reximdv 2817 . . . . . 6  |-  ( ( ( et  /\  c  e.  A )  /\  [. c  /  a ]. ze )  ->  ( E. n  e.  Z  E. f
( f : ( M ... n ) --> A  /\  ( ( f `  M )  =  c  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n
) ch )  ->  E. n  e.  Z  E. f ( f : ( M ... n
) --> A  /\  ( si  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch ) ) )
7157, 70mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( et  /\  c  e.  A )  /\  [. c  /  a ]. ze )  ->  E. n  e.  Z  E. f ( f : ( M ... n
) --> A  /\  ( si  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch ) )
726, 71chvarv 1957 . . . 4  |-  ( ( ( et  /\  a  e.  A )  /\  ze )  ->  E. n  e.  Z  E. f ( f : ( M ... n
) --> A  /\  ( si  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch ) )
7372ex 434 . . 3  |-  ( ( et  /\  a  e.  A )  ->  ( ze  ->  E. n  e.  Z  E. f ( f : ( M ... n
) --> A  /\  ( si  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch ) ) )
7473rexlimdva 2831 . 2  |-  ( et 
->  ( E. a  e.  A  ze  ->  E. n  e.  Z  E. f
( f : ( M ... n ) --> A  /\  ( si  /\ 
ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch )
) )
751, 74mpd 15 1  |-  ( et 
->  E. n  e.  Z  E. f ( f : ( M ... n
) --> A  /\  ( si  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362   E.wex 1589   [wsb 1699    e. wcel 1755   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2962   [.wsbc 3175   class class class wbr 4280    Fr wfr 4663   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   1c1 9271    + caddc 9273    - cmin 9583   ZZcz 10634   ZZ>=cuz 10849   ...cfz 11424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-fz 11425
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