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Theorem fctop 19632
Description: The finite complement topology on a set  A. Example 3 in [Munkres] p. 77. (Contributed by FL, 15-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fctop  |-  ( A  e.  V  ->  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  e.  (TopOn `  A
) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem fctop
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniss 4272 . . . . . . . 8  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  C_  U. {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } )
2 ssrab2 3581 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) } 
C_  ~P A
3 sspwuni 4421 . . . . . . . . 9  |-  ( { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  C_  ~P A 
<-> 
U. { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) } 
C_  A )
42, 3mpbi 208 . . . . . . . 8  |-  U. {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  C_  A
51, 4syl6ss 3511 . . . . . . 7  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  C_  A
)
6 vex 3112 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
76uniex 6595 . . . . . . . 8  |-  U. y  e.  _V
87elpw 4021 . . . . . . 7  |-  ( U. y  e.  ~P A  <->  U. y  C_  A )
95, 8sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  e.  ~P A )
10 uni0c 4277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. y  =  (/)  <->  A. z  e.  y  z  =  (/) )
1110notbii 296 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
U. y  =  (/)  <->  -.  A. z  e.  y  z  =  (/) )
12 rexnal 2905 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  y  -.  z  =  (/)  <->  -.  A. z  e.  y  z  =  (/) )
1311, 12bitr4i 252 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
U. y  =  (/)  <->  E. z  e.  y  -.  z  =  (/) )
14 ssel2 3494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  ->  z  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } )
15 difeq2 3612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  z  ->  ( A  \  x )  =  ( A  \  z
) )
1615eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  z  ->  (
( A  \  x
)  e.  Fin  <->  ( A  \  z )  e.  Fin ) )
17 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  (/)  <->  z  =  (/) ) )
1816, 17orbi12d 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( A  \  x )  e.  Fin  \/  x  =  (/) )  <->  ( ( A  \  z )  e. 
Fin  \/  z  =  (/) ) ) )
1918elrab 3257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  <-> 
( z  e.  ~P A  /\  ( ( A 
\  z )  e. 
Fin  \/  z  =  (/) ) ) )
2014, 19sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  ->  ( z  e.  ~P A  /\  (
( A  \  z
)  e.  Fin  \/  z  =  (/) ) ) )
2120simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  ->  ( ( A  \  z )  e. 
Fin  \/  z  =  (/) ) )
2221ord 377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  ->  ( -.  ( A  \  z
)  e.  Fin  ->  z  =  (/) ) )
2322con1d 124 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  ->  ( -.  z  =  (/)  ->  ( A  \  z )  e. 
Fin ) )
2423imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  /\  -.  z  =  (/) )  ->  ( A  \  z )  e. 
Fin )
25 elssuni 4281 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  y  ->  z  C_ 
U. y )
2625sscond 3637 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  y  ->  ( A  \  U. y ) 
C_  ( A  \ 
z ) )
27 ssfi 7759 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  \  z
)  e.  Fin  /\  ( A  \  U. y
)  C_  ( A  \  z ) )  -> 
( A  \  U. y )  e.  Fin )
2826, 27sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  \  z
)  e.  Fin  /\  z  e.  y )  ->  ( A  \  U. y )  e.  Fin )
2928expcom 435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  y  ->  (
( A  \  z
)  e.  Fin  ->  ( A  \  U. y
)  e.  Fin )
)
3029ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  /\  -.  z  =  (/) )  ->  (
( A  \  z
)  e.  Fin  ->  ( A  \  U. y
)  e.  Fin )
)
3124, 30mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  /\  -.  z  =  (/) )  ->  ( A  \  U. y )  e.  Fin )
3231exp31 604 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  ( z  e.  y  ->  ( -.  z  =  (/)  ->  ( A  \  U. y )  e.  Fin ) ) )
3332rexlimdv 2947 . . . . . . . . 9  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  ( E. z  e.  y  -.  z  =  (/)  ->  ( A  \ 
U. y )  e. 
Fin ) )
3413, 33syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  ( -.  U. y  =  (/)  ->  ( A  \  U. y )  e.  Fin ) )
3534con1d 124 . . . . . . 7  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  ( -.  ( A  \  U. y )  e.  Fin  ->  U. y  =  (/) ) )
3635orrd 378 . . . . . 6  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  ( ( A 
\  U. y )  e. 
Fin  \/  U. y  =  (/) ) )
37 difeq2 3612 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  U. y  -> 
( A  \  x
)  =  ( A 
\  U. y ) )
3837eleq1d 2526 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  U. y  -> 
( ( A  \  x )  e.  Fin  <->  ( A  \  U. y )  e.  Fin ) )
39 eqeq1 2461 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  U. y  -> 
( x  =  (/)  <->  U. y  =  (/) ) )
4038, 39orbi12d 709 . . . . . . 7  |-  ( x  =  U. y  -> 
( ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) )  <->  ( ( A 
\  U. y )  e. 
Fin  \/  U. y  =  (/) ) ) )
4140elrab 3257 . . . . . 6  |-  ( U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  <-> 
( U. y  e. 
~P A  /\  (
( A  \  U. y )  e.  Fin  \/ 
U. y  =  (/) ) ) )
429, 36, 41sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } )
4342ax-gen 1619 . . . 4  |-  A. y
( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } )
44 ssinss1 3722 . . . . . . . . 9  |-  ( y 
C_  A  ->  (
y  i^i  z )  C_  A )
456elpw 4021 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~P A  <->  y  C_  A )
466inex1 4597 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  i^i  z )  e. 
_V
4746elpw 4021 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  i^i  z )  e.  ~P A  <->  ( y  i^i  z )  C_  A
)
4844, 45, 473imtr4i 266 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~P A  -> 
( y  i^i  z
)  e.  ~P A
)
4948ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  ~P A  /\  ( ( A 
\  y )  e. 
Fin  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( ( A  \ 
z )  e.  Fin  \/  z  =  (/) ) ) )  ->  ( y  i^i  z )  e.  ~P A )
50 difindi 3759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
\  ( y  i^i  z ) )  =  ( ( A  \ 
y )  u.  ( A  \  z ) )
51 unfi 7805 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  \  y
)  e.  Fin  /\  ( A  \  z
)  e.  Fin )  ->  ( ( A  \ 
y )  u.  ( A  \  z ) )  e.  Fin )
5250, 51syl5eqel 2549 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  \  y
)  e.  Fin  /\  ( A  \  z
)  e.  Fin )  ->  ( A  \  (
y  i^i  z )
)  e.  Fin )
5352orcd 392 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  \  y
)  e.  Fin  /\  ( A  \  z
)  e.  Fin )  ->  ( ( A  \ 
( y  i^i  z
) )  e.  Fin  \/  ( y  i^i  z
)  =  (/) ) )
54 ineq1 3689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y  i^i  z )  =  ( (/)  i^i  z
) )
55 incom 3687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  i^i  z )  =  ( z  i^i  (/) )
56 in0 3820 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  i^i  (/) )  =  (/)
5755, 56eqtri 2486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  i^i  z )  =  (/)
5854, 57syl6eq 2514 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y  i^i  z )  =  (/) )
5958olcd 393 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( A  \  ( y  i^i  z ) )  e.  Fin  \/  (
y  i^i  z )  =  (/) ) )
60 ineq2 3690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  (/)  ->  ( y  i^i  z )  =  ( y  i^i  (/) ) )
61 in0 3820 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  i^i  (/) )  =  (/)
6260, 61syl6eq 2514 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  (/)  ->  ( y  i^i  z )  =  (/) )
6362olcd 393 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  (/)  ->  ( ( A  \  ( y  i^i  z ) )  e.  Fin  \/  (
y  i^i  z )  =  (/) ) )
6453, 59, 63ccase2 948 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  \ 
y )  e.  Fin  \/  y  =  (/) )  /\  ( ( A  \ 
z )  e.  Fin  \/  z  =  (/) ) )  ->  ( ( A 
\  ( y  i^i  z ) )  e. 
Fin  \/  ( y  i^i  z )  =  (/) ) )
6564ad2ant2l 745 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  ~P A  /\  ( ( A 
\  y )  e. 
Fin  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( ( A  \ 
z )  e.  Fin  \/  z  =  (/) ) ) )  ->  ( ( A  \  ( y  i^i  z ) )  e. 
Fin  \/  ( y  i^i  z )  =  (/) ) )
6649, 65jca 532 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  ~P A  /\  ( ( A 
\  y )  e. 
Fin  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( ( A  \ 
z )  e.  Fin  \/  z  =  (/) ) ) )  ->  ( (
y  i^i  z )  e.  ~P A  /\  (
( A  \  (
y  i^i  z )
)  e.  Fin  \/  ( y  i^i  z
)  =  (/) ) ) )
67 difeq2 3612 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( A  \  x )  =  ( A  \  y
) )
6867eleq1d 2526 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  \  x
)  e.  Fin  <->  ( A  \  y )  e.  Fin ) )
69 eqeq1 2461 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  (/)  <->  y  =  (/) ) )
7068, 69orbi12d 709 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( A  \  x )  e.  Fin  \/  x  =  (/) )  <->  ( ( A  \  y )  e. 
Fin  \/  y  =  (/) ) ) )
7170elrab 3257 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  <-> 
( y  e.  ~P A  /\  ( ( A 
\  y )  e. 
Fin  \/  y  =  (/) ) ) )
7271, 19anbi12i 697 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } )  <->  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( ( A  \ 
y )  e.  Fin  \/  y  =  (/) ) )  /\  ( z  e. 
~P A  /\  (
( A  \  z
)  e.  Fin  \/  z  =  (/) ) ) ) )
73 difeq2 3612 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  ( A  \  x )  =  ( A  \  (
y  i^i  z )
) )
7473eleq1d 2526 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  (
( A  \  x
)  e.  Fin  <->  ( A  \  ( y  i^i  z
) )  e.  Fin ) )
75 eqeq1 2461 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  (
x  =  (/)  <->  ( y  i^i  z )  =  (/) ) )
7674, 75orbi12d 709 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  (
( ( A  \  x )  e.  Fin  \/  x  =  (/) )  <->  ( ( A  \  ( y  i^i  z ) )  e. 
Fin  \/  ( y  i^i  z )  =  (/) ) ) )
7776elrab 3257 . . . . . 6  |-  ( ( y  i^i  z )  e.  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  <-> 
( ( y  i^i  z )  e.  ~P A  /\  ( ( A 
\  ( y  i^i  z ) )  e. 
Fin  \/  ( y  i^i  z )  =  (/) ) ) )
7866, 72, 773imtr4i 266 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } )  -> 
( y  i^i  z
)  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) } )
7978rgen2a 2884 . . . 4  |-  A. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } A. z  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  ( y  i^i  z )  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }
8043, 79pm3.2i 455 . . 3  |-  ( A. y ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } )  /\  A. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) } A. z  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  ( y  i^i  z )  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } )
81 pwexg 4640 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  _V )
82 rabexg 4606 . . . 4  |-  ( ~P A  e.  _V  ->  { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  e.  _V )
83 istopg 19531 . . . 4  |-  ( { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  e.  _V  ->  ( { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  e.  Top  <->  ( A. y ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } )  /\  A. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) } A. z  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  ( y  i^i  z )  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } ) ) )
8481, 82, 833syl 20 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  e.  Top  <->  ( A. y ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } )  /\  A. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) } A. z  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  ( y  i^i  z )  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } ) ) )
8580, 84mpbiri 233 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  e.  Top )
86 pwidg 4028 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  ~P A )
87 0fin 7766 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  Fin
8887orci 390 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  Fin  \/  A  =  (/) )
8988a1i 11 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( (/) 
e.  Fin  \/  A  =  (/) ) )
90 difeq2 3612 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  ( A  \  x )  =  ( A  \  A
) )
91 difid 3899 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
\  A )  =  (/)
9290, 91syl6eq 2514 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  ( A  \  x )  =  (/) )
9392eleq1d 2526 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
( A  \  x
)  e.  Fin  <->  (/)  e.  Fin ) )
94 eqeq1 2461 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
x  =  (/)  <->  A  =  (/) ) )
9593, 94orbi12d 709 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( A  \  x )  e.  Fin  \/  x  =  (/) )  <->  ( (/)  e.  Fin  \/  A  =  (/) ) ) )
9695elrab 3257 . . . . 5  |-  ( A  e.  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  <-> 
( A  e.  ~P A  /\  ( (/)  e.  Fin  \/  A  =  (/) ) ) )
9786, 89, 96sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } )
98 elssuni 4281 . . . 4  |-  ( A  e.  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  A  C_  U. {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } )
9997, 98syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  A  C_ 
U. { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) } )
1004a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  U. {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  C_  A
)
10199, 100eqssd 3516 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  A  =  U. { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) } )
102 istopon 19553 . 2  |-  ( { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  e.  (TopOn `  A )  <->  ( {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  e.  Top  /\  A  =  U. {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } ) )
10385, 101, 102sylanbrc 664 1  |-  ( A  e.  V  ->  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  e.  (TopOn `  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369   A.wal 1393    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3109    \ cdif 3468    u. cun 3469    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   U.cuni 4251   ` cfv 5594   Fincfn 7535   Topctop 19521  TopOnctopon 19522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-fin 7539  df-top 19526  df-topon 19529
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