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Theorem fctop 18608
Description: The finite complement topology on a set  A. Example 3 in [Munkres] p. 77. (Contributed by FL, 15-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fctop  |-  ( A  e.  V  ->  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  e.  (TopOn `  A
) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem fctop
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniss 4112 . . . . . . . 8  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  C_  U. {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } )
2 ssrab2 3437 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) } 
C_  ~P A
3 sspwuni 4256 . . . . . . . . 9  |-  ( { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  C_  ~P A 
<-> 
U. { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) } 
C_  A )
42, 3mpbi 208 . . . . . . . 8  |-  U. {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  C_  A
51, 4syl6ss 3368 . . . . . . 7  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  C_  A
)
6 vex 2975 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
76uniex 6376 . . . . . . . 8  |-  U. y  e.  _V
87elpw 3866 . . . . . . 7  |-  ( U. y  e.  ~P A  <->  U. y  C_  A )
95, 8sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  e.  ~P A )
10 uni0c 4117 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. y  =  (/)  <->  A. z  e.  y  z  =  (/) )
1110notbii 296 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
U. y  =  (/)  <->  -.  A. z  e.  y  z  =  (/) )
12 rexnal 2726 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  y  -.  z  =  (/)  <->  -.  A. z  e.  y  z  =  (/) )
1311, 12bitr4i 252 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
U. y  =  (/)  <->  E. z  e.  y  -.  z  =  (/) )
14 ssel2 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  ->  z  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } )
15 difeq2 3468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  z  ->  ( A  \  x )  =  ( A  \  z
) )
1615eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  z  ->  (
( A  \  x
)  e.  Fin  <->  ( A  \  z )  e.  Fin ) )
17 eqeq1 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  (/)  <->  z  =  (/) ) )
1816, 17orbi12d 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( A  \  x )  e.  Fin  \/  x  =  (/) )  <->  ( ( A  \  z )  e. 
Fin  \/  z  =  (/) ) ) )
1918elrab 3117 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  <-> 
( z  e.  ~P A  /\  ( ( A 
\  z )  e. 
Fin  \/  z  =  (/) ) ) )
2014, 19sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  ->  ( z  e.  ~P A  /\  (
( A  \  z
)  e.  Fin  \/  z  =  (/) ) ) )
2120simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  ->  ( ( A  \  z )  e. 
Fin  \/  z  =  (/) ) )
2221ord 377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  ->  ( -.  ( A  \  z
)  e.  Fin  ->  z  =  (/) ) )
2322con1d 124 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  ->  ( -.  z  =  (/)  ->  ( A  \  z )  e. 
Fin ) )
2423imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  /\  -.  z  =  (/) )  ->  ( A  \  z )  e. 
Fin )
25 elssuni 4121 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  y  ->  z  C_ 
U. y )
2625sscond 3493 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  y  ->  ( A  \  U. y ) 
C_  ( A  \ 
z ) )
27 ssfi 7533 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  \  z
)  e.  Fin  /\  ( A  \  U. y
)  C_  ( A  \  z ) )  -> 
( A  \  U. y )  e.  Fin )
2826, 27sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  \  z
)  e.  Fin  /\  z  e.  y )  ->  ( A  \  U. y )  e.  Fin )
2928expcom 435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  y  ->  (
( A  \  z
)  e.  Fin  ->  ( A  \  U. y
)  e.  Fin )
)
3029ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  /\  -.  z  =  (/) )  ->  (
( A  \  z
)  e.  Fin  ->  ( A  \  U. y
)  e.  Fin )
)
3124, 30mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  /\  -.  z  =  (/) )  ->  ( A  \  U. y )  e.  Fin )
3231exp31 604 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  ( z  e.  y  ->  ( -.  z  =  (/)  ->  ( A  \  U. y )  e.  Fin ) ) )
3332rexlimdv 2840 . . . . . . . . 9  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  ( E. z  e.  y  -.  z  =  (/)  ->  ( A  \ 
U. y )  e. 
Fin ) )
3413, 33syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  ( -.  U. y  =  (/)  ->  ( A  \  U. y )  e.  Fin ) )
3534con1d 124 . . . . . . 7  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  ( -.  ( A  \  U. y )  e.  Fin  ->  U. y  =  (/) ) )
3635orrd 378 . . . . . 6  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  ( ( A 
\  U. y )  e. 
Fin  \/  U. y  =  (/) ) )
37 difeq2 3468 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  U. y  -> 
( A  \  x
)  =  ( A 
\  U. y ) )
3837eleq1d 2509 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  U. y  -> 
( ( A  \  x )  e.  Fin  <->  ( A  \  U. y )  e.  Fin ) )
39 eqeq1 2449 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  U. y  -> 
( x  =  (/)  <->  U. y  =  (/) ) )
4038, 39orbi12d 709 . . . . . . 7  |-  ( x  =  U. y  -> 
( ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) )  <->  ( ( A 
\  U. y )  e. 
Fin  \/  U. y  =  (/) ) ) )
4140elrab 3117 . . . . . 6  |-  ( U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  <-> 
( U. y  e. 
~P A  /\  (
( A  \  U. y )  e.  Fin  \/ 
U. y  =  (/) ) ) )
429, 36, 41sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } )
4342ax-gen 1591 . . . 4  |-  A. y
( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } )
44 ssinss1 3578 . . . . . . . . 9  |-  ( y 
C_  A  ->  (
y  i^i  z )  C_  A )
456elpw 3866 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~P A  <->  y  C_  A )
466inex1 4433 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  i^i  z )  e. 
_V
4746elpw 3866 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  i^i  z )  e.  ~P A  <->  ( y  i^i  z )  C_  A
)
4844, 45, 473imtr4i 266 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~P A  -> 
( y  i^i  z
)  e.  ~P A
)
4948ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  ~P A  /\  ( ( A 
\  y )  e. 
Fin  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( ( A  \ 
z )  e.  Fin  \/  z  =  (/) ) ) )  ->  ( y  i^i  z )  e.  ~P A )
50 difindi 3604 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
\  ( y  i^i  z ) )  =  ( ( A  \ 
y )  u.  ( A  \  z ) )
51 unfi 7579 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  \  y
)  e.  Fin  /\  ( A  \  z
)  e.  Fin )  ->  ( ( A  \ 
y )  u.  ( A  \  z ) )  e.  Fin )
5250, 51syl5eqel 2527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  \  y
)  e.  Fin  /\  ( A  \  z
)  e.  Fin )  ->  ( A  \  (
y  i^i  z )
)  e.  Fin )
5352orcd 392 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  \  y
)  e.  Fin  /\  ( A  \  z
)  e.  Fin )  ->  ( ( A  \ 
( y  i^i  z
) )  e.  Fin  \/  ( y  i^i  z
)  =  (/) ) )
54 ineq1 3545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y  i^i  z )  =  ( (/)  i^i  z
) )
55 incom 3543 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  i^i  z )  =  ( z  i^i  (/) )
56 in0 3663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  i^i  (/) )  =  (/)
5755, 56eqtri 2463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  i^i  z )  =  (/)
5854, 57syl6eq 2491 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y  i^i  z )  =  (/) )
5958olcd 393 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( A  \  ( y  i^i  z ) )  e.  Fin  \/  (
y  i^i  z )  =  (/) ) )
60 ineq2 3546 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  (/)  ->  ( y  i^i  z )  =  ( y  i^i  (/) ) )
61 in0 3663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  i^i  (/) )  =  (/)
6260, 61syl6eq 2491 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  (/)  ->  ( y  i^i  z )  =  (/) )
6362olcd 393 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  (/)  ->  ( ( A  \  ( y  i^i  z ) )  e.  Fin  \/  (
y  i^i  z )  =  (/) ) )
6453, 59, 63ccase2 939 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  \ 
y )  e.  Fin  \/  y  =  (/) )  /\  ( ( A  \ 
z )  e.  Fin  \/  z  =  (/) ) )  ->  ( ( A 
\  ( y  i^i  z ) )  e. 
Fin  \/  ( y  i^i  z )  =  (/) ) )
6564ad2ant2l 745 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  ~P A  /\  ( ( A 
\  y )  e. 
Fin  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( ( A  \ 
z )  e.  Fin  \/  z  =  (/) ) ) )  ->  ( ( A  \  ( y  i^i  z ) )  e. 
Fin  \/  ( y  i^i  z )  =  (/) ) )
6649, 65jca 532 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  ~P A  /\  ( ( A 
\  y )  e. 
Fin  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( ( A  \ 
z )  e.  Fin  \/  z  =  (/) ) ) )  ->  ( (
y  i^i  z )  e.  ~P A  /\  (
( A  \  (
y  i^i  z )
)  e.  Fin  \/  ( y  i^i  z
)  =  (/) ) ) )
67 difeq2 3468 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( A  \  x )  =  ( A  \  y
) )
6867eleq1d 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  \  x
)  e.  Fin  <->  ( A  \  y )  e.  Fin ) )
69 eqeq1 2449 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  (/)  <->  y  =  (/) ) )
7068, 69orbi12d 709 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( A  \  x )  e.  Fin  \/  x  =  (/) )  <->  ( ( A  \  y )  e. 
Fin  \/  y  =  (/) ) ) )
7170elrab 3117 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  <-> 
( y  e.  ~P A  /\  ( ( A 
\  y )  e. 
Fin  \/  y  =  (/) ) ) )
7271, 19anbi12i 697 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } )  <->  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( ( A  \ 
y )  e.  Fin  \/  y  =  (/) ) )  /\  ( z  e. 
~P A  /\  (
( A  \  z
)  e.  Fin  \/  z  =  (/) ) ) ) )
73 difeq2 3468 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  ( A  \  x )  =  ( A  \  (
y  i^i  z )
) )
7473eleq1d 2509 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  (
( A  \  x
)  e.  Fin  <->  ( A  \  ( y  i^i  z
) )  e.  Fin ) )
75 eqeq1 2449 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  (
x  =  (/)  <->  ( y  i^i  z )  =  (/) ) )
7674, 75orbi12d 709 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  (
( ( A  \  x )  e.  Fin  \/  x  =  (/) )  <->  ( ( A  \  ( y  i^i  z ) )  e. 
Fin  \/  ( y  i^i  z )  =  (/) ) ) )
7776elrab 3117 . . . . . 6  |-  ( ( y  i^i  z )  e.  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  <-> 
( ( y  i^i  z )  e.  ~P A  /\  ( ( A 
\  ( y  i^i  z ) )  e. 
Fin  \/  ( y  i^i  z )  =  (/) ) ) )
7866, 72, 773imtr4i 266 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } )  -> 
( y  i^i  z
)  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) } )
7978rgen2a 2782 . . . 4  |-  A. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } A. z  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  ( y  i^i  z )  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }
8043, 79pm3.2i 455 . . 3  |-  ( A. y ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } )  /\  A. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) } A. z  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  ( y  i^i  z )  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } )
81 pwexg 4476 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  _V )
82 rabexg 4442 . . . 4  |-  ( ~P A  e.  _V  ->  { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  e.  _V )
83 istopg 18508 . . . 4  |-  ( { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  e.  _V  ->  ( { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  e.  Top  <->  ( A. y ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } )  /\  A. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) } A. z  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  ( y  i^i  z )  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } ) ) )
8481, 82, 833syl 20 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  e.  Top  <->  ( A. y ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } )  /\  A. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) } A. z  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  ( y  i^i  z )  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } ) ) )
8580, 84mpbiri 233 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  e.  Top )
86 pwidg 3873 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  ~P A )
87 0fin 7540 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  Fin
8887orci 390 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  Fin  \/  A  =  (/) )
8988a1i 11 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( (/) 
e.  Fin  \/  A  =  (/) ) )
90 difeq2 3468 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  ( A  \  x )  =  ( A  \  A
) )
91 difid 3747 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
\  A )  =  (/)
9290, 91syl6eq 2491 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  ( A  \  x )  =  (/) )
9392eleq1d 2509 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
( A  \  x
)  e.  Fin  <->  (/)  e.  Fin ) )
94 eqeq1 2449 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
x  =  (/)  <->  A  =  (/) ) )
9593, 94orbi12d 709 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( A  \  x )  e.  Fin  \/  x  =  (/) )  <->  ( (/)  e.  Fin  \/  A  =  (/) ) ) )
9695elrab 3117 . . . . 5  |-  ( A  e.  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  <-> 
( A  e.  ~P A  /\  ( (/)  e.  Fin  \/  A  =  (/) ) ) )
9786, 89, 96sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } )
98 elssuni 4121 . . . 4  |-  ( A  e.  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  A  C_  U. {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } )
9997, 98syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  A  C_ 
U. { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) } )
1004a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  U. {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  C_  A
)
10199, 100eqssd 3373 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  A  =  U. { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) } )
102 istopon 18530 . 2  |-  ( { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  e.  (TopOn `  A )  <->  ( {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  e.  Top  /\  A  =  U. {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } ) )
10385, 101, 102sylanbrc 664 1  |-  ( A  e.  V  ->  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  e.  (TopOn `  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369   A.wal 1367    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716   {crab 2719   _Vcvv 2972    \ cdif 3325    u. cun 3326    i^i cin 3327    C_ wss 3328   (/)c0 3637   ~Pcpw 3860   U.cuni 4091   ` cfv 5418   Fincfn 7310   Topctop 18498  TopOnctopon 18499
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-oadd 6924  df-er 7101  df-en 7311  df-fin 7314  df-top 18503  df-topon 18506
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