MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fctop Structured version   Unicode version

Theorem fctop 19799
Description: The finite complement topology on a set  A. Example 3 in [Munkres] p. 77. (Contributed by FL, 15-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fctop  |-  ( A  e.  V  ->  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  e.  (TopOn `  A
) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem fctop
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniss 4214 . . . . . . . 8  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  C_  U. {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } )
2 ssrab2 3526 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) } 
C_  ~P A
3 sspwuni 4362 . . . . . . . . 9  |-  ( { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  C_  ~P A 
<-> 
U. { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) } 
C_  A )
42, 3mpbi 210 . . . . . . . 8  |-  U. {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  C_  A
51, 4syl6ss 3456 . . . . . . 7  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  C_  A
)
6 vex 3064 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
76uniex 6580 . . . . . . . 8  |-  U. y  e.  _V
87elpw 3963 . . . . . . 7  |-  ( U. y  e.  ~P A  <->  U. y  C_  A )
95, 8sylibr 214 . . . . . 6  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  e.  ~P A )
10 uni0c 4219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. y  =  (/)  <->  A. z  e.  y  z  =  (/) )
1110notbii 296 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
U. y  =  (/)  <->  -.  A. z  e.  y  z  =  (/) )
12 rexnal 2854 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  y  -.  z  =  (/)  <->  -.  A. z  e.  y  z  =  (/) )
1311, 12bitr4i 254 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
U. y  =  (/)  <->  E. z  e.  y  -.  z  =  (/) )
14 ssel2 3439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  ->  z  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } )
15 difeq2 3557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  z  ->  ( A  \  x )  =  ( A  \  z
) )
1615eleq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  z  ->  (
( A  \  x
)  e.  Fin  <->  ( A  \  z )  e.  Fin ) )
17 eqeq1 2408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  (/)  <->  z  =  (/) ) )
1816, 17orbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( A  \  x )  e.  Fin  \/  x  =  (/) )  <->  ( ( A  \  z )  e. 
Fin  \/  z  =  (/) ) ) )
1918elrab 3209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  <-> 
( z  e.  ~P A  /\  ( ( A 
\  z )  e. 
Fin  \/  z  =  (/) ) ) )
2014, 19sylib 198 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  ->  ( z  e.  ~P A  /\  (
( A  \  z
)  e.  Fin  \/  z  =  (/) ) ) )
2120simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  ->  ( ( A  \  z )  e. 
Fin  \/  z  =  (/) ) )
2221ord 377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  ->  ( -.  ( A  \  z
)  e.  Fin  ->  z  =  (/) ) )
2322con1d 126 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  ->  ( -.  z  =  (/)  ->  ( A  \  z )  e. 
Fin ) )
2423imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  /\  -.  z  =  (/) )  ->  ( A  \  z )  e. 
Fin )
25 elssuni 4222 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  y  ->  z  C_ 
U. y )
2625sscond 3582 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  y  ->  ( A  \  U. y ) 
C_  ( A  \ 
z ) )
27 ssfi 7777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  \  z
)  e.  Fin  /\  ( A  \  U. y
)  C_  ( A  \  z ) )  -> 
( A  \  U. y )  e.  Fin )
2826, 27sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  \  z
)  e.  Fin  /\  z  e.  y )  ->  ( A  \  U. y )  e.  Fin )
2928expcom 435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  y  ->  (
( A  \  z
)  e.  Fin  ->  ( A  \  U. y
)  e.  Fin )
)
3029ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  /\  -.  z  =  (/) )  ->  (
( A  \  z
)  e.  Fin  ->  ( A  \  U. y
)  e.  Fin )
)
3124, 30mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  /\  -.  z  =  (/) )  ->  ( A  \  U. y )  e.  Fin )
3231exp31 604 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  ( z  e.  y  ->  ( -.  z  =  (/)  ->  ( A  \  U. y )  e.  Fin ) ) )
3332rexlimdv 2896 . . . . . . . . 9  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  ( E. z  e.  y  -.  z  =  (/)  ->  ( A  \ 
U. y )  e. 
Fin ) )
3413, 33syl5bi 219 . . . . . . . 8  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  ( -.  U. y  =  (/)  ->  ( A  \  U. y )  e.  Fin ) )
3534con1d 126 . . . . . . 7  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  ( -.  ( A  \  U. y )  e.  Fin  ->  U. y  =  (/) ) )
3635orrd 378 . . . . . 6  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  ( ( A 
\  U. y )  e. 
Fin  \/  U. y  =  (/) ) )
37 difeq2 3557 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  U. y  -> 
( A  \  x
)  =  ( A 
\  U. y ) )
3837eleq1d 2473 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  U. y  -> 
( ( A  \  x )  e.  Fin  <->  ( A  \  U. y )  e.  Fin ) )
39 eqeq1 2408 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  U. y  -> 
( x  =  (/)  <->  U. y  =  (/) ) )
4038, 39orbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( x  =  U. y  -> 
( ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) )  <->  ( ( A 
\  U. y )  e. 
Fin  \/  U. y  =  (/) ) ) )
4140elrab 3209 . . . . . 6  |-  ( U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  <-> 
( U. y  e. 
~P A  /\  (
( A  \  U. y )  e.  Fin  \/ 
U. y  =  (/) ) ) )
429, 36, 41sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } )
4342ax-gen 1641 . . . 4  |-  A. y
( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } )
44 ssinss1 3669 . . . . . . . . 9  |-  ( y 
C_  A  ->  (
y  i^i  z )  C_  A )
456elpw 3963 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~P A  <->  y  C_  A )
466inex1 4537 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  i^i  z )  e. 
_V
4746elpw 3963 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  i^i  z )  e.  ~P A  <->  ( y  i^i  z )  C_  A
)
4844, 45, 473imtr4i 268 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~P A  -> 
( y  i^i  z
)  e.  ~P A
)
4948ad2antrr 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  ~P A  /\  ( ( A 
\  y )  e. 
Fin  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( ( A  \ 
z )  e.  Fin  \/  z  =  (/) ) ) )  ->  ( y  i^i  z )  e.  ~P A )
50 difindi 3706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
\  ( y  i^i  z ) )  =  ( ( A  \ 
y )  u.  ( A  \  z ) )
51 unfi 7823 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  \  y
)  e.  Fin  /\  ( A  \  z
)  e.  Fin )  ->  ( ( A  \ 
y )  u.  ( A  \  z ) )  e.  Fin )
5250, 51syl5eqel 2496 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  \  y
)  e.  Fin  /\  ( A  \  z
)  e.  Fin )  ->  ( A  \  (
y  i^i  z )
)  e.  Fin )
5352orcd 392 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  \  y
)  e.  Fin  /\  ( A  \  z
)  e.  Fin )  ->  ( ( A  \ 
( y  i^i  z
) )  e.  Fin  \/  ( y  i^i  z
)  =  (/) ) )
54 ineq1 3636 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y  i^i  z )  =  ( (/)  i^i  z
) )
55 incom 3634 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  i^i  z )  =  ( z  i^i  (/) )
56 in0 3767 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  i^i  (/) )  =  (/)
5755, 56eqtri 2433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  i^i  z )  =  (/)
5854, 57syl6eq 2461 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y  i^i  z )  =  (/) )
5958olcd 393 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( A  \  ( y  i^i  z ) )  e.  Fin  \/  (
y  i^i  z )  =  (/) ) )
60 ineq2 3637 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  (/)  ->  ( y  i^i  z )  =  ( y  i^i  (/) ) )
61 in0 3767 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  i^i  (/) )  =  (/)
6260, 61syl6eq 2461 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  (/)  ->  ( y  i^i  z )  =  (/) )
6362olcd 393 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  (/)  ->  ( ( A  \  ( y  i^i  z ) )  e.  Fin  \/  (
y  i^i  z )  =  (/) ) )
6453, 59, 63ccase2 951 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  \ 
y )  e.  Fin  \/  y  =  (/) )  /\  ( ( A  \ 
z )  e.  Fin  \/  z  =  (/) ) )  ->  ( ( A 
\  ( y  i^i  z ) )  e. 
Fin  \/  ( y  i^i  z )  =  (/) ) )
6564ad2ant2l 746 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  ~P A  /\  ( ( A 
\  y )  e. 
Fin  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( ( A  \ 
z )  e.  Fin  \/  z  =  (/) ) ) )  ->  ( ( A  \  ( y  i^i  z ) )  e. 
Fin  \/  ( y  i^i  z )  =  (/) ) )
6649, 65jca 532 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  ~P A  /\  ( ( A 
\  y )  e. 
Fin  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( ( A  \ 
z )  e.  Fin  \/  z  =  (/) ) ) )  ->  ( (
y  i^i  z )  e.  ~P A  /\  (
( A  \  (
y  i^i  z )
)  e.  Fin  \/  ( y  i^i  z
)  =  (/) ) ) )
67 difeq2 3557 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( A  \  x )  =  ( A  \  y
) )
6867eleq1d 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  \  x
)  e.  Fin  <->  ( A  \  y )  e.  Fin ) )
69 eqeq1 2408 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  (/)  <->  y  =  (/) ) )
7068, 69orbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( A  \  x )  e.  Fin  \/  x  =  (/) )  <->  ( ( A  \  y )  e. 
Fin  \/  y  =  (/) ) ) )
7170elrab 3209 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  <-> 
( y  e.  ~P A  /\  ( ( A 
\  y )  e. 
Fin  \/  y  =  (/) ) ) )
7271, 19anbi12i 697 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } )  <->  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( ( A  \ 
y )  e.  Fin  \/  y  =  (/) ) )  /\  ( z  e. 
~P A  /\  (
( A  \  z
)  e.  Fin  \/  z  =  (/) ) ) ) )
73 difeq2 3557 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  ( A  \  x )  =  ( A  \  (
y  i^i  z )
) )
7473eleq1d 2473 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  (
( A  \  x
)  e.  Fin  <->  ( A  \  ( y  i^i  z
) )  e.  Fin ) )
75 eqeq1 2408 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  (
x  =  (/)  <->  ( y  i^i  z )  =  (/) ) )
7674, 75orbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  (
( ( A  \  x )  e.  Fin  \/  x  =  (/) )  <->  ( ( A  \  ( y  i^i  z ) )  e. 
Fin  \/  ( y  i^i  z )  =  (/) ) ) )
7776elrab 3209 . . . . . 6  |-  ( ( y  i^i  z )  e.  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  <-> 
( ( y  i^i  z )  e.  ~P A  /\  ( ( A 
\  ( y  i^i  z ) )  e. 
Fin  \/  ( y  i^i  z )  =  (/) ) ) )
7866, 72, 773imtr4i 268 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } )  -> 
( y  i^i  z
)  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) } )
7978rgen2a 2833 . . . 4  |-  A. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } A. z  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  ( y  i^i  z )  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }
8043, 79pm3.2i 455 . . 3  |-  ( A. y ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } )  /\  A. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) } A. z  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  ( y  i^i  z )  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } )
81 pwexg 4580 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  _V )
82 rabexg 4546 . . . 4  |-  ( ~P A  e.  _V  ->  { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  e.  _V )
83 istopg 19698 . . . 4  |-  ( { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  e.  _V  ->  ( { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  e.  Top  <->  ( A. y ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } )  /\  A. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) } A. z  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  ( y  i^i  z )  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } ) ) )
8481, 82, 833syl 18 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  e.  Top  <->  ( A. y ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } )  /\  A. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) } A. z  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  ( y  i^i  z )  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } ) ) )
8580, 84mpbiri 235 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  e.  Top )
86 pwidg 3970 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  ~P A )
87 0fin 7784 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  Fin
8887orci 390 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  Fin  \/  A  =  (/) )
8988a1i 11 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( (/) 
e.  Fin  \/  A  =  (/) ) )
90 difeq2 3557 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  ( A  \  x )  =  ( A  \  A
) )
91 difid 3842 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
\  A )  =  (/)
9290, 91syl6eq 2461 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  ( A  \  x )  =  (/) )
9392eleq1d 2473 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
( A  \  x
)  e.  Fin  <->  (/)  e.  Fin ) )
94 eqeq1 2408 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
x  =  (/)  <->  A  =  (/) ) )
9593, 94orbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( A  \  x )  e.  Fin  \/  x  =  (/) )  <->  ( (/)  e.  Fin  \/  A  =  (/) ) ) )
9695elrab 3209 . . . . 5  |-  ( A  e.  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  <-> 
( A  e.  ~P A  /\  ( (/)  e.  Fin  \/  A  =  (/) ) ) )
9786, 89, 96sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } )
98 elssuni 4222 . . . 4  |-  ( A  e.  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  A  C_  U. {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } )
9997, 98syl 17 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  A  C_ 
U. { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) } )
1004a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  U. {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  C_  A
)
10199, 100eqssd 3461 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  A  =  U. { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) } )
102 istopon 19720 . 2  |-  ( { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  e.  (TopOn `  A )  <->  ( {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  e.  Top  /\  A  =  U. {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } ) )
10385, 101, 102sylanbrc 664 1  |-  ( A  e.  V  ->  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  e.  (TopOn `  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 186    \/ wo 368    /\ wa 369   A.wal 1405    = wceq 1407    e. wcel 1844   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3061    \ cdif 3413    u. cun 3414    i^i cin 3415    C_ wss 3416   (/)c0 3740   ~Pcpw 3957   U.cuni 4193   ` cfv 5571   Fincfn 7556   Topctop 19688  TopOnctopon 19689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-oadd 7173  df-er 7350  df-en 7557  df-fin 7560  df-top 19693  df-topon 19696
This theorem is referenced by:  fctop2  19800
  Copyright terms: Public domain W3C validator