MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fconstmpt Unicode version

Theorem fconstmpt 4880
Description: Representation of a constant function using the mapping operation. (Note that  x cannot appear free in  B.) (Contributed by NM, 12-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
fconstmpt  |-  ( A  X.  { B }
)  =  ( x  e.  A  |->  B )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem fconstmpt
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elsn 3789 . . . 4  |-  ( y  e.  { B }  <->  y  =  B )
21anbi2i 676 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  { B } )  <->  ( x  e.  A  /\  y  =  B ) )
32opabbii 4232 . 2  |-  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  { B } ) }  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  =  B ) }
4 df-xp 4843 . 2  |-  ( A  X.  { B }
)  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  { B } ) }
5 df-mpt 4228 . 2  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  =  B ) }
63, 4, 53eqtr4i 2434 1  |-  ( A  X.  { B }
)  =  ( x  e.  A  |->  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   {csn 3774   {copab 4225    e. cmpt 4226    X. cxp 4835
This theorem is referenced by:  fconst  5588  fcoconst  5864  fmptsn  5881  xpexgALT  6256  ofc12  6288  caofinvl  6290  cantnf  7605  cnfcom2lem  7614  harmonic  12593  geomulcvg  12608  vdwlem8  13311  ramcl  13352  pwsvscafval  13671  setcepi  14198  diag2  14297  pws0g  14686  0frgp  15366  pwsgsum  15508  lmhmvsca  16076  rrgsupp  16306  psrlinv  16416  psrass23  16428  mplcoe1  16483  mplcoe3  16484  mplcoe2  16485  mplmon2  16508  evlslem2  16523  coe1z  16611  coe1mul2lem1  16615  coe1tm  16620  coe1sclmul  16629  coe1sclmul2  16631  pttoponconst  17582  cnmptc  17647  cnmptkc  17664  pt1hmeo  17791  tmdgsum2  18079  resspwsds  18355  imasdsf1olem  18356  nmoeq0  18723  idnghm  18730  ovolctb  19339  ovoliunnul  19356  vitalilem4  19456  vitalilem5  19457  ismbf  19475  mbfconst  19480  mbfss  19491  mbfmulc2re  19493  mbfneg  19495  mbfmulc2  19508  itg11  19536  itg2const  19585  itg2mulclem  19591  itg2mulc  19592  itg2monolem1  19595  itg0  19624  itgz  19625  itgvallem3  19630  iblposlem  19636  i1fibl  19652  itgitg1  19653  itgge0  19655  iblconst  19662  itgconst  19663  itgfsum  19671  iblmulc2  19675  itgmulc2lem1  19676  bddmulibl  19683  dvcmulf  19784  dvexp  19792  dvexp2  19793  dvmptid  19796  dvmptc  19797  dvef  19817  rolle  19827  dv11cn  19838  ftc1lem4  19876  ftc2  19881  evlslem1  19889  evl1sca  19903  tdeglem4  19936  ply1nzb  19998  plyconst  20078  plyeq0lem  20082  plypf1  20084  coeeulem  20096  plyco  20113  0dgr  20117  0dgrb  20118  dgrcolem2  20145  dgrco  20146  plyremlem  20174  elqaalem3  20191  iaa  20195  taylply2  20237  itgulm  20277  amgmlem  20781  ftalem7  20814  basellem8  20823  dchrfi  20992  bra0  23406  xrge0mulc1cn  24280  esumnul  24396  esum0  24397  esumcvg  24429  ofcc  24442  mbfmcst  24562  sibf0  24602  0rrv  24662  lgam1  24801  txsconlem  24880  cvmliftphtlem  24957  faclim  25313  ovoliunnfl  26147  voliunnfl  26149  volsupnfl  26150  itg2addnclem  26155  iblmulc2nc  26169  itgmulc2nclem1  26170  itgmulc2nclem2  26171  itgmulc2nc  26172  itgabsnc  26173  bddiblnc  26174  ftc1cnnclem  26177  repwsmet  26433  rrnequiv  26434  mzpconstmpt  26687  mzpcompact2lem  26698  uvcresum  27110  grpvrinv  27319  mendlmod  27369  mendassa  27370  expgrowthi  27418  expgrowth  27420  stoweidlem21  27637
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-an 361  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-sn 3780  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-xp 4843
  Copyright terms: Public domain W3C validator