Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fconstfv Structured version   Unicode version

Theorem fconstfv 6124
 Description: A constant function expressed in terms of its functionality, domain, and value. See also fconst2 6118. (Contributed by NM, 27-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
fconstfv
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem fconstfv
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffn 5731 . . 3
2 fvconst 6080 . . . 4
32ralrimiva 2878 . . 3
41, 3jca 532 . 2
5 fneq2 5670 . . . . . . 7
6 fn0 5700 . . . . . . 7
75, 6syl6bb 261 . . . . . 6
8 f0 5766 . . . . . . 7
9 feq1 5713 . . . . . . 7
108, 9mpbiri 233 . . . . . 6
117, 10syl6bi 228 . . . . 5
12 feq2 5714 . . . . 5
1311, 12sylibrd 234 . . . 4
15 fvelrnb 5915 . . . . . . . . . 10
16 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . 15
1716eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . 14
1817rspccva 3213 . . . . . . . . . . . . 13
1918eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . 12
2019rexbidva 2970 . . . . . . . . . . 11
21 r19.9rzv 3922 . . . . . . . . . . . 12
2221bicomd 201 . . . . . . . . . . 11
2320, 22sylan9bbr 700 . . . . . . . . . 10
2415, 23sylan9bbr 700 . . . . . . . . 9
25 elsn 4041 . . . . . . . . . 10
26 eqcom 2476 . . . . . . . . . 10
2725, 26bitr2i 250 . . . . . . . . 9
2824, 27syl6bb 261 . . . . . . . 8
2928eqrdv 2464 . . . . . . 7
3029an32s 802 . . . . . 6
3130exp31 604 . . . . 5
3231imdistand 692 . . . 4
33 df-fo 5594 . . . . 5
34 fof 5795 . . . . 5
3533, 34sylbir 213 . . . 4
3632, 35syl6 33 . . 3
3714, 36pm2.61ine 2780 . 2
384, 37impbii 188 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662  wral 2814  wrex 2815  c0 3785  csn 4027   crn 5000   wfn 5583  wf 5584  wfo 5586  cfv 5588 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-fo 5594  df-fv 5596 This theorem is referenced by:  fconst3  6125  repsdf2  12716  rrxcph  21651  lnon0  25486  df0op2  26444  lfl1  34084
 Copyright terms: Public domain W3C validator