MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fcoi2 Structured version   Unicode version

Theorem fcoi2 5758
Description: Composition of restricted identity and a mapping. (Contributed by NM, 13-Dec-2003.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)
Assertion
Ref Expression
fcoi2  |-  ( F : A --> B  -> 
( (  _I  |`  B )  o.  F )  =  F )

Proof of Theorem fcoi2
StepHypRef Expression
1 df-f 5590 . 2  |-  ( F : A --> B  <->  ( F  Fn  A  /\  ran  F  C_  B ) )
2 cores 5508 . . 3  |-  ( ran 
F  C_  B  ->  ( (  _I  |`  B )  o.  F )  =  (  _I  o.  F
) )
3 fnrel 5677 . . . 4  |-  ( F  Fn  A  ->  Rel  F )
4 coi2 5522 . . . 4  |-  ( Rel 
F  ->  (  _I  o.  F )  =  F )
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( F  Fn  A  ->  (  _I  o.  F )  =  F )
62, 5sylan9eqr 2530 . 2  |-  ( ( F  Fn  A  /\  ran  F  C_  B )  ->  ( (  _I  |`  B )  o.  F )  =  F )
71, 6sylbi 195 1  |-  ( F : A --> B  -> 
( (  _I  |`  B )  o.  F )  =  F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    C_ wss 3476    _I cid 4790   ran crn 5000    |` cres 5001    o. ccom 5003   Rel wrel 5004    Fn wfn 5581   -->wf 5582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-br 4448  df-opab 4506  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590
This theorem is referenced by:  fcof1oinvd  6182  mapen  7678  mapfien  7863  mapfienOLD  8134  hashfacen  12463  cofulid  15110  setccatid  15262  symggrp  16217  f1omvdco2  16266  symggen  16288  psgnunilem1  16311  gsumval3OLD  16696  gsumval3  16699  gsumzf1o  16705  gsumzf1oOLD  16708  frgpcyg  18376  f1linds  18624  qtophmeo  20050  motgrp  23655  hoico2  26349  fcoinver  27130  fcobij  27217  subfacp1lem5  28265  mendrng  30746  ltrncoidN  34924  trlcoat  35519  trlcone  35524  cdlemg47a  35530  cdlemg47  35532  trljco  35536  tgrpgrplem  35545  tendo1mul  35566  tendo0pl  35587  cdlemkid2  35720  cdlemk45  35743  cdlemk53b  35752  erng1r  35791  tendocnv  35818  dvalveclem  35822  dva0g  35824  dvhgrp  35904  dvhlveclem  35905  dvh0g  35908  cdlemn8  36001  dihordlem7b  36012  dihopelvalcpre  36045
  Copyright terms: Public domain W3C validator