Theorem fcoi1OLD 4585

Description: Composition of a mapping and restricted identity.

Assertion

Ref	Expression
fcoi1OLD	|- (F:A-->B -> (F o. ( _I |` A)) = F)

Proof of Theorem fcoi1OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 4562	. 2 |- (F:A-->B -> F Fn A)
2		fnop 4516	. . . . . . 7 |- ((F Fn A /\ <.x, y>. e. F) -> x e. A)
3	2	ex 402	. . . . . 6 |- (F Fn A -> (<.x, y>. e. F -> x e. A))
4	3	pm4.71rd 701	. . . . 5 |- (F Fn A -> (<.x, y>. e. F <-> (x e. A /\ <.x, y>. e. F)))
5		visset 2295	. . . . . . 7 |- x e. _V
6		visset 2295	. . . . . . 7 |- y e. _V
7		opelco2g 4133	. . . . . . 7 |- ((x e. _V /\ y e. _V) -> (<.x, y>. e. (F o. ( _I |` A)) <-> E.z(<.x, z>. e. ( _I |` A) /\ <.z, y>. e. F)))
8	5, 6, 7	mp2an 761	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. (F o. ( _I |` A)) <-> E.z(<.x, z>. e. ( _I |` A) /\ <.z, y>. e. F))
9		visset 2295	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
10	9	opelres 4222	. . . . . . . . . 10 |- (<.x, z>. e. ( _I |` A) <-> (<.x, z>. e. _I /\ x e. A))
11	9	ideq 4116	. . . . . . . . . . . 12 |- (x _I z <-> x = z)
12		df-br 3339	. . . . . . . . . . . 12 |- (x _I z <-> <.x, z>. e. _I )
13		eqcom 1886	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = z <-> z = x)
14	11, 12, 13	3bitr3i 198	. . . . . . . . . . 11 |- (<.x, z>. e. _I <-> z = x)
15	14	anbi1i 539	. . . . . . . . . 10 |- ((<.x, z>. e. _I /\ x e. A) <-> (z = x /\ x e. A))
16	10, 15	bitri 190	. . . . . . . . 9 |- (<.x, z>. e. ( _I |` A) <-> (z = x /\ x e. A))
17	16	anbi1i 539	. . . . . . . 8 |- ((<.x, z>. e. ( _I |` A) /\ <.z, y>. e. F) <-> ((z = x /\ x e. A) /\ <.z, y>. e. F))
18		anass 487	. . . . . . . 8 |- (((z = x /\ x e. A) /\ <.z, y>. e. F) <-> (z = x /\ (x e. A /\ <.z, y>. e. F)))
19	17, 18	bitri 190	. . . . . . 7 |- ((<.x, z>. e. ( _I |` A) /\ <.z, y>. e. F) <-> (z = x /\ (x e. A /\ <.z, y>. e. F)))
20	19	exbii 1398	. . . . . 6 |- (E.z(<.x, z>. e. ( _I |` A) /\ <.z, y>. e. F) <-> E.z(z = x /\ (x e. A /\ <.z, y>. e. F)))
21		opeq1 3158	. . . . . . . . 9 |- (z = x -> <.z, y>. = <.x, y>.)
22	21	eleq1d 1963	. . . . . . . 8 |- (z = x -> (<.z, y>. e. F <-> <.x, y>. e. F))
23	22	anbi2d 678	. . . . . . 7 |- (z = x -> ((x e. A /\ <.z, y>. e. F) <-> (x e. A /\ <.x, y>. e. F)))
24	5, 23	ceqsexv 2325	. . . . . 6 |- (E.z(z = x /\ (x e. A /\ <.z, y>. e. F)) <-> (x e. A /\ <.x, y>. e. F))
25	8, 20, 24	3bitri 194	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. (F o. ( _I |` A)) <-> (x e. A /\ <.x, y>. e. F))
26	4, 25	syl6rbbr 598	. . . 4 |- (F Fn A -> (<.x, y>. e. (F o. ( _I |` A)) <-> <.x, y>. e. F))
27	26	19.21aivv 1665	. . 3 |- (F Fn A -> A.xA.y(<.x, y>. e. (F o. ( _I |` A)) <-> <.x, y>. e. F))
28		eqrel 4077	. . . 4 |- ((Rel (F o. ( _I |` A)) /\ Rel F) -> ((F o. ( _I |` A)) = F <-> A.xA.y(<.x, y>. e. (F o. ( _I |` A)) <-> <.x, y>. e. F)))
29		relco 4392	. . . 4 |- Rel (F o. ( _I |` A))
30		fnrel 4511	. . . 4 |- (F Fn A -> Rel F)
31	28, 29, 30	sylancr 526	. . 3 |- (F Fn A -> ((F o. ( _I |` A)) = F <-> A.xA.y(<.x, y>. e. (F o. ( _I |` A)) <-> <.x, y>. e. F)))
32	27, 31	mpbird 213	. 2 |- (F Fn A -> (F o. ( _I |` A)) = F)
33	1, 32	syl 12	1 |- (F:A-->B -> (F o. ( _I |` A)) = F)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  _Vcvv 2292  <.cop 3046   class class class wbr 3338   _I cid 3582   |` cres 3988   o. ccom 3990  Rel wrel 3991   Fn wfn 3993  -->wf 3994

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-co 4003  df-dm 4004  df-res 4006  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010

Copyright terms: Public domain