Theorem fcof1 5986

Description: An application is injective if a retraction exists. Proposition 8 of [BourbakiEns] p. E.II.18. (Contributed by FL, 11-Nov-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fcof1	|- ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) -> F : A -1-1-> B )

Proof of Theorem fcof1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 457	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) -> F : A --> B )
2		simprr 756	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( F ` x ) = ( F ` y ) )
3	2	fveq2d 5690	. . . . . . 7 |- ( ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( R ` ( F ` x ) ) = ( R ` ( F ` y ) ) )
4		simpll 753	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> F : A --> B )
5		simprll 761	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> x e. A )
6		fvco3 5763	. . . . . . . 8 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> ( ( R o. F ) ` x ) = ( R ` ( F ` x ) ) )
7	4, 5, 6	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( ( R o. F ) ` x ) = ( R ` ( F ` x ) ) )
8		simprlr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> y e. A )
9		fvco3 5763	. . . . . . . 8 |- ( ( F : A --> B /\ y e. A ) -> ( ( R o. F ) ` y ) = ( R ` ( F ` y ) ) )
10	4, 8, 9	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( ( R o. F ) ` y ) = ( R ` ( F ` y ) ) )
11	3, 7, 10	3eqtr4d 2480	. . . . . 6 |- ( ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( ( R o. F ) ` x ) = ( ( R o. F ) ` y ) )
12		simplr 754	. . . . . . 7 |- ( ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( R o. F ) = ( _I |` A ) )
13	12	fveq1d 5688	. . . . . 6 |- ( ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( ( R o. F ) ` x ) = ( ( _I |` A ) ` x ) )
14	12	fveq1d 5688	. . . . . 6 |- ( ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( ( R o. F ) ` y ) = ( ( _I |` A ) ` y ) )
15	11, 13, 14	3eqtr3d 2478	. . . . 5 |- ( ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( ( _I |` A ) ` x ) = ( ( _I |` A ) ` y ) )
16		fvresi 5899	. . . . . 6 |- ( x e. A -> ( ( _I |` A ) ` x ) = x )
17	5, 16	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( ( _I |` A ) ` x ) = x )
18		fvresi 5899	. . . . . 6 |- ( y e. A -> ( ( _I |` A ) ` y ) = y )
19	8, 18	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( ( _I |` A ) ` y ) = y )
20	15, 17, 19	3eqtr3d 2478	. . . 4 |- ( ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> x = y )
21	20	expr 615	. . 3 |- ( ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) )
22	21	ralrimivva 2803	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) -> A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) )
23		dff13 5966	. 2 |- ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
24	1, 22, 23	sylanbrc 664	1 |- ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) -> F : A -1-1-> B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2710   _I cid 4626   |` cres 4837   o. ccom 4839   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   ` cfv 5413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fv 5421

This theorem is referenced by:  fcof1o  5992