Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fcobijfs Structured version   Unicode version

Theorem fcobijfs 27706
Description: Composing finitely supported functions with a bijection yields a bijection between sets of finitely supported functions. See also mapfienOLD 8155. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fcobij.1  |-  ( ph  ->  G : S -1-1-onto-> T )
fcobij.2  |-  ( ph  ->  R  e.  U )
fcobij.3  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
fcobij.4  |-  ( ph  ->  T  e.  W )
fcobijfs.5  |-  ( ph  ->  O  e.  S )
fcobijfs.6  |-  Q  =  ( G `  O
)
fcobijfs.7  |-  X  =  { g  e.  ( S  ^m  R )  |  g finSupp  O }
fcobijfs.8  |-  Y  =  { h  e.  ( T  ^m  R )  |  h finSupp  Q }
Assertion
Ref Expression
fcobijfs  |-  ( ph  ->  ( f  e.  X  |->  ( G  o.  f
) ) : X -1-1-onto-> Y
)
Distinct variable groups:    f, h, G    R, f, h    S, f, h    T, f, h    ph, f, h    f, O, h    Q, f, h    g, h, O    R, g    S, g    f, X    f, Y
Allowed substitution hints:    ph( g)    Q( g)    T( g)    U( f, g, h)    G( g)    V( f, g, h)    W( f, g, h)    X( g, h)    Y( g, h)

Proof of Theorem fcobijfs
StepHypRef Expression
1 fcobijfs.7 . . . 4  |-  X  =  { g  e.  ( S  ^m  R )  |  g finSupp  O }
2 breq1 4459 . . . . 5  |-  ( h  =  g  ->  (
h finSupp  O  <->  g finSupp  O ) )
32cbvrabv 3108 . . . 4  |-  { h  e.  ( S  ^m  R
)  |  h finSupp  O }  =  { g  e.  ( S  ^m  R
)  |  g finSupp  O }
41, 3eqtr4i 2489 . . 3  |-  X  =  { h  e.  ( S  ^m  R )  |  h finSupp  O }
5 fcobijfs.8 . . 3  |-  Y  =  { h  e.  ( T  ^m  R )  |  h finSupp  Q }
6 fcobijfs.6 . . 3  |-  Q  =  ( G `  O
)
7 f1oi 5857 . . . 4  |-  (  _I  |`  R ) : R -1-1-onto-> R
87a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  R ) : R -1-1-onto-> R )
9 fcobij.1 . . 3  |-  ( ph  ->  G : S -1-1-onto-> T )
10 fcobij.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  U )
11 elex 3118 . . . 4  |-  ( R  e.  U  ->  R  e.  _V )
1210, 11syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
13 fcobij.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
14 elex 3118 . . . 4  |-  ( S  e.  V  ->  S  e.  _V )
1513, 14syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
16 fcobij.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  W )
17 elex 3118 . . . 4  |-  ( T  e.  W  ->  T  e.  _V )
1816, 17syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
19 fcobijfs.5 . . 3  |-  ( ph  ->  O  e.  S )
204, 5, 6, 8, 9, 12, 15, 12, 18, 19mapfien 7885 . 2  |-  ( ph  ->  ( f  e.  X  |->  ( G  o.  (
f  o.  (  _I  |`  R ) ) ) ) : X -1-1-onto-> Y )
21 ssrab2 3581 . . . . . . 7  |-  { g  e.  ( S  ^m  R )  |  g finSupp  O }  C_  ( S  ^m  R )
221, 21eqsstri 3529 . . . . . 6  |-  X  C_  ( S  ^m  R )
2322sseli 3495 . . . . 5  |-  ( f  e.  X  ->  f  e.  ( S  ^m  R
) )
24 coass 5532 . . . . . 6  |-  ( ( G  o.  f )  o.  (  _I  |`  R ) )  =  ( G  o.  ( f  o.  (  _I  |`  R ) ) )
25 f1of 5822 . . . . . . . . 9  |-  ( G : S -1-1-onto-> T  ->  G : S
--> T )
269, 25syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G : S --> T )
27 elmapi 7459 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( S  ^m  R )  ->  f : R --> S )
28 fco 5747 . . . . . . . 8  |-  ( ( G : S --> T  /\  f : R --> S )  ->  ( G  o.  f ) : R --> T )
2926, 27, 28syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( S  ^m  R ) )  ->  ( G  o.  f ) : R --> T )
30 fcoi1 5765 . . . . . . 7  |-  ( ( G  o.  f ) : R --> T  -> 
( ( G  o.  f )  o.  (  _I  |`  R ) )  =  ( G  o.  f ) )
3129, 30syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( S  ^m  R ) )  ->  ( ( G  o.  f )  o.  (  _I  |`  R ) )  =  ( G  o.  f ) )
3224, 31syl5eqr 2512 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( S  ^m  R ) )  ->  ( G  o.  ( f  o.  (  _I  |`  R ) ) )  =  ( G  o.  f ) )
3323, 32sylan2 474 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X )  ->  ( G  o.  ( f  o.  (  _I  |`  R ) ) )  =  ( G  o.  f ) )
3433mpteq2dva 4543 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  X  |->  ( G  o.  (
f  o.  (  _I  |`  R ) ) ) )  =  ( f  e.  X  |->  ( G  o.  f ) ) )
35 f1oeq1 5813 . . 3  |-  ( ( f  e.  X  |->  ( G  o.  ( f  o.  (  _I  |`  R ) ) ) )  =  ( f  e.  X  |->  ( G  o.  f
) )  ->  (
( f  e.  X  |->  ( G  o.  (
f  o.  (  _I  |`  R ) ) ) ) : X -1-1-onto-> Y  <->  ( f  e.  X  |->  ( G  o.  f ) ) : X -1-1-onto-> Y ) )
3634, 35syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( f  e.  X  |->  ( G  o.  ( f  o.  (  _I  |`  R ) ) ) ) : X -1-1-onto-> Y  <->  ( f  e.  X  |->  ( G  o.  f ) ) : X -1-1-onto-> Y ) )
3720, 36mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  ( f  e.  X  |->  ( G  o.  f
) ) : X -1-1-onto-> Y
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   {crab 2811   _Vcvv 3109   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515    _I cid 4799    |` cres 5010    o. ccom 5012   -->wf 5590   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    ^m cmap 7438   finSupp cfsupp 7847
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-1o 7148  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-fin 7539  df-fsupp 7848
This theorem is referenced by:  eulerpartgbij  28508
  Copyright terms: Public domain W3C validator