Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fcobijfs Structured version   Unicode version

Theorem fcobijfs 26204
 Description: Composing finitely supported functions with a bijection yields a bijection between sets of finitely supported functions. See also mapfienOLD 8042. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fcobij.1
fcobij.2
fcobij.3
fcobij.4
fcobijfs.5
fcobijfs.6
fcobijfs.7 finSupp
fcobijfs.8 finSupp
Assertion
Ref Expression
fcobijfs
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   (,,)   ()   (,,)   (,,)   (,)   (,)

Proof of Theorem fcobijfs
StepHypRef Expression
1 fcobijfs.7 . . . 4 finSupp
2 nfcv 2616 . . . . 5
3 nfcv 2616 . . . . 5
4 nfv 1674 . . . . 5 finSupp
5 nfv 1674 . . . . 5 finSupp
6 eqidd 2455 . . . . 5
7 breq1 4406 . . . . 5 finSupp finSupp
82, 3, 4, 5, 6, 7cbvrabcsf 3433 . . . 4 finSupp finSupp
91, 8eqtr4i 2486 . . 3 finSupp
10 fcobijfs.8 . . 3 finSupp
11 fcobijfs.6 . . 3
12 f1oi 5787 . . . 4
1312a1i 11 . . 3
14 fcobij.1 . . 3
15 fcobij.2 . . . 4
16 elex 3087 . . . 4
1715, 16syl 16 . . 3
18 fcobij.3 . . . 4
19 elex 3087 . . . 4
2018, 19syl 16 . . 3
21 fcobij.4 . . . 4
22 elex 3087 . . . 4
2321, 22syl 16 . . 3
24 fcobijfs.5 . . 3
259, 10, 11, 13, 14, 17, 20, 17, 23, 24mapfien 7772 . 2
26 ssrab2 3548 . . . . . . 7 finSupp
271, 26eqsstri 3497 . . . . . 6
2827sseli 3463 . . . . 5
29 coass 5467 . . . . . 6
30 f1of 5752 . . . . . . . . 9
3114, 30syl 16 . . . . . . . 8
32 elmapi 7347 . . . . . . . 8
33 fco 5679 . . . . . . . 8
3431, 32, 33syl2an 477 . . . . . . 7
35 fcoi1 5696 . . . . . . 7
3634, 35syl 16 . . . . . 6
3729, 36syl5eqr 2509 . . . . 5
3828, 37sylan2 474 . . . 4
3938mpteq2dva 4489 . . 3
40 f1oeq1 5743 . . 3
4139, 40syl 16 . 2
4225, 41mpbid 210 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1370   wcel 1758  crab 2803  cvv 3078   class class class wbr 4403   cmpt 4461   cid 4742   cres 4953   ccom 4955  wf 5525  wf1o 5528  cfv 5529  (class class class)co 6203   cmap 7327   finSupp cfsupp 7734 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-1o 7033  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-fin 7427  df-fsupp 7735 This theorem is referenced by:  eulerpartgbij  26922
 Copyright terms: Public domain W3C validator