Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fcobijfs Structured version   Unicode version

Theorem fcobijfs 26204
Description: Composing finitely supported functions with a bijection yields a bijection between sets of finitely supported functions. See also mapfienOLD 8042. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fcobij.1  |-  ( ph  ->  G : S -1-1-onto-> T )
fcobij.2  |-  ( ph  ->  R  e.  U )
fcobij.3  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
fcobij.4  |-  ( ph  ->  T  e.  W )
fcobijfs.5  |-  ( ph  ->  O  e.  S )
fcobijfs.6  |-  Q  =  ( G `  O
)
fcobijfs.7  |-  X  =  { g  e.  ( S  ^m  R )  |  g finSupp  O }
fcobijfs.8  |-  Y  =  { h  e.  ( T  ^m  R )  |  h finSupp  Q }
Assertion
Ref Expression
fcobijfs  |-  ( ph  ->  ( f  e.  X  |->  ( G  o.  f
) ) : X -1-1-onto-> Y
)
Distinct variable groups:    f, h, G    R, f, h    S, f, h    T, f, h    ph, f, h    f, O, h    Q, f, h    g, h, O    R, g    S, g    f, X    f, Y
Allowed substitution hints:    ph( g)    Q( g)    T( g)    U( f, g, h)    G( g)    V( f, g, h)    W( f, g, h)    X( g, h)    Y( g, h)

Proof of Theorem fcobijfs
StepHypRef Expression
1 fcobijfs.7 . . . 4  |-  X  =  { g  e.  ( S  ^m  R )  |  g finSupp  O }
2 nfcv 2616 . . . . 5  |-  F/_ g
( S  ^m  R
)
3 nfcv 2616 . . . . 5  |-  F/_ h
( S  ^m  R
)
4 nfv 1674 . . . . 5  |-  F/ g  h finSupp  O
5 nfv 1674 . . . . 5  |-  F/ h  g finSupp  O
6 eqidd 2455 . . . . 5  |-  ( h  =  g  ->  ( S  ^m  R )  =  ( S  ^m  R
) )
7 breq1 4406 . . . . 5  |-  ( h  =  g  ->  (
h finSupp  O  <->  g finSupp  O ) )
82, 3, 4, 5, 6, 7cbvrabcsf 3433 . . . 4  |-  { h  e.  ( S  ^m  R
)  |  h finSupp  O }  =  { g  e.  ( S  ^m  R
)  |  g finSupp  O }
91, 8eqtr4i 2486 . . 3  |-  X  =  { h  e.  ( S  ^m  R )  |  h finSupp  O }
10 fcobijfs.8 . . 3  |-  Y  =  { h  e.  ( T  ^m  R )  |  h finSupp  Q }
11 fcobijfs.6 . . 3  |-  Q  =  ( G `  O
)
12 f1oi 5787 . . . 4  |-  (  _I  |`  R ) : R -1-1-onto-> R
1312a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  R ) : R -1-1-onto-> R )
14 fcobij.1 . . 3  |-  ( ph  ->  G : S -1-1-onto-> T )
15 fcobij.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  U )
16 elex 3087 . . . 4  |-  ( R  e.  U  ->  R  e.  _V )
1715, 16syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
18 fcobij.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
19 elex 3087 . . . 4  |-  ( S  e.  V  ->  S  e.  _V )
2018, 19syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
21 fcobij.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  W )
22 elex 3087 . . . 4  |-  ( T  e.  W  ->  T  e.  _V )
2321, 22syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
24 fcobijfs.5 . . 3  |-  ( ph  ->  O  e.  S )
259, 10, 11, 13, 14, 17, 20, 17, 23, 24mapfien 7772 . 2  |-  ( ph  ->  ( f  e.  X  |->  ( G  o.  (
f  o.  (  _I  |`  R ) ) ) ) : X -1-1-onto-> Y )
26 ssrab2 3548 . . . . . . 7  |-  { g  e.  ( S  ^m  R )  |  g finSupp  O }  C_  ( S  ^m  R )
271, 26eqsstri 3497 . . . . . 6  |-  X  C_  ( S  ^m  R )
2827sseli 3463 . . . . 5  |-  ( f  e.  X  ->  f  e.  ( S  ^m  R
) )
29 coass 5467 . . . . . 6  |-  ( ( G  o.  f )  o.  (  _I  |`  R ) )  =  ( G  o.  ( f  o.  (  _I  |`  R ) ) )
30 f1of 5752 . . . . . . . . 9  |-  ( G : S -1-1-onto-> T  ->  G : S
--> T )
3114, 30syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G : S --> T )
32 elmapi 7347 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( S  ^m  R )  ->  f : R --> S )
33 fco 5679 . . . . . . . 8  |-  ( ( G : S --> T  /\  f : R --> S )  ->  ( G  o.  f ) : R --> T )
3431, 32, 33syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( S  ^m  R ) )  ->  ( G  o.  f ) : R --> T )
35 fcoi1 5696 . . . . . . 7  |-  ( ( G  o.  f ) : R --> T  -> 
( ( G  o.  f )  o.  (  _I  |`  R ) )  =  ( G  o.  f ) )
3634, 35syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( S  ^m  R ) )  ->  ( ( G  o.  f )  o.  (  _I  |`  R ) )  =  ( G  o.  f ) )
3729, 36syl5eqr 2509 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( S  ^m  R ) )  ->  ( G  o.  ( f  o.  (  _I  |`  R ) ) )  =  ( G  o.  f ) )
3828, 37sylan2 474 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X )  ->  ( G  o.  ( f  o.  (  _I  |`  R ) ) )  =  ( G  o.  f ) )
3938mpteq2dva 4489 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  X  |->  ( G  o.  (
f  o.  (  _I  |`  R ) ) ) )  =  ( f  e.  X  |->  ( G  o.  f ) ) )
40 f1oeq1 5743 . . 3  |-  ( ( f  e.  X  |->  ( G  o.  ( f  o.  (  _I  |`  R ) ) ) )  =  ( f  e.  X  |->  ( G  o.  f
) )  ->  (
( f  e.  X  |->  ( G  o.  (
f  o.  (  _I  |`  R ) ) ) ) : X -1-1-onto-> Y  <->  ( f  e.  X  |->  ( G  o.  f ) ) : X -1-1-onto-> Y ) )
4139, 40syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( f  e.  X  |->  ( G  o.  ( f  o.  (  _I  |`  R ) ) ) ) : X -1-1-onto-> Y  <->  ( f  e.  X  |->  ( G  o.  f ) ) : X -1-1-onto-> Y ) )
4225, 41mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  ( f  e.  X  |->  ( G  o.  f
) ) : X -1-1-onto-> Y
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2803   _Vcvv 3078   class class class wbr 4403    |-> cmpt 4461    _I cid 4742    |` cres 4953    o. ccom 4955   -->wf 5525   -1-1-onto->wf1o 5528   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    ^m cmap 7327   finSupp cfsupp 7734
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-1o 7033  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-fin 7427  df-fsupp 7735
This theorem is referenced by:  eulerpartgbij  26922
  Copyright terms: Public domain W3C validator