Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fcobij Structured version   Unicode version

Theorem fcobij 27217
 Description: Composing functions with a bijection yields a bijection between sets of functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fcobij.1
fcobij.2
fcobij.3
fcobij.4
Assertion
Ref Expression
fcobij
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem fcobij
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . 2
2 fcobij.1 . . . . . 6
3 f1of 5814 . . . . . 6
42, 3syl 16 . . . . 5
54adantr 465 . . . 4
6 fcobij.3 . . . . . 6
7 fcobij.2 . . . . . 6
8 elmapg 7430 . . . . . 6
96, 7, 8syl2anc 661 . . . . 5
109biimpa 484 . . . 4
11 fco 5739 . . . 4
125, 10, 11syl2anc 661 . . 3
13 fcobij.4 . . . . 5
14 elmapg 7430 . . . . 5
1513, 7, 14syl2anc 661 . . . 4
1615adantr 465 . . 3
1712, 16mpbird 232 . 2
18 f1ocnv 5826 . . . . . 6
19 f1of 5814 . . . . . 6
202, 18, 193syl 20 . . . . 5
2120adantr 465 . . . 4
22 elmapg 7430 . . . . . 6
2313, 7, 22syl2anc 661 . . . . 5
2423biimpa 484 . . . 4
25 fco 5739 . . . 4
2621, 24, 25syl2anc 661 . . 3
27 elmapg 7430 . . . . 5
286, 7, 27syl2anc 661 . . . 4
2928adantr 465 . . 3
3026, 29mpbird 232 . 2
31 simpr 461 . . . . . . 7
3231coeq2d 5163 . . . . . 6
33 coass 5524 . . . . . 6
3432, 33syl6eqr 2526 . . . . 5
35 simpll 753 . . . . . . 7
36 f1ococnv2 5840 . . . . . . 7
3735, 2, 363syl 20 . . . . . 6
3837coeq1d 5162 . . . . 5
39 simplrr 760 . . . . . . 7
4035, 39, 24syl2anc 661 . . . . . 6
41 fcoi2 5758 . . . . . 6
4240, 41syl 16 . . . . 5
4334, 38, 423eqtrrd 2513 . . . 4
4443ex 434 . . 3
45 simpr 461 . . . . . . 7
4645coeq2d 5163 . . . . . 6
47 coass 5524 . . . . . 6
4846, 47syl6eqr 2526 . . . . 5
49 simpll 753 . . . . . . 7
50 f1ococnv1 5842 . . . . . . 7
5149, 2, 503syl 20 . . . . . 6
5251coeq1d 5162 . . . . 5
53 simplrl 759 . . . . . . 7
5449, 53, 10syl2anc 661 . . . . . 6
55 fcoi2 5758 . . . . . 6
5654, 55syl 16 . . . . 5
5748, 52, 563eqtrrd 2513 . . . 4
5857ex 434 . . 3
5944, 58impbid 191 . 2
601, 17, 30, 59f1o2d 6509 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767   cmpt 4505   cid 4790  ccnv 4998   cres 5001   ccom 5003  wf 5582  wf1o 5585  (class class class)co 6282   cmap 7417 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-map 7419 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator