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Theorem fcobij 28322
Description: Composing functions with a bijection yields a bijection between sets of functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fcobij.1  |-  ( ph  ->  G : S -1-1-onto-> T )
fcobij.2  |-  ( ph  ->  R  e.  U )
fcobij.3  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
fcobij.4  |-  ( ph  ->  T  e.  W )
Assertion
Ref Expression
fcobij  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( S  ^m  R ) 
|->  ( G  o.  f
) ) : ( S  ^m  R ) -1-1-onto-> ( T  ^m  R ) )
Distinct variable groups:    f, G    R, f    S, f    T, f    ph, f
Allowed substitution hints:    U( f)    V( f)    W( f)

Proof of Theorem fcobij
Dummy variable  h is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2453 . 2  |-  ( f  e.  ( S  ^m  R )  |->  ( G  o.  f ) )  =  ( f  e.  ( S  ^m  R
)  |->  ( G  o.  f ) )
2 fcobij.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : S -1-1-onto-> T )
3 f1of 5819 . . . . . 6  |-  ( G : S -1-1-onto-> T  ->  G : S
--> T )
42, 3syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G : S --> T )
54adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( S  ^m  R ) )  ->  G : S
--> T )
6 fcobij.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
7 fcobij.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  U )
86, 7elmapd 7491 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( S  ^m  R )  <-> 
f : R --> S ) )
98biimpa 487 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( S  ^m  R ) )  ->  f : R
--> S )
10 fco 5744 . . . 4  |-  ( ( G : S --> T  /\  f : R --> S )  ->  ( G  o.  f ) : R --> T )
115, 9, 10syl2anc 667 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( S  ^m  R ) )  ->  ( G  o.  f ) : R --> T )
12 fcobij.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  W )
1312, 7elmapd 7491 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  f )  e.  ( T  ^m  R )  <-> 
( G  o.  f
) : R --> T ) )
1413adantr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( S  ^m  R ) )  ->  ( ( G  o.  f )  e.  ( T  ^m  R
)  <->  ( G  o.  f ) : R --> T ) )
1511, 14mpbird 236 . 2  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( S  ^m  R ) )  ->  ( G  o.  f )  e.  ( T  ^m  R ) )
16 f1ocnv 5831 . . . . . 6  |-  ( G : S -1-1-onto-> T  ->  `' G : T -1-1-onto-> S )
17 f1of 5819 . . . . . 6  |-  ( `' G : T -1-1-onto-> S  ->  `' G : T --> S )
182, 16, 173syl 18 . . . . 5  |-  ( ph  ->  `' G : T --> S )
1918adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) )  ->  `' G : T --> S )
2012, 7elmapd 7491 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( h  e.  ( T  ^m  R )  <-> 
h : R --> T ) )
2120biimpa 487 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) )  ->  h : R
--> T )
22 fco 5744 . . . 4  |-  ( ( `' G : T --> S  /\  h : R --> T )  ->  ( `' G  o.  h ) : R --> S )
2319, 21, 22syl2anc 667 . . 3  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) )  ->  ( `' G  o.  h ) : R --> S )
246, 7elmapd 7491 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( `' G  o.  h )  e.  ( S  ^m  R )  <-> 
( `' G  o.  h ) : R --> S ) )
2524adantr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) )  ->  ( ( `' G  o.  h
)  e.  ( S  ^m  R )  <->  ( `' G  o.  h ) : R --> S ) )
2623, 25mpbird 236 . 2  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) )  ->  ( `' G  o.  h )  e.  ( S  ^m  R
) )
27 simpr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  f  =  ( `' G  o.  h
) )  ->  f  =  ( `' G  o.  h ) )
2827coeq2d 5000 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  f  =  ( `' G  o.  h
) )  ->  ( G  o.  f )  =  ( G  o.  ( `' G  o.  h
) ) )
29 coass 5357 . . . . 5  |-  ( ( G  o.  `' G
)  o.  h )  =  ( G  o.  ( `' G  o.  h
) )
3028, 29syl6eqr 2505 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  f  =  ( `' G  o.  h
) )  ->  ( G  o.  f )  =  ( ( G  o.  `' G )  o.  h ) )
31 simpll 761 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  f  =  ( `' G  o.  h
) )  ->  ph )
32 f1ococnv2 5845 . . . . . 6  |-  ( G : S -1-1-onto-> T  ->  ( G  o.  `' G )  =  (  _I  |`  T )
)
3331, 2, 323syl 18 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  f  =  ( `' G  o.  h
) )  ->  ( G  o.  `' G
)  =  (  _I  |`  T ) )
3433coeq1d 4999 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  f  =  ( `' G  o.  h
) )  ->  (
( G  o.  `' G )  o.  h
)  =  ( (  _I  |`  T )  o.  h ) )
35 simplrr 772 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  f  =  ( `' G  o.  h
) )  ->  h  e.  ( T  ^m  R
) )
3631, 35, 21syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  f  =  ( `' G  o.  h
) )  ->  h : R --> T )
37 fcoi2 5763 . . . . 5  |-  ( h : R --> T  -> 
( (  _I  |`  T )  o.  h )  =  h )
3836, 37syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  f  =  ( `' G  o.  h
) )  ->  (
(  _I  |`  T )  o.  h )  =  h )
3930, 34, 383eqtrrd 2492 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  f  =  ( `' G  o.  h
) )  ->  h  =  ( G  o.  f ) )
40 simpr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  h  =  ( G  o.  f ) )  ->  h  =  ( G  o.  f
) )
4140coeq2d 5000 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  h  =  ( G  o.  f ) )  ->  ( `' G  o.  h )  =  ( `' G  o.  ( G  o.  f
) ) )
42 coass 5357 . . . . 5  |-  ( ( `' G  o.  G
)  o.  f )  =  ( `' G  o.  ( G  o.  f
) )
4341, 42syl6eqr 2505 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  h  =  ( G  o.  f ) )  ->  ( `' G  o.  h )  =  ( ( `' G  o.  G )  o.  f ) )
44 simpll 761 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  h  =  ( G  o.  f ) )  ->  ph )
45 f1ococnv1 5847 . . . . . 6  |-  ( G : S -1-1-onto-> T  ->  ( `' G  o.  G )  =  (  _I  |`  S ) )
4644, 2, 453syl 18 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  h  =  ( G  o.  f ) )  ->  ( `' G  o.  G )  =  (  _I  |`  S ) )
4746coeq1d 4999 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  h  =  ( G  o.  f ) )  ->  ( ( `' G  o.  G
)  o.  f )  =  ( (  _I  |`  S )  o.  f
) )
48 simplrl 771 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  h  =  ( G  o.  f ) )  ->  f  e.  ( S  ^m  R ) )
4944, 48, 9syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  h  =  ( G  o.  f ) )  ->  f : R
--> S )
50 fcoi2 5763 . . . . 5  |-  ( f : R --> S  -> 
( (  _I  |`  S )  o.  f )  =  f )
5149, 50syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  h  =  ( G  o.  f ) )  ->  ( (  _I  |`  S )  o.  f )  =  f )
5243, 47, 513eqtrrd 2492 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  h  =  ( G  o.  f ) )  ->  f  =  ( `' G  o.  h
) )
5339, 52impbida 844 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( S  ^m  R
)  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  ->  (
f  =  ( `' G  o.  h )  <-> 
h  =  ( G  o.  f ) ) )
541, 15, 26, 53f1o2d 6526 1  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( S  ^m  R ) 
|->  ( G  o.  f
) ) : ( S  ^m  R ) -1-1-onto-> ( T  ^m  R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889    |-> cmpt 4464    _I cid 4747   `'ccnv 4836    |` cres 4839    o. ccom 4841   -->wf 5581   -1-1-onto->wf1o 5584  (class class class)co 6295    ^m cmap 7477
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-id 4752  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-map 7479
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