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Theorem fcobij 26025
Description: Composing functions with a bijection yields a bijection between sets of functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fcobij.1  |-  ( ph  ->  G : S -1-1-onto-> T )
fcobij.2  |-  ( ph  ->  R  e.  U )
fcobij.3  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
fcobij.4  |-  ( ph  ->  T  e.  W )
Assertion
Ref Expression
fcobij  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( S  ^m  R ) 
|->  ( G  o.  f
) ) : ( S  ^m  R ) -1-1-onto-> ( T  ^m  R ) )
Distinct variable groups:    f, G    R, f    S, f    T, f    ph, f
Allowed substitution hints:    U( f)    V( f)    W( f)

Proof of Theorem fcobij
Dummy variable  h is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . 2  |-  ( f  e.  ( S  ^m  R )  |->  ( G  o.  f ) )  =  ( f  e.  ( S  ^m  R
)  |->  ( G  o.  f ) )
2 fcobij.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : S -1-1-onto-> T )
3 f1of 5641 . . . . . 6  |-  ( G : S -1-1-onto-> T  ->  G : S
--> T )
42, 3syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G : S --> T )
54adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( S  ^m  R ) )  ->  G : S
--> T )
6 fcobij.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
7 fcobij.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  U )
8 elmapg 7227 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  U )  ->  ( f  e.  ( S  ^m  R )  <-> 
f : R --> S ) )
96, 7, 8syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( S  ^m  R )  <-> 
f : R --> S ) )
109biimpa 484 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( S  ^m  R ) )  ->  f : R
--> S )
11 fco 5568 . . . 4  |-  ( ( G : S --> T  /\  f : R --> S )  ->  ( G  o.  f ) : R --> T )
125, 10, 11syl2anc 661 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( S  ^m  R ) )  ->  ( G  o.  f ) : R --> T )
13 fcobij.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  W )
14 elmapg 7227 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  W  /\  R  e.  U )  ->  ( ( G  o.  f )  e.  ( T  ^m  R )  <-> 
( G  o.  f
) : R --> T ) )
1513, 7, 14syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  f )  e.  ( T  ^m  R )  <-> 
( G  o.  f
) : R --> T ) )
1615adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( S  ^m  R ) )  ->  ( ( G  o.  f )  e.  ( T  ^m  R
)  <->  ( G  o.  f ) : R --> T ) )
1712, 16mpbird 232 . 2  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( S  ^m  R ) )  ->  ( G  o.  f )  e.  ( T  ^m  R ) )
18 f1ocnv 5653 . . . . . 6  |-  ( G : S -1-1-onto-> T  ->  `' G : T -1-1-onto-> S )
19 f1of 5641 . . . . . 6  |-  ( `' G : T -1-1-onto-> S  ->  `' G : T --> S )
202, 18, 193syl 20 . . . . 5  |-  ( ph  ->  `' G : T --> S )
2120adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) )  ->  `' G : T --> S )
22 elmapg 7227 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  W  /\  R  e.  U )  ->  ( h  e.  ( T  ^m  R )  <-> 
h : R --> T ) )
2313, 7, 22syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( h  e.  ( T  ^m  R )  <-> 
h : R --> T ) )
2423biimpa 484 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) )  ->  h : R
--> T )
25 fco 5568 . . . 4  |-  ( ( `' G : T --> S  /\  h : R --> T )  ->  ( `' G  o.  h ) : R --> S )
2621, 24, 25syl2anc 661 . . 3  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) )  ->  ( `' G  o.  h ) : R --> S )
27 elmapg 7227 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  U )  ->  ( ( `' G  o.  h )  e.  ( S  ^m  R )  <-> 
( `' G  o.  h ) : R --> S ) )
286, 7, 27syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( `' G  o.  h )  e.  ( S  ^m  R )  <-> 
( `' G  o.  h ) : R --> S ) )
2928adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) )  ->  ( ( `' G  o.  h
)  e.  ( S  ^m  R )  <->  ( `' G  o.  h ) : R --> S ) )
3026, 29mpbird 232 . 2  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) )  ->  ( `' G  o.  h )  e.  ( S  ^m  R
) )
31 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  f  =  ( `' G  o.  h
) )  ->  f  =  ( `' G  o.  h ) )
3231coeq2d 5002 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  f  =  ( `' G  o.  h
) )  ->  ( G  o.  f )  =  ( G  o.  ( `' G  o.  h
) ) )
33 coass 5356 . . . . . 6  |-  ( ( G  o.  `' G
)  o.  h )  =  ( G  o.  ( `' G  o.  h
) )
3432, 33syl6eqr 2493 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  f  =  ( `' G  o.  h
) )  ->  ( G  o.  f )  =  ( ( G  o.  `' G )  o.  h ) )
35 simpll 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  f  =  ( `' G  o.  h
) )  ->  ph )
36 f1ococnv2 5667 . . . . . . 7  |-  ( G : S -1-1-onto-> T  ->  ( G  o.  `' G )  =  (  _I  |`  T )
)
3735, 2, 363syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  f  =  ( `' G  o.  h
) )  ->  ( G  o.  `' G
)  =  (  _I  |`  T ) )
3837coeq1d 5001 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  f  =  ( `' G  o.  h
) )  ->  (
( G  o.  `' G )  o.  h
)  =  ( (  _I  |`  T )  o.  h ) )
39 simplrr 760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  f  =  ( `' G  o.  h
) )  ->  h  e.  ( T  ^m  R
) )
4035, 39, 24syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  f  =  ( `' G  o.  h
) )  ->  h : R --> T )
41 fcoi2 5586 . . . . . 6  |-  ( h : R --> T  -> 
( (  _I  |`  T )  o.  h )  =  h )
4240, 41syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  f  =  ( `' G  o.  h
) )  ->  (
(  _I  |`  T )  o.  h )  =  h )
4334, 38, 423eqtrrd 2480 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  f  =  ( `' G  o.  h
) )  ->  h  =  ( G  o.  f ) )
4443ex 434 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( S  ^m  R
)  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  ->  (
f  =  ( `' G  o.  h )  ->  h  =  ( G  o.  f ) ) )
45 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  h  =  ( G  o.  f ) )  ->  h  =  ( G  o.  f
) )
4645coeq2d 5002 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  h  =  ( G  o.  f ) )  ->  ( `' G  o.  h )  =  ( `' G  o.  ( G  o.  f
) ) )
47 coass 5356 . . . . . 6  |-  ( ( `' G  o.  G
)  o.  f )  =  ( `' G  o.  ( G  o.  f
) )
4846, 47syl6eqr 2493 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  h  =  ( G  o.  f ) )  ->  ( `' G  o.  h )  =  ( ( `' G  o.  G )  o.  f ) )
49 simpll 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  h  =  ( G  o.  f ) )  ->  ph )
50 f1ococnv1 5669 . . . . . . 7  |-  ( G : S -1-1-onto-> T  ->  ( `' G  o.  G )  =  (  _I  |`  S ) )
5149, 2, 503syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  h  =  ( G  o.  f ) )  ->  ( `' G  o.  G )  =  (  _I  |`  S ) )
5251coeq1d 5001 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  h  =  ( G  o.  f ) )  ->  ( ( `' G  o.  G
)  o.  f )  =  ( (  _I  |`  S )  o.  f
) )
53 simplrl 759 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  h  =  ( G  o.  f ) )  ->  f  e.  ( S  ^m  R ) )
5449, 53, 10syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  h  =  ( G  o.  f ) )  ->  f : R
--> S )
55 fcoi2 5586 . . . . . 6  |-  ( f : R --> S  -> 
( (  _I  |`  S )  o.  f )  =  f )
5654, 55syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  h  =  ( G  o.  f ) )  ->  ( (  _I  |`  S )  o.  f )  =  f )
5748, 52, 563eqtrrd 2480 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  h  =  ( G  o.  f ) )  ->  f  =  ( `' G  o.  h
) )
5857ex 434 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( S  ^m  R
)  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  ->  (
h  =  ( G  o.  f )  -> 
f  =  ( `' G  o.  h ) ) )
5944, 58impbid 191 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( S  ^m  R
)  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  ->  (
f  =  ( `' G  o.  h )  <-> 
h  =  ( G  o.  f ) ) )
601, 17, 30, 59f1o2d 6312 1  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( S  ^m  R ) 
|->  ( G  o.  f
) ) : ( S  ^m  R ) -1-1-onto-> ( T  ^m  R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    e. cmpt 4350    _I cid 4631   `'ccnv 4839    |` cres 4842    o. ccom 4844   -->wf 5414   -1-1-onto->wf1o 5417  (class class class)co 6091    ^m cmap 7214
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-map 7216
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