Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fcobij Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fcobij 28322
 Description: Composing functions with a bijection yields a bijection between sets of functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fcobij.1
fcobij.2
fcobij.3
fcobij.4
Assertion
Ref Expression
fcobij
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem fcobij
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2453 . 2
2 fcobij.1 . . . . . 6
3 f1of 5819 . . . . . 6
42, 3syl 17 . . . . 5
54adantr 467 . . . 4
6 fcobij.3 . . . . . 6
7 fcobij.2 . . . . . 6
86, 7elmapd 7491 . . . . 5
98biimpa 487 . . . 4
10 fco 5744 . . . 4
115, 9, 10syl2anc 667 . . 3
12 fcobij.4 . . . . 5
1312, 7elmapd 7491 . . . 4
1511, 14mpbird 236 . 2
16 f1ocnv 5831 . . . . . 6
17 f1of 5819 . . . . . 6
182, 16, 173syl 18 . . . . 5
1918adantr 467 . . . 4
2012, 7elmapd 7491 . . . . 5
2120biimpa 487 . . . 4
22 fco 5744 . . . 4
2319, 21, 22syl2anc 667 . . 3
246, 7elmapd 7491 . . . 4
2623, 25mpbird 236 . 2
27 simpr 463 . . . . . 6
2827coeq2d 5000 . . . . 5
29 coass 5357 . . . . 5
3028, 29syl6eqr 2505 . . . 4
31 simpll 761 . . . . . 6
32 f1ococnv2 5845 . . . . . 6
3331, 2, 323syl 18 . . . . 5
3433coeq1d 4999 . . . 4
35 simplrr 772 . . . . . 6
3631, 35, 21syl2anc 667 . . . . 5
37 fcoi2 5763 . . . . 5
3836, 37syl 17 . . . 4
3930, 34, 383eqtrrd 2492 . . 3
40 simpr 463 . . . . . 6
4140coeq2d 5000 . . . . 5
42 coass 5357 . . . . 5
4341, 42syl6eqr 2505 . . . 4
44 simpll 761 . . . . . 6
45 f1ococnv1 5847 . . . . . 6
4644, 2, 453syl 18 . . . . 5
4746coeq1d 4999 . . . 4
48 simplrl 771 . . . . . 6
4944, 48, 9syl2anc 667 . . . . 5
50 fcoi2 5763 . . . . 5
5149, 50syl 17 . . . 4
5243, 47, 513eqtrrd 2492 . . 3
5339, 52impbida 844 . 2
541, 15, 26, 53f1o2d 6526 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1446   wcel 1889   cmpt 4464   cid 4747  ccnv 4836   cres 4839   ccom 4841  wf 5581  wf1o 5584  (class class class)co 6295   cmap 7477 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-id 4752  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-map 7479 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator