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Theorem fcobij 27875
Description: Composing functions with a bijection yields a bijection between sets of functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fcobij.1  |-  ( ph  ->  G : S -1-1-onto-> T )
fcobij.2  |-  ( ph  ->  R  e.  U )
fcobij.3  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
fcobij.4  |-  ( ph  ->  T  e.  W )
Assertion
Ref Expression
fcobij  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( S  ^m  R ) 
|->  ( G  o.  f
) ) : ( S  ^m  R ) -1-1-onto-> ( T  ^m  R ) )
Distinct variable groups:    f, G    R, f    S, f    T, f    ph, f
Allowed substitution hints:    U( f)    V( f)    W( f)

Proof of Theorem fcobij
Dummy variable  h is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . 2  |-  ( f  e.  ( S  ^m  R )  |->  ( G  o.  f ) )  =  ( f  e.  ( S  ^m  R
)  |->  ( G  o.  f ) )
2 fcobij.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : S -1-1-onto-> T )
3 f1of 5755 . . . . . 6  |-  ( G : S -1-1-onto-> T  ->  G : S
--> T )
42, 3syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G : S --> T )
54adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( S  ^m  R ) )  ->  G : S
--> T )
6 fcobij.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
7 fcobij.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  U )
86, 7elmapd 7391 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( S  ^m  R )  <-> 
f : R --> S ) )
98biimpa 482 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( S  ^m  R ) )  ->  f : R
--> S )
10 fco 5680 . . . 4  |-  ( ( G : S --> T  /\  f : R --> S )  ->  ( G  o.  f ) : R --> T )
115, 9, 10syl2anc 659 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( S  ^m  R ) )  ->  ( G  o.  f ) : R --> T )
12 fcobij.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  W )
1312, 7elmapd 7391 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  f )  e.  ( T  ^m  R )  <-> 
( G  o.  f
) : R --> T ) )
1413adantr 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( S  ^m  R ) )  ->  ( ( G  o.  f )  e.  ( T  ^m  R
)  <->  ( G  o.  f ) : R --> T ) )
1511, 14mpbird 232 . 2  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( S  ^m  R ) )  ->  ( G  o.  f )  e.  ( T  ^m  R ) )
16 f1ocnv 5767 . . . . . 6  |-  ( G : S -1-1-onto-> T  ->  `' G : T -1-1-onto-> S )
17 f1of 5755 . . . . . 6  |-  ( `' G : T -1-1-onto-> S  ->  `' G : T --> S )
182, 16, 173syl 20 . . . . 5  |-  ( ph  ->  `' G : T --> S )
1918adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) )  ->  `' G : T --> S )
2012, 7elmapd 7391 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( h  e.  ( T  ^m  R )  <-> 
h : R --> T ) )
2120biimpa 482 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) )  ->  h : R
--> T )
22 fco 5680 . . . 4  |-  ( ( `' G : T --> S  /\  h : R --> T )  ->  ( `' G  o.  h ) : R --> S )
2319, 21, 22syl2anc 659 . . 3  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) )  ->  ( `' G  o.  h ) : R --> S )
246, 7elmapd 7391 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( `' G  o.  h )  e.  ( S  ^m  R )  <-> 
( `' G  o.  h ) : R --> S ) )
2524adantr 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) )  ->  ( ( `' G  o.  h
)  e.  ( S  ^m  R )  <->  ( `' G  o.  h ) : R --> S ) )
2623, 25mpbird 232 . 2  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) )  ->  ( `' G  o.  h )  e.  ( S  ^m  R
) )
27 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  f  =  ( `' G  o.  h
) )  ->  f  =  ( `' G  o.  h ) )
2827coeq2d 5107 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  f  =  ( `' G  o.  h
) )  ->  ( G  o.  f )  =  ( G  o.  ( `' G  o.  h
) ) )
29 coass 5463 . . . . 5  |-  ( ( G  o.  `' G
)  o.  h )  =  ( G  o.  ( `' G  o.  h
) )
3028, 29syl6eqr 2461 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  f  =  ( `' G  o.  h
) )  ->  ( G  o.  f )  =  ( ( G  o.  `' G )  o.  h ) )
31 simpll 752 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  f  =  ( `' G  o.  h
) )  ->  ph )
32 f1ococnv2 5781 . . . . . 6  |-  ( G : S -1-1-onto-> T  ->  ( G  o.  `' G )  =  (  _I  |`  T )
)
3331, 2, 323syl 20 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  f  =  ( `' G  o.  h
) )  ->  ( G  o.  `' G
)  =  (  _I  |`  T ) )
3433coeq1d 5106 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  f  =  ( `' G  o.  h
) )  ->  (
( G  o.  `' G )  o.  h
)  =  ( (  _I  |`  T )  o.  h ) )
35 simplrr 763 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  f  =  ( `' G  o.  h
) )  ->  h  e.  ( T  ^m  R
) )
3631, 35, 21syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  f  =  ( `' G  o.  h
) )  ->  h : R --> T )
37 fcoi2 5699 . . . . 5  |-  ( h : R --> T  -> 
( (  _I  |`  T )  o.  h )  =  h )
3836, 37syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  f  =  ( `' G  o.  h
) )  ->  (
(  _I  |`  T )  o.  h )  =  h )
3930, 34, 383eqtrrd 2448 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  f  =  ( `' G  o.  h
) )  ->  h  =  ( G  o.  f ) )
40 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  h  =  ( G  o.  f ) )  ->  h  =  ( G  o.  f
) )
4140coeq2d 5107 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  h  =  ( G  o.  f ) )  ->  ( `' G  o.  h )  =  ( `' G  o.  ( G  o.  f
) ) )
42 coass 5463 . . . . 5  |-  ( ( `' G  o.  G
)  o.  f )  =  ( `' G  o.  ( G  o.  f
) )
4341, 42syl6eqr 2461 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  h  =  ( G  o.  f ) )  ->  ( `' G  o.  h )  =  ( ( `' G  o.  G )  o.  f ) )
44 simpll 752 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  h  =  ( G  o.  f ) )  ->  ph )
45 f1ococnv1 5783 . . . . . 6  |-  ( G : S -1-1-onto-> T  ->  ( `' G  o.  G )  =  (  _I  |`  S ) )
4644, 2, 453syl 20 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  h  =  ( G  o.  f ) )  ->  ( `' G  o.  G )  =  (  _I  |`  S ) )
4746coeq1d 5106 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  h  =  ( G  o.  f ) )  ->  ( ( `' G  o.  G
)  o.  f )  =  ( (  _I  |`  S )  o.  f
) )
48 simplrl 762 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  h  =  ( G  o.  f ) )  ->  f  e.  ( S  ^m  R ) )
4944, 48, 9syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  h  =  ( G  o.  f ) )  ->  f : R
--> S )
50 fcoi2 5699 . . . . 5  |-  ( f : R --> S  -> 
( (  _I  |`  S )  o.  f )  =  f )
5149, 50syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  h  =  ( G  o.  f ) )  ->  ( (  _I  |`  S )  o.  f )  =  f )
5243, 47, 513eqtrrd 2448 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( S  ^m  R )  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  /\  h  =  ( G  o.  f ) )  ->  f  =  ( `' G  o.  h
) )
5339, 52impbida 833 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( S  ^m  R
)  /\  h  e.  ( T  ^m  R ) ) )  ->  (
f  =  ( `' G  o.  h )  <-> 
h  =  ( G  o.  f ) ) )
541, 15, 26, 53f1o2d 6464 1  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( S  ^m  R ) 
|->  ( G  o.  f
) ) : ( S  ^m  R ) -1-1-onto-> ( T  ^m  R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    |-> cmpt 4452    _I cid 4732   `'ccnv 4941    |` cres 4944    o. ccom 4946   -->wf 5521   -1-1-onto->wf1o 5524  (class class class)co 6234    ^m cmap 7377
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-map 7379
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