MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fco Structured version   Unicode version

Theorem fco 5740
Description: Composition of two mappings. (Contributed by NM, 29-Aug-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)
Assertion
Ref Expression
fco  |-  ( ( F : B --> C  /\  G : A --> B )  ->  ( F  o.  G ) : A --> C )

Proof of Theorem fco
StepHypRef Expression
1 df-f 5591 . . 3  |-  ( F : B --> C  <->  ( F  Fn  B  /\  ran  F  C_  C ) )
2 df-f 5591 . . 3  |-  ( G : A --> B  <->  ( G  Fn  A  /\  ran  G  C_  B ) )
3 fnco 5688 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  B  /\  G  Fn  A  /\  ran  G  C_  B )  ->  ( F  o.  G
)  Fn  A )
433expib 1199 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  B  ->  (
( G  Fn  A  /\  ran  G  C_  B
)  ->  ( F  o.  G )  Fn  A
) )
54adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  B  /\  ran  F  C_  C )  ->  ( ( G  Fn  A  /\  ran  G  C_  B )  ->  ( F  o.  G )  Fn  A ) )
6 rncoss 5262 . . . . . . 7  |-  ran  ( F  o.  G )  C_ 
ran  F
7 sstr 3512 . . . . . . 7  |-  ( ( ran  ( F  o.  G )  C_  ran  F  /\  ran  F  C_  C )  ->  ran  ( F  o.  G
)  C_  C )
86, 7mpan 670 . . . . . 6  |-  ( ran 
F  C_  C  ->  ran  ( F  o.  G
)  C_  C )
98adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  B  /\  ran  F  C_  C )  ->  ran  ( F  o.  G )  C_  C
)
105, 9jctird 544 . . . 4  |-  ( ( F  Fn  B  /\  ran  F  C_  C )  ->  ( ( G  Fn  A  /\  ran  G  C_  B )  ->  (
( F  o.  G
)  Fn  A  /\  ran  ( F  o.  G
)  C_  C )
) )
1110imp 429 . . 3  |-  ( ( ( F  Fn  B  /\  ran  F  C_  C
)  /\  ( G  Fn  A  /\  ran  G  C_  B ) )  -> 
( ( F  o.  G )  Fn  A  /\  ran  ( F  o.  G )  C_  C
) )
121, 2, 11syl2anb 479 . 2  |-  ( ( F : B --> C  /\  G : A --> B )  ->  ( ( F  o.  G )  Fn  A  /\  ran  ( F  o.  G )  C_  C ) )
13 df-f 5591 . 2  |-  ( ( F  o.  G ) : A --> C  <->  ( ( F  o.  G )  Fn  A  /\  ran  ( F  o.  G )  C_  C ) )
1412, 13sylibr 212 1  |-  ( ( F : B --> C  /\  G : A --> B )  ->  ( F  o.  G ) : A --> C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    C_ wss 3476   ran crn 5000    o. ccom 5003    Fn wfn 5582   -->wf 5583
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-br 4448  df-opab 4506  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591
This theorem is referenced by:  fco2  5741  f1co  5789  foco  5804  mapen  7681  fsuppco2  7861  mapfienlem1  7863  mapfienlem3  7865  mapfien  7866  unxpwdom2  8013  mapfienOLD  8137  wemapwe  8138  wemapweOLD  8139  cofsmo  8648  cfcoflem  8651  isf34lem7  8758  isf34lem6  8759  canthp1lem2  9030  inar1  9152  addnqf  9325  mulnqf  9326  axdc4uzlem  12059  seqf1olem2  12114  wrdco  12759  lenco  12760  lo1o1  13317  o1co  13371  caucvgrlem2  13459  fsumcl2lem  13515  fsumadd  13523  fsummulc2  13561  fsumrelem  13583  supcvg  13629  algcvg  14063  cofucl  15114  setccatid  15268  yonedalem3b  15405  mhmco  15809  pwsco1mhm  15817  pwsco2mhm  15818  gsumwmhm  15842  f1omvdconj  16274  pmtrfinv  16289  symgtrinv  16300  psgnunilem1  16321  gsumval3OLD  16708  gsumval3lem1  16709  gsumval3lem2  16710  gsumval3  16711  gsumzcl2  16715  gsumzf1o  16717  gsumzclOLD  16719  gsumzf1oOLD  16720  gsumzaddlem  16734  gsumzaddlemOLD  16736  gsumzmhm  16757  gsumzmhmOLD  16758  gsumzoppg  16767  gsumzoppgOLD  16768  gsumzinv  16769  gsumzinvOLD  16770  gsumsub  16774  gsumsubOLD  16775  dprdf1o  16878  ablfaclem2  16936  psrass1lem  17816  psrnegcl  17836  coe1f2  18035  cnfldds  18217  dsmmbas2  18551  f1lindf  18640  lindfmm  18645  cpmadumatpolylem1  19165  cnco  19549  cnpco  19550  lmcnp  19587  cnmpt11  19915  cnmpt21  19923  qtopcn  19966  fmco  20213  flfcnp  20256  tsmsf1o  20398  tsmsmhm  20399  tsmssub  20402  imasdsf1olem  20627  comet  20767  nrmmetd  20846  isngp2  20868  isngp3  20869  tngngp2  20917  cnmet  21030  cnfldms  21034  cncfco  21162  cnfldcusp  21548  ovolfioo  21630  ovolficc  21631  ovolfsf  21634  ovollb  21641  ovolctb  21652  ovolicc2lem4  21682  ovolicc2  21684  volsup  21717  uniioovol  21739  uniioombllem3a  21744  uniioombllem3  21745  uniioombllem4  21746  uniioombllem5  21747  uniioombl  21749  mbfdm  21786  ismbfcn  21789  mbfres  21802  mbfimaopnlem  21813  cncombf  21816  limccnp  22046  dvcobr  22100  dvcof  22102  dvcjbr  22103  dvcj  22104  dvmptco  22126  dvlip2  22147  itgsubstlem  22200  coecj  22425  pserulm  22567  jensenlem2  23061  jensen  23062  amgmlem  23063  dchrinv  23280  motcgrg  23675  vsfval  25220  imsdf  25287  lnocoi  25364  hocofi  26377  homco1  26412  homco2  26588  hmopco  26634  kbass2  26728  kbass5  26731  opsqrlem1  26751  opsqrlem6  26756  pjinvari  26802  fcobij  27236  fcobijfs  27237  mbfmco  27891  dstfrvclim1  28072  gamf  28241  subfacp1lem5  28284  circum  28531  fprodcl2lem  28675  fprodmul  28683  fproddiv  28684  fprodn0  28702  mblfinlem2  29645  mbfresfi  29654  ftc1anclem5  29687  ghomco  29964  rngohomco  29996  mapco2g  30266  diophrw  30312  hausgraph  30793  sblpnf  30809  limccog  31178  mbfres2cn  31292  stoweidlem31  31347  stoweidlem59  31375  tendococl  35577
  Copyright terms: Public domain W3C validator