MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fco Structured version   Unicode version

Theorem fco 5754
Description: Composition of two mappings. (Contributed by NM, 29-Aug-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)
Assertion
Ref Expression
fco  |-  ( ( F : B --> C  /\  G : A --> B )  ->  ( F  o.  G ) : A --> C )

Proof of Theorem fco
StepHypRef Expression
1 df-f 5603 . . 3  |-  ( F : B --> C  <->  ( F  Fn  B  /\  ran  F  C_  C ) )
2 df-f 5603 . . 3  |-  ( G : A --> B  <->  ( G  Fn  A  /\  ran  G  C_  B ) )
3 fnco 5700 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  B  /\  G  Fn  A  /\  ran  G  C_  B )  ->  ( F  o.  G
)  Fn  A )
433expib 1209 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  B  ->  (
( G  Fn  A  /\  ran  G  C_  B
)  ->  ( F  o.  G )  Fn  A
) )
54adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  B  /\  ran  F  C_  C )  ->  ( ( G  Fn  A  /\  ran  G  C_  B )  ->  ( F  o.  G )  Fn  A ) )
6 rncoss 5112 . . . . . . 7  |-  ran  ( F  o.  G )  C_ 
ran  F
7 sstr 3473 . . . . . . 7  |-  ( ( ran  ( F  o.  G )  C_  ran  F  /\  ran  F  C_  C )  ->  ran  ( F  o.  G
)  C_  C )
86, 7mpan 675 . . . . . 6  |-  ( ran 
F  C_  C  ->  ran  ( F  o.  G
)  C_  C )
98adantl 468 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  B  /\  ran  F  C_  C )  ->  ran  ( F  o.  G )  C_  C
)
105, 9jctird 547 . . . 4  |-  ( ( F  Fn  B  /\  ran  F  C_  C )  ->  ( ( G  Fn  A  /\  ran  G  C_  B )  ->  (
( F  o.  G
)  Fn  A  /\  ran  ( F  o.  G
)  C_  C )
) )
1110imp 431 . . 3  |-  ( ( ( F  Fn  B  /\  ran  F  C_  C
)  /\  ( G  Fn  A  /\  ran  G  C_  B ) )  -> 
( ( F  o.  G )  Fn  A  /\  ran  ( F  o.  G )  C_  C
) )
121, 2, 11syl2anb 482 . 2  |-  ( ( F : B --> C  /\  G : A --> B )  ->  ( ( F  o.  G )  Fn  A  /\  ran  ( F  o.  G )  C_  C ) )
13 df-f 5603 . 2  |-  ( ( F  o.  G ) : A --> C  <->  ( ( F  o.  G )  Fn  A  /\  ran  ( F  o.  G )  C_  C ) )
1412, 13sylibr 216 1  |-  ( ( F : B --> C  /\  G : A --> B )  ->  ( F  o.  G ) : A --> C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    C_ wss 3437   ran crn 4852    o. ccom 4855    Fn wfn 5594   -->wf 5595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pr 4658
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-rab 2785  df-v 3084  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-if 3911  df-sn 3998  df-pr 4000  df-op 4004  df-br 4422  df-opab 4481  df-id 4766  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603
This theorem is referenced by:  fco2  5755  f1co  5803  foco  5818  mapen  7740  fsuppco2  7920  mapfienlem1  7922  mapfienlem3  7924  mapfien  7925  unxpwdom2  8107  wemapwe  8205  cofsmo  8701  cfcoflem  8704  isf34lem7  8811  isf34lem6  8812  canthp1lem2  9080  inar1  9202  addnqf  9375  mulnqf  9376  axdc4uzlem  12196  seqf1olem2  12254  wrdco  12924  lenco  12925  lo1o1  13589  o1co  13643  caucvgrlem2  13733  fsumcl2lem  13790  fsumadd  13798  fsummulc2  13838  fsumrelem  13860  supcvg  13907  fprodcl2lem  13997  fprodmul  14007  fproddiv  14008  fprodn0  14026  algcvg  14528  cofucl  15786  setccatid  15972  estrccatid  16010  funcestrcsetclem9  16026  funcsetcestrclem9  16041  yonedalem3b  16157  mhmco  16602  pwsco1mhm  16610  pwsco2mhm  16611  gsumwmhm  16622  f1omvdconj  17080  pmtrfinv  17095  symgtrinv  17106  psgnunilem1  17127  gsumval3lem1  17532  gsumval3lem2  17533  gsumval3  17534  gsumzcl2  17537  gsumzf1o  17539  gsumzaddlem  17547  gsumzmhm  17563  gsumzoppg  17570  gsumzinv  17571  gsumsub  17574  dprdf1o  17658  ablfaclem2  17712  psrass1lem  18594  psrnegcl  18613  coe1f2  18795  cnfldds  18973  dsmmbas2  19292  f1lindf  19372  lindfmm  19377  cpmadumatpolylem1  19897  cnco  20274  cnpco  20275  lmcnp  20312  cnmpt11  20670  cnmpt21  20678  qtopcn  20721  fmco  20968  flfcnp  21011  tsmsf1o  21151  tsmsmhm  21152  tsmssub  21155  imasdsf1olem  21380  comet  21520  nrmmetd  21581  isngp2  21603  isngp3  21604  tngngp2  21652  cnmet  21784  cnfldms  21788  cncfco  21931  cnfldcusp  22316  ovolfioo  22412  ovolficc  22413  ovolfsf  22416  ovollb  22424  ovolctb  22435  ovolicc2lem4OLD  22465  ovolicc2lem4  22466  ovolicc2  22468  volsup  22501  uniioovol  22528  uniioombllem3a  22534  uniioombllem3  22535  uniioombllem4  22536  uniioombllem5  22537  uniioombl  22539  mbfdm  22576  ismbfcn  22579  mbfres  22592  mbfimaopnlem  22603  cncombf  22606  limccnp  22838  dvcobr  22892  dvcof  22894  dvcjbr  22895  dvcj  22896  dvmptco  22918  dvlip2  22939  itgsubstlem  22992  coecj  23224  pserulm  23369  jensenlem2  23905  jensen  23906  amgmlem  23907  gamf  23960  dchrinv  24181  motcgrg  24581  vsfval  26246  imsdf  26313  lnocoi  26390  hocofi  27411  homco1  27446  homco2  27622  hmopco  27668  kbass2  27762  kbass5  27765  opsqrlem1  27785  opsqrlem6  27790  pjinvari  27836  fcobij  28310  fcobijfs  28311  mbfmco  29088  dstfrvclim1  29312  subfacp1lem5  29909  mrsubco  30161  mclsppslem  30223  circum  30320  mblfinlem2  31898  mbfresfi  31907  ftc1anclem5  31941  ghomco  32101  rngohomco  32133  tendococl  34264  mapco2g  35481  diophrw  35526  hausgraph  36015  sblpnf  36522  limccog  37526  mbfres2cn  37661  stoweidlem31  37718  stoweidlem59  37746  sge0resrnlem  38039  hoicvr  38151  mgmhmco  39105
  Copyright terms: Public domain W3C validator